Tutoraufgabe 1 (Hoare-Kalkül):

Transkript

1 Prof. aa Dr. J. Giesl Programmierung WS16/17 F. Frohn, J. Hensel, D. Korzeniewski Allgemeine Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus der gleichen Kleingruppenübung (Tutorium) bearbeitet werden. Namen und Matrikelnummern der Studierenden sind auf jedes Blatt der Abgabe zu schreiben. Heften bzw. tackern Sie die Blätter! Die Nummer der Übungsgruppe muss links oben auf das erste Blatt der Abgabe geschrieben werden. Notieren Sie die Gruppennummer gut sichtbar, damit wir besser sortieren können. Die Lösungen müssen bis Montag, den um 15:00 Uhr in den entsprechenden Übungskasten eingeworfen werden. Sie nden die Kästen am Eingang Halifaxstr. des Informatikzentrums (Ahornstr. 55). Alternativ können Sie die Lösungen auch vor der Abgabefrist direkt bei Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor oder unmittelbar vor Beginn in der Globalübung abgeben. In einigen Aufgaben müssen Sie in Java programmieren und.java-dateien anlegen. Drucken Sie diese aus und schicken Sie sie per vor Montag, dem um 15:00 Uhr an Ihre Tutorin/Ihren Tutor. Stellen Sie sicher, dass Ihr Programm von javac akzeptiert wird, ansonsten werden keine Punkte vergeben. Einige Hausaufgaben müssen im Spiel Codescape gelöst werden: Diese Aufgaben werden getrennt von den anderen Hausaufgaben gewertet. Halten Sie sich beim Lösen von Programmieraufgaben an die auf der Website zur Vorlesung verfügbaren Codekonventionen. Verstöÿe, die zu unleserlichem Code führen, können zu Punktabzug führen. Tutoraufgabe 1 (Hoare-Kalkül): Gegeben sei folgendes Java-Programm P über den Integer-Variablen x, y, c und res: y 0 (Vorbedingung) res = 1; c = y; while (c > 0) { res = res * x; c = c - 1; res = x y (Nachbedingung) a) Vervollständigen Sie die folgende Verikation des Algorithmus im Hoare-Kalkül, indem Sie die unterstrichenen Teile ergänzen. Hierbei dürfen zwei Zusicherungen nur dann direkt untereinander stehen, wenn die untere aus der oberen folgt. Hinter einer Programmanweisung darf nur eine Zusicherung stehen, wenn dies aus einer Regel des Hoare-Kalküls folgt. Sie dürfen beliebig viele Zusicherungs-Zeilen ergänzen oder streichen. In der Musterlösung werden allerdings genau die angegebenen Zusicherungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Änderungen (beispielsweise von x+1 = y+1 zu x = y) nur unter Zuhilfenahme der Konsequenzregeln vornehmen dürfen. 1

2 y 0 res = 1; c = y; while (c > 0) { res = res * x; c = c - 1; res = x y b) Untersuchen Sie den Algorithmus P auf seine Terminierung. Für einen Beweis der Terminierung muss eine Variante angegeben werden und mit Hilfe des Hoare-Kalküls die Terminierung unter der Voraussetzung y 0 bewiesen werden. Aufgabe 2 (Hoare-Kalkül): Gegeben sei folgendes Java-Programm P über den Integer-Variablen n, i, sign und res: 0 n (Vorbedingung) sign = 1; i = 0; while (i < n) { res = -(res + sign); sign = -sign; i = i + 1; res = ( 1) n n (Nachbedingung) (7+2 Punkte) 2

3 a) Vervollständigen Sie die folgende Verikation des Algorithmus im Hoare-Kalkül, indem Sie die unterstrichenen Teile ergänzen. Hierbei dürfen zwei Zusicherungen nur dann direkt untereinander stehen, wenn die untere aus der oberen folgt. Hinter einer Programmanweisung darf nur eine Zusicherung stehen, wenn dies aus einer Regel des Hoare-Kalküls folgt. Sie dürfen beliebig viele Zusicherungs-Zeilen ergänzen oder streichen. In der Musterlösung werden allerdings genau die angegebenen Zusicherungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Änderungen (beispielsweise von x+1 = y+1 zu x = y) nur unter Zuhilfenahme der Konsequenzregeln vornehmen dürfen. 0 n sign = 1; i = 0; while (i < n) { res = -(res + sign); sign = -sign; i = i + 1; res = ( 1) n n b) Untersuchen Sie den Algorithmus P auf seine Terminierung. Für einen Beweis der Terminierung muss eine Variante angegeben werden und mit Hilfe des Hoare-Kalküls die Terminierung bewiesen werden. 3

4 Tutoraufgabe 3 (Hoare-Kalkül): Gegeben sei folgendes Java-Programm P, das zu zwei Eingaben x = a und y = b den Wert a b berechnet. x = a y = b (Vorbedingung) while (x!= y) { if (x > y) { x = x - 1; else { y = y - 1; res = res + 1; res = a b (Nachbedingung) a) Vervollständigen Sie die folgende Verikation des Algorithmus im Hoare-Kalkül, indem Sie die unterstrichenen Teile ergänzen. Hierbei dürfen zwei Zusicherungen nur dann direkt untereinander stehen, wenn die untere aus der oberen folgt. Hinter einer Programmanweisung darf nur eine Zusicherung stehen, wenn dies aus einer Regel des Hoare-Kalküls folgt. Für alle x, y Z gilt: und x > y = (x 1) y = x y 1 x y (x > y) = x (y 1) = x y 1. Achtung: Falls lediglich x y bzw. x y gilt, gelten beide Gleichungen nicht im Allgemeinen. Sie dürfen beliebig viele Zusicherungs-Zeilen ergänzen oder streichen. In der Musterlösung werden allerdings genau die angegebenen Zusicherungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Änderungen (beispielsweise von x+1 = y+1 zu x = y) nur unter Zuhilfenahme der Konsequenzregeln vornehmen dürfen. Klammern dürfen und müssen Sie jedoch eventuell bei der Anwendung der Zuweisungsregel setzen. Es empehlt sich oft, bei der Erstellung der Zusicherungen in der Schleife von unten (d. h. von der Nachbedingung aus) vorzugehen. 4

5 x = a y = b while (x!= y) { if (x > y) { x = x - 1; else { y = y - 1; res = res + 1; res = a b 5

6 b) Beweisen Sie die Terminierung des Algorithmus im Hoare-Kalkül. Aufgabe 4 (Hoare-Kalkül): Gegeben sei folgendes Java-Programm P über den Integer-Variablen n, i und res: 0 n (Vorbedingung) i = 0; while (i < n) { if (i % 2 == 0) { res = res + n; else { res = res - 1; i = i + 1; res = n 2 n n 2 (Nachbedingung) (9 Punkte) Vervollständigen Sie die folgende Verikation des Algorithmus im Hoare-Kalkül, indem Sie die unterstrichenen Teile ergänzen. Hierbei dürfen zwei Zusicherungen nur dann direkt untereinander stehen, wenn die untere aus der oberen folgt. Hinter einer Programmanweisung darf nur eine Zusicherung stehen, wenn dies aus einer Regel des Hoare-Kalküls folgt. Sie dürfen beliebig viele Zusicherungs-Zeilen ergänzen oder streichen. In der Musterlösung werden allerdings genau die angegebenen Zusicherungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Änderungen (beispielsweise von x + 1 = y + 1 zu x = y) nur unter Zuhilfenahme der Konsequenzregeln vornehmen dürfen. x ist die kleinste Zahl n Z, sodass n x gilt. x ist die gröÿte Zahl n Z, sodass n x gilt. Für nicht-negative Zahlen berechnet der Java-Operator % die modulo-funktion. 0 n i = 0; while (i < n) { if (i % 2 == 0) { 6

7 res = res + n; else { res = res - 1; i = i + 1; res = n 2 n n 2 Tutoraufgabe 5 (Programmierung mit Arrays): Insertionsort ist ein Algorithmus zum Sortieren von Arrays, der wie folgt vorgeht, um ein Array a zu sortieren: Zu jedem Zeitpunkt gilt, dass die ersten i Elemente des Arrays a sortiert sind. Da jedes einelementige Array sortiert ist, wird i mit 1 initialisiert. Nun soll das Element x = a[i] an der richtigen Position einsortiert werden. Sei j der Index mit 0 <= j <= i, an den das Element eigentlich gehört, d.h. es gilt j == 0 a[j-1] <= x und i == j x < a[j]. Dann werden a[j],..., a[i-1] um eine Position nach rechts verschoben und x wird an Position a[j] eingefügt. Anschlieÿend wird i inkrementiert. Sobald i == a.length gilt, ist das Array sortiert. Als Beispiel betrachten wir das Array {6,4,5,7. Am Anfang ist i == 1, d.h. a[i] == 4. So ergibt sich j == 0, d.h. das Element 6 wird nach rechts verschoben und 4 wird an der Position 0 eingefügt. So ergibt sich {4,6,5,7. Nun ist i == 2, d.h. a[i] == 5. So ergibt sich j == 1, d.h. das Element 6 wird nach rechts verschoben und man erhält {4,5,6,7. Schlieÿlich ist i == 3, d.h. a[i] == 7. Hier ergibt sich auch j == 3 und keine weitere Verschiebung ist nötig. Implementieren Sie eine Klasse Insertion mit einer Methode public static void insertion(int[] a), die das Array a mithilfe des Algorithmus Insertionsort aufsteigend sortiert. Auf der Website zur Vorlesung stehen drei Java-Dateien Sort.java, Bubble.java und Insertion.java zum Download zur Verfügung. Speichern Sie alle drei Dateien in einem neuen Ordner. Die Klasse Insertion enthält eine Methode insertion mit leerem Rumpf. Wenn Sie die Implementierung vervollständigen und anschlieÿend mit javac Sort.java kompilieren, dann können Sie Ihre Implementierung mit java Sort insertion testen. 7

8 Aufgabe 6 (Programmierung mit Arrays): (6 Punkte) Bubblesort ist ein Algorithmus zum Sortieren von Arrays, der wie folgt vorgeht, um ein Array a zu sortieren: Das Array wird wiederholt von links nach rechts durchlaufen. Am Ende des n-ten Durchlauf gilt, dass die letzten n Array-Elemente an ihrer endgültigen Position stehen. Folglich müssen im ( n + 1)-ten Durchlauf nur noch die ersten a.length n Elemente betrachtet werden. In jedem Durchlauf wird in jedem Schritt das aktuelle Element mit seinem rechten Nachbarn verglichen. Falls das aktuelle Element gröÿer ist als sein rechter Nachbar, werden sie getauscht. Als Beispiel betrachten wir das Array {3,2,1. Im ersten Durchlauf wird erst 3 mit 2 getauscht (dies ergibt {2,3,1) und dann 3 mit 1, was {2,1,3 ergibt. Im zweiten Durchlauf wird 2 mit 1 getauscht, was zu {1,2,3 führt. Implementieren Sie eine Klasse Bubble mit einer Methode public static void bubble(int[] a), die das Array a mithilfe des Algorithmus Bubblesort aufsteigend sortiert. Auf der Website zur Vorlesung stehen drei Java-Dateien Sort.java, Bubble.java und Insertion.java zum Download zur Verfügung. Speichern Sie alle drei Dateien in einem neuen Ordner. Die Klasse Bubble enthält eine Methode bubble mit leerem Rumpf. Wenn Sie die Implementierung vervollständigen und anschlieÿend mit javac Sort.java kompilieren, dann können Sie Ihre Implementierung mit java Sort bubble testen. Aufgabe 7 (Deck 2): Lösen Sie die Räume von Deck 2 des Spiels Codescape. (Codescape) 8