5. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Dennis Hofheinz Lukas Barth, Lisa Kohl 5. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe lisa.kohl,lukas.barth}@kit.edu Aufgabe 1 (Sortieren, Punkte) Musterlösungen Sortieren Sie die Ziffern Ihrer Matrikelnummer mittels den in den Teilaufgaben angegebenen Algorithmen aus der Vorlesung. (Falls Sie zu zweit abgeben, genügt eine von beiden.) a) Bestimmen Sie die Anzahl von Inversionen in Ihrer Matrikelnummer. b) Benutzen Sie Insertionsort. Geben Sie den Zustand des Feldes nach jedem Einfüge-Schritt an. c) Benutzen Sie Mergesort. Verwenden Sie das Schema aus der Vorlesung (siehe Vorlesungsfolien vom , Beispiel Folie 10). Beispiel mit Matrikelnummer a) Diese Matrikelnummer hat 7 Inversionen. b) 1 2,2,9,2,0,3 1,2 2,9,2,0,3 1,2,2 9,2,0,3 1,2,2,9 2,0,3 1,2,2,2,9 0,3 0,1,2,2,2,9 3 0,1,2,2,2,3,9 c) 1, 2, 2, 9, 2, 0, 3 1, 2, 2 9, 2, 0, 3 1 2, 2 9, 2 0, , 2 2, 9 0, 3 1, 2, 2 0, 2, 3, 9 0, 1, 2, 2, 2, 3, 9 1

2 Aufgabe 2 (Algorithmenentwurf, 4 Punkte) Sie sind der Manager eines Autoverleihs. Ihre Firma besitzt k N unterschiedliche Fahrzeugtypen, die alle verliehen werden können. Von jedem Fahrzeugtyp t 1... k} besitzt Ihre Firma c t N Fahrzeuge. Ihnen liegen nun die n nächsten Buchungen vor, wobei jede Buchung aus einem Abholzeitpunkt, einem Rückgabezeitpunkt und einem gewünschten Fahrzeugtypen besteht. Ihre Aufgabe ist es, zu überprüfen, ob mit den vorhandenen Fahrzeugen alle Buchungen erfüllt werden können. Zum aktuellen Zeitpunkt sind keine Fahrzeuge verliehen. Gehen Sie davon aus, dass ein Fahrzeug, ab dem Moment, in dem es zurückgegeben wird, sofort wieder verliehen werden kann. a) Entwerfen Sie einen Algorithmus, der dieses Problem in höchstens O(n log n + k) Zeit löst. b) Begründen Sie kurz, warum Ihr Algorithmus das gewünschte Laufzeitverhalten aufweist. a) Der Algorithmus geht wie folgt vor: Zunächst wird aus der Liste der Buchungen eine Liste von Ereignissen erzeugt. Ein Ereignis besteht aus einem Zeitpunkt, einem Fahrzeugtypen und einem Vorgang, der entweder Ausleihe oder Rückgabe sein kann. Somit werden für jede Buchung genau zwei Ereignisse angelegt. Die Liste der Ereignisse wird dann aufsteigend nach Zeitpunkt sortiert, wobei bei Ereignissen mit gleichen Zeitpunkten Rückgaben vor Ausleihen sortiert werden müssen. Nun legt der Algorithmus ein Array von A von k Zahlen an, eins pro Fahrzeugtyp. Das Array wird mit der Anzahl verfügbarer Fahrzeuge initialisiert: A[t] = c t für alle t 1... k}. Dann iteriert der Algorithmus über die sortierten Ereignisse. Bei einem Ereignis vom Typ Rückgabe und Fahrzeugtyp t wird A[t] um eins inkrementiert, bei einem Ereignis vom Typ Ausleihe wird A[t] um eins dekrementiert. Unterschreitet A[t] dabei zu einem beliebigen Zeitpunkt den Wert 0, so können die vorliegenden Buchungen mit den vorhandenen Fahrzeugen nicht erfüllt werden. b) Initial müssen genau 2n Ereignisse erstellt werden. Da dies im Voraus bekannt ist, kann ein Array mit 2n Einträgen für die Ereignisse angelegt und gefüllt werden. Dies läuft in O(n). Das Sortieren dieses Arrays läuft sodann z.b. durch Verwendung von Mergesort in O(n log n). Das Anlegen und Initialisieren von A mit k Einträgen funktioniert klar in O(k). Abschließend muss über 2n Ereignisse iteriert werden, wobei die Abarbeitung jedes einzelnen Ereignisses in konstanter Zeit erfolgt. Insgesamt ergibt sich für diesen Schritt erneut Zeitaufwand in O(n). In der Summe ergibt sich ein Zeitaufwand in O(n log n + k). Aufgabe 3 (Sortieren, 5 Punkte) Betrachten Sie folgenden Sortieralgorithmus. Procedure sort(a : Array of N, i : N, j : N) assert j i + 1 ist eine Zweierpotenz if A[i] > A[j] then vertausche A[i] und A[j] if i + 1 < j then k:= (j i + 1)/4 sort(a, i, j 2k) sort(a, j 2k + 1, j) sort(a, i + k, j k) sort(a, i, j 2k) sort(a, j 2k + 1, j) sort(a, i + k, j k) 2

3 a) Beweisen Sie, dass sort(a, 1, length(a)) das Array A[1... length(a)] korrekt sortiert, wenn length(a) eine Zweierpotenz ist. Sie dürfen dabei vereinfachend annehmen, dass Zahlen nicht doppelt vorkommen. b) Geben Sie eine scharfe asymptotische Schranke für die Laufzeit des Algorithmus. Beweisen Sie, dass die gegebene asymptotische Schranke tatsächlich eine obere Schranke der Laufzeit ist. a) Zunächst ist die Bedingung in der zweiten Zeile bei allen Funktionsaufrufen erfüllt, denn: Nach Voraussetzung ist beim ersten Aufruf j i + 1 = length(a) eine Zweierpotenz. Wenn j i + 1 eine Zweierpotenz ist, dann auch j i + 1 2k. Denn: Sei e N so, dass j i + 1 = 2 e. Für e 0 gilt j i + 1 2k = 2 e 2 2 e 2 = 2 e 1 (2 1) = 2 e 1. Damit ist in allen rekursiven Funktionsaufrufen die Bedingung erfüllt. Wir beweisen nun induktiv die Korrektheit. Genauer sei dazu A ein Array, i 1, j length(a) und l := j i+1 eine Zweierpotenz. Dann liegt das Teilarray A[i... j] nach Aufruf von sort(a, i, j) sortiert vor. Denn: Induktionsanfang: Für l = 1 und l = 2 liefert der Algorithmus das sortierte Teilarray: Der erste Fall ist trivial und im zweiten Fall sorgt das mögliche Vertauschen in der 3. Zeile für ein sortiertes Teilarray. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass für ein l N der sort Algorithmus für Intervalle der Größe l korrekt sortierte Teilarrays liefert. Induktionsschritt: Wir betrachten nun den Fall j i + 1 = 2l. Wir teilen nun zunächst die Elemente des Arrays in Typen. Die 2l/4 = l/2 kleinsten Elemente ordnen wir dem Typ T 1 zu, die nächstgrößeren l/2 Elemente dem Typ T 2, entsprechend das nächstgrößere Viertel der Elemente dem Typ T 3 und schließlich die l/2 größten Elemente dem Typ T 4. Nach dem Aufruf sort(a, i, j 2k) kommen nach Induktionsvoraussetzung im ersten Viertel von A[i... j] keine T 4 -Elemente mehr vor. Entsprechend kommen nach dem Aufruf von sort(a, j 2k + 1, j) im letzten Viertel von A[i... j] keine T 1 -Elemente mehr vor. Nach dem Aufruf von sort(a, i+k, j k) kommen T 1 -Elemente nur noch in der ersten Hälfte von A[i... j] und T 4 -Elemente nur noch in der letzten Hälfte von A[i... j] vor. Nach dem erneuten Aufruf von sort(a, i, j 2k)liegen daher alle T 1 -Elemente im ersten Viertel von A[i... j] sortiert vor. Und entsprechend liegen nach dem erneuten Aufruf von sort(a, j 2k + 1, j) im letzten Viertel von A[i... j] alle T 4 -Elemente sortiert vor. Der erneute Aufruf sort(a, i + k, j k) sortiert nach Induktionsvoraussetzung A[i + k... j k] und somit liegt der Array schließlich komplett sortiert vor. b) Für die Laufzeit ergibt sich für n = length(a) 2 die Rekurrenzgleichung a1 für n = 2, T (n) = 6 T ( ) n 2 + a2 log n + a 3 für n > 2 mit a 1, a 2, a 3 N geeignet. Definiere nun für alle n N die Rekurrenzgleichung 1 für n = 1, T 1 (n) = ( 6 T n ) (a1 + a 2 + a 3 )n für n 2. Dann gilt für ( alle Zweierpotenzen n 2 offensichtlich T 1 (n) T (n). Nach dem Mastertheorem gilt T 1 (n) Θ n log 6) ( 2 und damit ist O n log 6) 2 eine obere Schranke für die Laufzeit des Algorithmus. (Die nachfolgenden Überlegungen waren in der Aufgabenstellung nicht gefordert und werden hier nur zur Ergänzung gegeben.) Um zu zeigen, dass die asymptotische Schranke scharf ist, setzen wir 1 für n = 2, T 2 (n) = ( 6 T n ) 2 2 für n > 2. 3

4 Dann gilt offensichtlich T 2 (n) T (n) für alle Zweierpotenzen n 2. Wir zeigen nun: für alle n N gilt T 2 (n) 1/6 n log n 2. Damit folgt, dass die obere Schranke für die Laufzeit scharf ist. Induktionsanfang: Es gilt T 2 (1) = 1 = 1/6 2 log Induktionsvoraussetzung: Für ein n N gelte T 2 (n) 1/6 n log n 2. Induktionsschritt: Es gilt T 2 (2n) = 6T 2 (n) IV 6(1/6 n log n 2) = 1/6 (2n) log n + 4n 12 n 4 1/6 (2n) log n /6 (2n) log n 2 Hinweis: Der logarithmische Term in T (n) kommt daher, dass in jedem Aufruf von sort der Wert von k mittels Addition und Division bestimmt werden muss. Meist ignorieren wir die Laufzeit für Rechenoperationen mit der Begründung, dass diese im Normalfall durch die Länge eines Maschinenworts beschränkt sind. Wir sind hier also etwas penibel. Für eine korrekte Lösung ist die Beachtung dieses logarithmischen Terms nicht notwending, der Einstieg mit einer Rekurrenz wie T 1 ist ausreichend. Aufgabe 4 (Kombinatorik, Punkte) Aus der Vorlesung Grundbegriffe der Informatik wissen Sie, dass ein Wort w über einem Alphabet Σ eine Folge von Zeichen aus Σ ist. a) Sei Σ = a, e, t, m} gegeben. Betrachten Sie das Wort w 1 = meta Σ 4. Wie viele verschiedene Wörter können durch Umstellen der Zeichen von w 1 konstruiert werden? Wie sieht es aus, wenn Sie stattdessen w 2 = emma als Ausgangswort verwenden? Wählen Sie einen Buchstaben aus Σ und geben Sie alle (von w 1 und w 2 verschiedenen) Wörter mit diesem Anfangsbuchstaben an, die auf die beschriebene Art aus w 1 und w 2 konstruiert werden können. b) Sortieren Sie die Buchstaben in Σ nach Aufwand der vorherigen Aufgabe. Beginnen Sie mit dem Buchstaben, für den Sie bei der Teilaufgabe a) am wenigsten Wörter erhalten. Geben Sie jeweils die Anzahl der erhaltenen Wörter an. c) Sei nun das komplette Alphabet Σ = a,..., z} gegeben. Betrachten Sie das Wort w Σ n für n N 0. Wie viele verschiedene Wörter können durch Umstellen der Zeichen von w konstruiert werden? Wieviele davon beginnen jeweils mit einem bestimmten Anfangsbuchstaben? Begründen Sie Ihre Antworten und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b). Verwenden Sie für σ Σ die Bezeichnung n σ für die Anzahl von σ s in w. Hinweis: 0! = 1. a) Für die Wahl t erhalten wir 6 verschiedene Wörter: taem, tame, team, tema, tmae und tmea. b) t(6 + 0), e(6 + 2), a(6 + 3), m(5 + 6) c) Es gibt n! Permutationen von w. Durch das Mehrfachauftreten der Buchstaben sind diese aber zum Teil untereinander identisch. Für eine feste Permutation gibt es n σ! Möglichkeiten, die n σ Zeichen σ Σ an den gleichen Stellen zu permutieren ohne das Wort zu verändern. Daher müssen wir durch diese Anzahl teilen und erhalten Möglichkeiten. n! n a! n b!... n z! 1 4

5 Für einen festen Anfangsbuchstaben σ Σ erhalten wir Möglichkeiten bzw. (n 1)! n a! n b!... (n σ 1)!... n z! (n 1)! n a! n b!... (n σ 1)!... n z! 1 Möglichkeiten, falls σ der Anfangsbuchstabe von w ist bzw. Möglichkeiten, falls σ nicht in w vorkommt. 0 5