Aufgabe 8. 1 Arbeitsweise illustrieren. 2 Korrektheitsbeweis führen. 3 Laufzeitanalyse durchführen.

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1 Aufgabe 8 Betrachten Sie den folgenden Algorithmus namens Bubble-Sort. Bubble-Sort(A[1..n]): 1 for i 1 to length(a) 1 2 do for j length(a) downto i do if A[j 1] > A[j] 4 then A[j 1] A[j] 1 Arbeitsweise illustrieren. 2 Korrektheitsbeweis führen. 3 Laufzeitanalyse durchführen. lf-peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

2 Illustration der Arbeitsweise 1 i = 1: A = 8, 4, 6, 1, 9 j=5 A = 8, 4, 6, 1, 9 j=4 A = j=2 A = 8, 1, 4, 6, 9 A = 1, 8, 4, 6, 9 j=3 8, 4, 1, 6, 9 2 i = 2: A = 1, 8, 4, 6, 9 j=5 A = 1, 8, 4, 6, 9 j=4 A = 1, 8, 4, 6, 9 j=3 A = 1, 4, 8, 6, 9 3 i = 3: A = 1, 4, 8, 6, 9 j=5 A = 1, 4, 8, 6, 9 j=4 A = 1, 4, 6, 8, 9 4 i = 4: A = 1, 4, 6, 8, 9 j=5 A = 1, 4, 6, 8, 9 lf-peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

3 Korrektheitsbeweis I Invariante für die innere Schleife: Vor Durchlauf mit Index j ist A[j] ein kleinstes Element in A[j..n]. Initialisierung: Es gilt j = n und selbstverständlich ist A[n] das minimale Element von A[n..n]. Erhaltung: (Induktion von j nach j 1) Vor Durchlauf mit Index j steht in A[j] das kleinste Element von A[j..n]. If-Abfrage (Schritte 3 4) aktualisiert A[j 1] entsprechend, so dass dieser Wert in A[j 1..n] minimal ist. Die Invariante bleibt also erhalten. Terminierung: Vor Durchlauf mit Index j = i gilt, dass A[i] das kleinste Element in A[i..n] ist. Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

4 Korrektheitsbeweis II Invariante für die äußere Schleife: Vor Durchlauf mit Index i ist A[1..i 1] aufsteigend sortiert und alle Elemente in A[1..i 1] sind kleiner oder gleich den Elementen in A[i..n]. Initialisierung: Vor Durchlauf mit i = 1 ist das Teilarray A[1..i 1] leer und die Aussage gilt trivialerweise. Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

5 Korrektheitsbeweis III Erhaltung: (Induktion von i nach i + 1) Laut der Terminierung der inneren Schleife wird im i-ten Durchlauf in den Schritten 2 4 ein minimales Element von A[i..n] nach A[i] geblubbert. Galt nun vor Schleifendurchlauf i die Invariante, so muss A[i] jedoch auch größer oder gleich den Elementen in A[1..i 1] sein. Da A[1..i 1] bereits sortiert war, ist somit nun auch A[1..i] sortiert. Gleichzeitig sind, wegen der Minimalität von A[i] in A[i..n], nun alle Elemente in A[1..i] kleiner oder gleich den Elementen in A[i + 1..n]. Die Invariante bleibt also erhalten. Terminierung: Vor Durchlauf mit Index i = n gilt, dass A[1..n 1] aufsteigend sortiert ist und alle Elemente in A[1..n 1] kleiner oder gleich dem Element A[n] sind. Zusammengefasst liefert die Terminierung der äußeren Schleife also, dass das gesamte Array A[1..n] zum Ende des Algorithmus aufsteigend sortiert ist. lf-peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

6 Laufzeitanalyse I Bubble-Sort(A[1..n]): cost times 1 for i 1 to length(a) 1 c 1 n 2 do for j length(a) downto i + 1 c n 1 2 i=1 n i do if A[j 1] > A[j] c n 1 3 i=1 n i 4 then A[j 1] A[j] c n 1 4 i=1 t i Hierbei gibt 0 t i n i an, wie oft die if-abfrage im Durchlauf i erfüllt wird. Also: lf-peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

7 Laufzeitanalyse II n 1 T (n) := c n 2 + c n + c + c 4 mit c = 1 2 c c 3, c = c c c 3 und c = c 2. Wegen t i 0 gilt n 1 i=1 t i 0 und somit i=1 T (n) c n 2 + c n + c = Ω(n 2 ). Wegen t i n i gilt n 1 i=1 t i n 1 i=1 n i = 1 2 (n2 n) und Also T (n) = Θ(n 2 ). T (n) c n 2 + c n + c c 4(n 2 n) = O(n 2 ). t i Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

8 Aufgabe 9 1 Divide & Conquer Algorithmus zur binären Suche entwickeln. 2 Korrektheitsbeweis führen. lf-peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

9 Algorithmus für die binäre Suche BinSearch(A, l, r, v): 1 if l > r 2 then return Nil 3 else q l+r 2 4 if v = A[q] 5 then return q 6 else if v < A[q] 7 then BinSearch(A, l, q 1, v) 8 else BinSearch(A, q + 1, r, v) Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

10 Korrektheitsbeweis I Satz Der Algorithmus BinSearch(A, l, r, v) findet in einem sortierten Array einen Index q, 1 q n mit A[q] = v, oder gibt den Wert NIL zurück, falls v nicht in dem Array vorhanden ist. Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11

11 Korrektheitsbeweis II Beweis (Induktion über die Länge des Arrays n) 1 (I.A.) n = 1: A hat nur ein Element, d.h. l = r = 1. Der Algorithmus überprüft in Zeile 4, ob A[q] = A[1] = v ist. Falls ja, liefert er den Index q zurück, falls nein wird ein rekursiver Aufruf gestartet, bei dem l > r gilt. Dieser rekursive Aufruf liefert dann das korrekte Ergebnis NIL und bricht dann die Berechnungen ab. 2 (I.S.) n n + 1: Der Algorithmus überprüft den Wert des mittleren Elements in Bezug auf seine Ordnungsrelation zu dem gesuchten v. Ist der Wert des mittleren Elements gleich v gibt der Algorithmus den entsprechenden Index q zurück. Anderenfalls wird die linke oder rechte Teilhälfte des Arrays mittels eines rekursiven Aufruf des Algorithmus durchsucht. Diese Teilarrays sind bezüglich der Länge echt kleiner als n + 1. Nach I.V. und auf Grund der Tatsache, dass A ein sortiertes Array ist liefert der Algorithmus das korrekte Ergebnis. Ulf-Peter Schroeder (University of Paderborn) Übungsblatt 3 DuA SS / 11