Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 7 Dynamische Mengen, das Suchproblem &
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1 Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 7 Dynamische Mengen, das Suchproblem & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 25. November 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/122
2 Dynamische Mengen Grundlegende Algorithmen Definition Bisher hatten wir oft statische Mengen, bei denen sich die Anzahl der Elemente nicht ändert (z.b. beim Sortieren). Oft soll eine Menge aber zeitabhängig wachsen und schrumpfen können. Man spricht dann von dynamischen Mengen. Kennengelernt haben wir bereits den Stack, die Queue und die verkettete Liste. Anmerkung Wir beschränken uns oft auf die Darstellung der für unsere wichtigen Daten. Meist enthalten die Objekte aber zusätzliche Satellitendaten z.b. einen Wächter am Ende einer verketteten Liste. Frank Heitmann 2/122
3 Dynamische Mengen Grundlegende Algorithmen Wichtige (dynamischer Mengen): Search(S, k). Gibt es einen Zeiger x auf ein Element in S mit schlüssel[x] = k? Insert(S, x). Delete(S, x). Minimum(S), Maximum(S), Successor(S, x), Predecessor(S, x). Viele hiervon haben wir schon bei z.b. der verketteten Liste gesehen, aber wie schnell waren die? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 3/122
4 Das Suchproblem Grundlegende Algorithmen Definition (Das Suchproblem) Eingabe: Eine Sequenz < a 1, a 2,..., a n > von n Zahlen und ein Wert k. Gesucht: Ein Index i mit k = A[i], falls k in A vorkommt oder der Wert nil. Definition (Das Suchproblem (allgemein)) Eingabe: Eine Menge M und ein Wert k. Gesucht: Ein Zeiger x auf ein Element in M mit schlüssel[x] = k oder nil, falls kein solches Element existiert. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/122
5 Brute-Force-Suche (Array) Grundlegende Algorithmen Algorithmus 1 Search(A[1..n], k) 1: for i = 1 to n do 2: if a[i] == k then 3: return i 4: end if 5: end for 6: return nil Analyse Laufzeit ist in Θ(n). Korrektheit folgt mit Schleifeninvariante (oder hier auch direkt). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/122
6 Brute-Force-Suche (Liste) Grundlegende Algorithmen Algorithmus 2 Search(L, k) 1: x = kopf[l] 2: while x nil && schlüssel[x] k do 3: x = nachfolger[x] 4: end while 5: return x Analyse Laufzeit ist wieder in Θ(n). Korrektheit zeigt man wie oben. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/122
7 Binäre Suche Grundlegende Algorithmen Algorithmus 3 Binäre Suche (Array) 1: while first last idx < 0 do 2: m = first + ((last first)/2) 3: if a[m] < p then 4: first = m + 1 5: else if a[m] > p then 6: last = m 1 7: else 8: idx = m 9: end if 10: end while 11: return idx Analyse Laufzeit ist in Θ(log n) (T (n) = T (n/2) + c). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/122
8 Grundlegende Algorithmen Grundlegende Algorithmen - Zusammenfassung Zusammenfassung Die Laufzeit der Brute-Force-Suchalgorithmen war in Θ(n), insb. da jedes Element betrachtet werden musste. Die binäre Suche erlaubt eine Laufzeit in Θ(log n), ist aber nicht bei jeder Datenstruktur anwendbar! Wir suchen nun Datenstrukturen, die die Suche und auch die anderen für dynamische Mengen in wenig Zeit (z.b. in O(log n)) erlauben. Pause to Ponder Unsere bisherigen Datenstrukturen erlauben dies nicht. Man überlege sich dies an Array, Stack, Queue, Liste und Heap... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8/122
9 - Die Idee Ein binärer Suchbaum ist eine Datenstruktur, die viele auf dynamischen Mengen ermöglicht, insb. die Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor, Insert und Delete. Ein binärer Suchbaum ist ein binärer Baum (jeder Knoten hat bis zu zwei Kindern), wobei der Baum noch die spezielle Suchbaum-Eigenschaft erfüllt. Der Baum wird (anders als der Heap!) meist durch eine verkettete Datenstruktur (ähnlich der doppelt-verketteten Liste) repräsentiert. Jeder Knoten ist ein Objekt mit den Attributen schlüssel (und den Satellitendaten), links, rechts, p, die auf den jeweiligen linken bzw. rechten Nachfolger, bzw. den Vaterknoten zeigen (fehlen diese, sind die entsprechenden Attribute auf nil gesetzt). Frank Heitmann 9/122
10 - Die Idee Binäre Suchbaum-Eigenschaft: Sei p ein Knoten im binären Suchbaum. Sei l ein Knoten im linken Teilbaum von n, r im rechten, dann gilt stets: schlüssel[l] schlüssel[p] und schlüssel[p] schlüssel[r] nil 13 nil 16 nil nil nil nil (Im Bild sind nicht alle nil-knoten eingezeichnet, nachfolgend verzichten wir meist ganz auf sie.) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 10/122
11 - Beispiel (gut) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 11/122
12 - Beispiel (schlecht) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 12/122
13 Die Wir werden nachfolgenden folgende betrachten: InorderTreeWalk(x). TreeSearch(x, k), IterativeTreeSearch(x, k). TreeMinimum(x), TreeMaximum(x). TreeSuccessor(x), TreePredecessor(x). TreeInsert(T, x), TreeDelete(T, z). Frank Heitmann 13/122
14 InorderTreeWalk - Die Idee Gibt die Schlüssel aus, wobei zuerst die Schlüssel des linken, dann der Schlüssel der Wurzel und dann die Schlüssel des rechten Teilbaumes ausgegeben werden. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 14/122
15 InorderTreeWalk Algorithmus 4 InorderTreeWalk(x) 1: if x nil then 2: InorderTreeWalk(links[x]) 3: print schlüssel[x] 4: InorderTreeWalk(rechts[x]) 5: end if Anmerkung Ähnlich kann man auch PreorderTreeWalk (Wurzel zuerst) und PostorderTreeWalk (Wurzel zuletzt) schreiben. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 15/122
16 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 16/122
17 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 17/122
18 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 18/122
19 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 19/122
20 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 20/122
21 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 21/122
22 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 22/122
23 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 23/122
24 InorderTreeWalk - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 24/122
25 InorderTreeWalk Anmerkung Bei einem binären Suchbaum werden die Schlüssel bei InorderTreeWalk in sortierter Reihenfolge ausgegeben! (Der Satz, dass dies korrekt ist, folgt gleich. Der Beweis mündlich.) Pause to Ponder Laufzeit? Frank Heitmann 25/122
26 InorderTreeWalk Algorithmus 5 InorderTreeWalk(x) 1: if x nil then 2: InorderTreeWalk(links[x]) 3: print schlüssel[x] 4: InorderTreeWalk(rechts[x]) 5: end if Satz Wenn x die Wurzel eines Teilbaums mit n Knoten ist, dann ist InorderTreeWalk(x) korrekt (folgt per Induktion aus den Eigenschaften binärer Suchbäume). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 26/122
27 InorderTreeWalk - Laufzeitanalyse (1/4) Satz Wenn x die Wurzel eines Teilbaums mit n Knoten ist, dann ist InorderTreeWalk(x) in Zeit Θ(n). Beweis. Aufstellen der Rekurrenzgleichung: Beim einem leeren (Teil-)Baum gilt T (0) = c. Ferner gilt bei Aufruf auf einen Knoten dessen linker Teilbaum k und dessen rechter Teilbaum n k 1 Knoten hat T (n) = T (k) + T (n k 1) + d. Wir vermuten nun T (n) Θ(n), d.h. wir vermuten T (n) = e n für eine Konstante e. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 27/122
28 InorderTreeWalk - Laufzeitanalyse (2/4) Beweis. Behauptung: T (n) = e n. Wollen wir dies mit Induktion beweisen, so merken wir gleich beim Induktionsanfang T (0) = e 0 = 0 c. Wir müssen unsere Vermutung also verbessern! Neue Vermutung: T (n) = e n + c. Damit ist immer noch T (n) Θ(n), aber der Induktionsanfang klappt jetzt! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 28/122
29 InorderTreeWalk - Laufzeitanalyse (3/4) Beweis. Behauptung: T (n) = e n + c. Induktionsschritt (n 1 n): T (n) = T (k) + T (n k 1) + d = (e k + c) + (e (n k 1) + c) + d = e n e + 2c + d Setzen wir e = c + d (denn wir wollen ja T (n) = e n + c erreichen (nicht T (n + 1) =..., da wir den Induktionsschritt ja auf n machen)) und verfeinern auf diese Weise also unsere Behauptung erneut (!), so wird gleich alles klappen! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 29/122
30 InorderTreeWalk - Laufzeitanalyse Anmerkung Nimmt man als Behauptung gleich T (n) = (c+d)n+c, so klappt alles sofort, aber die Gleichung fällt dann vom Himmel. Oben kommt man auf e = c + d, weil man ja möchte, dass sich T (n) = e n + c ergibt. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30/122
31 InorderTreeWalk - Laufzeitanalyse (4/4) Beweis. Gegeben (aus dem Code): T (n) mit T (0) = c und T (n) = T (k) + T (n k 1) + d. Behauptung: T (n) = (c + d) n + c. Induktionsanfang: T (0) = c. Induktionsannahme: Behauptung gelte schon für Werte kleiner n. Induktionsschritt (n 1 n): T (n) = T (k) + T (n k 1) + d = ((c + d) k + c) + ((c + d) (n k 1) + c) + d = (c + d) n (c + d) + 2c + d = (c + d) n + c Also gilt T (n) Θ(n). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 31/122
32 TreeSearch - Die Idee am Beispiel TreeSearch 7? 15? 11? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 32/122
33 TreeSearch - Die Idee Beginne mit der Wurzel. Ist diese kleiner als der Schlüssel, so suche im rechten Teilbaum, ist sie grösser, suche im linken. Fahre wie oben mit der Wurzel diese Teilbaumes fort. Breche ab, wenn Schlüssel gefunden oder, wenn nil- Knoten erreicht wird. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 33/122
34 TreeSearch - Pseudocode Algorithmus 6 TreeSearch(x, k) 1: if x == nil or k == schlüssel[x] then 2: return x 3: else if k < schlüssel[x] then 4: return TreeSearch(links[x], k) 5: else 6: return TreeSearch(rechts[x], k) 7: end if Analyse Die Knoten, die während der Rekursion besucht werden, bilden einen Pfad von der Wurzel bis maximal zu einem Blatt. Die Korrektheit folgt aus den Eigenschaften binärer Suchbäume. Die Laufzeit ist in O(h), wobei h die Höhe des Baumes ist. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 34/122
35 TreeSearch - Pseudocode (iterativ) Algorithmus 7 IterativeTreeSearch(x, k) 1: while x nil and k schlüssel[x] do 2: if k < schlüssel[x] then 3: x = links[x] 4: else 5: x = rechts[x] 6: end if 7: end while 8: return x Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 35/122
36 TreeSearch, Minimum und Maximum am Beispiel TreeSearch 5? Minimum? Maximum? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 36/122
37 Minimum und Maximum Algorithmus 8 TreeMinimum(x) 1: while links[x] nil do 2: x = links[x] 3: end while 4: return x Algorithmus 9 TreeMaximum(x) 1: while rechts[x] nil do 2: x = rechts[x] 3: end while 4: return x Analyse (Korrektheit und Laufzeit) wie bei TreeSearch. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 37/122
38 Vorgänger und Nachfolger Wir wollen den Nachfolger eines Knotens in der sortierten Reihenfolge ausgeben. (Den Vorgänger ermittelt man analog.) Wir können dies machen ohne jemals Schlüssel zu vergleichen! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 38/122
39 Nachfolger - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 39/122
40 Nachfolger - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 40/122
41 Nachfolger - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 41/122
42 Nachfolger - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 42/122
43 Nachfolger - Die Idee Der Nachfolger eines Knotens x ist der Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, der größer ist als schlüssel[x]. Größer als schlüssel[x] heisst im rechten Teilbaum von x und dort am kleinsten heisst das Minimum ( ganz links ). Problem: x muss gar keinen rechten Teilbaum haben! Dann ist der Nachfolger y der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. (Geht das auch nicht, dann ist x das größte Element und hat keinen Nachfolger.) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 43/122
44 Nachfolger - Die Idee Dann ist der Nachfolger y der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. Das heißt wir gehen von x aus nach oben und der erste Knoten y auf den wir treffen von dem aus gesehen x in seinem linken Teilbaum ist, ist der gesuchte. Dann gilt nämlich gerade schlüssel[x] < schlüssel[y] (wegen linken oben) und es gibt auch keinen Schlüssel dazwischen (wegen erste oben). (Obiges kann in einen Beweis um-/ausformuliert werden.) Bemerkung Umgangssprachlich: Wir gehen im Baum immer weiter nach oben, wenn wir das erste Mal nach rechts gehen, haben wir den gesuchten Knoten. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 44/122
45 Nachfolger - Die Idee Dann ist der Nachfolger y der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 45/122
46 Nachfolger - Die Idee Dann ist der Nachfolger y der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 46/122
47 Nachfolger - Pseudocode Algorithmus 10 TreeSucessor(x) 1: if rechts[x] nil then 2: return TreeMinimum(rechts[x]) 3: end if 4: y = p[x] 5: while y nil and x == rechts[y] do 6: x = y 7: y = p[y] 8: end while 9: return y Analyse Korrektheit folgt aus obigen Überlegungen. Laufzeit ist wieder in O(h). Die Routine TreePredecessor implementiert man analog. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 47/122
48 Einfügen - Die Idee Wir manipulieren nun die (dynamische!) Datenstruktur, indem wir ein Element hinzufügen. Dabei soll die Suchbaum-Eigenschaft erhalten bleiben. Im Prinzip suchen wir (ähnlich der Suche) den richtigen Platz und fügen das neue Element einfach als Blatt an... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 48/122
49 Einfügen - Beispiel Insert 11? Insert 4? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 49/122
50 Einfügen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 50/122
51 Einfügen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 51/122
52 Einfügen - Die Idee Im Code halten wir nun einen Zeiger auf x (hier soll das neue Element hin) und einen Zeiger y auf p[x]. An y wird dann das neue Element angehängt... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 52/122
53 Einfügen - Pseudocode Teil 1 Algorithmus 11 TreeInsert(T, z) - Teil 1 1: y = nil 2: x = wurzel[t ] 3: while x nil do 4: y = x 5: if schlüssel[z] < schlüssel[x] then 6: x = links[x] 7: else 8: x = rechts[x] 9: end if 10: end while Erklärung x zeigt jetzt auf nil. y auf den zuletzt besuchten Knoten an den jetzt der neue Knoten z angefügt werden soll. Oft ist y ein Blatt. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 53/122
54 Einfügen - Pseudocode Teil 2 Algorithmus 12 TreeInsert(T, z) - Teil 2 1: p[z] = y 2: if y == nil then 3: wurzel[t ] = z 4: else 5: if schlüssel[z] < schlüssel[y] then 6: links[y] = z 7: else 8: rechts[y] = z 9: end if 10: end if Erklärung Der Vater von z ist y und z ist linkes oder rechtes Kind von y (je nach Schlüssel). links[z] und rechts[z] sind ferner nil. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 54/122
55 Löschen - Die Idee Das Löschen eines Knotens z ist komplizierter. Es gibt drei Fälle: 1 z hat keine Kinder. Dann kann er einfach gelöscht werden. (p[z] zeigt auf nil statt auf z). 2 z hat genau ein Kind. Dann werden p[z] und left[z] bzw. right[z] verbunden und damit z ausgeschnitten. (Man vergleiche dies mit der Lösch-Operation bei verketteten Listen!) 3 z hat zwei Kinder. Dann wird z s Nachfolger y genommen (hat kein linkes Kind!), ausgeschnitten (siehe 2. oben) und mit seinen Daten die Daten von z ersetzt. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 55/122
56 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 56/122
57 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 57/122
58 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 58/122
59 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 59/122
60 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 60/122
61 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 61/122
62 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 62/122
63 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 63/122
64 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 64/122
65 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 65/122
66 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 66/122
67 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 67/122
68 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 68/122
69 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 69/122
70 Löschen - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 70/122
71 Löschen - Pseudocode Auf den Sourcecode verzichten wir hier. Ähnlich wie beim Einfügen müssen die Zeigern umgebogen werden. Weitere Details findet man im [Cormen] in Kapitel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 71/122
72 - Zusammenfassung (1/4) Zusammenfassung der InorderTreeWalk Rekursiv erst die Elemente des linken Teilbaumes ausgeben, dann das Element selbst, dann die Elemente des rechten Teilbaumes. Gibt bei einem binären Suchbaum die Elemente in sortierter Reihenfolge aus. TreeSearch Suche im linken Teilbaum weiter, wenn zu suchendes Element kleiner ist als das Wurzelelement, sonst im rechten Teilbaum. Frank Heitmann 72/122
73 - Zusammenfassung (2/4) Zusammenfassung der Minimum Element ganz links. Maximum Element ganz rechts. Nachfolger (von x) der Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, der größer ist als schlüssel[x]. Minimum im rechten Teilbaum oder der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. Vorgänger (von x) analog... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 73/122
74 - Zusammenfassung (3/4) Zusammenfassung der Einfügen Ähnnlich wie beim Suchen die geeignete Position suchen und das neue Element als neues Blatt anfügen. Löschen Drei Fälle: 1 z hat keine Kinder. Dann kann er einfach gelöscht werden. (p[z] zeigt auf nil statt auf z). 2 z hat genau ein Kind. Dann werden p[z] und left[z] bzw. right[z] verbunden und damit z ausgeschnitten. 3 z hat zwei Kinder. Dann wird z s Nachfolger y genommen (hat kein linkes Kind!), ausgeschnitten (siehe 2. oben) und mit seinen Daten die Daten von z ersetzt. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 74/122
75 - Zusammenfassung (4/4) Zusammenfassung der Die InorderTreeWalk, TreeSearch, Minimum, Maximum, Successor, Insert und Delete sind alle korrekt, was man stets recht einfach über die Eigenschaften binärer Suchbäume zeigen kann (ggf. mit Induktion über die Anzahl der Knoten oder die Tiefe des Baumes). Bei einem binären Suchbaum mit n Knoten der Höhe h, ist die Laufzeit von InorderTreeWalk in O(n), die aller anderen in O(h). Anmerkung Diese Laufzeiten sind zwar gut, da bei einem (ungefähr) ausgeglichenen Baum h log n ist. Das Problem ist aber, dass binäre Suchbäume nicht ausgeglichen sein müssen! Im worst-case sind obige alle in Θ(n)! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 75/122
76 - Die Idee sind binäre Suchbäume, bei denen jeder Knoten eine Farbe hat (rot oder schwarz). Durch Einschränkungen (Rot-Schwarz-Eigenschaften) wird sichergestellt, dass der Baum annähernd balanciert ist, so dass die dann auch im worst-case in O(log n) laufen. Das Problem ist es dann die wie insb. Einfügen und Löschen so zu implementieren, dass die Rot-Schwarz-Eigenschaften erhalten bleiben (und sie dann trotzdem in O(log n) sind)! Frank Heitmann 76/122
77 Rot-Schwarz-Eigenschaften 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2 Die Wurzel ist schwarz. 3 Jedes Blatt ist schwarz. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwarz. 5 Für jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem Blatt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche Anzahl schwarzer Knoten Satz Ein Rot-Schwarz-Baum mit n inneren Knoten hat höchstens die Höhe 2 log(n + 1). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 77/122
78 AVL-Bäume - Die Idee Ein AVL-Baum ist ein binärer Suchbaum, der höhenbalanciert ist, d.h. für jeden Knoten x unterscheiden sich die Höhen des linken und rechten Teilbaumes maximal um 1. Ist also h[links[x]] die Höhe des linken und h[rechts[x]] die Höhe des rechten Teilbaumes, dann gilt bei einem AVL-Baum für jeden Knoten x h[links[x]] h[rechts[x]] { 1, 0, 1} Bei AVL-Bäumen spielt wie auch bei n die Rotation eine wichtige Rolle. Mit ihr wird der Baum nach einer Einfügeoperation stets wieder ausbalanciert. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 78/122
79 Zusammenfassung des Suchens: Brute-Force-Algorithmus Binäres Suchen (Array muss sortiert sein!) Suchbäume Definition TreeWalk, Suchen, Minimum, Maximum Vorgänger, Nachfolger Einfügen, Entfernen AVL-Bäume Frank Heitmann 79/122
80 Frank Heitmann 80/122
81 Rot-Schwarz-Eigenschaften 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2 Die Wurzel ist schwarz. 3 Jedes Blatt ist schwarz. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwarz. 5 Für jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem Blatt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche Anzahl schwarzer Knoten Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 81/122
82 Ein Rot-Schwarz-Baum (noch ohne Färbung) nil 13 nil 16 nil nil nil nil Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 82/122
83 Ein Rot-Schwarz-Baum (noch ohne Färbung) nil [T] Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 83/122
84 Ein Rot-Schwarz-Baum (Wurzel und Blätter gefärbt) nil [T] Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 84/122
85 Ein Rot-Schwarz-Baum (gefärbt) nil [T] Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 85/122
86 Ein Rot-Schwarz-Baum (in schön) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 86/122
87 Rot-Schwarz-Eigenschaften (Wiederholung) 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. 2 Die Wurzel ist schwarz. 3 Jedes Blatt ist schwarz. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwarz. 5 Für jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem Blatt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche Anzahl schwarzer Knoten Anmerkung Die Blätter sind alle nil-knoten (der Wächter nil[t ]) und schwarz. Die Wurzel hat als Vorgänger auch nil[t ] (Siehe die beiden vorherigen Bilder.) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 87/122
88 Balanciertheit Satz Ein Rot-Schwarz-Baum mit n inneren Knoten hat höchstens die Höhe 2 log(n + 1). Satz Die Search, Minimum, Maximum, Successor, Predecessor für dynamische Mengen lassen sich auf n in Zeit O(log n) implementieren, wobei n die Anzahl der Knoten ist. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 88/122
89 Rotationen Auch die TreeInsert und TreeDelete sind in Zeit O(log n), aber da sie den Baum modifizieren, kann es passieren, dass die Rot-Schwarz-Eigenschaften danach nicht mehr erfüllt sind. Um die Eigenschaften wiederherzustellen, müssen ggf. Farben und die Zeigerstruktur geändert werden. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei (zur Änderung der Zeigerstruktur) ist die Rotation... Frank Heitmann 89/122
90 Rotation - Bildlich x LeftRotate(x) y A y RightRotate(x) x C B C A B Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 90/122
91 Linksrotation x LeftRotate(x) y A y x C B C A B Das rechte Kind (y) von x ist nicht nil. y wird neue Wurzel des Teilbaumes. x wird das linke Kind von y. Das linke Kind von y wird rechtes Kinds von x. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 91/122
92 Linksrotation - zum Merken x LeftRotate(x) y A y x C B C A B Ziehe an A-x-y-C wie an einer Schnur. A und x rutschen nach unten, y und C nach oben B bleibt übrig. Einziger sinnvoller Platz: rechts von x. Erhälte die binäre Suchbaum-Eigenschaft! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 92/122
93 Rechtsrotation x y A y RightRotate(x) x C B C A B Das linke Kind (x) von y ist nicht nil. x wird neue Wurzel des Teilbaumes. y wird das rechte Kind von y. Das rechte Kind von x wird linkes Kinds von y. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 93/122
94 Rechtsrotation - zum Merken x y A y RightRotate(x) x C B C A B Ziehe an A-x-y-C wie an einer Schnur. C und y rutschen nach unten, x und A nach oben B bleibt übrig. Einziger sinnvoller Platz: links von y. Erhälte die binäre Suchbaum-Eigenschaft! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 94/122
95 Rotation - Bildlich x LeftRotate(x) y A y RightRotate(x) x C B C A B Die Rotation erhält die binäre Suchbaum-Eigenschaft! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 95/122
96 Rotation - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 96/122
97 Rotation - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 97/122
98 Rotation - Beispiel ??? 7? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 98/122
99 Rotation - Beispiel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 99/122
100 Rotation - Implementation Die Implementierung ist wieder Zeigerspielerei. (Ähnlich des Ausschneidens in verketteten Listen.) Details sind im [Cormen] zu finden. Laufzeit ist in O(1), da nur (eine konstante Anzahl von) Zeiger verändert werden. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 100/122
101 Einfügen Beim Einfügen passiert nun zunächst das gleiche wie bei normalen binären Suchbäumen. Die Farbe des neu eingefügten Knotens wird auf rot gesetzt. Dann wird eine Routine aufgerufen, die die Rot-Schwarz-Eigenschaften wiederherstellt... Frank Heitmann 101/122
102 Einfügen - Grossvater, Onkel und Vater... z ist der neu eingefügte, rote Knoten. In einer while-schleife, in der immer geprüft wird, ob der Vater von z rot ist (nur dann muss man fortfahren), werden nun drei Fälle unterschieden. Die drei Fälle treten spiegelverkehrt auf, je nachdem ob z im linken Teilbaum seines Grossvaters ist, oder im rechten. Wir behandeln nachfolgend die erste Variante (z ist im linken Teilbaum seines Grossvaters). Eine wichtige Rolle spielt der Onkel y(= rechts[p[p[z]]]) von z und insb. dessen Farbe sowie, ob z ein linkes oder rechtes Kind ist. (z hat nachfolgend Kinder, weil in der Routine der Zeiger z nach oben wandern kann.) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 102/122
103 Einfügen - Fall 1 Fall 1: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z neu (!) setzen. F neu z F y G H G H A I z D E A I D E B C B C Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 103/122
104 Einfügen - Fall 1 Fall 1: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z neu (!) setzen. F neu z F y G H G H A I z D E A I D E B C B C Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 104/122
105 Einfügen - Fall 1b Fall 1b: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z neu (!) setzen. F neu z F y G H G H z I A D E A I D E B C B C Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 105/122
106 Einfügen - Fall 1b Fall 1b: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z neu (!) setzen. F neu z F y G H G H z I A D E I A D E B C B C Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 106/122
107 Einfügen - Fall 2 Fall 2: z s Onkel ist schwarz und z ist rechtes Kind seines Vaters. z wird auf p[z] gesetzt und eine Linksrotation wird um (das neue) z gemacht. Dann weiter mit Fall 3. (Der gilt jetzt!) F neu z F A G I z D y A G I D H E B C B C Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 107/122
108 Einfügen - Fall 2 Fall 2: z s Onkel ist schwarz und z ist rechtes Kind seines Vaters. z wird auf p[z] gesetzt und eine Linksrotation wird um (das neue) z gemacht. Dann weiter mit Fall 3. (Der gilt jetzt!) F F A G I z D y z G I C D y B C A B Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 108/122
109 Einfügen - Fall 3 Fall 3: z s Onkel ist schwarz und z ist linkes Kind seines Vaters. Farbe von p[z] auf schwarz (bisher rot), von p[p[z]] auf rot (bisher schwarz) und Rechtsrotation um p[p[z]]. (z nicht neu setzen!) F I I D y G F z G C A B C D A B Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 109/122
110 Einfügen - Fall 3 Fall 3: z s Onkel ist schwarz und z ist linkes Kind seines Vaters. Farbe von p[z] auf schwarz (bisher rot), von p[p[z]] auf rot (bisher schwarz) und Rechtsrotation um p[p[z]]. (z nicht neu setzen!) F I I D y z G F z G C A B C D A B Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 110/122
111 Einfügen - Fall 2 & 3 in Folge A G I F z y D z G I C F y D z A G B I C F D B C A B Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 111/122
112 Einfügen - Beispiel Nun einmal am Beispiel. Der Knoten 4 wird hier neu eingefügt... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 112/122
113 Einfügen - Beispiel y z 4 Fall 1: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z auf p[p[z]] neu setzen. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 113/122
114 Einfügen - Beispiel y 1 7 z Fall 1: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z auf p[p[z]] neu setzen. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 114/122
115 Einfügen - Beispiel y 1 7 z Fall 2: z s Onkel ist schwarz und z ist rechtes Kind seines Vaters. z wird auf p[z] gesetzt und eine Linksrotation wird um (das neue) z gemacht. Dann weiter mit Fall 3. (Der gilt jetzt!) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 115/122
116 Einfügen - Beispiel y z Fall 2: z s Onkel ist schwarz und z ist rechtes Kind seines Vaters. z wird auf p[z] gesetzt und eine Linksrotation wird um (das neue) z gemacht. Dann weiter mit Fall 3. (Der gilt jetzt!) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 116/122
117 Einfügen - Beispiel y z Fall 3: z s Onkel ist schwarz und z ist linkes Kind seines Vaters. Farbe von p[z] auf schwarz (bisher rot), von p[p[z]] auf rot (bisher schwarz) und Rechtsrotation um p[p[z]]. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 117/122
118 Einfügen - Beispiel 7 z Fall 3: z s Onkel ist schwarz und z ist linkes Kind seines Vaters. Farbe von p[z] auf schwarz (bisher rot), von p[p[z]] auf rot (bisher schwarz) und Rechtsrotation um p[p[z]]. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 118/122
119 Einfügen - Zusammenfassung Der neu eingefüge Knoten z ist im linken Teilbaum seines Grossvaters. z und sein Vater sind rot. Fall 1: z s Onkel y ist rot. Umfärben und z auf p[p[z]] neu setzen. (Es gibt hier zwei Fälle, die gleich behandelt werden.) Fall 2: z s Onkel ist schwarz und z ist rechtes Kind seines Vaters. z wird auf p[z] gesetzt und eine Linksrotation wird um (das neue) z gemacht. Dann weiter mit Fall 3. (Der gilt jetzt!) Fall 3: z s Onkel ist schwarz und z ist linkes Kind seines Vaters. Farbe von p[z] auf schwarz (bisher rot), von p[p[z]] auf rot (bisher schwarz) und Rechtsrotation um p[p[z]]. (z nicht neu setzen, die Routine terminiert hier.) Ist z im rechten Teilbaum seines Grossvaters treten obige Fälle spiegelverkehrt auf. Überall muss dann links und rechts vertauscht werden. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 119/122
120 Einfügen - Die Schleifeninvariante Die Schleifeninvariante: a) Der Knoten z ist rot. b) Falls p[z] die Wurzel ist, ist p[z] schwarz. c) Falls es eine Verletzung der Rot-Schwarz-Eigenschaften gibt, gibt es höchstens eine und diese verletzt Eigenschaft 2 oder 4. Ist es 2, so ist z die Wurzel und rot, ist es 4, so sind z und p[z] beide rot. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 120/122
121 Einfügen - Jetzt zu tun... Wir müssten jetzt - wir könnten jetzt... 1 Den Pseudocode ausführlicher schreiben. Dabei insb. auf Randfälle achten (leerer Baum, z hat keinen Onkel,...) 2 Die Schleifeninvariante bei Initialisierung zeigen. 3 Fortsetzung zeigen, wobei hier primär gezeigt werden muss, dass die drei obigen Fälle die Invariante zu Beginn der nächsten Iteration erhalten. 4 Terminierung zeigen und (unter Nutzung der Schleifeninvarianten) dann die Korrektheit des Algorithmus zeigen, d.h. dass wieder ein Rot-Schwarz-Baum vorliegt. Den genauen Beweis der Schleifeninvarianten und den Pseudocode der Einfügeoperation (sowie der Rotation) findet man im [Cormen]. Dort ist auch eine Behandlung der Löschoperation zu finden. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 121/122
122 Zusammenfassung Zusammenfassung sind binäre Suchbäume, die die zusätzlichen Rot-Schwarz-Eigenschaften erfüllen. Ein Baum der die Rot-Schwarz-Eigenschaften erfüllt ist in etwa ausgeglichen (h 2 log(n + 1)). Der Erhalt der Rot-Schwarz-Eigenschaften ist insb. bei der Einfüge- und der Löschoperation zu beachten. Sie können in O(log n) implementiert werden. Damit erlauben die wichtigen für dynamische Mengen alle in O(log n) Zeit! (Allerdings sind sie dafür aufwändiger als normale binäre Suchbäume.) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 122/122
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