Dynamische Mengen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 7 Dynamische Mengen, das Suchproblem & Das Suchproblem.

Transkript

1 lgorithmen und atenstrukturen Kapitel 7 namische Mengen, das Suchproblem & namische Mengen rundlegende lgorithmen efinition isher hatten wir oft statische Mengen, bei denen sich die nahl der Elemente nicht ändert (.. beim Sortieren). Oft soll eine Menge aber eitabhängig wachsen und schrumpfen können. Man spricht dann von dnamischen Mengen. Kennengelernt haben wir bereits den Stack, die Queue und die verkettete Liste. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 25. November 20 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 nmerkung Wir beschränken uns oft auf die arstellung der für unsere wichtigen aten. Meist enthalten die Objekte aber usätliche Satellitendaten.. einen Wächter am Ende einer verketteten Liste. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2 rundlegende lgorithmen rundlegende lgorithmen namische Mengen as Suchproblem Wichtige (dnamischer Mengen): Search(S, k). ibt es einen Zeiger x auf ein Element in S mit schlüssel[x] = k? nsert(s, x). elete(s, x). Minimum(S), Maximum(S), Successor(S, x), Predecessor(S, x). Viele hiervon haben wir schon bei.. der verketteten Liste gesehen, aber wie schnell waren die? efinition (as Suchproblem) Eingabe: Eine Sequen < a 1, a 2,..., a n > von n Zahlen und ein Wert k. esucht: Ein ndex i mit k = [i], falls k in vorkommt oder der Wert nil. efinition (as Suchproblem (allgemein)) Eingabe: Eine Menge M und ein Wert k. esucht: Ein Zeiger x auf ein Element in M mit schlüssel[x] = k oder nil, falls kein solches Element existiert. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2

2 rundlegende lgorithmen rundlegende lgorithmen rute-orce-suche (rra) rute-orce-suche (Liste) lgorithmus 1 Search([1..n], k) 1: for i = 1 to n do 2: if a[i] == k then : return i 4: end if 5: end for 6: return nil lgorithmus 2 Search(L, k) 1: x = kopf[l] 2: while x nil && schlüssel[x] k do : x = nachfolger[x] 4: end while 5: return x nalse Laufeit ist in Θ(n). Korrektheit folgt mit Schleifeninvariante (oder hier auch direkt). nalse Laufeit ist wieder in Θ(n). Korrektheit eigt man wie oben. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/2 rundlegende lgorithmen rundlegende lgorithmen inäre Suche rundlegende lgorithmen - Zusammenfassung lgorithmus inäre Suche (rra) 1: while first last idx < 0 do 2: m = first + ((last first)/2) : if a[m] < p then 4: first = m + 1 5: else if a[m] > p then 6: last = m 1 7: else : idx = m 9: end if : end while 11: return idx nalse Laufeit ist in Θ(log n) (T (n) = T (n/2) + c). rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 Zusammenfassung ie Laufeit der rute-orce-suchalgorithmen war in Θ(n), insb. da jedes Element betrachtet werden musste. ie binäre Suche erlaubt eine Laufeit in Θ(log n), ist aber nicht bei jeder atenstruktur anwendbar! Wir suchen nun atenstrukturen, die die Suche und auch die anderen für dnamische Mengen in wenig Zeit (.. in O(log n)) erlauben. Pause to Ponder Unsere bisherigen atenstrukturen erlauben dies nicht. Man überlege sich dies an rra, Stack, Queue, Liste und Heap... rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2

3 - ie dee - ie dee Ein binärer Suchbaum ist eine atenstruktur, die viele auf dnamischen Mengen ermöglicht, insb. die Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor, nsert und elete. Ein binärer Suchbaum ist ein binärer aum (jeder Knoten hat bis u wei Kindern), wobei der aum noch die speielle Suchbaum-Eigenschaft erfüllt. er aum wird (anders als der Heap!) meist durch eine verkettete atenstruktur (ähnlich der doppelt-verketteten Liste) repräsentiert. Jeder Knoten ist ein Objekt mit den ttributen schlüssel (und den Satellitendaten), links, rechts, p, die auf den jeweiligen linken bw. rechten Nachfolger, bw. den Vaterknoten eigen (fehlen diese, sind die entsprechenden ttribute auf nil gesett). rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 inäre Suchbaum-Eigenschaft: Sei p ein Knoten im binären Suchbaum. Sei l ein Knoten im linken Teilbaum von n, r im rechten, dann gilt stets: schlüssel[l] schlüssel[p] und schlüssel[p] schlüssel[r]. nil nil (m ild sind nicht alle nil-knoten eingeeichnet, nachfolgend verichten wir meist gan auf sie.) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 nil nil nil nil - eispiel (gut) - eispiel (schlecht) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 11/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2

4 ie nordertreewalk - ie dee Wir werden nachfolgenden folgende betrachten: nordertreewalk(x). TreeSearch(x, k), terativetreesearch(x, k). TreeMinimum(x), TreeMaximum(x). TreeSuccessor(x), TreePredecessor(x). Treensert(T, x), Treeelete(T, ). ibt die Schlüssel aus, wobei uerst die Schlüssel des linken, dann der Schlüssel der Wurel und dann die Schlüssel des rechten Teilbaumes ausgegeben werden. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 14/2 nordertreewalk nordertreewalk - eispiel lgorithmus 4 nordertreewalk(x) 1: if x nil then 2: nordertreewalk(links[x]) : print schlüssel[x] 4: nordertreewalk(rechts[x]) 5: end if nmerkung Ähnlich kann man auch PreorderTreeWalk (Wurel uerst) und PostorderTreeWalk (Wurel ulett) schreiben. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2

5 nordertreewalk - eispiel nordertreewalk - eispiel 2 2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 17/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 nordertreewalk - eispiel nordertreewalk - eispiel rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 19/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 20/2

6 nordertreewalk - eispiel nordertreewalk - eispiel rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 21/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 22/2 nordertreewalk - eispiel nordertreewalk - eispiel rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 24/2

7 nordertreewalk nordertreewalk nmerkung ei einem binären Suchbaum werden die Schlüssel bei nordertreewalk in sortierter Reihenfolge ausgegeben! (er Sat, dass dies korrekt ist, folgt gleich. er eweis mündlich.) lgorithmus 5 nordertreewalk(x) 1: if x nil then 2: nordertreewalk(links[x]) : print schlüssel[x] 4: nordertreewalk(rechts[x]) 5: end if Pause to Ponder Laufeit? Sat Wenn x die Wurel eines Teilbaums mit n Knoten ist, dann ist nordertreewalk(x) korrekt (folgt per nduktion aus den Eigenschaften binärer Suchbäume). rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 25/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 26/2 nordertreewalk - Laufeitanalse (1/4) nordertreewalk - Laufeitanalse (2/4) Sat Wenn x die Wurel eines Teilbaums mit n Knoten ist, dann ist nordertreewalk(x) in Zeit Θ(n). eweis. ufstellen der Rekurrengleichung: eim einem leeren (Teil-)aum gilt T (0) = c. erner gilt bei ufruf auf einen Knoten dessen linker Teilbaum k und dessen rechter Teilbaum n k 1 Knoten hat T (n) = T (k) + T (n k 1) + d. Wir vermuten nun T (n) Θ(n), d.h. wir vermuten T (n) = e n für eine Konstante e. eweis. ehauptung: T (n) = e n. Wollen wir dies mit nduktion beweisen, so merken wir gleich beim nduktionsanfang T (0) = e 0 = 0 c. Wir müssen unsere Vermutung also verbessern! Neue Vermutung: T (n) = e n + c. amit ist immer noch T (n) Θ(n), aber der nduktionsanfang klappt jett! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 27/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2

8 nordertreewalk - Laufeitanalse (/4) nordertreewalk - Laufeitanalse eweis. ehauptung: T (n) = e n + c. nduktionsschritt (n 1 n): T (n) = T (k) + T (n k 1) + d = (e k + c) + (e (n k 1) + c) + d = e n e + 2c + d Seten wir e = c + d (denn wir wollen ja T (n) = e n + c erreichen (nicht T (n + 1) =..., da wir den nduktionsschritt ja auf n machen)) und verfeinern auf diese Weise also unsere ehauptung erneut (!), so wird gleich alles klappen! nmerkung Nimmt man als ehauptung gleich T (n) = (c+d)n+c, so klappt alles sofort, aber die leichung fällt dann vom Himmel. Oben kommt man auf e = c + d, weil man ja möchte, dass sich T (n) = e n + c ergibt. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 29/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 0/2 nordertreewalk - Laufeitanalse (4/4) TreeSearch - ie dee am eispiel eweis. egeben (aus dem ode): T (n) mit T (0) = c und T (n) = T (k) + T (n k 1) + d. ehauptung: T (n) = (c + d) n + c. nduktionsanfang: T (0) = c. nduktionsannahme: ehauptung gelte schon für Werte kleiner n. nduktionsschritt (n 1 n): T (n) = T (k) + T (n k 1) + d = ((c + d) k + c) + ((c + d) (n k 1) + c) + d = (c + d) n (c + d) + 2c + d = (c + d) n + c lso gilt T (n) Θ(n). TreeSearch 7?? 11? rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2

9 TreeSearch - ie dee TreeSearch - Pseudocode eginne mit der Wurel. st diese kleiner als der Schlüssel, so suche im rechten Teilbaum, ist sie grösser, suche im linken. ahre wie oben mit der Wurel diese Teilbaumes fort. reche ab, wenn Schlüssel gefunden oder, wenn nil- Knoten erreicht wird. lgorithmus 6 TreeSearch(x, k) 1: if x == nil or k == schlüssel[x] then 2: return x : else if k < schlüssel[x] then 4: return TreeSearch(links[x], k) 5: else 6: return TreeSearch(rechts[x], k) 7: end if nalse ie Knoten, die während der Rekursion besucht werden, bilden einen Pfad von der Wurel bis maximal u einem latt. ie Korrektheit folgt aus den Eigenschaften binärer Suchbäume. ie Laufeit ist in O(h), wobei h die Höhe des aumes ist. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2 TreeSearch - Pseudocode (iterativ) TreeSearch, Minimum und Maximum am eispiel lgorithmus 7 terativetreesearch(x, k) 1: while x nil and k schlüssel[x] do 2: if k < schlüssel[x] then : x = links[x] 4: else 5: x = rechts[x] 6: end if 7: end while : return x TreeSearch 5? Minimum? Maximum? rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/2

10 Minimum und Maximum Vorgänger und Nachfolger lgorithmus TreeMinimum(x) 1: while links[x] nil do 2: x = links[x] : end while 4: return x Wir wollen den Nachfolger eines Knotens in der sortierten Reihenfolge ausgeben. (en Vorgänger ermittelt man analog.) lgorithmus 9 TreeMaximum(x) 1: while rechts[x] nil do 2: x = rechts[x] : end while 4: return x nalse (Korrektheit und Laufeit) wie bei TreeSearch. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 Wir können dies machen ohne jemals Schlüssel u vergleichen! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 Nachfolger - eispiel Nachfolger - eispiel rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 40/2

11 Nachfolger - eispiel Nachfolger - eispiel rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 41/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 42/2 Nachfolger - ie dee Nachfolger - ie dee er Nachfolger eines Knotens x ist der Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, der größer ist als schlüssel[x]. rößer als schlüssel[x] heisst im rechten Teilbaum von x und dort am kleinsten heisst das Minimum ( gan links ). Problem: x muss gar keinen rechten Teilbaum haben! ann ist der Nachfolger der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. (eht das auch nicht, dann ist x das größte Element und hat keinen Nachfolger.) ann ist der Nachfolger der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. as heißt wir gehen von x aus nach oben und der erste Knoten auf den wir treffen von dem aus gesehen x in seinem linken Teilbaum ist, ist der gesuchte. ann gilt nämlich gerade schlüssel[x] < schlüssel[] (wegen linken oben) und es gibt auch keinen Schlüssel dawischen (wegen erste oben). (Obiges kann in einen eweis um-/ausformuliert werden.) emerkung Umgangssprachlich: Wir gehen im aum immer weiter nach oben, wenn wir das erste Mal nach rechts gehen, haben wir den gesuchten Knoten. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 44/2

12 Nachfolger - ie dee Nachfolger - ie dee ann ist der Nachfolger der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. ann ist der Nachfolger der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 45/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 46/2 Nachfolger - Pseudocode Einfügen - ie dee lgorithmus TreeSucessor(x) 1: if rechts[x] nil then 2: return TreeMinimum(rechts[x]) : end if 4: = p[x] 5: while nil and x == rechts[] do 6: x = 7: = p[] : end while 9: return Wir manipulieren nun die (dnamische!) atenstruktur, indem wir ein Element hinufügen. abei soll die Suchbaum-Eigenschaft erhalten bleiben. m Prinip suchen wir (ähnlich der Suche) den richtigen Plat und fügen das neue Element einfach als latt an... nalse Korrektheit folgt aus obigen Überlegungen. Laufeit ist wieder in O(h). ie Routine TreePredecessor implementiert man analog. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 47/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2

13 Einfügen - eispiel Einfügen - eispiel 11 nsert 11? nsert 4? rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 49/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 50/2 Einfügen - eispiel Einfügen - ie dee m ode halten wir nun einen Zeiger auf x (hier soll das neue Element hin) und einen Zeiger auf p[x]. n wird dann das neue Element angehängt rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 51/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 52/2

14 Einfügen - Pseudocode Teil 1 Einfügen - Pseudocode Teil 2 lgorithmus 11 Treensert(T, ) - Teil 1 1: = nil 2: x = wurel[t ] : while x nil do 4: = x 5: if schlüssel[] < schlüssel[x] then 6: x = links[x] 7: else : x = rechts[x] 9: end if : end while Erklärung x eigt jett auf nil. auf den ulett besuchten Knoten an den jett der neue Knoten angefügt werden soll. Oft ist ein latt. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/2 lgorithmus Treensert(T, ) - Teil 2 1: p[] = 2: if == nil then : wurel[t ] = 4: else 5: if schlüssel[] < schlüssel[] then 6: links[] = 7: else : rechts[] = 9: end if : end if Erklärung er Vater von ist und ist linkes oder rechtes Kind von (je nach Schlüssel). links[] und rechts[] sind ferner nil. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 54/2 Löschen - ie dee Löschen - eispiel as Löschen eines Knotens ist kompliierter. Es gibt drei älle: 1 hat keine Kinder. ann kann er einfach gelöscht werden. (p[] eigt auf nil statt auf ). 2 hat genau ein Kind. ann werden p[] und left[] bw. right[] verbunden und damit ausgeschnitten. (Man vergleiche dies mit der Lösch-Operation bei verketteten Listen!) hat wei Kinder. ann wird s Nachfolger genommen (hat kein linkes Kind!), ausgeschnitten (siehe 2. oben) und mit seinen aten die aten von ersett. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 55/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 56/2

15 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 57/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/2 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 59/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 60/2

16 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 61/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 62/2 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 64/2

17 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 65/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 66/2 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 67/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/2

18 Löschen - eispiel Löschen - eispiel 5 5 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 69/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 70/2 Löschen - Pseudocode - Zusammenfassung (1/4) uf den Sourcecode verichten wir hier. Ähnlich wie beim Einfügen müssen die Zeigern umgebogen werden. Weitere etails findet man im [ormen] in Kapitel.. Zusammenfassung der nordertreewalk Rekursiv erst die Elemente des linken Teilbaumes ausgeben, dann das Element selbst, dann die Elemente des rechten Teilbaumes. ibt bei einem binären Suchbaum die Elemente in sortierter Reihenfolge aus. TreeSearch Suche im linken Teilbaum weiter, wenn u suchendes Element kleiner ist als das Wurelelement, sonst im rechten Teilbaum. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 71/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 72/2

19 - Zusammenfassung (2/4) - Zusammenfassung (/4) Zusammenfassung der Minimum Element gan links. Maximum Element gan rechts. Nachfolger (von x) der Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, der größer ist als schlüssel[x]. Minimum im rechten Teilbaum oder der jüngste Vorfahre von x, dessen linkes Kind ebenfalls ein Vorfahre von x ist. Vorgänger (von x) analog... Zusammenfassung der Einfügen Ähnnlich wie beim Suchen die geeignete Position suchen und das neue Element als neues latt anfügen. Löschen rei älle: 1 hat keine Kinder. ann kann er einfach gelöscht werden. (p[] eigt auf nil statt auf ). 2 hat genau ein Kind. ann werden p[] und left[] bw. right[] verbunden und damit ausgeschnitten. hat wei Kinder. ann wird s Nachfolger genommen (hat kein linkes Kind!), ausgeschnitten (siehe 2. oben) und mit seinen aten die aten von ersett. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 74/2 - Zusammenfassung (4/4) Zusammenfassung der ie nordertreewalk, TreeSearch, Minimum, Maximum, Successor, nsert und elete sind alle korrekt, was man stets recht einfach über die Eigenschaften binärer Suchbäume eigen kann (ggf. mit nduktion über die nahl der Knoten oder die Tiefe des aumes). ei einem binären Suchbaum mit n Knoten der Höhe h, ist die Laufeit von nordertreewalk in O(n), die aller anderen in O(h). nmerkung iese Laufeiten sind war gut, da bei einem (ungefähr) ausgeglichenen aum h log n ist. as Problem ist aber, dass binäre Suchbäume nicht ausgeglichen sein müssen! m worst-case sind obige alle in Θ(n)! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 75/2 - ie dee sind binäre Suchbäume, bei denen jeder Knoten eine arbe hat (rot oder schwar). urch Einschränkungen (Rot-Schwar-Eigenschaften) wird sichergestellt, dass der aum annähernd balanciert ist, so dass die dann auch im worst-case in O(log n) laufen. as Problem ist es dann die wie insb. Einfügen und Löschen so u implementieren, dass die Rot-Schwar-Eigenschaften erhalten bleiben (und sie dann trotdem in O(log n) sind)! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 76/2

20 Rot-Schwar-Eigenschaften VL-äume - ie dee 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwar. 2 ie Wurel ist schwar. Jedes latt ist schwar. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwar. 5 ür jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem latt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche nahl schwarer Knoten Sat Ein Rot-Schwar-aum mit n inneren Knoten hat höchstens die Höhe 2 log(n + 1). Ein VL-aum ist ein binärer Suchbaum, der höhenbalanciert ist, d.h. für jeden Knoten x unterscheiden sich die Höhen des linken und rechten Teilbaumes maximal um 1. st also h[links[x]] die Höhe des linken und h[rechts[x]] die Höhe des rechten Teilbaumes, dann gilt bei einem VL-aum für jeden Knoten x h[links[x]] h[rechts[x]] { 1, 0, 1} ei VL-äumen spielt wie auch bei n die Rotation eine wichtige Rolle. Mit ihr wird der aum nach einer Einfügeoperation stets wieder ausbalanciert. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 77/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 Zusammenfassung des Suchens: rute-orce-lgorithmus inäres Suchen (rra muss sortiert sein!) Suchbäume efinition TreeWalk, Suchen, Minimum, Maximum Vorgänger, Nachfolger Einfügen, Entfernen VL-äume rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 79/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 0/2

21 Rot-Schwar-Eigenschaften Ein Rot-Schwar-aum (noch ohne ärbung) 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwar. 2 ie Wurel ist schwar. Jedes latt ist schwar. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwar. 5 ür jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem latt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche nahl schwarer Knoten nil nil nil nil nil nil rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2 Ein Rot-Schwar-aum (noch ohne ärbung) Ein Rot-Schwar-aum (Wurel und lätter gefärbt) nil [T] nil [T] rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2

22 Ein Rot-Schwar-aum (gefärbt) Ein Rot-Schwar-aum (in schön) nil [T] rank Heitmann 5/2 rank Heitmann 6/2 Rot-Schwar-Eigenschaften (Wiederholung) alanciertheit 1 Jeder Knoten ist entweder rot oder schwar. 2 ie Wurel ist schwar. Jedes latt ist schwar. 4 Wenn ein Knoten rot ist, dann sind seine beiden Kinder schwar. 5 ür jeden Knoten enthalten alle Pfade, die an diesem Knoten starten und in einem latt des Teilbaumes dieses Knotens enden, die gleiche nahl schwarer Knoten nmerkung ie lätter sind alle nil-knoten (der Wächter nil[t ]) und schwar. ie Wurel hat als Vorgänger auch nil[t ] (Siehe die beiden vorherigen ilder.) Sat Ein Rot-Schwar-aum mit n inneren Knoten hat höchstens die Höhe 2 log(n + 1). Sat ie Search, Minimum, Maximum, Successor, Predecessor für dnamische Mengen lassen sich auf n in Zeit O(log n) implementieren, wobei n die nahl der Knoten ist. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2

23 Rotationen Rotation - ildlich uch die Treensert und Treeelete sind in Zeit O(log n), aber da sie den aum modifiieren, kann es passieren, dass die Rot-Schwar-Eigenschaften danach nicht mehr erfüllt sind. Um die Eigenschaften wiederherustellen, müssen ggf. arben und die Zeigerstruktur geändert werden. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei (ur Änderung der Zeigerstruktur) ist die Rotation... x LeftRotate(x) RightRotate(x) x rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 90/2 Linksrotation Linksrotation - um Merken x LeftRotate(x) x LeftRotate(x) x x as rechte Kind () von x ist nicht nil. wird neue Wurel des Teilbaumes. x wird das linke Kind von. as linke Kind von wird rechtes Kinds von x. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 91/2 Ziehe an -x-- wie an einer Schnur. und x rutschen nach unten, und nach oben bleibt übrig. Einiger sinnvoller Plat: rechts von x. Erhälte die binäre Suchbaum-Eigenschaft! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 92/2

24 Rechtsrotation Rechtsrotation - um Merken x x RightRotate(x) x RightRotate(x) x as linke Kind (x) von ist nicht nil. x wird neue Wurel des Teilbaumes. wird das rechte Kind von. as rechte Kind von x wird linkes Kinds von. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 Ziehe an -x-- wie an einer Schnur. und rutschen nach unten, x und nach oben bleibt übrig. Einiger sinnvoller Plat: links von. Erhälte die binäre Suchbaum-Eigenschaft! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 94/2 Rotation - ildlich Rotation - eispiel x LeftRotate(x) RightRotate(x) x ie Rotation erhält die binäre Suchbaum-Eigenschaft! rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 95/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 96/2

25 Rotation - eispiel Rotation - eispiel ??? 7? rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 97/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 Rotation - eispiel Rotation - mplementation ie mplementierung ist wieder Zeigerspielerei. (Ähnlich des usschneidens in verketteten Listen.) etails sind im [ormen] u finden. Laufeit ist in O(1), da nur (eine konstante nahl von) Zeiger verändert werden. 7 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 99/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 0/2

26 Einfügen Einfügen - rossvater, Onkel und Vater... eim Einfügen passiert nun unächst das gleiche wie bei normalen binären Suchbäumen. ie arbe des neu eingefügten Knotens wird auf rot gesett. ann wird eine Routine aufgerufen, die die Rot-Schwar-Eigenschaften wiederherstellt... ist der neu eingefügte, rote Knoten. n einer while-schleife, in der immer geprüft wird, ob der Vater von rot ist (nur dann muss man fortfahren), werden nun drei älle unterschieden. ie drei älle treten spiegelverkehrt auf, je nachdem ob im linken Teilbaum seines rossvaters ist, oder im rechten. Wir behandeln nachfolgend die erste Variante ( ist im linken Teilbaum seines rossvaters). Eine wichtige Rolle spielt der Onkel (= rechts[p[p[]]]) von und insb. dessen arbe sowie, ob ein linkes oder rechtes Kind ist. ( hat nachfolgend Kinder, weil in der Routine der Zeiger nach oben wandern kann.) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2 Einfügen - all 1 Einfügen - all 1 all 1: s Onkel ist rot. Umfärben und neu (!) seten. all 1: s Onkel ist rot. Umfärben und neu (!) seten. neu neu H H H H E E E E rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 4/2

27 Einfügen - all 1b Einfügen - all 1b all 1b: s Onkel ist rot. Umfärben und neu (!) seten. all 1b: s Onkel ist rot. Umfärben und neu (!) seten. neu neu H H H H E E E E rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6/2 Einfügen - all 2 Einfügen - all 2 all 2: s Onkel ist schwar und ist rechtes Kind seines Vaters. wird auf p[] gesett und eine Linksrotation wird um (das neue) gemacht. ann weiter mit all. (er gilt jett!) all 2: s Onkel ist schwar und ist rechtes Kind seines Vaters. wird auf p[] gesett und eine Linksrotation wird um (das neue) gemacht. ann weiter mit all. (er gilt jett!) neu H E rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 7/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /2

28 Einfügen - all Einfügen - all all : s Onkel ist schwar und ist linkes Kind seines Vaters. arbe von p[] auf schwar (bisher rot), von p[p[]] auf rot (bisher schwar) und Rechtsrotation um p[p[]]. ( nicht neu seten!) all : s Onkel ist schwar und ist linkes Kind seines Vaters. arbe von p[] auf schwar (bisher rot), von p[p[]] auf rot (bisher schwar) und Rechtsrotation um p[p[]]. ( nicht neu seten!) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 Einfügen - all 2 & in olge Einfügen - eispiel Nun einmal am eispiel. er Knoten 4 wird hier neu eingefügt... rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 111/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2

29 Einfügen - eispiel Einfügen - eispiel all 1: s Onkel ist rot. Umfärben und auf p[p[]] neu seten. all 1: s Onkel ist rot. Umfärben und auf p[p[]] neu seten. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 114/2 Einfügen - eispiel Einfügen - eispiel all 2: s Onkel ist schwar und ist rechtes Kind seines Vaters. wird auf p[] gesett und eine Linksrotation wird um (das neue) gemacht. ann weiter mit all. (er gilt jett!) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 all 2: s Onkel ist schwar und ist rechtes Kind seines Vaters. wird auf p[] gesett und eine Linksrotation wird um (das neue) gemacht. ann weiter mit all. (er gilt jett!) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2

30 Einfügen - eispiel Einfügen - eispiel all : s Onkel ist schwar und ist linkes Kind seines Vaters. arbe von p[] auf schwar (bisher rot), von p[p[]] auf rot (bisher schwar) und Rechtsrotation um p[p[]]. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 117/2 all : s Onkel ist schwar und ist linkes Kind seines Vaters. arbe von p[] auf schwar (bisher rot), von p[p[]] auf rot (bisher schwar) und Rechtsrotation um p[p[]]. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 11/2 Einfügen - Zusammenfassung Einfügen - ie Schleifeninvariante er neu eingefüge Knoten ist im linken Teilbaum seines rossvaters. und sein Vater sind rot. all 1: s Onkel ist rot. Umfärben und auf p[p[]] neu seten. (Es gibt hier wei älle, die gleich behandelt werden.) all 2: s Onkel ist schwar und ist rechtes Kind seines Vaters. wird auf p[] gesett und eine Linksrotation wird um (das neue) gemacht. ann weiter mit all. (er gilt jett!) all : s Onkel ist schwar und ist linkes Kind seines Vaters. arbe von p[] auf schwar (bisher rot), von p[p[]] auf rot (bisher schwar) und Rechtsrotation um p[p[]]. ( nicht neu seten, die Routine terminiert hier.) st im rechten Teilbaum seines rossvaters treten obige älle spiegelverkehrt auf. Überall muss dann links und rechts vertauscht werden. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 119/2 ie Schleifeninvariante: a) er Knoten ist rot. b) alls p[] die Wurel ist, ist p[] schwar. c) alls es eine Verletung der Rot-Schwar-Eigenschaften gibt, gibt es höchstens eine und diese verlett Eigenschaft 2 oder 4. st es 2, so ist die Wurel und rot, ist es 4, so sind und p[] beide rot. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 0/2

31 Einfügen - Jett u tun... Zusammenfassung Wir müssten jett - wir könnten jett... 1 en Pseudocode ausführlicher schreiben. abei insb. auf Randfälle achten (leerer aum, hat keinen Onkel,...) 2 ie Schleifeninvariante bei nitialisierung eigen. ortsetung eigen, wobei hier primär geeigt werden muss, dass die drei obigen älle die nvariante u eginn der nächsten teration erhalten. 4 Terminierung eigen und (unter Nutung der Schleifeninvarianten) dann die Korrektheit des lgorithmus eigen, d.h. dass wieder ein Rot-Schwar-aum vorliegt. en genauen eweis der Schleifeninvarianten und den Pseudocode der Einfügeoperation (sowie der Rotation) findet man im [ormen]. ort ist auch eine ehandlung der Löschoperation u finden. rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/2 Zusammenfassung sind binäre Suchbäume, die die usätlichen Rot-Schwar-Eigenschaften erfüllen. Ein aum der die Rot-Schwar-Eigenschaften erfüllt ist in etwa ausgeglichen (h 2 log(n + 1)). er Erhalt der Rot-Schwar-Eigenschaften ist insb. bei der Einfüge- und der Löschoperation u beachten. Sie können in O(log n) implementiert werden. amit erlauben die wichtigen für dnamische Mengen alle in O(log n) Zeit! (llerdings sind sie dafür aufwändiger als normale binäre Suchbäume.) rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 2/2