Mathematik des Elfmeters

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1 2 Mathematik des Elfmeters Man hört ja oft von der Angst des Tormanns beim Elfmeter, es gibt sogar ein Buch von Peter Handke mit diesem Titel (das Buch selber hat aber wenig mit Fußball zu tun). Aber wie groß ist sie, diese Angst, und ist es wirklich Angst oder nicht doch Freude? Denn einen Elfmeter (der Ball liegt eigentlich nur 10,88 m = 16 Yard von der Torlinie entfernt) oder Strafstoß bekommt eine Mannschaft doch dann, wenn die verteidigende Mannschaft ein Foul im 16-m-Raum begeht. Dieses Foul begeht sie meist, um Schlimmeres, also ein Tor, zu verhindern. Wird ein Strafstoß gepfiffen, so ist einerseits zunächst ein mögliches Tor von der verteidigenden Mannschaft verhindert worden. Meist wird aber ein Strafstoß schon als Tor gegen die betroffene Mannschaft gesehen und deshalb ist ja auch die Freude über das verhinderte Tor bei einem Strafstoß so groß. Der Elfmeter bzw. der Strafstoß ist also eine zusätzliche Möglichkeit für den Torwart der verteidigenden Mannschaft, das Tor zu verhindern. Elfmeter werden aber auch nach Ablauf der regulären Spielzeit beim Elfmeterschießen geschossen, um z. B. bei einem Turnier mit K.-O.-System den Sieger einer Partie zu ermitteln, falls nach der regulären Spielzeit und der Verlängerung noch kein Sieger feststeht. Auch hier ist die Freude über einen gehaltenen Elfmeter wesentlich größer als die Freude der Mannschaft des Schützens, falls der Ball ins Tor geht. Abb. 2-1 Jens Lehmann hält im Viertelfinale der Fußballweltmeisterschaft 2006 gegen Argentinien gleich zwei Elfmeter. Bildrechte: picture-alliance/ Sven Simon

2 20 Mathematik des Elfmeters Die Verwandlungshäufigkeit Es stellt sich die Frage, ob man nicht das Elfmeterschießen mathematisch modellieren kann und ob so eine Modellierung sinnvoll ist und auch realistische Ergebnisse liefert. Bevor Sie nun weiter lesen, wäre es nett von Ihnen, wenn Sie sich auf einem Zettel die Prozentzahl notieren, von der Sie glauben, dass sie die Verwandlungshäufigkeit (Prozentzahl der verwandelten Strafstöße) beim Elfmeter repräsentiert. Übrigens: Strafstöße kommen gar nicht so selten vor. Im Durchschnitt werden in jeder Bundesligasaison 78 Elfmeter gepfiffen, also so zwischen zwei und drei pro Spieltag, wobei in den letzten Jahren die Rate ziemlich nahe bei zwei liegt. Beginnen wir mit einem ganz einfachen Modell: dem Glücksspielmodell. Wir gehen in unserem Modell davon aus, dass der Schütze in eine der vier Ecken schießen will. Der Torwart weiß das natürlich, er weiß nur nicht in welche Ecke, aber auch er wird sich für eine der vier Ecken entscheiden. In unserem Model soll der Keeper den Ball abwehren, wenn er sich für die richtige Ecke entschieden hat. Das ist in der Realität natürlich nicht so, aber wir machen ja zunächst auch nur ein einfaches Modell. Für den Torwart und den Schützen ist es somit wie ein Glücksspiel. Wobei der Torwart in drei Fällen daneben liegt und somit eine Chance von 25 % hat, den Torschuss zu verhindern. Der Schütze kann also mit einer Chance von 75 % das Tor markieren. In Abbildung 2-2 ist die Situation dargestellt. Der Torwart entscheidet sich hier für die linke obere Ecke. Abb. 2-2 Ein Fußballtor mit vier Möglichkeiten

3 Der Flächenansatz 21 Nun könnte man noch sagen, ein pfiffiger Schütze, z. B. Franck Ribéry, derzeit in Diensten des FC Bayern München, könnte doch auch in die Mitte schießen. Das ist richtig und wird ja auch häufig getan. Damit erhöht sich die Chance für den Schützen von 75 % auf 80 %. Zugegeben, es ist ein sehr einfaches stochastisches, aber eindrucksvolles Modell. Das Schöne an diesem Modell ist, dass wir es durch Zusatzannahmen beliebig verkomplizieren können. Wir können z. B. annehmen, dass ein Schütze in einem von 20 Fällen daneben schießen kann. In dem Fall, bei dem der Schütze daneben schießt, spielt es dann natürlich keine Rolle, in welche Ecke der Torwart springt. Das heißt, von 100 Schüssen gehen 5 daneben und sie gehören dem Torwart. Nun müssen wir uns noch mit den restlichen 95 Schüssen befassen, die auf das Tor gehen. Nehmen wir hier wieder eine Gleichverteilung auf diesmal fünf möglichen Positionen (links unten, links oben, rechts unten, rechts oben sowie Mitte) an, so wird der Torwart nach unserem Wahrscheinlichkeitsmodell von diesen 95 Bällen noch 19 Bälle halten, 20 % von 95 sind 19. Insgesamt hält er von den 100 Bällen also 24. Das heißt, die Verwandlungshäufigkeit liegt nun bei 76 %. Man kann jetzt das Modell noch weiter verfeinern, aber man wird feststellen, dass man sich bei vernünftigen Annahmen immer im 70-%- bis 80-%-Rahmen bewegen wird. Der Flächenansatz Wir wollen noch einen anderen Ansatz wählen, um die Verwandlungshäufigkeit zu modellieren. Wir wählen den Flächenansatz. Das Tor besitzt eine bestimmte Fläche von 8 Fuß x 8 Yard, wobei ein Fuß 30,48 cm und ein Yard 91,44 cm lang sind. Dies ergibt dann also eine Fläche von 2,44 m x 7,32 m = 17,86 m 2, also fast 18 m2. Ganz nebenbei: Die Höhe des Fußballtores verhält sich zur Breite wie 1 zu 3. Das liegt daran, dass ein Yard so definiert ist, dass genau drei Fuß hinein passen. Aber wieder zurück zum Elfmeterproblem: Welche Fläche kann denn ein Torwart mit seinen beweglichen Händen und Füßen abdecken? Nehmen wir einen Torwart mit der Durchschnittsgröße von 1,90 m. So hat er dann auch eine Armspannweite von 1,90 m. Diese Annahme kann man gut empirisch belegen und Sie können das auch bei sich selbst nachmessen lassen. Die Schultern befinden sich in einer Höhe von 1,60 m. Die Fläche, die ein Torwart so im Stand abdecken kann, setzt sich also aus einem Rechteck der Maße 1,60 m x 1,90 m und einem Halbkreis mit Radius 0,95 m, welchen seine Arme beschreiben, zusammen.

4 22 Mathematik des Elfmeters Abb. 2-3 Der Torwart kann ein Rechteck zusammen mit einem Halbkreis abdecken. Das ergibt eine Fläche von ,6m 1,9m 0,95m 4,46m 4,5m. 2 Der Prozentsatz der Torfläche, den der Torwart im Tor abdecken kann, liegt also bei 2 2 4,46 m : 17,86 m 0, %. Das heißt, 75 % der Torfläche sind frei. Wieder 75 %. Das ist nun erstaunlich, oder? Es ist also an der Zeit, einmal in die Wirklichkeit zu gehen und sich dort die Verwandlungshäufigkeiten anzusehen. In der Tabelle 2-1 ist die Anzahl der Tore sowie der geschossenen und verwandelten Elfmeter der letzten 20 Jahre in der 1. Bundesliga aufgelistet. Abb. 2-4 Oliver Neuville (Borussia Mönchengladbach) tritt gegen den Torwart vom SC Freiburg bei einem Foulelfmeter an. Bildrechte: Creative Commons/ Werner Jakubus

5 Vergleich mit der Realität 23 Vergleich mit der Realität Saison Tore insgesamt Elfmeter Anzahl verwandelt Quote in % 1987/ , / , / , / , / ,00 Tab.2-1 Toranzahl, Elfmeter sowie Verwandlungsrate pro Saison der letzten 20 Jahre in der ersten Bundesliga 1992/ , / , / , / , / , / , / , / , / , / , / , / , / , / , / ,66 Durchschnitt 884,2 78,25 58,6 74,87 Man sieht, dass in der 1. Bundesliga die Verwandlungswerte beim Elfmeterschießen der letzten 20 Jahre bei knapp 75 % liegen. Über alle Bundesligasaisons gerechnet, liegen wir bei 74,17 %. Betrachtet man einzelne Vereine, so liegt bei Bayern München die Torrate derzeit ein wenig höher, nämlich bei 77,5 %, bei Eintracht Frankfurt dagegen nur bei 73 %. Natürlich gibt es Saisons, bei denen die Werte höher oder niedriger lagen, aber wir machen ja mit unserem Modell nur statistische Aussagen. Wie ver-

6 24 Mathematik des Elfmeters teilen sich eigentlich die Elfmeterraten der Saison? In Abbildung 2-5 ist gut zu sehen, dass die Verwandlungsraten pro Saison annähernd normal verteilt sind. Abb. 2-5 Im Diagramm ist die Verteilung der Verwandlungsraten zu sehen. So gibt es z. B. 17 Saisons, bei denen die Rate zwischen 71 % und 75 % liegt. Anzahl Saisons % Verteilung der Verwandlungsrate 66-70% 71-75% 76-80% 81-85% 86-90% Bundesliga Normalverteilung Verwandlungsrate Bei den vergangenen Weltmeisterschaften lagen die Verwandlungswerte bei fast 80 %. Dagegen ist in den unteren Ligen, z. B. Regionalliga oder Bezirksliga, die Verwandlungsrate deutlich niedriger. Was will uns das sagen? Sind dort die Torhüter besser, oder sind die Schützen schlechter? Eigentlich müsste man davon ausgehen, dass sich die geringeren Fähigkeiten beider Spieler aufheben und die Verwandlungshäufigkeit gleich bleibt. Bleibt sie aber nicht. Wir werden gleich sehen, warum! Der Torwart hat eigentlich keine Chance Um es gleich vorwegzunehmen: Ein Goalkeeper hat bei einem platziert geschossenen Elfmeter keine Chance. Denn um von der Mitte der Torlinie zu einer oberen Torecke zu gelangen, ist der Torwart knapp 1 Sekunde unterwegs viel zu lange, um einen harten, gut platzierten Schuss zu fangen. In der Bundesliga werden Schussgeschwindigkeiten beim Elfmeter von 72 km/h bis 100 km/h erreicht. Wie lange ist denn dann der Ball

7 Der Torwart hat eigentlich keine Chance 25 vom Elfmeterpunkt bis zum Tor unterwegs? Die Entfernung d vom Elfmeterpunkt zu den oberen Torecken lässt sich mit dem Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum berechnen (siehe Abbildung 2-6). Abb. 2-6 In der Skizze ist zu sehen, wie sich die Entfernung mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen lässt. Es ergibt sich: b d e h 10,92 2,2 3,5 m 11,68m 2, (2-1) wobei e die Entfernung des Elfmeterpunktes bis zum Tor ist, h die Höhe des Tores vermindert um einen Balldurchmesser und b/2 die halbe Breite des Tores vermindert um einen Balldurchmesser ist. Mit der Formel Weg Zeit = Geschwindigkeit (2-2) lässt sich nun die Zeitdauer dafür berechnen, wie lange der Ball bis zu einer der oberen Torecken unterwegs ist. Es sind 11,68 m 11,68 m 0,58 s bzw. 0, 42 s. m m 20 27,77 s s Damit braucht der Ball nämlich gerade einmal 58 Hundertstelsekunden oder sogar nur 42 Hundertstelsekunden bis in eine der beiden oberen Torecken. Zieht man noch die Reaktionszeit des Torwarts von 0,2 Sekunden ab, so bleibt dem Torwart keine Zeit mehr, um in die Ecke zu springen.

8 26 Mathematik des Elfmeters In den unteren Ligen sind die Schussgeschwindigkeiten aber wesentlich niedriger und die Schüsse auch nicht so platziert, und somit hat der Torwart eine größere Chance, den Ball zu fangen. Ein Elfmeter ist also für einen trainierten Fußballer eine reine Nervensache. Jürgen Klinsmann wusste das und hat das auch für die WM 2006 entsprechend trainiert. Seine Schützlinge mussten das Elfmeterschießen unter besonderen Bedingungen absolvieren. Wer verschoss, musste einen besonderen Dienst an der Mannschaft tun. So musste z. B. Bastian Schweinsteiger nach einem im Training verschossenen Elfmeter am Abend seine Mannschaftskameraden bedienen. Sie können das Nervenspiel auf eine andere Art nachspielen, indem Sie mit einem Freund um eine Geldsumme wetten, dass Sie es schaffen, 8 von 10 Elfmetern einzuschießen. Allerdings muss die Höhe der Geldsumme so bemessen sein, dass Ihnen ein Verlust richtig wehtut. Sie werden sehen: Es ist ganz schwierig und man wird sehr nervös, wenn der erste Elfmeter nicht reingegangen ist. Mathematische Begriffe und Formeln Häufigkeiten Mittelwerte Rechtecksflächenberechnung Kreisflächenberechnung Satz des Pythagoras Bewegungsgleichungen Weiterführende Literatur und Links Kropp M., Trapp, A. (1999): 35 Jahre Bundesliga-Elfmeter, Agon Sportverlag, Kassel