FEM. Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können.

Transkript

1 FEM Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können. Charles Tschopp

2 Aus dem Programm Maschinenelemente und Konstruktion Pro/ENGINEER Wildfire 4.0 für Einsteiger kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER Wildfire 5.0 für Fortgeschrittene - kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Solid Works von U. Emmerich CATIA V5 - kurz und bündig von S. Hartmann/herausgegeben von S. Vajna NX7.5 kurz und bündig von G. Klette und M. Nulsch/herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER-Praktikum herausgegeben von P. Köhler CATIA V5-Grundkurs für Maschinenbauer von R. List Solid Edge kurz und bündig von M. Schabacker/herausgegeben von S. Vajna Lehrwerk Roloff/Matek Maschinenelemente H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Entwickeln, Konstruieren, Berechnen von B. Fleischer und H. Theumert Konstruieren, Gestalten, Entwerfen von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg Technisches Zeichnen von S. Labisch und C. Weber Leichtbau-Konstruktion von B. Klein

3 Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite- Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 9., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 231 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM

4 Prof. Dr.-Ing. Bernd Klein Univ. Kassel Kassel Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1990, 1997, 1999, 2000, 2003, 2005, 2007, 2010, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner Imke Zander Einbandentwurf: KünkelLopka GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

5 V Vorwort zur 1. Auflage Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt sei. Kassel, im September 1990 B. Klein Vorwort zur 9. Auflage Fachbücher haben die Eigenschaft, eigentlich nie fertig zu werden. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen auf, die man besser machen kann. Die Neuauflage enthält wieder eine Vielzahl von Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch besseren Verständnis der Finite-Element-Methode beitragen sollen. Auch soll dem Lernenden eine geglättete Theorie helfen, die doch sehr mathematisch fundierten Zusammenhänge besser zu verstehen. Gemäß dem alten Motto des Buches Anschaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit hoffe ich auch weiterhin auf einen interessierten Leserkreis an Fachhochschulen, Universitäten und in der Praxis. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhen überwiegend auf Anregungen von Studierenden und Mitarbeitern, welche auch weiterhin sehr dankbar aufgenommen werden. Mit der textlichen Umsetzung waren Herr Dipl.-Ing. M. Oxe, Herr Dipl.-Ing. M. Hochgräf, Herr cand. Ing. M. Schelhas und Frau M. Winter betraut, denen an dieser Stelle herzlich gedankt seien. Calden bei Kassel, im September 2011 B. Klein

6 VI Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Historischer Überblick Generelle Vorgehensweise Aussagesicherheit einer FE-Analyse Qualitätsstandards Anwendungsfelder und Software Problemklassen Kommerzielle Software Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode Matrizenrechnung Gleichungen der Elastostatik Grundgleichungen der Elastodynamik Finites Grundgleichungssystem Variationsprinzip Methode von Galerkin Die Matrix-Steifigkeitsmethode Das Konzept der Finite-Element-Methode Allgemeine Vorgehensweise FE-Programmsystem Mathematische Formulierung Ebenes Stab-Element Ebenes Drehstab-Element Ebenes Balken-Element Prinzipieller Verfahrensablauf Steifigkeitstransformation Äquivalente Knotenkräfte Zusammenbau und Randbedingungen Sonderrandbedingungen Lösung des Gleichungssystems Berechnung der Spannungen Systematische Problembehandlung Wahl der Ansatzfunktionen Elementkatalog für elastostatische Probleme D-Balken-Element Scheiben-Elemente Belastungs- und Beanspruchungszustand Dreieck-Element Flächenkoordinaten Erweiterungen des Dreieck-Elements Rechteck-Element

7 Inhaltsverzeichnis VII Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente Timoshenko-Theorie Viereck-Element Isoparametrische Elemente Numerische Integration Platten-Elemente Belastungs- und Beanspruchungszustand Problematik der Platten-Elemente Rechteck-Platten-Element Dreieck-Platten-Element Konvergenz Schubverformung am Plattenstreifen Beulproblematik Schalen-Elemente Volumen-Elemente Kreisring-Element Kontaktprobleme Problembeschreibung Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt Iterative Lösung mit Kontakt FEM-Ansatz für dynamische Probleme Virtuelle Arbeit in der Dynamik Elementmassenmatrizen D-Balken-Element Endmassenwirkung Dreieck-Scheiben-Element Dämpfungsmatrizen Eigenschwingungen ungedämpfter System Gleichungssystem Numerische Ermittlung der Eigenwerte Statische Reduktion nach Guyan Freie Schwingungen Erzwungene Schwingungen Beliebige Anregungsfunktion Lösung der Bewegungsgleichung Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben Nichtlineares Elastizitätsverhalten Plastizität Geometrische Nichtlinearität Instabilitätsprobleme

8 VIII Inhaltsverzeichnis 11 Wärmeübertragungsprobleme Physikalische Grundlagen Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung Lösungsverfahren Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung Mehrkörpersysteme Merkmale eines MKS Kinematik von MKS Drehmatrix Ebene Bewegung Kinetik von MKS Grundbeziehungen für den starren Körper Newton-Euler-Methode Lagrange sche Methode Mechanismenstrukturen Bauteiloptimierung Formulierung einer Optimierungsaufgabe Parameteroptimierung Bionische Strategie Selektive Kräftepfadoptimierung Grundregeln der FEM-Anwendung Fehlerquellen Elementierung und Vernetzung Netzaufbau Bandbreiten-Optimierung Genauigkeit der Ergebnisse Qualitätssicherung Modelladäquatheit Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

9 Inhaltsverzeichnis IX Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Mathematischer Anhang QM-Checkliste einer FE-Berechnung Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

10 X Formelzeichensammlung - A - a i Multiplikatoren A (mm 2 ) Querschnittsfläche A (mm) Koordinatenmatrix; Koeffizientenmatrix; Iterationsmatrix A Boole sche Matrix A i Koeffizient - B - B Lösungsbereich B differenzierte Ansatzfunktionsmatrix; Koeffizientenmatrix B N nichtlinearer Anteil der Matrix B - C - c (N/mm) Federkonstante c Elementdämpfungsmatrix c i, C i Integrationskonstante c i (mm; grd) Koeffizient c ij (N/mm; grd) Drehsteifigkeitskoeffizient C Systemdämpfungsmatrix; Wärmekapazitätsmatrix - D - d (mm) Knotenverschiebungen d (mm/s 2 ) Knotenbeschleunigung d (mm/s) Knotengeschwindigkeit d P Plattenanteil der Knotenverschiebung d S Scheibenanteil der Knotenverschiebung D(u) Differenzialoperator D Differenzialoperatorenmatrix - E - E (N/mm 2 ) Elastizitätsmodul E (N/mm 2 ) Elastizitätsmatrix E T Tangenten-Elastizitätsmatrix - F - f (N) bezogene (verteilte) Kraft F(x) Funktion allgemein F (N) Vektor der äußeren Einzelkräfte F a äußere Kräfte F b Reaktionskräfte F c Resultierende der Schwingungs-DGL F i Einzelkraft F ia äquivalente Einzelkräfte F s unbekannte Reaktionskräfte - G - g Zeilenvektoren gi, gj Formfunktionen G (N/mm 2 ) Gleitmodul G Formfunktionsmatrix; Matrix der Knotenansatzfunktionen G i Formfunktionsmatrix G K (N) Gravitationskraft G kub kubischer Anteil der Formfunktionsmatrix G lin linearer Anteil der Formfunktionsmatrix

11 Formelzeichensammlung XI G r G t rotatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix translatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix - H - h Stützstelle h i (mm) Amplitudenhöhe H Hermite sche Ansatzfunktionsmatrix - I - I I Integral, allgemein Gebietsintervall; Einheitsmatrix - J - J Jacobi-Matrix J p (mm 4 ) polares Flächenträgheitsmoment Jy, Jz (mm 4 ) Flächenträgheitsmoment J 2. Invariante des 2 Spannungstensors - K - k (N/mm) Federkonstante k (N/mm) Elementsteifigkeitsmatrix; (W/mm K) Elementwärmeleitungsmatrix k (N/mm) transformierte Elementsteifigkeitsmatrix k B (N/mm) Biegesteifigkeitsmatrix k G (N/mm) geometrische Steifigkeitsmatrix k ij Verschiebungseinflusszahlen; (N/mm) Steifigkeitskoeffizienten k P (N/mm) Plattenanteil der Steifigkeitsmatrix k S (N/mm) Scheibenanteil der Steifigkeitsmatrix K, M Diagonalhypermatrix K (N/mm) Systemsteifigkeitsmatrix; (W/mm K) Systemwärmeleitungsmatrix Kaa Kab partitionierte Systemsteifigkeitsmatrix Kba K bb K B Systembiegesteifigkeitsmatrix K cc reduzierte Steifigkeitsmatrix K N (N/mm) geometrische Systemsteifigkeitsmatrix K T (N/mm) Tangentensteifigkeitsmatrix K σ (N/mm) Initialspannungsmatrix - L - ij Koeffizienten; Matrixelement L (mm) Länge L Differentialoperator L (N/mm) Dreiecksmatrix; Lastoperator - M - m (kg) Elementmassenmatrix m ij (kg) Massenkoeffizient m K Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten m 0 m t (N mm/ mm) Oberflächenlastvektor bei verteilten Momenten verteiltes Torsionsmoment m xy, seitenbezogene Biegemomente

12 XII Formelzeichensammlung M Systemmassenmatrix M b Biegemoment M cc reduzierte Massenmatrix M i (N mm) Moment Muu Mus partitionierte Msu M Systemmassenmatrix ss - N - n Stützstellen; Zähler - O - 0 (mm 2 ) Oberfläche n xy, seitenbezogene Kräfte N j Schnittgrößen n Festwertvektor N Ansatzmatrix; Nebenbedingungsmatrix - P - p i (N) Kraftkomponente p k Knotenlastvektor p x (N/mm) verteilte Längskraft p z (N/mm 2 ) verteilte äußere Querkraft P Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Struktur P (N) Systemlastvektor Pˆ (N) Vektor der Elementknotenkräfte p ä äquivalente Kräfte p 0 Oberflächenkräfte P S Kraftvektor des Scheibenanteils P P (N) Kraftvektor des Plattenanteils - Q - q (N/mm) seitenbezogene Querkraft q Wärmestromdichte q (N/mm 2 ) Vektor der verteilten äußeren Oberflächenkräfte q xz,yz (N/mm) seitenbezogene Querkräfte q z (N/mm) verteilte Streckenlast Q Knotenpunktwärmeflüsse Q Wärmestrom Q i (N) Querkraft Q xz (N) Querkraft - R - r (mm) Radius R Rand R (N) Vektor der Kontaktknotenkräfte R e (N/mm 2 ) Fließgrenze R m (N/mm 2 ) Bruchgrenze R Vektor der Elementknotenkräfte der ungebundenen Struktur - S - S (N/mm 2 ) Spannungsmatrix S ij (N) Schnittkräfte in Stäben S y, z (mm 3 ) statische Momente - T - t (mm) Elementdicke t (s) Zeit T (K) Temperatur (N mm) Torsionsmoment T Transformationsmatrix T c Eliminationsmatrix

13 Formelzeichensammlung - U - u, v, w (mm) Verschiebungskomponenten u (mm) Elementverschiebungsvektor u (mm/s) Geschwindigkeitsvektor der Elementverschiebungen u (mm/s 2 ) Beschleunigungsvektor der Elementverschiebungen u i (mm) Verschiebung U (mm) Systemverschiebungsvektor U a (mm) unbekannte Verschiebungen U c primäre Freiheitsgrade Ü c U e U s U u Ü u Beschleunigungen der primären Freiheitsgrade sekundäre Freiheitsgrade bekannte Verschiebungen unbekannte Verschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Verschiebungen - V - v Vektor V (mm 3 ) Volumen V i Vergrößerungsfunktion - W - w(x, t) Verschiebefunktion w b (mm) Biegeverformung w s Schubverformung W (N mm) Arbeit W a (N mm) äußere Arbeit W i (N mm) innere Arbeit W R XIII Formänderungsenergie; Restwert - X - x (mm) Weg x Eigenvektor X Eigenvektormatrix - Y - y Hilfsvektor α (1/K) Längenausdehnungskoeffizient α Konstantenvektor α Wärmeübergangskoeffizient α i Richtungswinkel β Winkel; Parameter Δ Differenz ε Verzerrungsvektor o Anfangsverzerrungsvektor φ Ergiebigkeit beliebiger Drehwinkel φ( x ) φ ji Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix Φ i Verdrehung am Knoten γ Winkel η i Auslenkung η, ξ normierte Koordinate Koeffizientenmatrix κ Krümmung; spez. Wärme λ (1/s) Längsfrequenz (W/mm K) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrange scher Multiplikator μ Reibkoeffizient Eigenwertmatrix Θ Massenträgheit

14 XIV Formelzeichensammlung ρ (kg/dm 3 ) Dichte ρ Vektor der Elementknotenverschiebungen Ω äußere Anregung σ (N/mm 2 ) Normalspannung τ (N/mm 2 ) Schubspannung τ η () t ν ξ ω ψ Re d ζ i ψ Re d ζ i (1/s) (1/s) (1/s) Erregungsfunktion Querkontraktion; Frequenz Dämpfungsmaß Kenngröße für den Schubwiderstand; Eigenkreisfrequenz Winkel Flächenkoordinate Eigenkreisfrequenz Winkel Flächenkoordinate