Thomas Westermann. Mathematik für Ingenieure. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. 6., überarbeitete Auflage 1 C

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1 Springer-Lehrbuch

2 Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch 6., überarbeitete Auflage 1 C

3 Prof. Dr. Thomas Westermann Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft Postfach Karlsruhe Homepage zum Buch: ISSN ISBN e-isbn DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2003, 2006, 2008, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort zur 6. Auflage Für die vorliegende 6. Auflage wurden das Kapitel über partielle Differenzialgleichungen mit aufgenommen sowie die Maple-Beschreibungen an Maple 14 angepasst. Um den Preis des Lehrbuchs gegenüber der letzten Auflage aufrecht zu halten, wurde auf die CD-Rom verzichtet. Der Inhalt befindet sich nun unter dem Reiter Download auf der Homepage zum Buch: weth0002/buecher/mathe/start.htm In Erweiterung der Bachelor-Studieninhalten befinden sich die Themen Numerisches Lösen von Gleichungen Numerisches Differenzieren und Integrieren Numerisches Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen sowie ergänzende und weiterführende Abschnitte auf die Homepage zum Buch. Diese weiterführenden Themen sind in den Kapitelinhaltsverzeichnissen mit der Seitenangabe web gekennzeichnet. Das farblich gestaltete Layout ermöglicht eine übersichtliche Darstellung der Inhalte, indem z.b. neue Begriffe und Definitionen hellblau unterlegt sind, wichtige Aussagen und Sätze dunkelblau. Darüber hinaus ermöglichen weitere Stilmittel eine leichte Lesbarkeit des Buchs, indem z.b. mit dem Symbol! Achtung: auf Stellen besonders hingewiesen, die man anfänglich oftmals falsch bearbeitet, übersieht oder nicht beachtet, durch Tipps und Merkregeln die Bearbeitung der Beispiele und Übungsaufgaben erleichtert wird, durch Markierungen am Seitenrand Gliederungspunkte und Orientierungshilfen gegeben werden, die zahlreichen Zusammenfassungen farblich hervorgehoben werden, wichtige Formel und Ergebnisse gekennzeichnet werden, Musterbeispiele und Anwendungsbeispiele übersichtlich aus dem Text hervorgehen; 380 ausführlich durchgerechnete Beispiele, über 360 Aufgaben mit Lösungen und mehr als 200 Abbildungen und Skizzen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung dienen. Im Buch wird durch die beiden folgenden Symbole explizit auf Informationen hingewiesen, die sich auf der Homepage befinden: 1 Animationen, die im gif-format vorliegen: Durch Anklicken der entsprechenden Stelle im Web werden die Animationen durch den Internetbrowser abgespielt. 2 Das Web-Symbol weist auf Maple-Beschreibungen hin. Sämtliche Maple-Worksheets sind auf der Homepage enthalten. Eine Übersicht aller Worksheets findet man in index.mws.

5 vi Vorwort Die Maple-Ausarbeitung ist verlinkt, so dass die elektronischen Arbeitsblätter direkt aus dem Dokument gestartet werden können. Voraussetzung ist, dass Maple auf dem Rechner installiert und die Erweiterung.mws mit einer Maple-Version verknüpft ist. Die zugehörigen Links sind gekennzeichnet; bei Beispielen steht zusätzlich (Mit Maple-Worksheet). Auf der Homepage sind weitere Informationen und Ergänzungen zugänglich: alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inklusive vieler zusätzlicher Maple-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe; die Lösungen der Aufgaben; zusätzliche Kapitel und Ergänzungen, die in der Buchform des Gesamtumfangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten; eine Einführung in die Benutzeroberfläche von Maple 14. Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple Inc., die mir Maple 14 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau Hestermann- Beyerle und Frau Kollmar-Thoni vom Springer-Verlag für die gute und angenehme Zusammenarbeit. Dieses Buch ist meinen Töchtern Veronika (zum Nachschlagen von längst Vergessenem) und Juliane (zur Vorbereitung ihrer Matheklausuren) gewidmet. Karlsruhe, im Januar 2011 Thomas Westermann

6 Vorwort vii Vorwort zur 1. Auflage Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure an der Hochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden.... Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum Manipulieren von Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System Maple in die Mathematikausbildung mit einbezogen. Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit Maple-Worksheets umgesetzt, was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben. Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlösungen zu berücksichtigen, wurden zahlreiche Abschnitte zur rechnerischen Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die numerischen Algorithmen sind als Maple-Prozeduren auf der beigelegten CD- Rom enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede andere höhere Sprache umgesetzt werden.... Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol für die präzise und fehlerfreie Erstellung des L A TEX-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle. Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkräftig unterstützt hat. Karlsruhe, im Juni 1996 Thomas Westermann

7 Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Die einzelnen Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen. Nicht immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muss sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten, einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden. Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System Maple unverzichtbar. Nur wenn eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum Tragen. Darstellung: Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen farblich gekennzeichnet. Am Ende eines jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren Lösungen auf der Homepage angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine anwendungsorientierte Problemstellung vorangestellt und anschließend auf die allgemeine mathematische Struktur übergegangen. Die Thematik wird dann innerhalb der Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Beispielen erläutert. Im Dokument maple.pdf sind alle Problemstellungen mit Maple bearbeitet sowie aussagekräftige Anwendungsbeispiele diskutiert. Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind für den Zugang zu den Themengebieten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung sollten möglichst die mathematischen Beispiele eigenständig bearbeitet werden. Wer dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt, kann sich an den durchgerechneten Beispielen sowie an den eingerahmten Definitionen, Sätzen und Zusammenfassungen orientieren. Aufgaben: Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten. Die Lösungen zu den Aufgaben befinden sich als pdf -File auf der Homepage. MAPLE:Die Maple-Ausarbeitung maple.pdf kann als eine themengebundene Einführung in die Anwendung von Maple in der Mathematik gesehen werden, da sämtliche Themengebiete des Buches mit Maple bearbeitet werden. Alle Maple-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die Maple-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung > zu Beginn einer Zeile. Diese Maple-

8 Hinweise ix Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und können direkt in Maple eingegeben werden. Die Maple-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Am Ende jedes Kapitels steht eine Zusammenfassung der verwendeten Befehle. Web: Alle Maple-Ausarbeitungen sind auf der Homepage als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so dass der interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zusammenhänge aufzeigen: Durch eine benutzerfreundliche Menueführung soll die interaktive Benutzung der Worksheets sowohl zum Lösen von mathematischen Problemen als auch zum experimentieren mit mathematischen Begriffen gefördert werden. Struktur im Web: Die Struktur der Dateien und Verzeichnisse ist: maple.pdf index.mws \wrksheet\ \animationen\ enthält die Maple-Ausarbeitungen. Zum Navigieren innerhalb des Textes verwendbar sowie zum direkten Starten der zugehörigen Maple-Worksheets. Inhaltsverzeichnis der Maple-Worksheets. enthält alle Worksheets im mws-format. enthält alle Animationen im gif -Format. Arbeiten mit der mws-datei: Durch Doppelklicken der Datei index.mws öffnet man das Maple-Inhaltsverzeichnis. Durch anschließendes Anklicken des gewünschten Abschnitts wird das zugehörige Maple-Worksheet gestartet und ist dann interaktiv bedienbar. Mit der Zurück-Taste der oberen Taskleiste kommt man vom Worksheet wieder zum Inhaltsverzeichnis zurück. Systemvoraussetzungen: Maple 14 ist auf dem Rechner installiert (empfohlen), mindestens jedoch Maple 9.5. mws ist je nach Version mit dem ausführbaren Programm cwmaple.exe bzw. maplew.exe im Maple-bin-Verzeichnis verknüpft. Acrobat-Reader steht zur Verfügung. Die Worksheets auf der Homepage sind unter der Extension.mws abgespeichert und unter beiden Benutzeroberflächen (Classic Worksheet und Standard Worksheet) uneingeschränkt lauffähig. Bis auf kleine Einschränkungen sind die Worksheets unter allen Maple-Versionen ab Maple 9.5 lauffähig. Alleine die auf dem lokalen Rechner spezifizierte Verknüpfung entscheidet, welche Maple- Variante gestartet wird.

9 Inhaltsverzeichnis 1 Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme Mengen Natürliche Zahlen Reelle Zahlen Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen, Gleichungssystemen Vektoren und Vektorrechnung Vektoren im IR Vektoren im IR Geraden und Ebenen im IR Vektorräume Aufgaben zur Vektorrechnung Matrizen und Determinanten Matrizen Determinanten Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Aufgaben zu Matrizen und Determinanten Elementare Funktionen Allgemeine Funktionseigenschaften Polynome Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare Koeffizientenvergleich Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Nullstellenproblem Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus Rationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Arkusfunktionen Aufgaben zu elementaren Funktionen Komplexe Zahlen Darstellung komplexer Zahlen Komplexe Rechenoperationen Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenz

10 xii Inhaltsverzeichnis Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Anwendungen Aufgaben zu komplexen Zahlen Grenzwert und Stetigkeit Reelle Zahlenfolgen Funktionsgrenzwert Stetigkeit einer Funktion Intervallhalbierungs-Methode Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit Differenzialrechnung Einführung Rechenregeln bei der Differenziation Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Begründung der Formeln Ableitung der Umkehrfunktion Logarithmische Differenziation Implizite Differenziation Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Differenzial einer Funktion Anwendungen in der Mathematik Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) Sätze der Differenzialrechnung Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers Newton-Verfahren Aufgaben zur Differenzialrechnung Integralrechnung Das Riemann-Integral Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung Grundlegende Regeln der Integralrechnung Integrationsmethoden Partielle Integration Integration durch Substitution Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung Aufgaben zur Integralrechnung

11 Inhaltsverzeichnis xiii 9 Funktionenreihen Zahlenreihen Potenzreihen Taylor-Reihen Anwendungen Komplexwertige Funktionen Aufgaben zu Funktionenreihen Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen mit mehreren Variablen Stetigkeit Differenzialrechnung Partielle Ableitung Totale Differenzierbarkeit Gradient und Richtungsableitung Der Taylorsche Satz Anwendungen der Differenzialrechnung Das Differenzial als lineare Näherung Fehlerrechnung Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade Aufgaben zur Differenzialrechnung Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen Doppelintegrale (Gebietsintegrale) Dreifachintegrale Aufgaben zur Integralrechnung Gewöhnliche Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen erster Ordnung Einleitende Problemstellungen Lösen der homogenen Differenzialgleichung Lösen der inhomogene Differenzialgleichung Lineare DG mit konstantem Koeffizient Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichungssysteme Einführung Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme Eigenwerte und Eigenvektoren Lösen homogener LDGS mit konstanten Koeffizienten

12 xiv Inhaltsverzeichnis 12.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Einleitende Beispiele Reduktion linearer DG n-ter Ordnung auf ein System Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten Aufgaben zu Differenzialgleichungen Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation Inverse Laplace-Transformation Zwei grundlegende Eigenschaften Methoden der Rücktransformation Anwendungen der Laplace-Transformation Aufgaben zur Laplace-Transformation Fourier-Reihen Einführung Bestimmung der Fourier-Koeffizienten Fourier-Reihen für 2π-periodische Funktionen Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen Zusammenstellung elementarer Fourier-Reihen Aufgaben zu Fourier-Reihen Fourier-Transformation Fourier-Transformation und Beispiele Eigenschaften der Fourier-Transformation Fourier-Transformation der Deltafunktion Aufgaben zur Fourier-Transformation Partielle Differenzialgleichungen Einführung Die Wellengleichung Die Wärmeleitungsgleichung Die Laplace-Gleichung Aufgaben zu partiellen Differenzialgleichungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis Zusätzliche Kapitel, Abschnitte, Ergänzungen, alle Animationen sowie die Lösungen zu den Aufgaben befinden sich auf der Homepage zum Buch. Diese Unterlagen können kostenfrei heruntergeladen werden