Untere Schranke (bound) der Bearbeitungsspanne: min. Summe; p j1,2,3 ist Zeilensumme

Transkript

1 4542/ Reihenfolgeplanung Branch and Bound Seite Problemformulierung Unterscheidung zwischen Problemen der Reihenfertigung (Flow-Shop-Probleme ) und der Werkstattfertigung (Job-Shop-Probleme). Die Werkstattfertigung unterscheidet sich von der Fließfertigung, dass der Fluss der Werkstücke nicht gleichgerichtet ist, d.h. die Maschinenfolgen aller Aufträge nicht identisch sind. Ein Ablaufplan ist dann zulässig, wenn bei Einhaltung der Maschinenfolgen der Aufträge keine zwei Operationen jemals gleichzeitig auf derselben Maschine stattfinden. Ein Branch and Bound Verfahren zur Lösung von allgemeinen Flow-Shop-Problemen Berechnen eines Branch and Bound Algorithmus mit M = Maschinen Verfahren nach Ignall und Schrage S. 9 Für eine gegebene partielle Auftragsfolge gilt: t der späteste Fertigstellungszeitpunkt für die Aufträge in auf Maschine M t 2 der späteste Fertigstellungszeitpunkt für die Aufträge in auf Maschine M 2 t der späteste Fertigstellungszeitpunkt für die Aufträge in auf Maschine M Untere Schranke (bound) der Bearbeitungsspanne: für Maschine M : s t p min {p p j j2 j} min. Summe; p j,2, ist Zeilensumme für Maschine M 2 : s t p min {p (Zeit Maschine), ohne Zeitanteil p jx für Maschine M : 2 2 j2 j} s t p j für in t berücksichtigter Auftrag Untere Schranke zur minimalen Zykluszeit : s = max { s, s 2, s } Branch and Boud Verfahren von Ignall und Schrage Schritt : Aufspalten des Anfangsknotens des Verzweigungsbaumes entsprechend des zuerst zu bearbeitenden Auftrags in alternativ partielle Auftragsfolge Schritt 2: Berechnen der Schranken für die neu entstehenden Knoten Schritt : Zur weiteren Verzweigung - Erzeugung partieller Auftragsfolgen - wählt man jeweils den im Verzweigungsbaum befindlichen Knoten mit dem niedrigsten Bound aus und wiederholt Schritt 2 Schritt 4: Das Verfahren endet, wenn ein Endknoten in der letzten Zeile des Verzweigungsbaums (vollständige Auftragsfolge) erreicht wird, dessen Bound nicht größer ist als der niedrigste Bound aller im Verzweigungsbaum übrigbleibenden Knoten, die noch nicht weiter aufgespalten worden bzw. nicht mehr weiter aufspaltbar sind. mit diesen Endknoten ist eine optimale Auftragsfolge erreicht. Beispiel KE S. 4 Melanie Mothes/ Rolf Baumanns WS 08/09 Seite

2 4542/ Reihenfolgeplanung Branch and Bound Seite 2 Knoten K Masch.m Auftr.j X X 2 X X 4 A 7 0 A A Zunächst die Ermittlung der t-werte t = p = t 2 = p + p 2 = + 4 = 7 t = p + p 2 + p = = 7 Dann die Ermittlung der s-werte (Schrankenwerte) Exkurs : Was sind die Schranken? In unserem Beispiel fragen wir nach der optimalen Reihenfolge von 4 Aufträgen auf Fertigungsstufen (X ; X2 ; X) Darstellung der Reihenfolgemöglichkeiten 0 2 nach Jeder Knoten stellt eine Möglichkeit dar und wir ermitteln mit dem Maximalwert aus dem jeweiligen s, s 2, s die Zykluszeit der entsprechenden Möglichkeit. Die auf der. Seite stehende Formel für die s-werte (Schrankenwerte) verbal ausgedrückt : Schranken = Wert t aus Lösungstabelle + Rest der Zeile + min. Spaltensumme unter dem Rest der Zeile untere Schranken für Knoten K s = t + p j + min { p j2 + p j } = + ( ) + min [(+5) ; (9+) ; (2+2)] = 7 s 2 = t 2 + p j2 + min { p j } = 7 + ( ) + min [5 ; ; 2] = s = t + p j = 7 + ( ) = 7 S = max {s ; s 2 ; s } = 7 Melanie Mothes/ Rolf Baumanns WS 08/09 Seite 2

3 4542/ Reihenfolgeplanung Branch and Bound Seite s = Bearbeitungszeit der Auftragsfolge auf. Maschine + Bearbeitungszeit der anderen Aufträge auf der. Maschine + min. Stillstandszeit der.maschine bis alle Aufträge auf. Maschine fertig sind. s 2 = Bearbeitungszeit der Auftragsfolge auf 2. Maschine + Bearbeitungszeit der anderen Aufträge auf der 2. Maschine + min. Stillstandszeit der 2.Maschine bis alle Aufträge auf. Maschine fertig sind. s = Bearbeitungszeit der Auftragsfolge auf. Maschine + Bearbeitungszeit der anderen Aufträge auf der. Maschine. Maximalwert dieser drei s ergibt die min. Zykluszeit dieser Maschinenfolge Knoten K 2 2 Ab jetzt muss t, t 2, t mit Balkendiagramm ermittelt werden/oder rechnen?? längerer Weg! M M2 M Beim Rechnen die Spalten so sortieren wie die A-Werte sind Wert t aus Endtabelle + Rest der Zeile + min Spalte unter dem Rest der Zeile t =+=4 t 2 = max (+4+);(++)=5 t = max (+4+0+5);(+++5)=22 s = t + p j + min {p j2 + p j }= 4 + (7 + 0 ) + min [(9+) ; (2+2)] = s 2 = t 2 + p j2 + min {p j }= 5 + (9 + 2 ) + min [ ; 2] = 8 s = t + p j = 22 + ( + 2) = 7 S = max {s ; s 2 ; s } = Knoten K 2 Rechenweg wie vorher bei A, A + A2 t = +7+ = 2 A A A2 A A A2 t 2 = max +7++ = = = 7 t = max = = = = 22 immer höchsten Wert nehmen = = 5 Melanie Mothes/ Rolf Baumanns WS 08/09 Seite

4 4542/ Reihenfolgeplanung Branch and Bound Seite 4 Dann die s-werte: Wert t aus Endtabelle + Rest der Zeile + min Spalte unter dem Rest der Zeile s = t + p j + min {p j2 + p j }= min [2+2] = s 2 = t 2 + p j2 + min {p j }= min [ 2] = 6 s = t + p j = = 9 S = max {s ; s 2 ; s } = Knoten K 4 Schema: A, A + A4 t = +7+0 = t 2 = max = = = t = max = = = = = = Dann auch wieder die s-werte s = t + p j + min {p j2 + p j }= min [+5] = 7 s 2 = t 2 + p j2 + min {p j }= min [ 5] = 8 s = t + p j = = 9 S = max {s ; s 2 ; s } = 9 Nun eine Darstellung, wenn alle Knoten (rechts fehlt der 4. aus Platzgründen) ausgerechnet werden würden: Melanie Mothes/ Rolf Baumanns WS 08/09 Seite 4

5 4542/ Reihenfolgeplanung Branch and Bound Seite 5 Lösungstableau: Partielle Auftragsfolge ( t, t 2, t ) (s, s 2, s ) s X (, 7, 7) (7,, 7) 7 X 2 (, 2, 7) (, 9, 42) X (7, 6, 29) (7, 5, 46) 46 X 4 (0, 22, 24) (7, 4, 52) 52 X, X 2 (4, 5, 22) (, 8, 7) X, X (0, 9, 2) (7, 4, 9) 9 X, X 4 (, 25, 27) (7, 40, ) X, X, X 2 (2, 22, 7) (, 6, 9) X, X, X 4 (20, 2, 4) (7, 8, 9) 9 Optimale Auftragsreihenfolge: X, X, X 4, X 2 Melanie Mothes/ Rolf Baumanns WS 08/09 Seite 5