Informatik I Tutorium WS 07/08

Transkript

1 Informatik I Tutorium WS 07/08 Vorlesung: Prof. Dr. F. Bellosa Übungsleitung: Dipl.-Inform. A. Merkel Tutorium: 12 Tutor: Jens Kehne Tutorium 13: Dienstag, 05. Februar 2008

2 Agenda des heutigen Tutoriums Übersicht heute Rückblick Rekursion

3 Rückblick Aufgabenstellungen genau lesen! (Mal wieder) Wenn in der Aufgabe steht geben sie eine Belegung an, dann muss insbesondere eine solche Belegung existieren Anderenfalls hieße es Existiert eine Belegung? Falls ja, geben sie eine an oder Geben sie, falls möglich, eine Belegung an Prozentrechnung wiederholen! Bitmaps am besten in 8 Bit-Wörter aufteilen Aber: Herzlichen Glückwunsch, ihr habt (fast) alle den Schein sicher

4 Rekursion

5 Aus der Vorlesung Rekursion Rekursion = Konstruktionsprinzip aus der Mathematik (Induktion), übertragen auf die Informatik Rekursive Funktionen rufen sich selbst auf direkt m() m() indirekt m() n() m() Rekursion und Iteration sind formal äquivalent

6 Rekursion Dinge, für die Rekursion wichtig ist: Mathematische Folgen: a n = a n für die natürlichen Zahlen EBNF: A = aab ab. für die Sprache a n b n Gewisse Algorithmen lassen sich rekursiv viel leichter implementieren als iterativ Beispiele: Verzeichnisbäume, Quicksort Rekursion und Iteration lassen sich ineinander überführen z.b. for (int i = 1; i <= 10; i++) { n += i; Stattdessen auch möglich: public static int rec (int i, int n) { if (i > 10) { return n; return rec (i + 1,n + i);

7 Aufgabe 2: Rekursion Geben sie informell einen Algorithmus, der eine Liste aller Dateien in einem Verzeichnis und allen seinen Unterverzeichnissen erstellt. Lösung: printfiles (Verzeichnis name) für i von 1 bis (Anzahl Dateien in name) if (Datei[i] ist kein Verzeichnis) Gebe Datei[i] aus else printfiles (Datei[i])

8 Aufgabe 3: Vollständige Induktion und rekursive Funktionen Welche der folgenden Rekursionen realisieren eine Funktion, bei der alle Zahlen zwischen n und 100 aufmultipliziert werden. Gehen Sie dabei davon aus, dass 0 < n <= 100 gilt. Beispiel: Für n = 50 soll berechnet werden: 50 * 51 * 52 *... * 99 * 100. fact ist dabei die aus der Vorlesung bekannte Funktion für die normale Fakultät. Begründen Sie Ihre Antwort. Verwenden Sie im positiven Fall einen Beweis durch vollständige Induktion.

9 Lösung a): Ja! Aufgabe 3: Vollständige Induktion und rekursive Funktionen a) static int fact_a(int n) { // assertion: 0 < n <= 100 if (n < 100) return n * fact_a(n + 1); return 100; Beweis über vollständige Induktion. Induktionsanfang (IA): n = 100: fact_a(100) = 100 Induktionsvoraussetzung (IV): Es gilt für n: fact_a(n) = n * (n + 1) * * 100 Induktionsschluss (IS): n-> n - 1 mit (n - 1) > 0: fact_a(n - 1) = (n - 1) * fact_a(n 1 + 1) = (n - 1) * fact_a(n) = (n - 1) * n * (n + 1) *... * 100

10 Lösung b): Ja! Aufgabe 3: Vollständige Induktion und rekursive Funktionen b) static int fact_b(int n) { // assertion: 0 < n <= 100 if (n == 100) return n; return n * fact_b(n + 1); Beweis über vollständige Induktion. Induktionsanfang (IA): n = 100: fact_b(100) = 100 Induktionsvoraussetzung (IV): Es gilt für n: fact_b(n) = n * (n + 1) * * 100 Induktionsschluss (IS): n-> n - 1 mit (n - 1) > 0: fact_b(n - 1) = (n - 1) * fact_b(n 1 + 1) = (n - 1) * fact_b(n) = (n - 1) * n * (n + 1) *... * 100

11 Aufgabe 3: Vollständige Induktion und rekursive Funktionen c) static int fact_c(int n) { // assertion: 0 < n <= 100 return n * fact_c(n + 1); if (n == 100) return n; Lösung d): Nein! Die Funktion terminiert nicht, da der zweite Befehl des Schleifenrumpfes (if(n==100) return n) nie erreicht wird.

12 Derekursivierung int g(int x) { if (B(x)) { S(x); return g(e(x)); else { T(x); return p(x); Falls g nicht in B, S, T, E und p vorkommt int g(int x) { int x1 = x; while (B(x1)) { S(x1); x1 = E(x1); T(x1); return p(x1);

13 Beispiel 1: Derekursivierung Die Methode anfangabgibt eine Liste um die ersten n Elemente gekürzt zurück (oder null, falls die Liste zu kurz ist). Die ursprüngliche Liste soll nicht verändert werden. interface Liste { public Element holeelement(); public void setzeelement(element element); public Liste holenaechstes(); public void setzenaechstes(liste liste); public Liste anfangab(liste liste, int n) { if (n > 0 && liste!= null) return anfangab(liste.holenaechstes(), n-1); else return liste;

14 Beispiel 1: Derekursivierung Unter Verwendung der vorhergehenden Transformation kann diese rekursive Methode in eine iterative Form gebracht werden. Die Parameterliste wird hierbei als Einheit betrachtet. public Liste anfangab(liste liste, int n) { Liste liste1 = liste; int n1 = n; while ((n1 > 0) && (liste1!= null)) { liste1 = liste1.holenaechstes(); n1 = n1-1; return liste1;

15 Beispiel 2: Derekursivierung Rekursive Binärsuche: public suche(int[] feld, int links, int rechts, int wert) { if (links <= rechts) { int mitte = (links+rechts) / 2; if (feld[mitte] < wert) return suche(feld, mitte+1, rechts, wert); else if (feld[mitte] > wert) return suche(feld, links, mitte-1, wert); else if (feld[mitte] == wert) return mitte; else return -1; Obwohl hier ein rekursiver Aufruf mehrmals vorkommt, ist diese Funktion doch rechtsrekursiv. Eine geringfügige Erweiterung der eingangs erwähnten Regel liefert eine Form iterative Form.

16 Beispiel 2: Derekursivierung Iterative Version: public suche(int[] feld, int links, int rechts, int wert) { int links1 = links; int rechts1 = rechts; while (links1 <= rechts1) { int mitte = (links1+rechts1) / 2; if (feld[mitte] < wert) links1 = mitte+1; else if (feld[mitte] > wert) rechts1 = mitte-1; else if (feld[mitte] == wert) return mitte; return -1;

17 Fragen? Questions? Fragen? Fragen? Questions? Fragen? Ques Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Questions? Fragen? Questions? estions? Fragen? Questions? Fragen? Questions?

18 Bis bald

19 Credits Erstellung und Zusammenstellung des Materials: Christian Maier (Zusammenstellung) Stephan Kessler (Überarbeitung und Erweiterung) Prof. Walter F. Tichy (Derekursivierung; Auszug aus den Folien zur VL Softwaretechnik) 19