Informatik I Tutorium WS 07/08

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1 Informatik I Tutorium WS 07/08 Vorlesung: Prof. Dr. F. Bellosa Übungsleitung: Dipl.-Inform. A. Merkel Tutorium: 12 Tutor: Jens Kehne Tutorium 6: Dienstag, 04. Dezember 2007

2 Agenda des heutigen Tutoriums Übersicht heute Rückblick Theorie Schleifeninvariante Halbgruppen und Monoide Praxis String-Manipulation 2

3 Rückblick Begründen sie ihre Antwort meint die ganze Antwort...außerdem muss natürlich eine Antwort dastehen... Schon wieder geschenkte Punkte 3

4 Theorie Schleifeninvariante 4

5 Definition Eine Schleifeninvariante ist eine Zusicherung, die in jedem Schleifendurchlauf gilt. Beispiel: int i = 1; for (i = 2;i<=100;i++) n = n + i; Eine Invariante dafür wäre n k i 1 k ii ( 1) 2 5

6 Aufgabe 1: Schleifeninvariante Gegeben sei folgendes Programmstück: int a = In.readInt(); int b = In.readInt(); if (a > b) { int h = a; a = b; b = h; int z = b; int i = 1; while ((z % a)!= 0){ /*1*/ z += b; /*2*/ i++; /*3*/ Beweisen oder widerlegen Sie die Korrektheit der folgenden Aussagen: a) z == b * i ist eine Schleifeninvariante für die while-schleife. b) kgv(a,b) == kgv(a,z) ist eine Schleifeninvariante für die while-schleife. c) Die while-schleife terminiert. Hinweis: Nutzen Sie geeignete Zusicherungen an den Stellen position 1, position 2 und position 3, um die Beweise zu führen. 6

7 Aufgabe 1.3a: Schleifeninvariante (15T) Lösung a): Beweis über vollständige Induktion. Induktionsanfang: Beim ersten Schleifendurchlauf gilt z == b * i denn (z == b) && (i == 1) Induktionsschluss: Annahme: Beim n-ten Durchlauf gilt bei Schleifenbeginn (position 1) z == b * i int a = In.readInt(); int b = In.readInt(); if (a > b) { int h = a; a = b; b = h; int z = b; int i = 1; while ((z % a)!= 0){ /*1*/ z += b; /*2*/ i++; /*3*/ Zu zeigen: Beim (n+1)-ten Durchlauf gilt bei Schleifenbeginn (position 1) z == b * i Damit muss gelten: Beim n-ten Durchlauf gilt bei Schleifenende (position 3) z == b * i 7

8 Aufgabe 1.3a: Schleifeninvariante (15T) Lösung a) (Fortsetzung): Beweis über vollständige Induktion. Es gelten folgende Zusicherungen: position 1: z alt == b * i alt position 2: z neu == z alt + b position 3: i neu == i alt + 1 int a = In.readInt(); int b = In.readInt(); if (a > b) { int h = a; a = b; b = h; int z = b; int i = 1; while ((z % a)!= 0){ /*1*/ z += b; /*2*/ i++; /*3*/ Somit gilt am Ende der Schleife (position 3): z neu == z alt + b == b * i alt + b == b * (i alt + 1) == b * i neu Durch vollständige Induktion ist damit bewiesen, dass z = b * i am Anfang und am Ende jedes Schleifendurchlaufs gilt. Da der Ausdruck z = b * i am Anfang und am Ende jedes Schleifendurchlaufs gilt, ist nachgewiesen, 8 dass es sich bei diesem Ausdruck um eine Schleifeninvariante handelt.

9 Aufgabe 1.3b: Schleifeninvariante (15T) Lösung b): Beweis durch Gegenbeispiel: Sei beispielsweise a == 3 b == 5 Zu Beginn des ersten Schleifendurchlaufs (position 1) gilt z == b == 5 Somit gilt kgv(a,b) == kgv(3,5) == 15 == kgv(3,5) == kgv(a,z) int a = In.readInt(); int b = In.readInt(); if (a > b) { int h = a; a = b; b = h; int z = b; int i = 1; while ((z % a)!= 0){ /*1*/ z += b; /*2*/ i++; /*3*/ Am Ende des ersten Schleifendurchlaufs (position 3) gilt z neu == b * i neu (siehe Teilaufgabe a)) => i neu == i alt + 1 == == 2 => z neu == b * 2 == 5 * 2 == 10 aber kgv(a, b)!= kgv(a, z neu ) kgv(a, b) == 15 aber kgv(a, z neu ) == 30 9

10 Aufgabe 1.3b: Schleifeninvariante (15T) Lösung c): I) zu Beginn gilt z ==b II) z wächst mit jedem Schleifendurchlauf streng monoton um b. III) a * b ist ein gemeinsames Vielfaches von a und b. int a = In.readInt(); int b = In.readInt(); if (a > b) { int h = a; a = b; b = h; int z = b; int i = 1; while ((z % a)!= 0){ z += b; i++; IV) Aus I), II) und III) => a * b ist obere Schranke für z. V) aus I), II) und IV) => die Schleife terminiert. 10

11 Aufgabe 2: Schleifeninvariante Gegeben sei folgendes Programmstück: public static double exp(byte b, byte e) { // assertion: 0 <= e <= 127 double r = 1; int i = 0; while (i < e) { // assertion when entering loop: (i < e) // position 1 r = r * b; // position 2 i++; // position 3 return r; // return b^e Beweisen oder widerlegen Sie die Korrektheit der folgenden Aussagen: a) r == b i ist eine Schleifeninvariante für die while-schleife. Hinweis: Nutzen Sie geeignete Zusicherungen an den Stellen position 1, position 2 und position 3, um die Beweise zu führen. 11

12 Aufgabe 1.3a: Schleifeninvariante (15T) Lösung a): Beweis über vollständige Induktion. Induktionsanfang: An position 1 gilt im ersten Schleifendurchlauf: r == 1 == b 0 == b i. Induktionsschluss: Annahme: An Position 1 gelte für beliebiges i: r == b i. Zu zeigen: Beim (n+1)-ten Durchlauf gilt bei Schleifenbeginn (position 1):r == b i public static double exp(byte b, byte e) { // assertion: 0 <= e <= 127 double r = 1; int i = 0; while (i < e) { // assertion when entering loop: (i < e) // position 1 r = r * b; // position 2 i++; // position 3 return r; // return b^e Damit muss gelten: Beim n-ten Durchlauf gilt bei Schleifenende (position 3) r == b i 12

13 Aufgabe 1.3a: Schleifeninvariante (15T) Lösung a) (Fortsetzung): Beweis über vollständige Induktion. Es gelten folgende Zusicherungen: Position 1: r alt == b i alt (laut Induktionsvoraussetzung) Position 2: r neu == r alt * b Position 3: i neu == i alt + 1 Somit gilt am Ende der Schleife (position 3): r neu == r alt * b == b i alt * b == b i alt +1 == b i neu public static double exp(byte b, byte e) { // assertion: 0 <= e <= 127 double r = 1; int i = 0; while (i < e) { // assertion when entering loop: (i < e) // position 1 r = r * b; // position 2 i++; // position 3 return r; // return b^e Durch vollständige Induktion ist damit bewiesen, dass r == b i am Anfang und am Ende jedes Schleifendurchlaufs gilt. Da der Ausdruck z == b i am Anfang und am Ende jedes Schleifendurchlaufs gilt, ist nachgewiesen, dass es sich bei diesem Ausdruck um eine Schleifeninvariante handelt. 13

14 Theorie Halbgruppen und Monoide 14

15 Aus der Vorlesung Halbgruppe Die in der Zeichenverarbeitung auftretende Beziehung des Nebeneinanderschreibens von Zeichen lässt sich als eine Halbgruppe auffassen Mathematische Formulierung als Algebra Menge Zeichenreihen über der Grundmenge Operationen. Gesetze HG1: (a. b). c = a. (b. c) Konkatenation Assoziativgesetz Die Eigenschaft der algebraischen Abgeschlossenheit ist erfüllt Die beschriebene Algebra (. HG1, kurz auch als bezeichnet, bildet eine Halbgruppe 15

16 Monoid Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit Einselement Eigenschaft eines Einselements (1) a = a (2) a = a das Einselement ist eindeutig Beweis: Seien, Einselemente = = (Im ersten Schritt wurde die Einselement- Eigenschaft von ausgenutzt, im Zweiten die von ) Beispiel eines Monoids: ist das leere Wort, d.h. die Länge ist 0 falls w n die n-fache Wiederholung des Wortes w bezeichnet, so gilt w 0 = 16

17 Monoid U* über Monoid * In der Informatik werden Monoide U * häufig über anderen Grundmengen als Zeichen gebildet Grundmenge U kann aus Zeichenreihen bestehen, die aus einem anderen Monoid stammen Elemente von U* heißen Listen oder alternativ: Sequenzen, Folgen Notation: Liste: [x 1,x 2,...,x n ], wobei x i U [] ist die leere Liste [U] als alternative Schreibweise für U * Beispiel: U = {Apfel,Birne,Pflaume,Kirsche,Traube [Apfel,Birne], [Pflaume,Kirsche,Traube] sind Listen append([apfel,birne], [Pflaume,Kirsche,Traube]) ist eine alternative Funktionsschreibweise für [Apfel,Birne] [Pflaume,Kirsche,Traube] (Infix-Operator) 17

18 Beispielvorgehen: Nachweis: Halbgruppe Monoid Die gegebene Struktur ist ein Monoid. Die Relation R auf der Menge M ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz und besitzt das Einselement E. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle x, y M gilt, x R y M Assoziativität: für alle x, y, z M gilt, (x R y) R z = x R (y R z) Einselement: für alle x M gilt, E R x = x und x R E = x Die gegebene Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. Die Relation R auf der Menge M ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz, sie besitzt aber kein Einselement. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle x, y M gilt, x R y M Assoziativität: für alle x, y, z M gilt, (x R y) R z = x R (y R z) Einselement: es gibt kein Einselement (Wieso? Begründung!) 18

19 Aufgabe 1: Nachweis: Halbgruppe Monoid Überprüfen Sie, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppen oder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie dürfen zum Beweisen auf schon bekannte Eigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegen genügen begründete Gegenbeispiele. a) Die Addition auf der Menge N 0, der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null. Lösung a): Die Struktur ist ein Monoid. Die Addition auf N 0 ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz und besitzt das Einselement Null. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle x, y N 0 gilt, x + y N 0 Assoziativität: für alle x, y, z N 0 gilt, (x + y) + z = x + (y + z) Einselement: für alle x N 0 gilt, 0 + x = x und x + 0 = x 19

20 Aufgabe 1: Nachweis: Halbgruppe Monoid Überprüfen Sie, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppen oder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie dürfen zum Beweisen auf schon bekannte Eigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegen genügen begründete Gegenbeispiele. b) Die Multiplikation auf der Menge M={r R r > 1, wobei R die Menge der reellen Zahlen ist. Lösung b): Die Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. Die Multiplikation auf R ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz, sie besitzt aber kein Einselement. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle x, y M gilt, x y M Assoziativität: für alle x, y, z M gilt, (x y) z = x (y z) Einselement: es gibt kein Einselement (Die Vermutung das dies die 1 ist, ist falsch, denn 1 liegt nicht M) 20

21 Aufgabe 1: Nachweis: Halbgruppe Monoid Überprüfen Sie, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppen oder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie dürfen zum Beweisen auf schon bekannte Eigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegen genügen begründete Gegenbeispiele. c) Die Vektoraddition mit der Verknüpfung + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) auf der Menge N 0, der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null. Lösung c): Die Struktur ist ein Monoid. Beweis: In beiden Stellen des Vektors findet unabhängig voneinander eine normale Addition wie bei der Struktur in Aufgabenteil a) statt. Von dieser ist bekannt, dass sie abgeschlossen und assoziativ ist und mit der Null ein Einselement, besitzt. 21

22 Aufgabe 1: Nachweis: Halbgruppe Monoid Überprüfen Sie, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppen oder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie dürfen zum Beweisen auf schon bekannte Eigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegen genügen begründete Gegenbeispiele. d) Die Linksidentität mit der Verknüpfung # : a # b = a auf der Menge N 0 der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null. Lösung d): Die Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. Die Linksidentität mit der Verknüpfung # auf N 0 ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz, sie besitzt aber kein Einselement. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle a, b N 0 gilt, a # b = a N 0 Assoziativität: für alle a, b, c N 0 gilt, a # (b # c) = a # b = a = a # c = (a # b) # c Einselement: es gibt kein Einselement (z.b. a # e = a jedes e N 0 ist Rechtseins, aber e # a = e kein e N 0 ist Linkseins ) 22

23 Aufgabe 1: Nachweis: Halbgruppe Monoid Überprüfen Sie, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppen oder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweisen Sie Ihre Aussage. Sie dürfen zum Beweisen auf schon bekannte Eigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegen genügen begründete Gegenbeispiele. e) Die Konkatenation von Zeichenketten (Strings) in Java. Lösung e): Die Struktur ist ein Monoid. Die Konkatenation von Zeichenketten (Strings) in Java ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz und besitzt als Einselement die leere Zeichenkette. Beweis: Abgeschlossenheit: für alle a, b String gilt, a b = a String Assoziativität: für alle a, b, c String gilt, a (b c) = a (bc) = abc = (ab) c = (a b) c Einselement: Der String e= leere Zeichenkette ist das Einselement. Es gilt a = a e und a = e a. 23

24 Praxis String-Manipulation 24

25 Java (String-Manipulation) Es gibt viele verschiedene Wege mit Strings zu arbeiten Viele Dinge lassen sich direkt mit den Methoden des String- Objekts bewerkstelligen (String.length(), String.charAt(int), String.equals(String), String.startsWith(String), ) Für komplexere Anwendungen empfiehlt sich die Umwandlung in andere Datenstrukturen. Hier sind die Folgenden besonders wichtig: char-array StringBuffer Beim char-array handelt es sich um ein normales Array, das jedes Zeichen im String enthält (v.l.n.r.). Für einen String der Länge 10 wird also ein Array der Größe 10 mit den Indizes 0 bis 9 erstellt. Umwandlung erfolgt mit der Methode String.toCharArray() 25

26 Java (StringBuffer) Häufig ist es jedoch angebracht, mit dem komplexen Datentyp StringBuffer zu arbeiten, da dieser viele nützliche (und schnelle) Funktionen bietet (u.a. zur Zeichenersetzung, Vertauschung, Suche, ) Erzeugen eines neuen StringBuffers mittels Konstruktor: StringBuffer sb = new StringBuffer(String); Nützliche Methoden: StringBuffer.length(), StringBuffer.charAt(int), StringBuffer.toString(), StringBuffer.append(Sting), StringBuffer.delete(int, int), StringBuffer.substring(int, int), StringBuffer.replace(int, int, String) Beispielsweise lässt sich im String "Java ist doof!" das letzte Wort folgendermaßen ersetzen: StringBuffer sb = new StringBuffer("Java ist doof!"); sb.replace(9, 13, "klasse"); 26

27 Fragen? Questions? Fragen? Fragen? Questions? Fragen? Ques Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? Questions? Fragen? Questions? estions? Fragen? Questions? Fragen? Questions? 27

28 Bis bald 28

29 Credits Erstellung und Zusammenstellung des Materials: Christian Maier (Zusammenstellung) Stephan Kessler (Überarbeitung und Erweiterung) Till Fischer (Folien zur String-Manipulation) 29