Gierige Algorithmen. Seminar Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Daniel Ziegler Daniel Ziegler Gierige Algorithmen
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1 Gierige Algorithmen Seminar Hallo Welt! für Fortgeschrittene Daniel Ziegler Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
2 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
3 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
4 Allgemeines Anwendung Zur Lösung von Optimierungsproblemen Ein Algorithmus dafür durchläuft meist eine Abfolge von Schritten, in denen jeweils Entscheidungen zu treffen sind. Definition Ein gieriger Algorithmus wählt in jedem Schritt die lokal optimale Lösung. Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
5 Wichtige Eigenschaften - I Optimale-Teilstruktur-Eigenschaft Jede optimale Lösung des Problems beinhaltet optimale Lösungen von Teilproblemen Wesentlich für die Anwendbarkeit von gierigen Algorithmen und dynamischer Programmierung Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
6 Wichtige Eigenschaften - II Greedy-Choice-Property Global optimale Lösung wird durch schrittweise Wahl des lokalen Optimums erreicht Zu lösendes Teilproblem wird in jedem Schritt kleiner Entscheidungen werden nicht rückgängig gemacht Unterschied zur dynamischen Programmierung Vorverarbeitung der Daten für eine effiziente Auswahl meist sinnvoll (z.b. Sortieren) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
7 Gierige-Strategie vs. DP DP Auswahl hängt in jedem Schritt von der Lösung der Teilprobleme ab bottom-up oft rekursiv aufwändigere Vorgehen Überlegung zum benötigt zusätzlichen Speicherplatz (Memoization) Gierige-Strategie Wahl der lokale optimale Lösung in jedem Schritt top-down meist iterativ eher intuitiver Ansatz kaum zusätzlicher Speicherplatz Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
8 Vor- und Nachteile Vorteile Intuitives Verfahren und Vorgehen Schnelle Laufzeit (oft O(n log(n))) Nachteile Nicht alle Optimierungsprobleme sind gierig lösbar Anwendbarkeit und Korrektheit muss bewiesen werden! Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
9 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
10 Münzwechselproblem Aufgabenstellung Ein gegebener Geldbetrag soll durch möglichst wenige Münzen ausgezahlt werden. Als Währung verwenden wir Euro: Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
11 Münzwechselproblem Lösung 1: Restbetrag := Betrag 2: sortiere Münzen absteigend nach Wert w i 3: gehe Münzen der Reihe nach durch: 4: Anzahl i := Restbetrag w i 5: Restbetrag := Restbetrag (Anzahl i w i ) Anzahl i : wie oft Münze mit Wert w i in optimaler Lösung vorkommt Laufzeit: O(m log(m)), wobei m = Anzahl der Münzen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
12 Münzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
13 Münzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Restbetrag: 3,45 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
14 Münzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Restbetrag: 1,45 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
15 Mu nzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Restbetrag: 0,45 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
16 Mu nzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Restbetrag: 0,05 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
17 Mu nzwechselproblem - Beispiel Beispiel Auszahlen des Betrags von 3,45 e Restbetrag: 0,00 e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
18 Münzwechselproblem II Was passiert wenn wir eine andere Währung wählen? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
19 Münzwechselproblem II Was passiert wenn wir eine andere Währung wählen? Deutsche Goldmark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
20 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
21 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 1,42 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
22 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 0,42 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
23 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 0,17 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
24 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 0,07 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
25 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 0,02 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
26 Münzwechselproblem II Auszahlen des Betrags von 1,42 Mark Gierige Lösung Restbetrag: 0,00 Mark Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
27 Münzwechselproblem II Gierige Lösung (1,42 Mark) Optimale Lösung (1,42 Mark) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
28 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
29 Fractional Knapsack Aufgabenstellung Gegeben: Menge M von n Gegenständen mit Gewichten g i und Wert w i (w i, g i N) Rucksack mit Fassungsvermögen g R Gesucht: Faktoren α i [0, 1] sodass n k=1 α k g k g R und n k=1 α k w k maximal (Man kann also Teilmengen von den Gegenständen einpacken) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
30 Fractional Knapsack Lösung 1: berechne Verhältnisse c i := w i g i 2: sortiere Gegenstände absteigend nach c i 3: g rest := g R 4: gehe Gegenstände durch, solange g rest > 0 5: k sei der aktuelle Gegenstand 6: α k := min(g k, g rest ) g k 7: g rest := g rest α k g k Laufzeit: O(n log(n)) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
31 Fractional Knapsack Rucksack 30kg 10kg 15kg 20kg 20kg 100e 120e 100e 140e 0e e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
32 Fractional Knapsack Rucksack 30kg 10kg 15kg 20kg 20kg 100e 120e 100e 140e 0e 10 e kg 8 e kg 5 e kg 7 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
33 Fractional Knapsack Rucksack 30kg 10kg 15kg 20kg 20kg 100e 120e 140e 100e 0e 10 e kg 8 e kg 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
34 Fractional Knapsack Rucksack 20kg 15kg 20kg 20kg 10kg 10 e kg 120e 140e 100e 100e 8 e kg 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
35 Fractional Knapsack Rucksack 5kg 20kg 20kg 15kg 10kg 10 e kg 140e 100e 220e 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
36 Fractional Knapsack Rucksack 5kg 15kg 20kg 15kg 10kg 10 e kg 105e 100e 255e 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
37 0-1 Knapsack Was passiert wenn die Gegenstände nicht mehr teilbar sind? Faktoren α i nun also aus {0, 1} Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
38 0-1 Knapsack Rucksack 30kg 10kg 15kg 20kg 20kg 100e 120e 100e 140e 0e 10 e kg 8 e kg 5 e kg 7 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
39 0-1 Knapsack Rucksack 30kg 10kg 15kg 20kg 20kg 100e 120e 140e 100e 0e 10 e kg 8 e kg 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
40 0-1 Knapsack Rucksack 20kg 15kg 20kg 20kg 10kg 10 e kg 120e 140e 100e 100e 8 e kg 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
41 0-1 Knapsack Rucksack 5kg 20kg 20kg 15kg 10kg 10 e kg 140e 100e 220e 7 e kg 5 e kg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
42 0-1 Knapsack gierige Lösung optimale Lösung 15kg 20kg 10kg 220e 10kg 240e Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
43 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
44 Scheduling Probleme Allgemeines Gegeben: Menge an Aktivitäten oder Tasks Gesucht: Ein hinsichtlich bestimmter Eigenschaften optimaler Ablaufplan Betrachtete Scheduling Probleme Aktivitäten-Auswahl-Problem Mittlere Fertigstellungszeit Unit-Time-Tasks Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
45 Aktivitäten-Auswahl-Problem Aufgabenstellung Gegeben: Menge an Aktivitäten (z.b. Vorlesungen), jeweils mit einem Start- und Endzeitpunkt Aktivitäten konkurrieren um die exklusive Nutzung einer gemeinsamen Ressource (z.b. Hörsaal) Gesucht: Maximale Menge S max von sich zeitlich nicht überschneidenden Aktivitäten Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
46 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
47 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
48 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt? t Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
49 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
50 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer? t Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
51 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer - nein Anzahl Konflikte? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
52 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer - nein Anzahl Konflikte? t Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
53 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer - nein Anzahl Konflikte - nein Endzeitpunkt? Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
54 Aktivitäten-Auswahl-Problem Nach welchem Kriterium soll man die Aktivitäten sortieren? Startzeitpunkt - nein Dauer - nein Anzahl Konflikte - nein Endzeitpunkt - ja Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
55 Aktivitäten-Auswahl-Problem Lösung 1: Aktivitäten aufsteigend nach Endzeitpunkt sortieren 2: S max := {A 0 } 3: A lastinsert := A 0 4: gehe Aktivitäten A i, i 1 der Reihe nach durch: 5: falls sich A i nicht mit A lastinsert überschneidet: 6: S max := S max {A i } 7: A lastinsert := A i 8: sonst: ignoriere A i 9: return S max Laufzeit: O(n log(n)) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
56 Aktivitäten-Auswahl-Problem a b c d e f g Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
57 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
58 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
59 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
60 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
61 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
62 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
63 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
64 Aktivitäten-Auswahl-Problem b d c e a g f Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
65 Mittlere Fertigstellungszeit Aufgabestellung Gegeben: Menge M von n Tasks Jeder Task benötigt d i Zeiteinheiten zur Ausführung Zu jedem Zeitpunkt kann nur ein Task ausgeführt werden Gesucht: Ein Ablaufplan mit minimaler mittlere Fertigstellungszeit der Tasks Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
66 Mittlere Fertigstellungszeit Lösung 1: sortiere Tasks aufsteigend nach Dauer d i 2: gib dies als Ablaufplan aus Laufzeit: O(n log(n)) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
67 Mittlere Fertigstellungszeit Tasks Task a b c d e f g Dauer Sortierte Task Task b a f d e g c Dauer Ende mittlere Fertigstellungszeit: = 11 Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
68 Unit-Time-Task Aufgabenstellung Gegeben: Menge M von n Tasks jeweils mit einem Termin und einer Strafe (zu zahlen, wenn Termin nicht eingehalten wird) Alle Tasks benötigen zur Ausführung eine Zeiteinheit Gesucht: Ablaufplan für die Tasks, sodass die zu zahlende Strafe minimal ist Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
69 Unit-Time-Task Lösung 1: sortiere Tasks absteigend nach Strafe 2: S toolate := 3: gehe Tasks t i der Sortierung nach durch: 4: falls es freien Slot vor Frist von Task t i gibt: 5: wähle davon den spätest möglichen 6: sonst: S toolate := S toolate {t i } 7: verteile alle Tasks aus S toolate beliebig auf die noch freien Slots Laufzeit O(n log(n)) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
70 Unit-Time-Task Tasks Task a b c d e f g Frist Strafe Sortierte Tasks Task d a e b g f c Frist Strafe Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
71 Unit-Time-Task Vollständiger Ablaufplan Slot Task a d g b c e f Frist Strafe Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
72 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
73 Offline Caching Aufgabenstellung Gegeben: Vollassoziativer Cache der Größe n Vorbestimmte Abfolge von Speicherzugriffen Gesucht: Cache-Strategie, sodass Anzahl der Cache-Misses minimal ist Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
74 Offline Caching Lösung Wenn ein Cache-Miss auftritt: Falls Cache nicht voll belegt: lade Datum in den Cache Sonst: verdränge Datum, auf das am längsten nicht mehr zugegriffen wird (am besten nie mehr) Sonst: nichts zu tun, da Datum schon im Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
75 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
76 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
77 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xA Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
78 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xA Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
79 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xA 0xD Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
80 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xA 0xD Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
81 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xA 0xE Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
82 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xA 0xE Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
83 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xA 0xE Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
84 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xA 0xE Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
85 Offline Caching Referenzfolge 0xA, 0xB, 0xD, 0xF, 0xE, 0xF, 0xB, 0xA, 0xD 0xB 0xF 0xD 0xE Cache Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
86 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
87 Tankstellenproblem Aufgabenstellung Gegeben: Mit einem Auto zurückzulegende Wegstrecke der Länge l Reichweite r mit vollem Tank Positionen p i der Tankstellen entlang des Weges Gesucht: Minimale Auswahl an Tankstellen um die Strecke zurücklegen zu können Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
88 Tankstellenproblem Lösung Wähle als nächste Tankstelle immer die am weitesten entfernte und mit der Reichweite noch erreichbare. Beispiel Länge der Strecke: l = 1000 km Reichweite: r = 300 km Positionen der Tankstellen: {200,400,500,700,800,900} (jeweils in km) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
89 Tankstellenproblem km Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
90 Tankstellenproblem km Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
91 Tankstellenproblem km Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
92 Tankstellenproblem km Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
93 Tankstellenproblem km Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
94 Tankstellenproblem - Java 1 void compute ( int [] stations, List < Integer > sol, int range, int end ){ 2 Arrays. sort ( stations ); 3 int currange = range ; 4 int laststation = -1; 5 6 while ( currange < end ){ 7 int farestposstation = -1; 8 for ( int i= laststation +1; i< stations. length && stations [i] <= currange ; i ++) { 9 farestposstation = i; 10 } 11 sol. add ( stations [ farestposstation ]); 12 currange = stations [ farestposstation ] + range ; 13 laststation = farestposstation ; 14 } 15 } Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
95 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
96 Weitere Algorithmen Huffman Codierung (Datenkompression) Graphenalgorithmen: Dijkstra-Algorithmus (kürzester Pfad) Algoritmus von Prim (minimaler Spannbaum) Algoritmus von Kruskal (minimaler Spannbaum) Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
97 Inhalt 1 Einführung Allgemeines Wichtige Eigenschaften Gierige-Strategie vs. dynamische Programmierung Vor- und Nachteile 2 Beispiel Probleme Münzwechselproblem Fractional Knapsack Scheduling Probleme Offline Caching Tankstellenproblem Weitere Algorithmen 3 Quellen Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
98 Quellen Algorithmen - Eine Einführung, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Clifford Stein; Oldenbourg Verlag, 2013 Introduction to The Design and Analysis of Algorithms, Anany Levitin, Pearson, 2007 Hallo Welt! Vortragsfolien von früheren Semestern threadid=698567&start=0&mc=2 Bilder: coins of the German Empire station.svg Daniel Ziegler Gierige Algorithmen / 48
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