Grafik. Computermathematik. Addendum. Literatur. Der Befehl plot

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1 Computermathematik Vertiefung zu MATLAB, Teil 2 Winfried Auzinger Klaus Felsenstein Dirk Praetorius Addendum Standard-T E X unterstützt nur wenige Grafikformate, weil de facto kein Standard für Grafikeinbindung definiert ist Man sollte EPS-Format für Grafiken verwenden (geht immer!) pdftex kann auf JPG-Format siehe z.b. Braune-Lammarsch-Lammarsch unter graphicx-paket bzw. color-paket Entweder EPS direkt erzeugen (z.b. aus Matlab) oder konvertieren z.b. convert file.jpg file.eps in UNIX Literatur Do. 11:4-1:1, FH HS Institut für Analysis und Scientific Computing access/helpdesk/help/techdoc/ Link: Printable Documentation (pdf) PDF-File Graphics ( Seiten) PDF-File D Visualization (208 Seiten) D. Redfern, C. Campbell: The Matlab Handbook Springer-Verlag 1998, (ca. Euro) in Fachbibliothek Mathematik vorhanden Matlab-Skript aus EPROG, Abschnitt Grafik elementare Grafiken Export von Grafiken als EPS-Files Beschriftung von EPS-Grafiken in L A T E X experimentelle Konvergenzrate plot loglog, semilogx, semilogy figure, clf, close hold on, hold off axis, axis on, axis off grid on, grid off box on, box off title, xlabel, ylabel, legend text print 1 % plotgauss.m 2 figure(1) x = -:.:; 4 y = exp(-x.^2); plot(x,y) figure(2) 8 x = -:.01:; 9 y = exp(-x.^2); plot(x,y) Der Befehl plot plot(x,y) plottet jeweils y j über x j dabei x R n, y R n Vektoren gleicher Länge affine Verbindung der Punkte figure(nr) wählt aktive Figure alle Grafik-Befehle werden auf aktive Figure angewendet Existiert Figure nr nicht, wird Fenster geöffnet close(nr) schließt Figure nr close schließt aktive Figure close all schließt alle Figures clf(nur) löscht Figure nr clf löscht aktive Figure Fenster bleibt erhalten 2

2 Optionale Parameter zu plot 1 % plotopt.m 2 figure(1) x = -:.4:; 4 y = exp(-x.^2); plot(x,y, r.-- ) figure(2) 8 x = -:.:; 9 y = exp(-x.^2); plot(x,y, ro, MarkerSize,, MarkerFaceColor, g ) plot(x,y,string) optionaler string gibt Art an blau b, rot r, grün g, schwarz k Punkt., Kreis o, Kreuz x, Plus +, Stern * Linie -, punktiert :, strich-punktiert -., strichliert -- jeweils 1 Option für Farbe/Markerart/Linienart weitere Optionen unter help plot Standard b- = blau/kein Marker/volle Linie plot(x,y,string, opt1,val1,... ) weitere Optionen für alle Plot-Befehle opt1 = vordef. String val1 = neuer Wert z.b. LineWidth (Standard = 0.) z.b. MarkerSize (Standard = ) z.b. MarkerEdgeColor (Standard = auto ) z.b. MarkerFaceColor (Standard = none ) 4 Mehrere Plots in einer Figure 1 % holdon.m 2 x = -:.01:; y = exp(-x.^2); 4 z = x.^2/0; figure(1) plot(x,y, b ) 8 plot(x,z, r ) 9 figure(2) 11 plot(x,y, b ) hold on 1 plot(x,z, r ) 14 hold off Oft will man mehrere Funktionen in einem Graph Jeder neue Plot-Befehl führt zunächst clf aus hold off = automatisches clf im aktiven Figure Dies ist der Standard. hold on = kein automatisches clf im akt. Figure Beschriftung von Plots 1 % demoaxis.m 2 x = -:.01:; y = exp(-x.^2); 4 z = x.^2/0; figure(1) plot(x,y, b ) 8 hold on 9 plot(x,z, r ) hold off 11 axis off 1 figure(2) 14 plot(x,y, b ) 1 hold on 1 plot(x,z, r ) 1 hold off 18 grid on Achsen im Plot axis on (axis off) = Koordinatenachsen grid on (grid off) = Gitterlinien box on (box off) = Koord.achsen als Box axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) setzt Koord.achsen axis liefert aktuellen Achsen-Vektor 1 % demotext.m 2 x = -:.01:; y = exp(-x.^2); 4 z = x.^2/0; plot(x,y, b ) hold on 8 plot(x,z, r ) 9 text(0,1.0, exp(0)=1 ) hold off 11 legend( exp(-x^2), x^2/0 ) 1 xlabel( Intervall [-,] ) 14 ylabel( Funktionswerte ) 1 title( Ein kleines Beispiel ) legend(text1,text2,...) erzeugt Legende in Reihenfolge der plot-befehle legend(text1,text2,...,quadrant) positioniert Leg. in Quadrant quadrant bzw. außerhalb für -1 xlabel(text) beschriftet x-achse ylabel(text) beschriftet y-achse title(text) erzeugt Überschrift text(x,y,text) schreibt Text text an Punkt (x, y) Matlab versteht elementares L A T E X

3 Export von Bildern 1 % demoprint.m 2 x = -:.01:; y = exp(-x.^2); 4 z = x.^2/0; plot(x,y, b-- ) hold on 8 plot(x,z, r ) 9 text(0,1.0, exp(0)=1 ) hold off 11 legend( exp(-x^2), x^2/0 ) 1 xlabel( Intervall [-,] ) 14 ylabel( Funktionswerte ) 1 title( Ein kleines Beispiel ) 1 1 print( -r00, -depsc2, demoprint.eps ) 18 print( -r00, -djpeg, demoprint.jpg ) close print druckt aktuelle Figure aus print(opt1,opt2,...,name) erzeugt File name optionale Strings opt geben an z.b. Auflösung: -r200 = 200dpi (Std. 10dpi) z.b. Dateityp: -deps, -deps2 = EPS s/w -depsc, -depsc2 = EPS farbig -djpeg90 = JPG, Qualität 90% (Std. %) farbige Plots sollten auch s/w erkennbar sein Einbinden in LAT E X 1 % demoprint.tex 2 \documentclass[a4paper,pt]{article} 4 \usepackage{fullpage} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[dvips]{graphicx} 8 9 \begin{document} 11 \begin{figure} \begin{center} 1 \includegraphics[width=\textwidth]{demoprint.eps} 14 \caption{wir binden \texttt{demoprint.eps} ein.} 1 \end{center} 1 \end{figure} 1 18 \end{document} Einbinden von Graphiken aus Matlab in L A T E X mit \includegraphics Für Endversion ist Matlab-Beschriftung hässlich! Kann Matlab-Text durch L A T E X-Text ersetzen: \usepackage{psfrag} vor \includegraphics{filename} verwende \psfrag{from}{to} ersetzt Text from durch L A T E X-Ausdruck to 8 9 Beispiel zu psfrag 1 % psfrag.tex 2 \documentclass[a4paper,pt]{article} 4 \usepackage{fullpage} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[dvips]{graphicx} 8 \usepackage{amsmath} 9 \usepackage{psfrag} 11 \begin{document} 1 \begin{figure} 14 \begin{center} 1 \includegraphics[width=\textwidth]{demoprint.eps} 1 \caption{die Originalbeschriftung aus Matlab.} 1 \end{center} 18 \end{figure} \begin{figure} 21 \begin{center} 22 \psfrag{ein kleines Beispiel}{\hspace*{-mm}% 2 \footnotesize\bf Ein kleines Beispiel} 24 \psfrag{intervall [-,]}{\hspace*{-mm}% 2 \footnotesize\bf Intervall \pmb{$[-,]$}} 2 \psfrag{funktionswerte}{\hspace*{-4mm}% 2 \footnotesize\bf Funktionswerte} 28 \psfrag{exp(0)=1}{\footnotesize$\exp(0)=1$} 29 \includegraphics[width=\textwidth]{demoprint.eps} 0 \caption{die in \LaTeX\ ersetzte Beschriftung.} 1 \end{center} 2 \end{figure} 4 \end{document} Experimentelle Konvergenzrate In Numerischer Mathematik ist häufig h > 0 der Diskretisierungsparameter f(x + h) f(x) z.b. Φ(h) = zur Approximation h der Ableitung Φ(0) = f (x) Für Approximationfehler e h = Φ(h) Φ(0) gilt regelmäßig e h = O(h α ) für h 0 und ein α > 0 d.h. e h C h α mit C > 0 Konstante α heißt Konvergenzrate Dabei sind C und α i.a. unbekannt bzw. bekannt für Spezialfälle, z.b. f C 2 (R) Kann C und α experimentell bestimmen Ansatz: Es gelte e h = Ch α Für zwei h 1 > h 2 > 0 berechne e 1 = e h1, e 2 = e h2 Division liefert e 1 /e 2 = (h 1 /h 2 ) α Logarithmieren liefert α = log(e 1/e 2 ) log(h 1 /h 2 ) sog. experimentelle Konvergenzrate 11

4 Ein glattes Beispiel Visualisierung Gegeben seien h 1 > h 2 > 0 und zugehörige e 1, e 2 Plotte Punkte in einen Graph x-achse ist x = log(1/h) y-achse ist y = log(e) Gerade durch ( log(1/h j ), log(e j ) ) hat Steigung m = log(e 1) log(e 2 ) log(1/h 1 ) log(1/h 2 ) = log(e 1/e 2 ) log(h 2 /h 1 ) also m = log(e 1/e 2 ) = α ist exp. Konv.rate log(h 1 /h 2 ) Der Befehl loglog loglog(x,y) entspricht plot(log(x),log(y)) optionale Parameter wie bei plot zur Visualisierung der exp. Konvergenzrate weitere plot-varianten: semilogx, semilogy 1 % demologlog.m 2 h = 2.^-[0:1]; x = 1; 4 f exp(x); fprime exp(x); %*** einseitiger Differenzenquotient 8 phi = (f(x+h)-f(x))./h; 9 e = abs(fprime(x)-phi); loglog(1./h,e, bx- ) 11 hold on 1 %*** zentraler Differenzenquotient 14 phi = (f(x+h)-f(x-h))./h/2; 1 e = abs(fprime(x)-phi); 1 loglog(1./h,e, r.- ) 1 18 %*** Referenzgeraden 19 loglog(1./h,h, b: ) % Gefaelle 1 20 loglog(1./h,h.^2, r: ) % Gefaelle 2 21 hold off 22 2 title([ Differenzenquotient, \approx e = exp\prime(1) ]) 2 legend( einseitig, zentral,... 2 \alpha=1, \alpha=2 ) f(x + h) f(x) einseitig Φ(h) = h maximale Konvergenzrate α = 1 für f C 2 f(x + h) f(x h) zentral Φ(h) = 2h maximale Konvergenzrate α = 2 für f C 1 Ein weniger glattes Beispiel 1 % demo2loglog.m 2 h = 2.^-[0:1]; x = 0; 4 f x.^2. + x.^2; fprime 2.*x.^1. + 2*x; %*** einseitiger Differenzenquotient 8 phi = (f(x+h)-f(x))./h; 9 e = abs(fprime(x)-phi); loglog(1./h,e, bx- ) 11 hold on 1 %*** zentraler Differenzenquotient 14 phi = (f(x+h)-f(x-h))./h/2; 1 e = abs(fprime(x)-phi); 1 loglog(1./h,e, r.- ) 1 18 %*** Referenzgeraden 19 loglog(1./h,h, b: ) % Gefaelle 1 20 loglog(1./h,h.^1., k: ) % Gefaelle loglog(1./h,h.^2, r: ) % Gefaelle 2 22 hold off 2 24 title([ Differenzenquotient,... 2 \approx f\prime(0),... 2 für f(x)=x^{2.}+x^2 ]) 2 legend( einseitig, zentral, \alpha=1, \alpha=1., \alpha=2 ) Visualisierung Visualisierung von Funktionen f : R 2 R meshgrid mesh, surf fill contour colorbar, colormap 14 1

5 0. Eine Demofunktion Tensorgitter 1 % demomesh.m x = linspace(-2,2,20); 4 y = linspace(-2,2,20); [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = f(x,y); 8 figure(1) 9 mesh(x,y,z) 11 figure(2) surf(x,y,z) 1 colorbar 0 Unterteilung x R n von Intervall I, n Knoten Unterteilung y R m von Intervall J, m Knoten [X,Y] = meshgrid(x,y) ein Tensorgitter für I J d.h. mn Knoten in I J X, Y R m n mesh(x,y,z) plottet Fkt.werte über Tensorgitter Farbe gibt Funktionswert wieder f(x, y) = x e (x2 +y 2 ) surf(x,y,z) plottet Fkt.werte über Tensorgitter interpoliert zwischen den Knoten colorbar gibt Farbkodierung für z = f(x, y) aus colormap(rgb) wählt RGB-Map rgb [0,1] N z.b. jet, gray, copper, hot, cool, summer, winter 1 1 Konturplot 1 % democontour.m x = linspace(-2,2,0); 4 y = linspace(-2,2,0); [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = f(x,y); 8 %*** Konturlinien farbig plotten 9 figure(1) contour(x,y,z) 11 colorbar( SouthOutside ) 1 %*** Konturlinien rot, bezeichnet 14 figure(2) 1 C = contour(x,y,z, , LineColor, r, LineWidth,2); 1 clabel(c) contour(x,y,z) zeigt Konturlinien farbig optionale Parameter Anzahl der Konturlinien (Std. ) weitere Wunschmöglichkeiten wie bei plot Beschriftung der Konturlinien mit Z-Wert mittels clabel Projektion auf Ebene 1 % demoview.m x = linspace(-2,2,0); 4 y = linspace(-2,2,0); [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = f(x,y); 8 figure(1) 9 surf(x,y,z); view(2) 11 colorbar 1 figure(2) 14 surf(x,y,z, LineStyle, none ); 1 colorbar 1 view(2) view(azimuth,elevation) : Ort des Betrachters elevation = Höhenwinkel über x-y-ebene azimuth = Winkel in der x-y-ebene view(2) = 2D Betrachtung von oben auf x-y-ebene d.h. azimuth=0, elevation=90 view() = Standard-D-Einstellung [azimuth,elevation]=view liefert aktuelle Werte 18 19

6 Nicht-Tensorgitter 1 % demogriddata.m 4 %*** Bekannte Funktionswerte erzeugen x = 4*rand(1,200)-2; % Zufallszahlen in [-2,2] y = 4*rand(1,200)-2; % Zufallszahlen in [-2,2] z = f(x,y); 8 9 %*** Tensorgitter erzeugen xx = linspace(-2,2,0); 11 yy = linspace(-2,2,0); [X,Y] = meshgrid(xx,yy); 1 14 %*** Funktionswerte approximieren 1 Z = griddata(x,y,z,x,y); 1 1 %*** Approximierte Funktion plotten 18 surf(x,y,z) 19 hold on %*** Zufallspunkte eintragen 22 plot(x,y,-.*ones(size(x)), k. ) 2 hold off Falls Datenpunkte (x, y) nicht auf Tensorgitter Tensorgitter erzeugen mit meshgrid Funktionswerte auf Tensorgitter aus bekannten Daten approximieren Dreiecksgitter 1 % demodelaunay.m 4 %*** Bekannte Funktionswerte erzeugen x = 4*rand(1,00)-2; % Zufallszahlen in [-2,2] y = 4*rand(1,00)-2; % Zufallszahlen in [-2,2] z = f(x,y); 8 9 %*** Triangulierung erzeugen tri = delaunay(x,y); 11 %*** approximierte Funktion visualisieren 1 figure(1) 14 trimesh(tri,x,y,z); 1 1 figure(2) 1 trisurf(tri,x,y,z); %*** Triangulierung zeigen 20 figure() 21 trimesh(tri,x,y,zeros(size(x)), EdgeColor, k ) 22 view(2) Erzeugt Delaunay-Triangulierung der Punktmenge in Dreiecke Knoten dieser Dreiecke = vorgegebene Punkte Knoten jedes Dreiecks bestimmen eind. Kreis dieser Kreis enthält keine weiteren Punkte möglichst große Innenwinkel der Dreiecke numerisch günstig Weitere Befehle Plots in Polarkoordinaten : polar Balkendiagramme : hist, bar, barh Tortendiagramme : pie, pie Flächen/Volumina farbig füllen : fill, fill Vektorfelder : compass, quiver, quiver Animationen 1 % demomovie.m x = linspace(-2,2,20); 4 y = linspace(-2,2,20); [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = f(x,y); 8 mesh(x,y,z) 9 storeaxis = axis; 11 t = 0:.01:1; mov = moviein(length(t)); 1 14 for j = 1:length(t) 1 mesh(x,y,t(j)*z) 1 axis(storeaxis); 1 mov(j) = getframe; 18 end Kann einzelne Bilder zu Filmen zusammenfügen moviein, getframe, movie avifile, addframe, close, movie2avi 22 Schwachbesetzte Matrizen 2

7 Schwachbesetzte Matrizen A R m n ist schwach besetzt (engl. sparse) falls die meisten Einträge 0 d.h. Anzahl #{(i, j) A ij 0} = O(m + n) für m, n z.b. Diagonalmatrizen, Tridiagonalmatrizen etc. insb. effizientere Speicherung möglich Naive Speicherung N := #{(i, j) A ij 0} Anzahl Nicht-Null-Einträge Vektoren I R N, J R N, a R N 1 k N, i = I(k), j = J(k) A ij = a(k) Nachteil: Zugriff auf A ij erfordert ggf. O(N) Operationen Beispiel A = a = (,, 9,,8,4 8,8 2,,9,2,1, 1) I = (1,2,4 2,,,,4 1,4,, 2,,) J = (1,1,1 2,2,2,2, 4,4,4,4,,) CCS-Format Matlab verwendet zur Ausgabe naives Format Matlab verwendet CCS-Format zur Speicherung Compressed Column Storage (auch: Harwell-Boeing-Format) N := #{(i, j) A ij 0} Anzahl Nicht-Null-Einträge Vektoren I R N, a R N wie zuvor Vektor J R m+1 wie folgt J(k) gibt an, wo k-te Spalte im Vektor beginnt für 1 k m J(m + 1) := N + 1 Beispiel A = a = (,, 9,,8,4 8,8 2,,9,2,1, 1) I = (1,2,4 2,,,,4 1,4,, 2,,) J = (1 4 8, 14 1), d.h. N = Sparse-Matrizen in Matlab Anlegen mittels sparse z.b. A = sparse(m,n); oder Konversion A = sparse(matrix); Rückkonversion mittels Afull = full(a); Matlab verwendet optimierte Algorithmen für Sparse-Matrizen wesentlich schneller als vollbesetzte Matrizen Das Ändern von Sparse-Matrizen ist teuer Speicher muss kopiert werden Aufbau von Sparse-Matrizen kann teuer sein wenn man A = sparse(m,n); und dann A(i,j) schreibt besser: naive Datenstruktur I, J, a R N erzeugen A = sparse(i,j,a,m,n); erzeugen Matlab und C Einbinden von C-Code in Matlab interne Datenspeicherung von Matlab Compiler mex mexfunction statt main 2 2

8 Der Datentyp mxarray MEX-Schnittstelle Es ist möglich, mit der MEX-Schnittstelle aus Matlab heraus, C-Code aufzurufen Alle Matlab-Variablen werden im Datentyp mxarray gespeichert ( Matlab-eigene Struktur!) Es gibt in Matlab keine Skalare oder Vektoren, sondern nur Matrizen ( 1 1, n 1, 1 n) Matrizen sind spaltenweise gespeichert Matlab nutzt intern LAPACK! Real- und Imaginärteil werden getrennt gespeichert Zugriff auf die einzelnen Informationen einer Matrix (z.b. size) durch spezielle MEX-Funktionen Erlaubt Realisierung von Teilproblemen in C Geschwindigkeitsgewinn! Dokumentation (auch pdf) im Netz: access/helpdesk/help/techdoc/matlab external/ Alle Matlab-Variablen intern so gespeichert! Skalare, Vektoren, (vollbesetzte) Matrizen ohne Unterschied als Matrizen gespeichert spaltenweises Speichern von Real-/Imaginärteil intern wird LAPACK verwendet (Fortran!) mxgetpr, mxgetpi liefern Pointer auf Speicher mxclassid liefert Typ (double, single,...) mxisdouble etc. überprüft Typ mxgetm, mxgetn liefert Dimension Schwach besetzte Matrizen im CCS-Format siehe mxgetpr, mxgetpi liefern Pointer auf Einträge mxgetir, mxgetjc liefern Pointer auf Index-Felder mxgetnzmax liefert Anzahl nicht-trivialer Einträge Länge der Vektoren in Speicherformat Strings = Vektoren vom Typ char wie Vektor gespeichert (s.o.) kein Null-Byte am Ende, da Länge bekannt! Strukturen, Cell Arrays sind Vektoren/Matrizen mit Datentyp mxarray* Ein MEX-Beispiel Erstellen von MEX-Files C-Code schreiben, main() entfällt, stattdessen: void mexfunction(int nlhs, mxarray** plhs, int nrhs, mxarray** prhs) nlhs = Number Left-Hand Side = Anzahl Output-Parameter plhs = Pointer Left-Hand Side = Array der Output-Parameter (Allokieren!) nrhs = Number Right-Hand Side = Anzahl Input-Parameter prhs = Pointer Right-Hand Side = Array der Input-Parameter (Auslesen!) C-Code in Matlab compilieren mit mex file.c erzeugt neuen Matlab-Befehl file C-Compiler im Lieferumfang enthalten! 1 #include "mex.h" 2 void mexfunction(int nlhs, mxarray** plhs, 4 int nrhs, const mxarray** prhs) { int i, j; double *mpointer, *npointer; 8 int M, N; 9 double *A; 11 if (nlhs!= 1) mexerrmsgtxt("error: one output parameter!"); 1 else if (nrhs!= 2) 14 mexerrmsgtxt("error: two input parameters!"); 1 1 /* We skip further parameter checks */ 1 18 mpointer = mxgetpr(prhs[0]); 19 npointer = mxgetpr(prhs[1]); 20 M = (int) mpointer[0]; 21 N = (int) npointer[0]; 22 2 /* Create and fill matrix A */ 24 plhs[0] = mxcreatedoublematrix(m,n,mxreal); 2 A = mxgetpr(plhs[0]); 2 for (i=0; i<m; ++i) { 2 for (j=0; j<n; ++j) { 28 A[i+j*M] = i+j*m; 29 } 0 } 1 } Compilieren in Matlab mit mex mexdemo.c Erzeugt neuen Matlab-Befehl mexdemo A=mexdemo(2,); erzeugt A=[0 2 4 ; 1 ] 0 1