Chapter 4. Relationenalgebra. Lecture Datenbanken Pierre Fierz. Berner Fachhochschule Technik und Informatik.

Transkript

1 Chapter 4 Lecture Datenbanken Berner Fachhochschule Technik und Informatik 4.1

2 Contents

3 Die Lernziele dieses Kapitels. 1 kennen 2 Operationen der kennen (σ) (π) Der natürliche Verbund ( ) Die (, \) die Umbenennung (β). 3 Anfragen mit formulieren 4 Grenzen der kennen 5 Optimieren der Ausdrücke 6 Kurze Einführung im Relationen-Tupelkalkül 4.3

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5 Was ist Die erlaubt es aus gegebenen Relationen neue zu gewinnen. Die ist Bestandteil des Relationenmodells. Sie enthält einen Satz von implizit definierten (generischen) Operationen. Implizit definiert heisst, dass die Semantik dieser Operationen nicht anwendungsspezifisch ist. Das Resultat einer Operation ist immer eine Relation Die ist der dynamische Teil des Relationenmodells. 4.5

6 Eigenschaften Die relationenalgebra hat eine Reihe von positiven Eigenschaften. Abgeschlossenheit: Das Resultat jeder Operation ist eine Relation. Sichere Sprache: Jeder korrekte Ausdruck liefert in endlicher Zeit ein endliches Resultat. Effizienz: Die Operationen der Algebra sind effizient implementierbar (polynomiale Zeitkomplexität). Optimierbarkeit: Ausdrücke der sind algebraisch optimierbar. : Die der ist eingeschränkt. Rekursive Anfragen sind nicht möglich. 4.6

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8 σ Die wählt Tupel aus einer Relation aus. Das Ergebnis ist wieder eine Relation über das gleiche Relationenschema. Als sbedingungen sind vorgesehen: Vergleich eines Attributs mit einer Konstanten Vergleich eines Attributs mit einem anderen Attribut Resultat der Resultat von σ 4.8

9 σ (2) Formale Definition Gegeben seien r Rel(R), A, B R, mit dom(a) = dom(b), a dom(a) und θ {<,, =, >,, like} σ Aθa (r) := {t t r t(a)θa} σ AθB (r) := {t t r t(a)θt(b)} Beispiel Selektieren aller Mitarbeiter die Müller heissen σ Name= Müller (Mitarbeiter) mnr Name AhvNr Plz Ort Geschlecht Geburtsdatum anr 1 Müller Zürich M

10 σ (3) Beispiel (forts.) Selektieren aller Mitarbeiter, deren Nummer gleich der Abteilungsnummer ist. σ mnr=anr(mitarbeiter) mnr Name AhvNr Plz Ort Geschlecht Geburtsdatum anr 1 Mueller Zuerich M Meyer Bern M Ernst Basel M Schmid Bern M

11 σ (4) Bei der können mehrere atomare Bedingungen verknüpft werden. Die erlaubten Operatoren sind (and), (or) und (not). Wie üblich können die Ausdrücke auch geklammert werden. Beispiel komplexe Bedingung Wir wollen alle Mitarbeiter selektieren, die Meier oder Schmid heissen und in Bern wohnen σ (Name= Meier Name = Schmid ) Ort = Bern (Mitarbeiter) mnr Name AhvNr Plz Ort Geschlecht Geburtsdatum anr 4 Schmid Bern M Meier Bern M Meier Bern W Meier Bern M

12 π Die definiert eine Teilmenge X R des Relationenschema. Das Resultat ist eine Relation über das Schema X. Alle Tupel aus der Ursprünglichen Relation werden auf Tupel abgebildet, die nur noch die Werte der Attribute in X enthalten. Im Resultat werden Tupel mit gleichem Wert bis auf ein Tupel eliminiert. Resultat der Resultat von π 4.12

13 π (2) Hier noch die formale definition der Projection. Definition Gegeben seien r Rel(R) und X R Beispiel π X (r) := {t(x) t r} Wir wollen alle Paare von Postleitzahlen und Orte der Mitarbeiter bestimmen. π {Plz, Ort}(Mitarbeiter) Plz Ort 4007 Basel 3006 Bern 3012 Bern 3210 Biel 1012 Genf 1210 Lausanne 3601 Thun 8403 Winterthur 8012 Zuerich 4.13

14 Rechenregeln für und Es sei R ein Relationenschema und r Rel(R) eine Relation über R: (i) Z Y R π Z (π Y (r)) = π Z (r) (ii) Z, Y R Z Y π Z (π Y (r)) = π Z Y (r) (iii) σ c1 (σ c2 r) = σ c2 (σ c1 r) dabei sind c 1 und c 2 beliebiege Bedingungen. (iv) attr(c) Y R π Y (σ C (r)) = σ C (π Y (r)) 4.14

15 Der Natürliche Verbund Der natürliche Verbund oder (eng. natural Join) verknüpft zwei Relationen über alle gemeinsamen Attribute. Es werden Tupel mit gleichen Attributwerten über die gemeinsamen Attribute zu einem neuen Tupel verbunden. Verbundoperation A a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b1 a5 b5 B b c b1 c1 b2 c1 b3 c3 nat. Verbund A B a b c a1 b1 c1 a2 b2 c1 a3 b3 c3 a4 b1 c1 4.15

16 Der Natürliche Verbund (2) Hier die formale Definition Definition Gegeben seien r 1 Rel(R 1 ) und r 2 Rel(R 2 ) r 1 r 2 := {t t tupel über R 1 R 2 t(r 1 ) r 1 t(r 2 ) r 2 } Mitarbeiter einer Abteilung Wir möchten die Namen aller Mitarbeiter der Abteilung "A" bestimmen. π anr,aname,mnr,name (σ AName= A (Abteilung Mitarbeiter)) anr aname mnr name 1 A 1 Müller 1 A 5 Meier 1 A 9 Dittrich 1 A 13 Rohner 1 A 14 Glauser 1 A 15 Jost 1 A 22 Bieri 4.16

17 Der Natürliche Verbund (3) Hier noch zwei Speziallfälle für den Natürlichen verbund. 1 Beide Relationenschematas sind gleich R 1 = R 2 In diesem Fall ist das Relationenschema des Resultats R 1 und es gilt r 2 (R 2 ) = r 2 (R 1 ) Ein Tupel t ist genau dann im Resultat, wenn t r 1 (R 1 ) t r 2 (R 1 ) d.h., r 1 (R 1 ) r 2 (R 2 ) = r 1 (R 1 ) r 2 (R 2 ) 2 Beide Relationenschematas sind disjunkt R 1 R 2 = In diesem Fall können Tupel aus r 1 (R 1 ) und r 2 (R 2 ) beliebig kombiniert werden. d.h., r 1 (R 1 ) r 2 (R 2 ) = r 1 (R 1 ) r 2 (R 2 ) 4.17

18 , \ und Die relationale Algebra kennt die üblichen Mengentheoretischen Operationen Die Vereinigung zweier Relationen Die Differenz zweier Relationen Der Durchschnitt zweier Relationen Die Operationen sind nur möglich, wenn die Relationenschematas gleich (kompatibel) sind. r1 r1 r1 r2 r2 r2 Vereinigung Differenz Durchschnitt 4.18

19 , \ und (2) Formale definition der Definition Gegeben seien r 1, r 2 Rel(R) r 1 r 2 := {t t r 1 t r 2 } r 1 \ r 2 := {t t r 1 t / r 2 } Standort der Abteilung Wir suchen alle Abteilungen, die Sowohl Standort Bern wie auch Standort Berlin haben. Abteilung (π anr (σ Standort= Bern (Standort)) π anr (σ Standort= Berlin (Standort))) anr AName 1 A 3 C 4.19

20 , \ und (3) Der Durschnitt wird nicht als Grundoperation der definiert. Er kann mit Hilfe der Differenz folgendermassen konstruiert werden: r 1 r 2 := r 1 \ (r 1 \ r 2 ) 4.20

21 , \ und (4) sind nur definiert, wenn die Schemata der beiden Operanden gleich sind. Zwei Schemata R 1 und R 2 heissen kompatibel, wenn R 1 und R 2 dieselbe Anzahl Elemente haben und Die Attribute von R 1 und R 2 haben (paarweise) gleiche Domänen Kompatible Schemata können mit Hilfe der gleich gemacht werden. Daher sind auch auf Relationen mit kompatiblen Schemata möglich. 4.21

22 Die β Die weist einem Attribut A des Relationenschemas einer Relation r(r) einen neuen Namen B aus dem Universum zu. Für die Domänen muss gelten dom(a) = dom(b) Diese Operation wird oft vergessen. Sie ist aber erforderlich, um etwa zwei Relationenschemata für eine Vereinigung kompatibel zu machen. Auch für Selfjoins (Join einer Relation mit sich selbst) ist die Umbenennung unbedingt erforderlich. 4.22

23 Die β (2) Formale Definition Gegeben seien r Rel(R), A R, B / R \ {A}, R := (R \ {A}) {B}, dom(a) = dom(b) β B A (r) := {t t r : t (R \ {B}) = t(r \ {A}) t (B) = t(a)} Mitarbeiter und Vorgesetzter Wir wollen die Nummer und die Namen der Mitarbeiter mit dem Namen ihres Vorgesetzten ausgeben π mnr,name,vorgesetzter (Mitarbeiter) β Vorgesetzter mnr, VName Name(π mnr,name (Mitarbeiter)) mnr Name Vorgesetzter VName 23 Ackermann 15 Jost 6 Albrecht 2 Meyer 20 Bauer 8 Meier 22 Bieri 9 Dittrich

24 Weitere Rechenregeln Es sei r 1 Rel(R 1 ) und r 2 Rel(R 2 ). Dann gilt: (i) r 1 r 2 = r 2 r 1 (ii) attr(c) R 1 σ C (r 1 r 2 ) = σ C (r 1 ) r 2 (iii) attr(c) R 1 R 1 = R 2 σ C (r 1 \ r 2 ) = σ C (r 1 ) \ r 2 (iv) attr(c) (R 1 R 2 ) σ C (r 1 r 2 ) = σ C (r 1 ) σ C (r 2 ) (v) V (R 1 R 2 ) π V (r 1 r 2 ) = π V (π W (r 1 ) π U (r 2 )) mit W = R 1 (V R 2 ), U = R 2 (V R 1 ) (vi) Sei A R 1 π A (r 1 r 2 ) = π A (π A (R1 R 2 )(r 1 ) r 2 ) 4.24

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26 Ausdrücke der Mit Hilfe der Operatoren können wir die Ausdrücke der über ein Datenbankschema definieren. Die Elementaren Ausdrücke sind die Relationenschemata, die die darunterliegende Relation darstellen Definition Sei D := (R, Γ) ein erweitertes Datenbankschema mit R = {R 1,..., R k }. Die Menge RA D der Ausdrücke der (über D) wird rekursiv wie folgt definiert: (i) R i R : R i RA D (ii) Sind E 1, E 2 RA D und R(E 1 ), R(E 2 ) bezeichnen die durch E 1 bzw E 2 definierten Relationenschemata, dann gilt: 1 σ C (E1) RA D falls C eine Bedingung ist und attr(c) R(E 1 ) 2 π X (E1) RA D falls X R(E 1 ) 3 E 1 E 2 RA D 4 E 1 E 2, E 1 \ E 2 RA D falls R(E 1 ) = R(E 2 ) 5 β B A (E1) RA D falls A R(E 1 ) B / (R(E 1 ) \ {A}) (iii) nur solche Ausdrücke gehören zu RA D, welche durch endlich wiederhohlte Anwendung von (i) und (ii) entstehen. 4.26

27 Ausdrücke der (2) Die einfachsten Ausdrücke der Algebra sind Relationenschemata. Die Auswertung dieses Ausdrucks ist die entsprechende Relation in der Datenbank. Alle anderen Ausdrücke werden durch wiederholte Anwendung der Operatoren gebildet. Ausdrücke im Firmenbeispiel Mitarbeiter π mnr, Name, Vorname (σ Name = Meier (Mitarbeiter Angehoeriger)) σ AName= A (π mnr,name (Mitarbeiter) (MitProj (Projekt Abteilung))) 4.27

28 Ausdrücke der (3) Wir wollen noch Fragen, wenn zwei Ausdrücke E 1 und E 2 äquivalent ( ) sind. Dies ist der Fall, wenn für alle Datenbanken über das Schema die Ausführung von E 1 dasselbe Resultat liefert wie die Ausführung von E 2. Definition Sei E RA D so schreiben wir v E (d) für die Auswertung von E bezüglich d Dat(R) Zwei Ausdrücke E 1, E 2 RA D heissen äquivalent, i.z. E 1 E 2, falls gilt: d Dat(R)) : v E1 (d) = v E2 (d) 4.28

29 Codd-Vollständigkeit Die der ist ein Massstab für andere Sprachen Jede relationale Datenbanksprache L D sollte mindestens die gleiche haben wie die relationale Algebra. Solche Sprachen nennt man Codd-Vollständig Definition Sei D := (R, Γ) ein erweitertes Datenbankschema und L D eine beliebige (relationale) Sprache. L D heisst Codd-vollständig, wenn E RA D Ẽ L D mit E Ẽ Die Sprache SQL ist Codd-Vollständig 4.29

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31 der Die der ist beschränkt. Die transitive Hülle einer binären Relation kann nicht berechnet werden. Die transitive Hülle wird wie folgt definiert: Definition Sei R = {a, b} ein Relationenschema mit dom(a) = dom(b) und r Rel(R). Die transitive Hülle r + von r, ist wie folgt definiert: (x, y) r (x, y) r + (x, y) r + (y, z) r + (x, z) r

32 der (2) Binäre Relation Nachfolgend ist eine binäre Relation und der dazugehörige Graph angegeben r a b

33 der (3) Transitive Hülle der binären Relation Nachfolgend ist die transitive Hülle der binären Relation angegeben r + a b

34 der (4) Die transitive Hülle kann mit der nicht berechnet werden Mit der Relationalenalgebra ist es aber möglich alle Wege der Länge k für eine gegebene Konstante k finden Alle Wege der Länge k r π a,b1 (r β b1 b,b a(r)) π a,b2 (r β b1 b,b a(r) β b2 b,b 1 a(r))... π a,bk (r β b1 b,b a(r)... β bk b,b k 1 a(r)) 4.34

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36 der Alle Operationen der haben polynomiale R 1, R 2 seien zwei Relationenschemata und r 1 REL(R 1 ), r 2 REL(R 2 ) zwei Relationen mit n beziehungsweise m Tuppels. Operation σ C (r 1 ) π V (r 1 ) r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 \ r 2 β A B(r 1 ) O(n) O(n log 2 (n)) O(max(n, m) log 2 (max(n, m))) O(max(n, m) log 2 (max(n, m))) O(max(n, m) log 2 (max(n, m))) O(1) Somit ist jeder Ausdruck in polynomialer Zeit berechenbar 4.36

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38 Optimieren von SPJ-Ausdrücken SPJ-Ausdrücke enthalten nur en, en und Joins. SPJ-Ausdrücke können einfach optimiert werden. Dazu beachten wir: 1 Die und die verringern i.a. die Anzahl Tupel (und Kolonnen) 2 Die ist schneller als die und als Joins. Darum wird versucht, zuerst die en, dann die en und am Schluss die Joins durchzuführen. SPJ-Ausdruck Wir wollen den folgenden Ausdruck optimieren: π Name,pNr,PName (σ Name= Meier Wochenstunden > 10 AName = B Ort= Bern (Mitarbeiter MitProj Projekt Abteilung)) 4.38

39 Optimieren von SPJ-Ausdrücken (2) ( Als erstes werden die Bedingungen in konjunktive Normalform umgewandelt Anschliessend werden die Konjunktionen aus dem Ausdruk eliminiert Wir erhalten de neuen Ausdruck: SPJ-Ausdruk ohne Konjunktionen) π Name,pNr,PName (σ Name= Meier (σ Wochenstunden > 10 (σ AName = B (σ Ort= Bern (Mitarbeiter MitProj Projekt Abteilung))))) 4.39

40 Optimieren von SPJ-Ausdrücken (3) Nun bauen wir den Syntaxbaum des Ausdrucks auf. Syntaxbaum SPJ-Ausdruck π pnr,wochenstunden,pname σ name= Meier σ Wochenstunden > 10 σ AName= B σ Ort= Bern Mitarbeiter MitProj Projekt Abteilung 4.40

41 Optimieren von SPJ-Ausdrücken (4) Alle en werden nach den Regeln der soweit wie möglich nach unten verschoben. Syntaxbaum SPJ-Ausdruck 1. π Name,pNr,PName σ Name= Meier σ Ort= Bern σ Wochenstunden > 10 Mitarbeiter MitProj Projekt σ AName= B Abteilung 4.41

42 Optimieren von SPJ-Ausdrücken (5) Alle en werden nach den Regeln der soweit wie möglich mit den Joins vertauscht. Syntaxbaum SPJ-Ausdruck 2. π Name,pNr,PName π mnr,name σ Name= Meier σ Wochenstunden > 10 σ Ort= Bern Mitarbeiter MitProj π pnr,pname,anr Projekt σ AName= B Abteilung 4.42

43 Optimieren von SPJ-Ausdrücken (6) Wo es möglich ist, werden en wieder zusammengefasst Syntaxbaum SPJ-Ausdruck 3. π Name,pNr,PName π mnr,name σ Wochenstunden > 10 σ Name= Meier /\ Ort= Bern MitProj Mitarbeiter π pnr,pname,anr σ AName= B Projekt Abteilung 4.43

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45 Die ist prozedural Ein Ausdruck der Algebra gibt an, welche Operationen das Ergebnis berechnen. Der hingegen ist eine reine deskriptive Sprache. Im Kalkül werden die gewünschten Tupel durch ihre Eigenschaft beschrieben. Es gibt zwei Arten von Relationenkalül: Der Relationen-Tupelkalkül (RTK) Der Relationen-Domainkalkül (RDK) Im folgenden betrachten wir nur den Relationen-Tupelkalkül. 4.45

46 Relationen-Tupelkalkül (RTK) RTK ist mit Prädikatenlogik erster Stufe verwandt. Variablen des RTK stehen für Tupel einer Relation und nicht für Werte einer Domäne. Die Variablen werden auch Tupelvariablen gennant. Einige Einschränkungen der Prädikatenlogik sind notwendig Die Einschränkungen garantieren, dass die Antwort auf eine Anfrage immer eine endliche Menge ist. 4.46

47 Relationen-Tupelkalkül (RTK) (2) Als erstes definieren wir die RTK-Formeln. Definition Sei D := (R, Γ) ein erweitertes Datenbankschema mit R = {R 1,..., R k }, U := k i=1 X i das Universum und θ {=,, <,, >, } (i) Die Menge der Atome (Atomare Formeln) umfasst die folgenden Elemente: (a) Für R i R und t eine Tupelvariable ist R i (t) ein Atom (Bedeutung: t R i ). (b) Für A, B U und t, u Tupelvariablen ist t(a) θ u(b) ein Atom (c) Für A U, t eine Tupelriable und c dom(b) eine Konstante sind t(a) θ c und c θ t(a) Atome. (ii) Die Menge der Formeln des RTK ist die kleinste Menge F für die gilt: (a) F enthält alle atomaren Formeln (b) Sind γ und δ in F, so auch (γ δ), (γ δ), ( γ), ( t)(γ), ( t)(γ) 4.47

48 Relationen-Tupelkalkül (RTK) (3) Wie in der Logik erklären wir das vorkommen von gebundenen und freien (Tupel-) Variablen wie folgt: (1) Eine Tupelvariable in einer atomaren Formel ist frei. (2) Kommt t in γ frei vor, so ist t in ( t)(γ) und in ( t)(γ) gebunden. (3) Kommt t in γ bzw. in δ gebunden bzw. frei vor, so ist dieses Vorkommen auch in (γ δ), (γ δ), ( γ) gebunden bzw. frei. Wir sind nun in der Lage die RTK-Ausdrücke zu definieren. Definition Sei δ eine RTK-Formel und t die einzige freie Tupelvariable in δ so ist E = {t δ(t)} ein RTK-Ausdruck. 4.48

49 Beispiele zum Relationen-Tupelkalül Wir wollen alle Mitarbeiter selektieren, die Meier oder Schmid heissen und in Bern wohnen. Relationale Algebra: σ (Name= Meier Name = Schmid ) Ort = Bern (Mitarbeiter) Relationen-Tupelkalkül {t (Mitarbeiter(t) ((t(name) = Meier t(name) = Schmid ) t(ort) = Bern ))} 4.49

50 Beispiele zum Relationen-Tupelkalül (2) Wir wollen alle Paare von Postleitzahlen und Orte der Mitarbeiter bestimmen. Relationale Algebra Relationen-Tupelkalkül π {Plz, Ort} (Mitarbeiter) {t ( u)(mitarbeiter(u) t(plz) = u(plz) t(ort) = u(ort))} 4.50

51 Beispiele zum Relationen-Tupelkalül (3) Wir möchten die Namen aller Mitarbeiter der Abteilung "A" bestimmen. Relationale Algebra π anr,aname,mnr,name (σ AName= A (Abteilung Mitarbeiter)) Relationen-Tupelkalkül {t ( u)( v) (Mitarbeiter(u) Abteilung(v) u(anr) = v(anr) u(aname) = A t(mnr) = u(mnr) t(name) = u(name) t(anr) = u(anr) t(aname) = v(aname))} 4.51

52 Beispiele zum Relationen-Tupelkalül (4) Mengenoperation Durchschnitt Wir suchen die Nummer aller Abteilungen, die Sowohl Standort Bern wie auch Standort Berlin haben. Relationale Algebra (π anr (σ Standort= Bern (Standort)) π anr (σ Standort= Berlin (Standort))) Relationen-Tupelkalkül {t ( u)(standort(u) u(standort) = Bern t(anr) = u(anr)) ( v)(standort(v) v(standort) = Berlin t(anr) = v(anr))} 4.52

53 Beispiele zum Relationen-Tupelkalül (5) Im Mitarbeiter möchten wir das Attribut Vorgesetzter auf Boss umbenennen. Relationale Algebra Relationen-Tupelkalkül β Boss Vorgesetzter (Mitarbeiter) {t ( u)(mitarbeiter(u) t(mitarbeiter \ {Vorgesetzter}) = u(mitarbeiter \ {Vorgesetzter}) t(boss) = u(vorgesetzter))} 4.53

54 Sichere Formeln Der Relationen-Tupelkalkül ist mächtiger als die Das heisst, zu jedem Ausdruck E RA D existiert eine RTK-Formel γ mit d D : v E (d) = {t γ(t)}. Die Umkehrung gilt nur, wenn der Relationen-Tupelkalkül auf sichere RTK-Formeln eingeschränkt wird. Sichere RTK-Formeln liefern immer ein endliches Resultat. Sicherheit Der Ausdruck {t Mitarbeiter(t) t(geschlecht) = W } liefert eine endliche Menge und ist damit sicher Der Ausdruck {t Mitarbeiter(t)} liefert ein unendliches Resultat und ist damit nicht sicher. 4.54

55 Sichere Formeln (2) Wann ist ein RTK-Ausdruck sicher? Definition Die Domäne eines RTK-Ausdrucks γ ist die Menge aller Werte, die in γ als Konstante, oder in einem Tupel einer von γ referenzierten Relation vorkommen. Domäne eines RTK-Ausdrucks Die Domäne von {t Mitarbeiter(t) t(geschlecht) = W } ist die Menge aller Werte die in einem Tupel aus r(mitarbeiter) vorkommen vereinigt mit { W } Die Domäne {t Mitarbeiter(t)} ist die Menge aller Werte die in einem Tupel aus r(mitarbeiter) vorkommen. 4.55

56 Sichere Formeln (3) Das folgende Kriterium sagt, wann ein RTK-Ausdruck sicher ist: Theorem Ein RTK-Ausdruck γ ist sicher, wenn alle Werte die im Resultat vorkommen aus der Domäne von γ stammen. Unsicherer RTK-Ausdruck Die Domäne des Ausdrucks γ = {t Mitarbeiter(t)} ist die Menge aller Werte die in einem Tupel aus r(mitarbeiter) vorkommen. Im Resultat von γ können beliebige Tuple vorkommen, sofern Sie nicht in r(mitarbeiter) vorkommen. Die Menge der Werte im Resultat ist damit unendlich und ist somit keine Teilmenge der Domäne von γ Somit ist γ nicht sicher. 4.56