Helge Toutenburg. Lineare Modelle. Mit 32 Abbildungen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

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2 Lineare Modelle

3 Helge Toutenburg Lineare Modelle Mit 32 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

4 Professor Dr. Dr. Helge Toutenburg Universităt Munchen Institut ftir Statistik und Wissenschaftstheorie AkademiestraBe 1 D-8000 Munchen 40 ISBN DOI / ISBN (ebook) Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruckes, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendungen, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der Fassung vom 24. Juni 1985 zuliissig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992 Ursprünglich erschienen bei Physica-Verlag Heidelberg in 1992 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dab solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wiiren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Bindearbeiten: J. Schiiffer GmbH u. Co. KG., Griinstadt 7100/ Gedruckt auf siiurefreiem Papier

5 Vorwort Das vorliegende Buch entstand aufgrund meiner Lehrveranstaltungen an den Universităten Dortmund ( ) und Miinchen (ab 1991). Es beinhaltet neben dem Standard der linearen Modelle eine Reihe neuer Methoden, Kriterien und Resultate, die insbesondere auf die intensive Zusammenarbeit mit meinem Kollegen Professor Dr. Gotz Trenkler (Universităt Dortmund, Fachbereich Statistik) zuriickgehen. Die Matrixtheorie der letzten zehn Jahre hat eine Reihe fundament aler Ergebnisse iiber die Definitheit von Matrizen, speziell fiir Differenzen von Matrizen, hervorgebracht, die erstmals Superioritătsvergleiche zweier verzerrter Schătzungen entscheiden konnen. Die Einarbeitung dieser Resultate einerseits und die Beriicksichtigung von Modellverfahren (mit SPSS), von Imputationsmethoden fiir fehlende Daten, von Sensitivitătsbetrachtungen und der kategorialen Regression andererseits bedeuten eine wesentliche Erweiterung mei ner friiheren Monographien (u.a. Vorhersage in linearen Modellen (1975) und Prior information in linear models (1982)). Ein eigenes, relativ umfangreiches Kapitel zur Matrixtheorie (Anhang A) stellt die notwendigen methodischen Hilfsmittel fiir die Beweise der Sătze im Text bereit und vermittelt eine Auswahl klassischer und moderner algebraischer Resultate. Durch die Einarbeitung von Beispielen wird die Anwendung der Schătz- und Modellwahlverfahren demonstriert, wobei es jedoch nicht mein Hauptanliegen war, mit anderen Biichern in Konkurrenz zu treten, deren Autoren sich stărker auf die eigentliche Okonometrie und ihre Anwendungen orientieren. Das Buch ist vor allem als begleitendes Lehrmaterial fiir die Studenten des Diplomstudiengangs Statistik und fiir die Forschung auf dem Gebiet der optimalen Schătzung angelegt. An dieser Stelle mochte ich mich bei Herrn Professor Dr. Gotz Trenkler fiir zahlreiche kritische Hinweise bedanken. Meinen Studenten gebiihrt Dank: Herrn Meinert Jacobsen fiir die sorgfăltige Herstellung des druckfertigen Manuskripts, Frau Andrea SchOpp, Frau Maria Lanzerath, Frau Sabina Illi und Frau Carola Klemme fiir die Hilfe beim Korrekturlesen und Herrn Christian Heumann fiir die Durchfiihrung der Berechnungen. Herrn Dr. Werner A. Miiller vom Physica-Verlag danke ich fiir die gute Zusammenarbeit bei der Konzipierung und Realisierung dieses Buches. Alle Leser dieses Bllches bitte ich, mich iiber Fehler oder andere Unzulănglichkeiten zu Informieren. Helge TOlltenburg Miinchen, im Mai 1992 v

6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Lineare Modelle 2.1 Begriffe und Definitionen der Okonometrie 2.2 Das okonometrische Modell Die reduzierte Form ' Das multivariate Regressionsmodell Das klassische multi variate lineare Regressionsmodell 2.6 Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell Das klassische lineare Regressionsmodell Deskriptive lineare Regression Prinzip der kleinsten Quadrate Geometrische Eigenschaften der Kleinste-Quadrat-Schătzung (KQ-Schătzung) Beste lineare erwartungstreue Schătzung Lineare Schătzer Mean-Square-Error Beste lineare erwartungstreue Schătzung Schătzung von 0" Multikollinearităt Extreme Multikollinearităt und Schătzbarkeit Schwache Multikollinearităt Klassische Normalregression Priifen von linearen Hypothesen Varianzanalyse und Giite der Anpassung Univariate Regression Multiple Regression Ein komplexes Beispiel Grafische Darstellung Die kanonische Form Methoden zur Uberwindung von Multikollinearităt Hauptkomponenten-Regression Ridge-Schătzung Shrinkage-Schătzer Minimax-Schătzung VII

7 U ngleichungsrestriktionen Das Minimaxprinzip... 4 Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell 4.1 Optimale lineare Schătzungen von (3 4.2 Aitken-Schătzung Fehlspezifikation der Kovarianzmatrix. 4.4 Heteroskedastie und Autoregression Exakte und stochastische lineare Restriktionen Verwendung von Zusatzinformation Die restriktive KQ-Schătzung Schrittweise Einbeziehung von exakten linearen Restriktionen Verzerrte lineare Restriktionen und MSE-Vergleich mit der KQS MSE-Matrix-Vergleiche zwischen zwei verzerrten Schătzern MSE-Matrix-Vergleich zwischen zwei linearen verzerrten Schătzern MSE-Vergleich zweier (verzerrter) restriktiver Schătzer Der Spezialfall schrittweiser verzerrter Restriktionen Stochastische lineare Restriktionen Mixed Schătzer Annahmen zur Kovarianzmatrix V Verzerrte stochastische Restriktionen Abgeschwăchte lineare Restriktionen Schwache r-erwartungstreue Optimale schwach r-erwartungstreue Schătzer Optimale Ersetzung von (3 in ~1((3, A) RLSE als Ersatz fiir den mixed Schătzer Vorhersage von Y im verallgemeinerten Regressionsmodell Das Vorhersagemodell Optimale inhomogene Vorhersage Optimale homogene Vorhersagen MSE-Matrix-Vergleiche zwischen optimalen und klassischen Vorhersagen Vergleich klassische-optimale Vorhersage nach der y*- Superiorităt Vergleich klassische-optimale Vorhersage nach der X*(3- Superiorităt Vorhersagebereiche Sensitivitătsanalyse Die Prediction-Matrix EinfluB einer Beobachtung auf die Parameterschătzung Transformation der Residuen VIII

8 Algebraische Konsequenzen aus dem Wegfall einer Beobachtung Test auf AusreiBer.... Grafische Methoden zum Prufen von Modellannahmen MaBe auf der Basis des Konfidenzellipsoids Regression bei unvollstăndigen Daten Statistische Analyse bei unvollstandigen Daten Fehlende Datenim Response KQ-Schatzung bei vollstandigem Datensatz KQ-Schatzung nach Auffullen fehlender Werte Bartlett's Kovarianzanalyse Fehlende Werte in der X -Matrix Fehlende Werte und Effizienzverlust Standardverfahren bei unvollstandiger X -Matrix Maximum-Likelihood-Schatzungen der fehlenden Werte Gewichtete mixed Schatzung Modelle fur binăre Responsevariablen Generalisierte lineare Modelle Kontingenztafeln...' Einleitung Methoden zum Vergleich von Anteilen Stichprobenschema fur Zweifachklassifikationen Likelihood-Funktion und Maximum-Likelihood-Schatzungen Tests fur die Gute der Anpassung GLM fur binâren Response Logitmodelle Loglineare Modelle Logistische Regression Prufen des Modells Verwendung von Verteilungsfunktionen als Linkfunktion Logitmodelle fur kategoriale Daten Gute der Anpassung - Likelihood-Quotienten-Test Loglineare Modelle fur kategoriale Variablen Zweifache Klassifikation Dreifache Klassifikation Der Spezialfall des binâren Response Kodierung kategorialer Einfl.uJ3variablen Dummy- und Effektkodierung Kodierung von Responsemodellen Kodierung von Modellen fur die Hazardrate. 257 IX

9 A Matrixalgebra A.l Einfiihrung A.2 Spur einer Matrix. A.3 Determinanten.. AA Inverse.... A.5 Orthogonale Matrizen A.6 Rang einer Matrix.. A.7 Spalten- und Nullraum. A.8 Eigenwerte und Eigenvektoren A.9 Zerlegung von Matrizen (Produktdarstellungen) A.lO Definite Matrizen und quadratische Formen A.ll Idempotente Matrizen. A.12 Verallgemeinerte Inverse.... A.13 Projektoren.... A.14 Funktionen normalverteilter Variablen A.15 Differentiation von skalaren Funktionen von Matrizen A.16 Stochastische Konvergenz.... B Tabellen Literaturverzeichnis Sachregister x

10 Kapitel 1 Einleitung Lineare Modelle nehmen einen zentralen Platz in den modernen statistischen Methoden ein. Dies ist zum einen in ihrer Făhigkeit begrundet, viele metrische Datenstrukturen im gesamten Definitionsbereich bzw. stuckweise zu approximieren. Zum anderen haben Ansătze wie in der Varianzanalyse, die Effekte als lineare Abweichungen von einem totalen Mittel modellieren, ihre Flexibilităt bewiesen. Mit der Theorie der generalisierten Modelle konnen von der Normalverteilung abweichende Fehlerstrukturen uber geeignete Linkfunktionen so erfabt werden, dab ein lineares Modell als Kern erhalten bleibt. Zahlreiche iterative Verfahren wurden zur Losung der Normalgleichungen entwickelt und zwar fur die Fălle, die keine explizite Losung erlauben. Fur lineare Modelle mit Rangabfall steht - neben den klassischen Verfahren wie Ridge- oder Hauptkomponentenregression - die Methodik der verallgemeinerten Inversen fur die Ableitung von expliziten Losungen zur Verfugung. Datenverluste in den Variablen konnen durch geeignete Imputationsverfahren bereinigt werden, wobei hier und in ăquivalenten Făllen verzerrter linearer Vorinformation mit der Theorie der matrixwertigen Mean-Square-Error-Superiorităt der notwendige methodische Hintergrund - neben den Klassifizierungs- und Prufverfahren fur Missing-at-Random - zur Verfugung steht. Kapitel 2 beschreibt die Hierarchie der linearen Modelle vom klassischen Regressionsmodell bis zum strukturellen Modell der Okonometrie. Kapitel 3 enthălt den Standard der Schătz- und Testverfahren im Regressionsmodell mit vollem bzw. reduziertem Rang der Designmatrix, algebraische und geometrische Eigenschaften des KQ-Schătzers sowie ei ne EinfUhrung in die Minimax-Schătzung bei Zusatzinformation in Form von Ungleichungsrestriktionen. An einem komplexen Beispiel wird die Modellwahl nach den klassischen Kriterien mit SPSS demonstriert. In Kapiel 4 werden die Theorie optimaler linearer Schătzungen im verallgemeinerten Regressionsmodell, Auswirkungen fehlspezifizierter Kovarianzmatrizen sowie die speziellen Kovarianzstrukturen der Heteroskedastizităt und Autoregres sion erster Ordnung behandelt. Kapiel 5 beschreibt die Schătzung unter exakten bzw. stochastischen linearen Restriktionen. Der Gutevergleich von zwei verzerrten Schătzern nach dem matrixwertigen MSE-Kriterium basiert auf neueren Sătzen der Matrixtheorie. 1

11 Die Resultate sind das Ergebnis intensiver internationaler Forschung der letzten zehn Jahre und erscheinen erstmals in zusammenhăngender Darstellung. Dies betrifft auch das Konzept der schwachen r-erwartungstreue. Kapitel 6 enthalt die Theorie der optimalen linearen Vorhersage und gibt neben bekannten Ergebnissen (vgl. Toutenburg, 1975) einen Einblick in neuere Untersuchungen zum MSE-Matrix-Vergleich optimaler und klassischer Vorhersagen nach alternativen Superioritatskriterien. Kapitel 7 behandelt Ideen und Verfahren zur Untersuchung des Einflusses von einzelnen Datenzeilen auf die Schatzung von (3, wobei verschiedene MaBe zum Aufdecken von AusreiBern bzw. einflubreichen Punkten einschlieblich grafischer Methoden zum Einsatz kommen. Beispiele unterstiitzen die Abhandlungen. Kapitel 8 beschaftigt sich mit Datenverlust in der Designmatrix X. N ach ei ner Einfiihrung in die generelle Problematik und die Definition der verschiedenen Fehlend-Mechanismen nach Rubin wird fiir Langzeitstudien mit Drop-out die Methodik "Adjustierung durch Follow-up Interviews" demonstriert. Fiir das Regressionsmodell wird - neben der Untersuchung des Effizienzverlusts bei Reduktion auf das vollstandig beobachtete Submodell - insbesondere die Imputation behandelt. Der Vergleich reduziertes - vervollstandigtes Modell entspricht dem Vergleich KQ-Schatzung - verzerrte mixed Schatzung, so dab die Resultate aus Kapitel 5 Anwendung finden. Die Methode der gewichteten mixed Schatzung wird erstmals in einem Lehrbuch prasentiert. Kapitel 9 beschreibt Modellerweiterungen fiir kategoriale Response- und EinfluBvariablen, wobei insbesondere der binare Response und das loglineare Modell von Interesse sind. Die Modellwahl wird an Beispielen demonstriert. Die Einordnung in die Theorie der generalisierten Modelle und die kategoriale Regression runden dieses Kapitel ab. In einem selbstandigen Kapitel (Anhang A) zur Matrixalgebra werden Standardsatze (mit Beweisen) zusammengefabt, die fiir das Buch selbst, aber auch fiir die lineare Statistik insgesamt von Interesse sind. Dazu zahlen Satze zur Zerlegung von Matrizen (A 30 - A 34), zu definiten Matrizen (A 35 - A 59), zu verallgemeinerten Inversen und insbesondere zur Definitheit von Differenzen (Satz A 71 als Kernsatz; vgl. auch A 74 - A 78). Tabellen zur X 2 - und zur F-Verteilung sind im Anhang B enthalten. 2

12 Kapitel2 Lineare Modelle 2.1 Begriffe und Definitionen der Okonometrie Die Methodik der Regressionsanalyse, eine der klassischen Bestandteile der mathematischen Statistik, bildet das Kernstiick der modernen okonometrischen Theorie, die Verallgemeinerungen der Regressionsanalyse sowohl im modelltheoretischen Aspekt als auch im Anwendungsbereich der Verfahren zulabt. Okonometrie vereinigt sowohl Elemente der Okonomie / Wirtschaftsmathematik als auch der mathematischen Statistik. Dabei bildet die Modellierung stets ei ne Einheit mit den Methoden. Die in der Okonometrie benutzten statistischen Verfahren sind in hohem MaBe auf die spezifischen okonometrischen Probleme ausgerichtet und infolgedessen stark spezialisiert. Diese okonometrisch orientierte Akzentuierung des statistischen Instrumentariums setzt sich, angefangen von der Modellbildung und -priifung bis hin zu den Schatz- und Testverfahren, einheitlich fort. In den okonomischen GesetzmaBigkeiten spielen stochastische EinfluBfaktoren eine ausgepragte Rolle, so dab der okonomischen Realităt angepabte okonometrische Modelle Hypothesen liber Verteilungseigenschaften der Zufallsvariablen implizieren miissen. Die Spezifikation derartiger Hypothesen ist ei ne der Hauptaufgaben okonometrischer Modellierung. Bei der Modellierung einer okonomischen (aber auch naturwissenschaftlichen) Relation setzen wir voraus, dab diese iiber einen geniigend langen Zeitraum (d. h. iiber hinreichend viele Beobachtungsperioden) eine relative Konstanz besitzt, da sonst ihre allgemeine GesetzmaBigkeit nicht erfabbar ware. Wir unterscheiden zwei Charakteristiken einer GesetzmaBigkeit, die Variablen und die Parameter. Die Variablen, deren Einteilung wir noch spezifizieren, sind diejenigen Charakteristiken, deren Werte im Beobachtungszeitraum variieren konnen. Alle sich nicht verandernden Charakteristiken der Relation bilden ihre Struktur. Zur Struktur gehoren die funktionale Gestalt der Relationen einschlieblich der Beziehungen zwischen den wesentlichen Variablen, der Typ der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen und die Parameter der Modellgleichungen. Eine gewisse Variat ion der Variablen des Modells ist not- 3

13 wendig, um die Gesetzmă13igkeiten hervortreten zu lassen. Die Statistik hat mit der Versuchsplanung ei ne eigenstăndige Theorie iiber die im Sinne gewisser Kriterien optimale Variation der Modellvariablen entwickelt, deren Erkenntnisse sich wegen der meist passiven Stellung der Okonometriker zur okonomischen Realităt jedoch nur in Ausnahmefăllen fiir ihre Zwecke verwerten lassen. Dies liegt in dem komplexen Charakter der Wirtschaft begriindet, bei der ei ne Versuchsplanung de facto nicht moglich ist. Ăndert sich die Struktur der Relation im Beobachtungszeitraum, so spricht man von einem Strukturbruch (qualitativer Sprung). Ais Giitekriterium eines okonometrischen Modells wird man u. a. seine Prognosefăhigkeit und ihre relative Stabilităt bei Strukturschwankungen ansehen (vgl. Schneeweifi, 1990, S.76). Wir wollen nun die Begriffe okonometrisches Modell und Struktur erlăutern: "Das jjkonometrische Model! ist der Inbegriff aller beziiglich des studierten okonomischen Phănomens a priori getroffenen Hypothesen. Das Modell stellt sich demnach als ein Katalog von Modellannahmen (a-priori-hypothesen, a-priori Spezifikationen) dar. Diese Annahmen sind Ausdruck der a-priori verfiigbaren Informationen und Vermutungen iiber die okonomischen und stochastischen Eigenschaften des Phănomens" (Schonfeld, 1969). Zur klaren Definition des Strukturbegriffs benotigen wir die sachlogische Einteilung der Modellvariablen. Bei der Modellbildung werden Variablen unerklărt iibernommen, man bezeichnet sie als exogene Variablen. Die vom Modell beschriebenen Variablen heifien endogen. Sie sind funktional oder zumindest statistisch von den exogenen Variablen abhăngig. Die dritte Gruppe wird von den Fehlervariablen gebildet. Diese drei Typen von Variablen lassen sich fiir unsere Zwecke am besten durch statistische Eigenschaften unterscheiden: Exogene Variablen sind innerhalb des Modells nichtstochastisch, sie liegen als feste Zahlenwerte vor. Die Vorgabe der exogenen Variablen als nichtstochastisch besteht in vielen Făllen zu Recht, etwa im Bereich der experimentellen Wissenschaften (Vorgabe eines Versuchsplans) aber auch in der Okonomie (Vorgabe von Fonds). Im allgemeinen werden zumindest einige exogene Variablen stochastisch sein, jedoch zum Zeitpunkt der Schătzung als Realisationen vorliegen. Fiir das ZieI der Regressionsanalyse (Schătzung des Mittelwertes der endogenen Variablen bei beliebig gegebenen exogenen Variablen) ist zunăchst ei ne Beschrănkung auf nichtstochastische exogene Variablen gerechtfertigt. Bei Bedarf werden dann auch stochastische exogene Variablen zugelassen. Endogene Variablen enthalten den Einflufi der zufălligen Fehler, sie sind also (vor ihrer Realisierung) stochastische Variablen. Die Gestalt der bedingten Verteilung der endogenen Variablen bei gegebenen Werten der exogenen Variablen wird durch die Verteilung der Fehler und die Modellgleichung bestimmt. Damit konnen wir folgende Definition geben: Eine jjkonometrische Struktur ist eine Gesamtheit von Relationen und Annahmen, die die gemeinsame bedingte Verteilung aller endogenen Variablen unter der Bedingung vorgegebener Werte der exogenen Variablen eindeutig bestimmt. 4

14 Die Gesamtheit der Strukturen, die mit allen Modellannahmen vertrăglich sind, bildet die Menge der zuliissigen Strukturen. Unter der " fundamentalen Arbeitshypothese " (SchOnfeld (1969) ), dafi die dem gesamten Beobachtungsmaterial zugrundeliegende, unbekannte wahre Struktur in der Menge der zulăssigen Strukturen enthalten ist, wird der Statistiker um eine moglichst gute Annăherung an die wahre Struktur durch Entwicklung geeigneter Schătzund Priifverfahren bemiiht sein. Bei dynamischen Modellen (das sind Modelle, bei denen die endogenen Variablen ei ner zeitlichen Entwicklung unterworfen sind, die durch Relationen und Einfliisse aufierhalb des Modells bestimmt wird) Iă.f3t sich die Einteilung der Variablen noch weiter verfeinern. Endogene Variablen werden unterteilt in die gemeinsam abhăngigen Variablen (sie werden zum jeweils gegenwărtigen Zeitpunkt beobachtet) und in die verzogerten endogenen Variablen ( sie sind bereits vor dem gegenwărtigen Zeitpunkt beobachtet worden). Die exogenen Variablen bilden gemeinsam mit den verzogerten endogenen Variablen die vorherbestimmten Variablen. Im linearen Regressionsmodell spricht man hăufig von den Regressoren (vorherbestimmte Variablen) und den Regressanden (abhăngige Variablen). Sind die Modellgleichungen nach den gemeinsam abhăngigen Variablen aufgelost (wie es in der linearen Regression als Normalfall vorausgesetzt wird) und als Funktion der vorherbestimmten Variablen und der Fehler dargestellt, so liegt das okonometrische Modell in der reduzierten Form vor. Andernfalls spricht man von der strukturellen Form der Gleichungen. Nach der Art des Auftretens der Variablen und der Parameter in den Gleichungen unterscheidet man folgende Typen: lineare Gleichungen: nichtlineare Gleichungen: linear in Parametern und Variablen, sonst. Ein Modell heifit linear, wenn alle Gleichungen linear sind. Ein Modell heifit univariat, wenn es nur eine endogene Variable enthălt. Ein Modell mit mehr als einer endogenen Variablen heifit multivariat. Eine Modellgleichung der reduzierten Form mit mehr als einer vorherbestimmten Variablen heifit multivariabel oder eine multiple Gleichung. Wir werden diese Begriffe in den folgenden Abschnitten eingehend an den konkreten Modellen kennenlernen. Wegen der hohen mathematischen und speziell statistischen Schwierigkeiten in der Behandlung von okonometrischen und Regressionsmodellen, die in Ungleichungsform oder noch allgemeineren mathematischen Relationen auftreten, beschrănkt man sich fast ausschliefilich auf Modelle in Gleichungsform. Eine bevorzugte Stellung nehmen dabei wiederum die linearen Modelle ein, da ihre Behandlung die Kompliziertheit des erforderlichen mathematischen Apparates in Grenzen MIt und weil die Linearităt giinstige statistische Eigenschaften der Stichprobenfunktionen garantiert, insbesondere wenn die Fehler normalverteilt sind. Das (lineare) okonometrische Modell stellt den hypothetisch formulierten statistischen Zusammenhang zwischen endogenen und exogenen Variablen 5

15 einer komplexen okonomischen GesetzmăBigkeit dar. Wir miissen voraussetzen, dab durch sachlogische Uberlegungen und auf Grund von Signifikanz- und Identifikationspriifungen die Wahl und Einteilung der Modellvariablen vorab geklart ist. Auf diese Stufe der Modellierung, die wohl die komplizierteste Arbeit des Statistikers darstellt, soli hier nicht naher eigegangen werden. Beispiel 2.1: Zur Erlauterung der Definitionen und Begriffe der Okonometrie soll folgendes typische Beispiel betrachtet werden. Es sei Ader Arbeitskrafteeinsatz, B der Kapitaleinsatz und Y der Produktionsumfang. Bezeichnen wir mit e die Basis des naturlichen Logarithmus und mit c eine Konstante (die in gewisser Weise eine Umformung der MaBeinheiten von A, B in die von Y sichert), so hat die klassische COBB-DOUGLAS-Produktionsfunktion fur z.b. eine Branche die Gestalt Diese Funktion ist nichtlinear in den Paramtern /31, /32 und den Variablen A, B und f. Durch Logarithmieren erhalten wir Dabei sind InY = lnc + /311nA + /321nB + f. In Y InA } InB /31, /32 In c f der Regressand oder die endogene Variable, die Regressoren oder die exogenen Variablen, die Regressionskoeffizienten, eine MaBstabskonstante, der zufallige Fehler. /31 und /32 heiben auch Produktionselastizitiiten; sie messen Starke und Richtung des Einflusses des Arbeitskrafte- und Kapitaleinsatzes auf den Produktionsumfang. Die Funktion ist nach der Logarithmierung linear in den Parametern /31, /32 und den Regressoren In A und In B. Die Modellannahmen lauten also: Der Produktionsumfang Y hangt gema:6 der obigen multiplikativen Funktion nur von den drei Variablen A, B und f (zufălliger Fehler) ab. Es treten drei Parameter auf: Die Produktionselastizitaten /31, /32 und die Ma:6stabskonstante c. Alle drei Parameter seien positiv. Zusătzlich konnte man noch annehmen, da:6 die Fehler ft unabhăngig und identisch mit dem Erwartungswert O und der Varianz (72 und unabhangig von A und B verteilt sind. Das Modell ist multipel und liegt in der reduzierten Form vor. 6

16 2.2 Das okonometrische Modell Wir entwickeln zunăchst das Modell in seiner okonomisch relevanten Gestalt als System von M simultanen linearen stochastischen Gleichungen in M gemeinsam abhăngigen Variablen yt,..., YM und K vorherbestimmten Variablen Xl,...,XK sowie den Fehlervariablen UI,..., UM. Der Beobachtungszeitraum soll stets T Beobachtungen aller Variablen zum Index t = 1,..., T umfassen. Die Realisierungen jeder Variablen werden mit den entsprechenden kleinen Buchstaben Ymt, Xkt bzw. Umt bezeichnet. Zum Index t lautet das System der strukturellen Gleichungen (t = 1,..., T) Ylt'i'n YMt'i'MI XltDn XKtDKI + Ult = Ylt'i' YMt'i'M2 + XltDl XKtDK2 + U2t = O, } Ylt'i'IM YMt'i'MM + XltDIM XKtDKM + UMt = O. (2.1 ) Die m-te strukturelle Gleichung hat also die Gestalt Ylt'i'lm YMt'i'Mm + XltDlm XKtDKm + Umt = O (m = 1,,M). (2.2) Vereinbarung: Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten bezeichnen wir als m X n-matrix A und verwenden das Symbol A. Wir definieren zur Abkiirzung folgende Vektoren und Matrizen: Yn YMI y'(l ) mxn Y = Ylt YMt. = y'(t) = ( YI TxM Txl YIT YMT y'(t) YM ), Txl Xn XKI x'(l) X = XIt XKt = x'(t) = ( XI TxK XIT XKT x'(t) Txl XK ), Txl Un UMI u'(l) U = UIt UMt = u'(t) = ( UI TxM UIT UMT u'(t) Txl UM), Txl 7

17 C' r = 1'M) : = ( Îl 1M ), MxM ÎMI ÎMM Mxl Mxl D c;' KxM 5':M ) = = ( 5, 5M ). OKl OKM Kxl Kxl Damit haben wir fur das System (2.1) die Matrixdarstellung zum Index t y'(t)r + x'(t)d + u'(t) = (t = 1,..., T) (2.3) oder fiir alle T Beobachtungsperioden yr+xd+u=o. (2.4 ) Die m-te strukturelle Gleichung lautet dann entsprechend zum Index t y'(thm + x'(t)om + Umt = (m=i,...,m). (2.5) Îm und om sind die strukturellen Parameter der m-ten Gleichung. y'(t) ist ein 1 X M-Vektor, x'(t) ist ein 1 X K-Vektor. Voraussetzungen und Annahmen liber das Modell Annahme (A). (A 1) Die P arametermatrix r ist regulăr. (A 2) Die Parameterwerte von r, D und E sind durch lineare a-pf1ofl Restriktionen so eingeschrănkt, dab ihre Identifizierung moglich wird. (A 3) Die Parameterwerte in r seien so normiert, dab Îmm = -1 (m = 1,..., M) gilt. Definition 2.1 Es sei t =... -2,-1,0,1,2,... eine Folge von Zeitindizes. a) Ein univariater stochastischer ProzeB {xtl ist eine geordnete Menge von Zufallsvariablen derart, dafl stets eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung fur die Variablen XI,. Xt n definiert ist, sofern ti,..., tn eine beliebige endliche Menge von Zeitindizes ist. b) Ein multivariater (n-dimensionaler) stochastischer ProzeB ist eine geordnete Menge von n X l-zufallsvektoren {Xt} mit Xt = (Xtp...,Xt n ) derart, dafl fur jede endliche Wahl tt,..., tn von Zeitindizes eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung fur die Zufallsvektoren Xtl"'" Xt n definiert ist. 8

18 Ein stochastischer Prozefi heifit stationăr, wenn die gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilungen invariant sind gegeniiber Verschiebungen entlang der Zeitachse. Damit hat eine beliebige endliche Menge Xtl'.. ' Xtn die gleiche gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung wie die Menge Xtl +'Tl..., Xtn+T fur 7=...,-2,-1,0,1,2,... Als ein typisches Beispiel fur einen univariaten stochastischen Prozefi wollen wir hier die Zeitreihe erwăhnen. Unter der Annahme, dafi alle Zeitreihenwerte ausschlieblich eine Funktion der Zeit t sind, ist t die einzige unabhăngige (exogene) Variable: Xt = f(t). (2.6) Folgende Spezialfălle sind von Bedeutung fur die Praxis Xt = O' Xt = O' + f3t Xt = O'e{3t (zeitunabhăngiger Verlauf), (linearer Trend), (exponentieller Trend). Fiir die Vorhersage von Zeitreihen sei z.b. auf Mertens (1972), Nelson (1973) oder Mills (1991) verwiesen. Annahme (B). Die strukturellen Fehlervariablen werden durch einen M -dimensionalen stationăren stochastischen Prozefi (vgl. z.b. Goldberger (1964)) {u(t)} erzeugt, und es gelte (B 1) Eu(t) = O und damit E(U) = O, (B 2) Eu(t)u'(t) = I; = (amm,) mit l: positiv definit und damit regulăr und MxM (B 3) Eu(t)u'(t') = O fur t 1: t'. (B 4) Alle u(t) sind identisch verteilt. (B 5) Fiir die empirischen Momentmatrizen der zufălligen Fehler gelte T plimt- 1 L u(t)u'(t) = plimt-1u'u = I;. (2.7) t=1 Wir betrachten eine Folge {z(t)} = Z(l),..., z(t),. von Zufallsvariablen z(t), von denen jede eine bestimmte Verteilung, Varianz und einen Erwartungswert besitzt. So kann z.b. z(t) das Stichprobenmittel einer Stichprobe vom Umfang t einer gegebenen Population sein. Die Folge {z(t)} wăre dann die Folge der StichprobenmitteJ aus einer sukzessive grafier werdenden Stichprobe. Angenommen, es existiere ein z* < 00 so, dafi limt... oop{ Iz(t) - z* I ~ h} = O fur 9

19 jedes 8 > O gilt. Dann heibt z* der Wahrscheinlichkeitslimes von {z{tl }, und wir schreiben p Iim z{tl = z* oder einfach p Iim z = z* (vgl. auch Satz A 99 und Goldberger, 1964, p.115). (B 6) Die Fehlervariablen u(t) besitzen eine M-dimensionale Normalverteilung. Unter allgemeinen Bedingungen an den ProzeB {u(t)} (vgl. Jaglom (1959) und Goldberger (1964)) folgt (B 5) aus (B 1) - (B 3). Durch (B 3) wird die Anzahl der zu schătzenden unbekannten Parameter des Modells reduziert und damit die Schătzung der Parameter in r, D, E aus den T Beobachtungen (T hinreichend grob) ermoglicht. Die giinstigen statistischen Eigenschaften der Kleinste-Quadrat-Schătzung im Regressionsmodell und der okonometrischen Punktschătzung sind weitgehend von Verteilungsannahmen iiber u(t) unabhăngig. (B 6) wird bei Test- und Priifverfahren und fiir die Ableitung von Bereichsschătzungen und -vorhersagen zusătzlich herangezogen. Annahme (C). Die vorherbestimmten Variablen werden durch einen /{-dimensionalen stationăren stochastischen ProzeB {x(t)} erzeugt und es gelte: (C 1) Ex(t)x'(t) = Exx existiert fiir alle tund es ist Exx positiv definit und damit regulăr (Exx ist eine /{ X /{-Matrix). (C 2) Fiir die empirischen Momentmatrizen (Stichprobenmomente) T Sxx = T-1 Lx(t)x'(t) = T-1X'X (2.8) t=l existieren die folgenden Grenzwerte, und jede Abhăngigkeit im ProzeB {x( t)} sei hinreichend schwach, so dab gilt Die Annahme (C 2) ist z.b. im Fall eines ergodischen stationăren Prozesses erfiillt. Man nennt einen stationăren Prozefi {x(t)} ergodisch, wenn der Zeitmittelwert einer jeden Realisierung (mit Wahrscheinlichkeit 1) derselbe ist und mit dem Erwartungswert iiber die gesamte Zeitreihe iibereinstimmt, wenn also gemăf3 (C 2) gilt In der Praxis kann die Ergodizităt bei stationăren Prozessen oft angenommen werden, ein Nachweis ist meist sehr schwierig. Ergodizităt bedeutet, dafi jede Realisierung (Stichprobenvektor) asymptotisch dieselben statistischen Eigenschaften besitzt und somit fiir den Prozefi reprăsentativ ist. 10

20 (C 3) Die Prozesse {x(t)} und {u(t)} sind gleichzeitig unkorreliert (contemporaneously uncorrelated), d.h. fur alle t gilt E (u(t)lx(t)) = E (u(t)) = O. Fur die empirischen Momente gilt T plimt- 1 L x(t)u'(t) = plim T- 1 X'U = O. (2.9) t=1 Die Annahme (C 3) basiert auf der Vorstellung, dafi die Werte der vorherbestimmten Variablen nicht durch den Zustand des Systems zum jeweils gegenwărtigen Zeitpunkt t determiniert sind und demzufolge nicht von den Fehlern u(t) abhăngen durfen. Es sei vorausgesetzt, dafi Iim T- 1 X' X existiert. Dann Iăfit sich in vielen Făllen, insbesondere wenn die vorherbestimmten Variablen nur aus exogenen Variablen bestehen, die alternative Annahme treffen, dafi die vorherbestimmten Variablen fest bleiben bei wiederholten Stichproben, {x(t)} also eine nichtstochastische Folge bildet. Unter Verwendung ausgewăhlter Annahmen und gemăf3 unserer in Abschnitt 2.1 getroffenen Definition habe das lineare okonometrische Modell die Gestalt: Yf+XD+U=O, E(U) = O, Eu(t)u'(t) = E, Eu(t)u(t') = O (t i= t'), f E regulăr, positiv definit, (2.10) plimt- 1 U'U = E,plimT- 1 X'U = O, plimt- 1 X'X = Exx(positiv definit). ZieI unserer weiteren Untersuchungen soli es sein, Probleme der Schătzung, Vorhersage und Modellbildung fur spezielle Modelltypen zu behandeln. Auf weitere allgemeine Fragestellungen fur okonometrische Modelle soll hier nicht eingegangen werden. Wir verweisen an dieser Stelle auf die umfangreiche Literatur uber Schătz- und Identifikationsprobleme okonometrischer Modellsysteme: Amemiya (1985), Goldberger (1964), Schonfeld (1969,1971), Schneeweifi (1990), Theil (1971,1975), Menges (1961), Huang (1970), Hochstădter/Uebe (1970), Koerts/ Abrahamse (1969), Mosbaek/Wold (1969), Dhrymes (1974,1978) u.a. und auf die umfangreiche Spezialliteratur, etwa in den Journalen Econometrica, Essays in Economics and Econometrics, Journal of Econometrics, Econometric Theory u.a. 11