Auswertung von Messdaten

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1 Auswertung von Messdaten Statistische Methoden fur Geo- Lind Ingenieurwissenschaften von Prof Dr.-Ing. Wilhelm Caspary, Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Klaus Wichmann Olden bou rgverlag Mu nchen Wien

2 Inhaltsverzcichnis 1 Einleitung Gegenstand und Aufgabe del' Messdatenauswertung Einfache Beispiele Beobachtungen und Zufallsvariable Messauftrag und Cenauigkeitsschatzung Zur Geschichte del' Messdatenauswertung Zufallsvariable und Verteilung Eindimensionale Verteilungen Diskrete Verteilungen Kontinuierliche Verteilungen Funktion einer Zufallsvariablen Die Normalverteilung Zweidimensionale Verteilungen Randverteilung und bedingte Verteilung Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Funktionen zweidimensionaler Zufallsvariablen Die zweidimensionale Normalverteilung n-dimensiona.le Verteilungen ,,) 2.4 Das Varianzen-Fortpflanzungsgesetz (VFG) 36 3 Beobachtungsreihen Parameterschatzung Die Beobachtungsreihe als Stichprobe Schatzkriterien Schatzverfahren Gleichgenaue unabhangige Beobachtungen Beobachtungen unterschiedlicher Genauigkeit Korrelierte Beobachtungen Formelzusammenstellung und Rechenproben Das Varianzen-Fortpflanzungsgesetz (VFG) Die allgemeine Form des VFG Linearisierung von Funktionen

3 VIII Inhaltsverzeichnis 3.3 Beispiele zum VFC Abweichungsarten und GenauigkeitsmaBe Verschiedene Arten von Messabweichungen Verschiedene CenauigkeitsmaBe Das Zusammenwirken verschiedenartiger zufalliger Abweichungen Kovarianz und Korrelation Homogenisieren von Beobachtungen Beobachtungsdifferenzen Summengleichungen Schiitzung von Modellparametern DRs mathematische Modell Funktionale Beziehungen Stochastische Beziehungen DRs Datumproblem Schatzung der Modellpararneter Beste linearc unverzerrte Schatzung (BLU) Die Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) Die Maximum-Likelihood-Methode (MLM) Varianzschatzungen Datumabhangige Parameterschatzung Tnvariante Funktionen Lineare Modelle Hohen- und Schwerenetze Richtungsmessungen und vcrwandte Verfahren Polynommodelle Periodische Funktionen Koordinatenschatzung in Lagenetzen Das mathematische Modell Elimination yon Hilfsunbekannten CenauigkeitsmaBe in der Ebene Positionsbestimmung mit CPS Entfernungsrnessung zu den Satelliten Code-Messungen Phasenmessungen Differenzbildungen Bedingungen zwischen den Parametern Koordinatentransforrnation Allgemeines Transformationsmodell Ebene Ahnlichkeitstransformation Ebene Affintransformation Haumliche Transformation 151

4 Inhaltsverzeichnis IX 5 Parameterfreie Modelle Das mathematische Modell Lineare Bedingungsgleichungen Nichtlineare Bedingungsgleichungen Das stochastische Modell Schatzungen im parameterfreien Modell Ausgeglichene Beobachtungen Cenauigkeitsschatzung und Funktionen Vergleich des parametrischen mit dem parameterfreien Modell Bedingungsgleichungen mit Unbekannten Verallgemeinerte Modelle Stochastische Parameter Beste lineare unverzerrte Schatzung Pseudobeobachtungen Stochastische Restriktionen Allgemeine Formulierung des Schatzproblems Gemischtes Modell und raumliche Prozesse Schatzungen im gemischten Modell Kollokation Krigen Stufenweise Schatzungen, Erweiterung des Parametervektors Erweiterung des Beobachtungsvektors KALMAN-Filter Auflosung grober Gleichungssysteme Gruppenweise Positionsschatzung Speichertechnik ftir schwach besetzte Matrizen Verteilung der Schatzcrgebrrisse Grundlegende Verteilungen Die Normalverteilung Die x2-verteilung (Chiquadrat-Verteilung) Die t-verteilung (Student-Verteilung) Die F- Verteilung (FrsHER-Verteilung) Testverteilungen Schatzergebnisse Verteilung der geschatzten Lageparameter Verteilung der geschatzten Streuungsparameter Intervallschatzungen Die Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF 215

5 x Inhaltsverzeichnis Vertrauensbereiche fiir Lageparameter Vertrauensbereich fur die Standardabweichung 7.4 Vertrauensgebiete Statistische Testverfahren 8.1 Grundbegriffe Hypothese und statistische Sicherheit Fehler erster und zweiter Art Testglite und Operationscharakteristik 8.2 Tests fur Verteilungen (Anpassungstests) Test auf Symmetrie und.form X 2 - Test fur Verteilungen mit bekannten Parametern X 2 - Test fur Verteilungen mit geschatzten Parametern Der KOLMOGOROV-SMIRNOW-Test (KS- Test) Test auf Gleichheit von Verteilungen 8.3 Tests fur Lageparameter Vergleich von Schatzwert und Erwartungswert Vergleich zweier Schatzwerte Vergleich mehrerer geschatzter GraBen , Tests fur Streuungsparameter Vergleich von empirischer und theoretischer Standardabweichung Vergleich zweier unabhangiger Varianzen, Vergleich mehrerer Varianzen (BARTLETT-Test) Genauigkeit der Gewichtsbestimrnung Tests auf Unabhangigkeit Realisationen einer beliebig verteilten Zufallsvariablen Unabhangigkeit normalverteilter Stichproben Korrelation zwischen beliebig verteilten Stichproben Korrelationen zwischen normalverteilten Stichproben 8.6 AusreiBertests Behandlung von AusreiBern Verteilung des groflten Messwertes Tests der Residuen Multiple AusreiBer 8.7 Varianzanalyse Grundlagen Einfache Varianzanalyse mit fest en Effekten Zwei-Wege-Zerlegung bei festen Effekten Varianzanalyse mit zufalligen Effekten 251,

6 Inhaltsverzeichnis XI Anhang A N omogramme 275 Anhang B Lehr- und Handbiicher 283 Index Abkiirzungen