Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren

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1 Jäger/Müller/Saler/Schwäble Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren Ein Leitfaden für Ausbildung und Praxis von Geodäten und Geoinformatikern Herbert Wichmann Verlag Heidelberg

2 1 Einleitung Einführung in die Modellierung der Ausgleichungsaufgabe Einführung in die Lösung der Ausgleichungsaufgabe Aufstellung der verkürzten Beobachtungsgleichungen Optimierungsziel der Parameterschätzung Lösungsalgorithmus zur der Methode der kleinsten Quadrate im Gauß-Markov-Modell Genauigkeitsbetrachtung der Ausgleichungsergebnisse Die Rolle statistischer Tests in der Ausgleichungsrechnung 10 2 Grundlagen der Matrizenalgebra Bedeutung der Matrizenalgebra Matrixdefinition Spezielle Matrizen Rechenregeln für Matrizen Die Determinante Lösung eines linearen Gleichungssystems Matrixinversion Kenngrößen von Vektoren und Matrizen Spur einer Matrix Die Norm von Vektoren und Matrizen Der Rang einer Matrix Definite Matrizen Tran sformationen Lineare Transformation Orthogonale Transformation Das Eigenwertproblem Die Pseudoinverse Block-und Submatrizen Differentiation von Vektorfunktionen Teilweise Elimination von Parametern Literatur zur Matrizenalgebra 39 3 Statistik und Fehlerlehre Einführung Einige Definitionen Verknüpfung von Ereignissen Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Grundgesamtheit und Stichprobe 44

3 VIII Inhaltsverzeichnis Zufallsexperiment und Zufalls variable Lage- und Variabilitätsmaße Beschreibende Statistik Die Häufigkeitsfunktion Die Summenhäufigkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion Erwartungswert, Erwartungstreue und Varianz Gaußsche und verwandte Verteilungen Gaußsche Normalverteilung Student- (t-) Verteilung ^-Verteilung Fisher-Verteilung Zufallsvektor und Fehlermodell Physikalische Korrelation Die Kovarianzmatrix Der Korrelationskoeffizient Das Fehlerfortpflanzungsgesetz Lineare Funktionen Nichtlineare Funktionen Vertrauensbereiche (Konfidenzbereiche) Zur Definition des Vertrauensbereiches Vertrauensbereich für einen Mittelwert bei bekannter Varianz Vertrauensbereich für Mittelwerte bei empirischer Varianz Vertrauensbereich für Standardabweichungen Vertrauensbereich für Korrelationskoeffizienten Die Konfidenzellipse Hypothesentest und Teststatistik Zur Problematik Der Hypothesentest Test von Beobachtungen bei bekannter Standardabweichung Test von Mittelwerten bei unbekannter Standardabweichung Vergleich zweier Varianzen Test der Differenzen zweier Mittelwerte Test mehrdimensionaler Zufallsgrößen Ergänzungen zur Teststatistik Tabellen zur Teststatistik Literatur zur Statistik und Fehlerlehre 95 4 Ausgleichungsmethoden und Schätzertypen - Eigenschaften und algorithmische Darlegung Einführung M-Schätzung im Gauß-Markov-Modell (GMM) Homogenisierung des Gauß-Markov-Modells Konzept der Maximum-Likelihood-Schätzung (M-Schätzung) 100

4 IX Likelihoodfunktion und M-Schätzung für normalverteilte Beobachtungsfehler Allgemeine M-Schätzung Zieldichte bei allgemeiner M-Schätzung Robuste M-Schätzer und nicht robuste Sonderfälle Vorbetrachtungen zum Stand der Entwicklungen Robustheitsmaße für M-Schätzer Infinitesimale Robustheitsquantifizierung über die Einflussfunktion und qualitative Robustheit von M-Schätzern Robustheitsquantifizierung über Bruchpunkt Bruchpunktresistenz und Hebelpunkte Allgemeines algorithmisches Lösungskonzept für M-Schätzer Lösung bei linearen funktionalen Modellen M-Schätzung bei nichtlinearen funktionalen Modellen Abriss und Diskussion robuster M-Schätzer sowie nicht robuster Sonderfälle Robustes Datasnooping Kovarianzmatrix und robuste Varianzschätzung für M-Schätzer Theoretisch erwartete Kovarianzmatrix Geschätzte Kovarianzmatrix Robuste Schätzung des Aposteriori-Varianzfaktors Weitere robuste Schätzer und Ausblick Übungsaufgaben Literatur zu Ausgleichungsmethoden und Schätzertypen Standards und Erweiterungen in der Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate (L2-Norm) M-Schätzung und Ausgleichung nach der L2-Norm Klassische mathematische Modelle der L2-Norm Stochastisches Modell der Beobachtungen Grundlagen und Standards des stochastischen Modells Physikalische Korrelationen Mathematische Korrelationen und zweistufige Ausgleichung Kofaktormatrix und Gewichtsmatrix der Beobachtungen Standardmodelle der Kleinste-Quadrate-Schätzung Gauß-Markov-Modell Bedingte Ausgleichung Gauß-Markov-Modell mit Bedingungsgleichungen Gauß-Helmert-Modell (GHM) Konfidenzbereiche und Genauigkeitsmaße Statistische Tests Kategorien von Hypothesentests Standardablaufeines Hypothesentests Globaltest 182

5 5.4.4 Parametertest Suche und statistischer Nachweis von groben Modell- und Datenfehlern Konzept und Ansatz Statistischer Nachweis von Modell Störungen Kategorien von Modellstörungen Modellierung grober Fehler und Datasnooping Spezifische Störmodelle Aufdeckung grober Modell- und Beobachtungsfehler im Globaltest Suche grober Fehler in hierarchischen Anschlusspunkten Bemessung des Einflusses von Modellfehlern und groben Fehlern auf die Ausgleichungsergebnisse Einflussbemessung bezüglich der Ausgleichungsparameter Einflussbemessung bezüglich der absoluten Punktlage im Netz Einflussbemessung bezüglich der relativen Punktlage im Netz Abstimmung von Teststatistiken Vernachlässigungen im stochastischen Modell Strenge und nicht strenge Schätzung Tatsächliche und scheinbare Genauigkeiten der Parameter Strenge Ausgleichung und optimale Genauigkeit Bemessung des Einflusses von Vernachlässigungen im stochastischen Modell und spektrales Netzanalysekonzept Diskrete und verallgemeinerte stochastische Netzverzerrung Spektrales Netzanalysekonzept zum Einfluss von Vernachlässigungen bzw. latenten Anteilen im stochastischen Modell Spektrale Netzanalyse und natürliche Schwachformen Anwendungen der spektralen Netzanalysekonzepte Varianzkomponentenschätzung Allgemeiner Ansatz Typen von Varianzkomponenten Allgemeiner Ansatz zur Varianzkomponentenschätzung Literatur zu den Standards und Erweiterungen in der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung geodätischer Netze Einleitung Beobachtungsgleichungen für Lage- und Höhennetze Verbesserungsgleichungen für Lage- und Höhennetze Freie Netzausgleichung Freie Netze und Datumsdefekt S-Transformation Beseitigung des Datumsdefekts und geometrische Interpretation Einführen von Koordinaten Einführen von Bedingungen Freie Netzausgleichung im Höhennetz Freie Netzausgleichung im Lagenetz 254

6 XI Teilspurminimierung im Lagenetz Varianzfaktoren und Varianz-Komponenten-Schätzung Dynamische Netzausgleichung Prüfung der Anschlusspunkte Strenge und genäherte dynamische Netzausgleichung Hierarchische Netzausgleichung Praktische Vorgehensweise und Beispiele Deformationsanalyse Überprüfung der Referenzpunkte Koordinatenmethode Beobachtungsmethode Bestimmung der Deformationsparameter Beispiel zur Deformationsanalyse Literatur zur Ausgleichung geodätischer Netze Anwendung von Ausgleichungsmethoden zur Netzplanung Netzplanung unter Einsatz von Ausgleichungsmethoden Apriori-Analyse der zu erwartenden Genauigkeit bei der Netzplanung Genauigkeitsmaße der Netzpunkte bei der Netzplanung Beschreibung der Punktgenauigkeit in eindimensionalen Netzen Beschreibung der Punktgenauigkeit in zweidimensionalen Netzen Beschreibung der Punktgenauigkeit in dreidimensionalen Netzen Auswirkung des Ausgleichungsmodells auf die Genauigkeitsangaben Genauigkeit von abgeleiteten Größen Aufdeckbarkeit von Modell Störungen - Zuverlässigkeit und Sensitivität eines geplanten Netzes Innere Zuverlässigkeit der Beobachtungen Äußere Zuverlässigkeit bei der Netzplanung Lokale Maße der äußeren Zuverlässigkeit Sensitivitätsanalyse Einige Überlegungen zur Wirtschaftlichkeit Verfahren zur Verbesserung des Netzentwurfs Netzoptimierung Iterative Methoden zur Netzverbesserung Literatur zur Netzplanung Ausgewählte Ausgleichungsaufgaben Bestimmung ausgleichender Funktionen Berechnung von Regressionsfunktionen Berechnung ausgleichender Polynome Optimale Approximation beliebiger glatter Funktionen Elimination der Hilfsunbekannten bei der Berechnung ausgleichender Funktionen Wahl des Schätzprinzips 319

7 XII Inhaltsverzeichnis 8.2 Formenanalyse Geschlossenes Berechnungsmodell Kurven und Flächen zweiter Ordnung Ausgleichungsansatz und L2-Norm-Schätzung Wahl der Restriktionen Stochastisches Modell Vorgehensweise bei der Formenanalyse Ausgleichender Kreis Ausgleichende Ellipse Ausgleichende Kugel Literatur zu den ausgewählten Ausgleichungsaufgaben 333 Sachwörterverzeichnis 335