Analyse von zeitlichen Variationen bei unregelmäßig vorliegenden räumlichen Daten

Transkript

1 . Analyse von zeitlichen Variationen bei unregelmäßig vorliegenden räumlichen Daten Geodätische Woche Andreas Ernst und Wolf-Dieter Schuh 7. Oktober 2010

2 Motivation Räumliche Daten entstehen inzwischen in vielen Bereichen außerhalb der Geodäsie Günstige GNSS Systeme ermöglichen einfache Datenproduktion Diese Daten müssen geeignet ausgewertet werden Liegen häufig beliebig verteilt im Raum vor 2 Geoinformationssysteme bieten diverse Interpolations- und Approximationsverfahren an Wie wird mit diesen Daten weiter umgegangen? Wird die Stochastik berücksichtigt? Was passiert mit der stochastischen Information? Welche Aussagen können mit diesen Daten getroffen werden?

3 Problemstellung Datengrundlage: Georeferenzierte Daten L I (Höhen, Schweremessungen, Temperaturen, Agrarerträge) Aus verschiedenen Epochen I (Wochenweise, Jahresweise) An beliebigen Stellen in einem Gebiet gegeben Ziel: Analyse des zeitlichen Verhaltens der Daten. Global (Über das ganze Auswertegebiet) Lokal (In bestimmten Teilen des Auswertegebiets) Untersuchung der zeitlichen Stabilität bzw. Variabilität. Herrausarbeiten von Trends 3

4 Ertragswertanalyse im Grasland Präzisionslandwirtschaft: Grasland - Pflanzenvielfalt führt zu heterogenen Ertragseigenschaften Für Düngung muss Variabilität lokalisiert werden Datengrundlage: Ertragswerte eines Schlages über mehrere Jahre ( ) Lokale Variationen sind von Interesse Punktlage Abbildung: Drei Epochen von Grasland-Ertragswerten

5 Ablauf des Verfahrens Unregelmäßige Daten mehrerer Epochen Wiener-Filterung Epochen auf Gitter Kovarianzinformation 5 Differenzberechnung Schätzung der Variabilität Doppel-Differenzberechnung Variabilität an Gitterpunkten Vollständige Kovarianzmatrix Signifikanztest

6 Wiener-Komogorov-Filterung Unregelmäßige Daten mehrerer Epochen Wiener-Filterung Epochen auf Gitter Kovarianzinformation 6 Differenzberechnung Schätzung der Variabilität Doppel-Differenzberechnung Variabilität an Gitterpunkten Vollständige Kovarianzmatrix Signifikanztest

7 Wiener-Komogorov-Filterung Prädiktion der Daten auf ein Gitter: Separieren der Beobachtungen für Ergodizität Separieren der Beobachtungen in einen deterministischen Trend und ein Stochastisches Signal L I = f I (x) + S I + N L I = L I f I (x) 7 Deterministischer Trend Zweidimensionales Polynom niedriger Ordnung 0. bis 2. Ordnung Für jede Epoche eigene Funktion Schätzen mit Gauß-Markov-Modell Stochastik iterativ verbessern mit Σ{ L I }

8 Wiener-Komogorov-Filterung Schätzen von stochstischem Signal S I Mittels BLUP-Schätzer: S I = Σ{S I, L I }Σ{ L I } 1 L I Kovarianzfunktion führt auf Kovarianzmatrizen Σ Kombination mehrerer Modelle (Gauß-Typ, Besselfunktion) Multiplikation mit finitem Träger Numerik 8 Vollständige gegitterte Daten: Deterministischer und stochastischer Anteil: Z I = f I (x R) + S I Varianz-/Kovarianzmatrix der Prädiktion Σ{Z I } = Σ{f I } + Σ{S I } Σ{S I, L I }Σ{ L I } 1 Σ{ L I, S I }

9 Schätzung der Variabilität Unregelmäßige Daten mehrerer Epochen Wiener-Filterung Epochen auf Gitter Kovarianzinformation 9 Differenzberechnung Schätzung der Variabilität Doppel-Differenzberechnung Variabilität an Gitterpunkten Vollständige Kovarianzmatrix Signifikanztest

10 Schätzung der Variabilität Schätzung der mittleren Abweichung von einem Epochenmittel Input: Modell: Gegitterte Daten in mehreren Epochen (Prädiktion, Differenzen, Doppeldifferenzen) Varianz-/Kovarianzmatrizen Σ{Z I } 10 z I (x R ) + v I = z(x R ) + z I Globaler Anteil: z I Lokaler Anteil: z(x R ) Schätzung mittels Gauß-Markov-Modell

11 Schätzung der Variabilität Nutzen von Differenzen Beschreiben der zeitlichen Änderung der Daten durch Differenzen aufeinanderfolgender Epochen, erste zeitl. Ableitung Input: Modell: Differenzen aus 2 Epochen I und I + 1: z J (x R ) = z I+1 (x R ) z I (x R ) Fortgepflanzte Varianz-/Kovarianzmatrizen Σ{ Z J } ( z I+1 z I) + v J = 2 z(x R ) + z J 11 Lokale Variabilität 2 z(x R ) beinhaltet die lokale Variation der Daten gemittelt über alle Differenzepochen J

12 Schätzung der Variabilitätsänderung Einführen von Doppeldifferenzen: Beschreiben der Änderung der Variabilität durch Doppeldifferenzen, zweite zeitliche Ableitung. Input: Modell: Differenzen aus 2 Differenzepochen J und J + 1: 2 z K (x R ) = z J+1 (x R ) z J (x R ) Fortgepflanzte Varianz-/Kovarianzmatrizen Σ{ 2 Z K } 12 ( z J+1 z J) + v K = 2 z(x R ) + z k Lokale Variabilitätsänderungen 2 z(x R ) beinhaltet Informationen über die lokale Änderung der Variabilität der Daten.

13 Signifikanztest Unregelmäßige Daten mehrerer Epochen Wiener-Filterung Epochen auf Gitter Kovarianzinformation 13 Differenzberechnung Schätzung der Variabilität Doppel-Differenzberechnung Variabilität an Gitterpunkten Vollständige Kovarianzmatrix Signifikanztest

14 Signifikanztest Testen der geschätzten Parameter auf Signfikanz: 1. Stufe: Parameterschätzung Modell: l + v = Ax Verbesserungen: v = A x l Kovarianzmatrix: Σ{ X } = (A T Σ 1 A) 1 Varianzfaktor der 1. Stufe: s 2 1 = vt Σ 1 v f 1 2. Stufe: Restriktionsansatz Modell: B T ( x + r) = b Verbesserungen: r = Σ{ e X }B(B T Σ{ e X }B) 1 Bex Varianzfaktor der 2. Stufe: s 2 2 = rt Σ{ e X } 1 r f 2 14 Hypothesentest (Fisher-Test) Nullhypothese: H 0 : x = 0 Alternativhypothese H A : x 0 Testgröße: T = es2 2 F γ es 2 f 1 2,f 1 Signifikanzniveau γ = 95%

15 Ergebnisse Mittlere Abweichung vom Epochenmittel X [m] Yield [ t / ha ] Y [m] Testgröße: T 1 = 3.466, Quantil: K F 0.95 f 2,f 1 = Signifikante Abweichungen vom Epochenmittel 0.15

16 Ergebnisse Lokale Variationen aller Epochen X [m] Yield [ t / ha ] Y [m] Testgröße: T 2 = 0.764, Quantil: K F 0.95 f 2,f 1 = Signifikante Variationen nicht feststellbar 0.06

17 Ergebnisse Änderung der lokalen Variabilität X [m] Yield [ t / ha ] Y [m] Testgröße: T 3 = 0.996, Quantil: K F 0.95 f 2,f 1 = Signifikante Variationsänderungen nicht feststellbar 0.1

18 Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Ein Verfahren zur konsequenten Behandlung raum-zeitlicher Daten wurde vorgestellt Die Stochastik der Daten wurde geschätzt und streng weiterbehandelt Zeitliche Effekte können extrahiert werden Strenge statistische Aussagen über die Daten sind möglich 18 Ausblick Weitere Anwendungsgebiete sollten getestet werden. Übertragbarkeit? (Altimetrie, Schwerefeld) Automatische Schätzung des stochastischen Modells. Adaptive Anpassung der Kovarianzfunktion. Wie funktioniert dies bei dichteren größeren Zeitreihen?

19 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit 19