ANGEWANDTE STATISTIK II Prüfungstermin Name:

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1 Die Beantwortung der Rechenaufgaben hat zusätzlich zu den numerischen Ergebnissen zu beinhalten: - Feststellung des Problemtyps, Angabe der Lösungsmethode; - bei den Testverfahren: Hypothesen, P-Wert, Begründung der Testentscheidung; - Berechnungsformeln bzw. R-Funktionen. Bei Verständnisfragen bitte in vollständigen Sätzen antworten. In die Beurteilung geht die gedankliche und rechnerische Richtigkeit ein; die gedankliche Richtigkeit kann nur beurteilt werden, wenn Zwischenergebnisse angeführt sind. 1. Die wiederholte Messung der Konzentration eines Wirkstoffes ergab im Rahmen eines Ringversuches für die Labors A und B die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte (Angaben in mg/l). A B a) Man untersuche unter der Annahme, dass die Messungen als Parallelversuch geplant wurden, ob sich die Mittelwerte der Labors signifikant unterscheiden (alpha= 5%). Aus Voruntersuchungen sei bekannt, dass die Konzentrationen mit guter Näherung als normalverteilt betrachtet werden können. b) Ferner stelle man fest, ob der Umfang der Prüfstichproben ausreichend groß geplant wurde, um den als relevant angesehenen Mittelwertunterschied =0.6 mit 90%iger Sicherheit erkennen zu können. Hinweis: Die Standardabweichung berechne man näherungsweise als Quadratwurzel aus dem Mittelwert der beiden Stichprobenvarianzen. 2. Eine Abfüllanlage soll so eingestellt werden, dass die abgefüllten Einheiten nur mit 2.5%iger Wahrscheinlichkeit nicht eine vorgegebene Mindestmenge aufweisen. Nach Einstellung der Anlage wurden im Probelauf 150 Packungen zufällig ausgewählt und dabei festgestellt, dass in 8 Fällen die Mindestmenge nicht erreicht wurde. a) Zeigt dieses Ergebnis eine signifikante Überschreitung des Sollwertes p0=2.5% an? (alpha = 5%) b) Sie führen einen Test durch und können H0 nicht ablehnen. Wann können Sie sagen, dass dann H0 gilt 3. In einer Bioäquivalenzstudie wurde für ein Testpräparat der Verlauf der Präparatkonzentration durch die maximale Konzentration Cmax und die Fläche AUC12 unter der Konzentrationskurve beschrieben. Kann die Fläche AUC12 durch ein lineares Regressionsmodell in Abhängigkeit von Cmax dargestellt werden (alpha = 5%)? Wenn ja, wie lautet die Regressionsgleichung? Proband Cmax AUC a) Kann man mit einem linearen Regressionsmodell von c max auf AUC12 schließen (α=5%)? Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß! b) Welcher Wert von AUC12 würde man zu vorgegebenem c max =4.1 erwarten? 4. Die Stand by-zeit (in h) der Akkus aus drei Produktionsreihen wurde unter bestimmten Bedingungen jeweils mit 5 Mobiltelefongeräten bestimmt. Es ergaben sich die folgenden Messreihen: Produkt 1: 513, 480, 496, 459, 475 Produkt 2: 449, 435, 480, 494, 470 Produkt 3: 503, 482, 465, 446, 450 a) Unterscheiden sich die drei Produkte global hinsichtlich der mittleren Stand by-zeit? (alpha = 5%) b) Man überprüfe die Voraussetzungen für die Anwendung der 1-faktoriellen ANOVA. Arbeitszeit: 75 Minuten Beurteilung: Jedes Beispiel 4 Punkte 1: : : :9-10 1

2 LÖSUNGEN Aufgabe 1a Problemstellung: Vergleich von 2 Mittelwerten mit unabhängigen Stichproben Lösungsmethode: Welch-Test Voraussetzungen: normalverteilte Grundgesamtheiten unter Bedingung A und B > a <- c(6.7, 8.7, 6.9, 7.8, 8.2, 7.5, 8.0, 7.5) > b <- c(6.0, 8.3, 6.2, 7.2, 6.9, 8.1, 7.8, 6.6) Boxplots > boxplot(a, b) Mittelwertvergleich H0: Mittelwert/A = Mittelwert/B vs. H1:... <>... > t.test(a, b, paired=false, alternative="two.sided", mu=0) Welch Two Sample t-test data: a and b t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Testentscheidung: wegen p-value = 19.56% >= 5% -> H0 kann nicht abgelehnt werden! Aufgabe 1b Problemstellung: Bestimmung des erforderlichen Mindeststichprobenumfangs Vorgaben: delta = 0.6, power = 0.9 Die Standardabweichung wird aus den gegebenen Stichproben geschätzt: > a <- c(6.7, 8.7, 6.9, 7.8, 8.2, 7.5, 8.0, 7.5) > b <- c(6.0, 8.3, 6.2, 7.2, 6.9, 8.1, 7.8, 6.6) gemittelte Varianz > vara <- var(a); varb <- var(b); varm <- (vara+varb)/2 gepoolte Standardabweichung > sigma <- sqrt(varm) > power.t.test(power=0.9, delta=0.6, sd=sigma) Two-sample t test power calculation n = delta = 0.6 sd = sig.level = 0.05 power = 0.9 alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group Es wäre in jeder der Stichproben ein Mindest-n von n=36 erforderlich, 2

3 um die als relevant betrachtete Abweichung delta=0.6 mit 90%iger Sicherheit als signifikant (auf 5%igen Testniveau) zu erkennen. -> Versuchsplanung ist unzureichend! Aufgabe 2a Problemstellung: Vergleich einer Wahrscheinlichkeit p mit einem vorgegebenen Sollwert p0 Lösungsmethode: Binomialtest auf Überschreitung Hypothesen: H0: p<= p0 vs. p > p0 > n <- 150; m <- 8; p0 < > binom.test(m, n, p=p0, alternative="greater") Exact binomial test data: m and n number of successes = 8, number of trials = 150, p-value = alternative hypothesis: true probability of success is greater than percent confidence interval: sample estimates: probability of success Testentscheidung: P=3.56% < 5% auf 5%-Niveau ist H0 abzulehnen! Aufgabe 2b Wenn H0 nicht abgelehnt werden kann, so können dafür 2 Ursachen verantwortlich sein: 1. H0 gilt. 2. H0 gilt nicht, aber die Güte (Power) Versuchsanlage ist schlecht, so dass die Abweichung von H0 nicht als signifikant erkannt werden kann. Die Entscheidung kann für H0 erfolgen, wenn die Power entsprechend groß ist (jedenfalls größer als 80%). Aufgabe 3a Problemstellung: Darstellung der Abhängigkeit der metrischen Variablen AUC12 von der metrischen Einflussvariablen cmax Lösungsmethode: Lineare Regression von AUC12 auf cmax > cmax <- c(4.5, 3.6, 3.7, 2.9, 5.3, 5.1) > auc12 <- c(6.7, 5.0, 7.5, 4.6, 10.5, 10.1) Prüfung der Adäquatheit des linearen Modells > plot(cmax,auc12) > abline(lm(auc12~cmax)) > Streudiagramm: regellose Punkteverteilung um Regressionsgerade -> lineare Regression passend auc cmax Überprüfung der Abhängigkeit im Rahmen des linearen Modells und 3

4 Schätzung der Regressionsparameter > mod <- lm(formula=auc12~cmax); summary(mod) Call: lm(formula = auc12 ~ cmax) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) cmax * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 4 DF, p-value: Abhängigkeitsprüfung: H0: Anstieg =0 (keine lineare Abhängigkeit) vs. H1: Anstieg <> 0 (Abhängigkeit) Testentscheidung: wegen p-vaule = 1.13% < 5% -> H1 Überprüfung der Residuen auf Normalverteilung mot Normal-QQ-Plot > qqnorm(mod$residuals); qqline(mod$residuals) keine systematische Abweichung der Datenpunkte von der Orientierungsgeraden! Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Gleichung der Regressionsgeraden: AUC12 = 2.42 cmax Bestimmtheitsmaß (=Quadrat des Korrelationskoeffizienten) = 83.15% Aufgabe 3b Erwarteter AUC12-Wert für cmax=4.1 > b <- mod$coefficients > b0 <- b[[1]]; b1 <- b[[2]] > AUC12exp <- b0+b1*4.1; AUC12exp [1] > predict(mod, data.frame(cmax=4.1)) Aufgabe 4a Problemstellung: Vergleich der Mittelwerte von drei (metrischen) Messgrößen Lösungsweg: 1-faktorielle ANOVA Voraussetzungen: mit gleichen Varianzen normalverteilte Messgrößen > zeita <- c(513, 480, 496, 459, 475) > zeitb <- c(449, 435, 480, 494, 470) > zeitc <- c(503, 482, 465, 446, 450) > zeit <- c(zeita, zeitb, zeitc) > prod <- factor(rep(1:3, each=5)) > daten <- data.frame(zeit, prod) 4

5 Globaler Mittelwertvergleich H0: alle Mittelwerte sind gleich, H0: wenigstens 2 Mitelwerte verschieden > > mod <- aov(zeit ~ prod); summary(mod) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) prod Residuals Testentscheidung: P = 40% >= 5% à H0 kann auf 5%-Niveau nicht abgelehnt werden! Boxplots der Messreihen > boxplot(zeit~prod, xlab="produkte", ylab="entladungszeit/h", + names=c("a", "B", "C")) Entladungszeit/h A B C Produkte Aufgabe 4b Prüfung der Voraussetzungen Normalverteilungsüberprüfung an Hand der Residuen H0: Daten nicht in Widerspruch zur Normalverteilungsannahme > res <- mod$residuals; shapiro.test(res) Shapiro-Wilk normality test data: res W = , p-value = Testentscheidung: p-value = 44.62% -> H0 (Normalverteilungsannahme) kann nicht abgelehnt werden. Normalverteilungsüberprüfung der Residuen mit Normal-QQ-Plot > qqnorm(res); qqline(res) Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles QQ-Plot zeigt keine systematische Abweichung von der Orientierungsgeraden! Überprüfung der Gleichheit der Varianzen 5

6 H0: alle Varianzen sind gleich, H1: wenigstens 2 Varianzen verschieden > library(car) > levenetest(mod) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group Testentscheidung: P = 92.47% >= 5% -> Daten nicht in Widerspruch zu H0! 6