Technische Universität München Zentrum Mathematik Sommersemester Juli 2005 Arbeitszeit 60 Minuten

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1 Name: Frau Herr (nichtzutreffendes bitte streichen) Fachrichtung geb. am (Tag/Mon/Jahr) Semestralklausur aus Praktikum BWL-Statistik Technische Universität München Zentrum Mathematik Sommersemester Juli 2005 Arbeitszeit 60 Minuten Prüfer: Prof. Dr. J. Edenhofer/Dr. W. Schlee Vorname: Matr.-Nr.: HINWEISE: Die Angabe umfaßt 16 Seiten einschließlich dieses Deckblatts. Tragen Sie Ihre Lösung handschriftlich in den dafür vorgesehenen Platz ein. Er ist reichlich bemessen. Alle Antworten sind zu begründen. Jede Teilfrage wird mit 2 Punkten bewertet. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 17 Punkte erreicht sind. Es sind alle eigenen im Prüfungsraum befindlichen Hilfsmittel erlaubt, jedoch kein Informationsaustausch mit den anderen Prüflingen.Ausgenommen sind auch Computer auf denen SPSS,R, oder Excel installiert ist oder installiert werden könnte. Die Prüfungsnoten werden in der Form Matrikel-Nr., Note im Internet (Einverständnis siehe unten) und beim Bauteil 08, 3.Stock im FMI-Gebäude baldmöglichst (jedoch frühestens nach drei Wochen) ausgehängt. (Bitte bei der Ausweiskontrolle ausfüllen) HÖRSAAL: 1200 REIHE: PLATZ: Ich bin mit einer Veröffentlichung meiner Note im Internet einverstanden( diesen Satz eventuell streichen). Note: Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Unterschrift:...

2 Die Problemstellung: Aus dem Buch von E.W.Frees : Data Analysis Using Regression Models entnehmen wir die untenstehende Tabelle mit Jahresgehältern(salary) von 82 Baseball- Spielern. Ferner sind die zugehörigen Jahre der Erfahrung(year) in diesem Beruf angegeben. salary year salary year salary year salary year Auf diese Daten wird das folgende SPSS-Programm angewendet. Es wird angenommen, dass sich die Daten in der Datei BWL 1PrufSS05A01.sav befinden. 1 GET 2 FILE='BWL_1PrufSS05A01.sav'. 3 MEANS 4 TABLES=Gehalt BY Jahr 5 /CELLS COUNT MEAN SEMEAN SKEW SESKEW STDDEV. 6 ONEWAY 7 Gehalt BY Jahr 8 /MISSING ANALYSIS. 9 REGRESSION 10 /MISSING LISTWISE 11 /STATISTICS COEFF OUTS CI R ANOVA 12 /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) 13 /NOORIGIN 14 /DEPENDENT Gehalt 15 /METHOD=ENTER Jahr 16 /RESIDUALS NORM(ZRESID). Aufgabe 1 : Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 2

3 SPSS liefert folgendes Ergebnis: Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 3

4 Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 4

5 Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 5

6 (1) Wie unterscheiden sich die Werte in der Spalte Standardfehler des Mittelwerts von den Werten in der Spalte Standardabweichung? Standardfehler= Standardabweichung / N. Hierbei ist N der Wert aus der Spalte N. (2) Geben Sie eine kurze Erklärung, warum in der Tabelle Bericht für die Jahre 14, 15,18, 21 nur Mittelwerte angegeben werden! Für diese Jahre sind jeweils nur eine Beobachtung verfügbar. Der Mittelwert ist gleich dem Beobachtungswert. (3) Kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei 3 Jahre Erfahrung als symmetrisch betrachtet werden? Welche Werte aus der Tabelle müssen hierzu betrachtet werden? Begründen Sie Ihre Antwort! Es muss die Schiefe(=0.878) und der Standardfehler der Schiefe(=0.661) herangezogen werden. Im groben Bereich ± ist der Wert 0 (Symmetrie) nicht enthalten, jedoch in dem genaueren Bereich0.878 ± Daher kann die Verteilung als symmetrisch angenommen werden. Nun betrachten wir die Tabelle, die ONEWAY ANOVA überschrieben ist: Zu- Entnehmen Sie die Antworten zu folgenden Fragen aus dem SPSS-Ergebnis: nächst betrachten wir die Tabelle, die mit Bericht überschrieben ist: (4) Was wird hier getestet? Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 6

7 (5) Welche Werte sind für die Überprüfung der Gleichheit der Mittelwerte maßgebend. Kann statistisch gesehen Gleichheit angenommen werden? Begründung! Je größer der F-Wert (hier=11.901) ist, desto eher muss die Gleichheit abgelehnt werden. Man orientiert sich an der Signifikanz des F-Wertes (hier= 0.000). Da diese Signifikanz kleiner als 0.05 ist,wird die Gleichheit der Mittelwerte abgelehnt. Im SPSS-Ergebnis folgt nun eine Regression. (6) Welcher Regressionsansatz wird hier gemacht? Es wird hier der Regressionsansatz gehalt= a + b mal Jahr gemacht. (7) Ist der Regressionsansatz statistisch gerechtfertigt? Begründung! Berücksichtigen Sie alle relevanten Ergebnisse von SPSS! Es werden hier die Mittelwerte, genauer die Erwartungswerte der Gehälter für alle Jahre verglichen. Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 7

8 1) Zunächst ist der F-Wert(=47.549) aus der Regressions-ANOVA-Tabelle zu betrachten. Da seine Signifikanz gleich ist, ist unter diesem Aspekt der Regressionsansatz statistisch gerechtfertigt. 2) In der nachfolgenden Tabelle Koeffizienten erkennt man dass die Signifikanz der Konstanten(=264,492,1) größer als 0.05 ist. Die Regression also fragwürdig ist. 3) Zudem ist das P-P-Diagramm ebenfalls ungünstig. Die Punkte liegen augenscheinlich nicht auf einer Geraden. Zusammenfassend gesagt, muss der Regressionsansatz verworfen werden. (8) Die Syntax-Zeilen sind durchnummeriert. Welche Zeilennummern betreffen den Regressionsbefehl? Die Zeilen 9 bis einschließlich 16. Da erst in der Zeile 16 ein Abschlusspunkt ist. Aufgabe 2 : Die Problemstellung: Aus dem Buch Small Datasets von Hand et al., erschienen bei Chapman und Hall, London 1994 entnehmen wir einen Teil des Datensatzes Nr. 386, und zwar die Preise(in Dollar) einer gewissen Whisky-Sorte in den sechziger Jahren des 20. Jahrhunderts in den USA: 4.82, 5.29, 4.89, 4.95, 4.55, 4.90, 5.25, 5.30, 4.29, 4.85, 4.54, 4.75, 4.85, 4.85, 4.50, 4.75, 4.79, 4.85, 4.79, 4.95, 4.95, 4.75, 5.20, 5.10, 4.80, MS-Excel liefert folgendes Ergebnis: Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 8

9 Entnehmen Sie die Antworten zu folgenden Fragen aus dem Excel-Ergebnis: (1) Was können Sie aus den angegebenen Werten für Mittelwert, Median und Schiefe entnehmen? Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 9

10 Der Median ist etwas größer als der Mittelwert (negative Schiefe), nahezu gleich, was auf Symmetrie der Werte schließen läßt. Die Schiefe berechnet sich direkt zu einem negativen Wert, aber ebenfalls nahe bei Null. Beide Kriterien für die Symmetrie stimmen also überein. (2) Wie hängen Standardfehler, Standardabweichung und Stichprobenvarianz zusammen? Standardfehler= Standardabweichung / N. Hierbei ist N der Wert aus der Spalte N. Die Stichprobenvarianz ist das Quadrat der Standardabweichung. (3) Welche der ausgedruckten Werte können Sie verwenden, um zu entscheiden, ob 5 ein geeigneter Wert für den Erwartungswert (=Modell-Mittelwert, theoretischer Mittelwert) ist? Hierzu kann der unter Konfidenzniveau ausgedruckte Wert verwendet werden. Der Wert 5 ist geeignet, wenn er im Intervall ± liegt. Dies ist aber offensichtlich nicht der Fall. (4) Können Sie sehen, was Excel mit Wertebereich meint? Was ist der größte und der kleinste Wert der Daten? Wieviele Daten sind verwendet worden? Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 10

11 Aufgabe 3 : Mit Wertebereich meint Excel die Differenz von maximalem Wert und minimalem Wert. Es sind 26 Daten verwendet worden. Der kleinste Wert ist 5.3, der größte Die Problemstellung: In der Süddeutschen Zeitung Nr. 96 vom Mittwoch, den 27. April 2005, Seite 21 finden sich im Wirtschaftsteil unter der Überschrift Deutschland steckt in der Wachstumskrise folgende Zahlen (Werte 2005,2006 geschätzt): Jahr Zeit Bruttoinlandsprodukt [Prozent] Arbeitslose[Tausend] Verbraucherpreise 1 [Prozent] Staatsdefizit 2 [Prozent] Änderungen gegenüber dem Vorjahr 2 in Prozenten des nominalen BIP R liefert folgendes Ergebnis: > x1 <- c(0.1, -0.1, 1.6, 0.7, 1.5) > x2 <- c(4061, 4377, 4381, 4844, 4518) > x3 <- c(1.4, 1.1, 1.6, 1.7, 1.5) > x4 <- c(-3.7, -3, -3.7, -3.4, -3.3) Regressionsmodell 1 > reg1 <- lm(x2 ~ x1 + x3 + x4) > summary(reg1) Call: lm(formula = x2 ~ x1 + x3 + x4) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) Lösung Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 11

12 (Intercept) x x x Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: on 1 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 1 DF, p-value: Regressionsmodell 2 > reg2 <- lm(x2 ~ x3 + x4) > summary(reg2) Call: lm(formula = x2 ~ x3 + x4) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** x * x * --- Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: 80.7 on 2 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 2 DF, p-value: Untersuchung der Residuen von Modell 2 > ks.test(reg2$residuals, "pnorm", 0, sd(reg2$residuals)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: reg2$residuals D = , p-value = alternative hypothesis: two.sided > t.test(reg2$residuals) One Sample t-test data: reg2$residuals t = 0, df = 4, p-value = 1 Lösung Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 12

13 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x e-16 Entnehmen Sie die Antworten zu folgenden Fragen aus dem R-Ergebnis: (1) Schreiben Sie die Regressionsmodelle mit den ausgerechneten Koeffizienten auf! Modell 1: x2 = x x x4 Modell 2: x2 = x x4 (2) Schreiben Sie hier die beiden R-Programmzeilen auf, mit denen die beiden Regressionsmodelle berechnet werden! reg1 <- lm(x2 x1+x3+x4) reg2 <- lm(x2 x3+x4) (3) Können beide Regressionsmodelle statistisch akzeptiert werden? Begründen Sie Ihre Antwort! Es kann nur das Modell 2 statistisch akzeptiert werden. Hier ist die Signifikanz (pvalue) der F-Statistik < 0.05 und alle Koeffizienten können als von 0 verschieden angesehen werden (p-value <0.05!). (4) Können die Residuen des Modells 2 als normalverteilt mit Erwartungswert 0 angesehen werden? Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 13

14 Aus dem One-sample Kolmogorov-Smirnov test entnimmt man die Signifikanz der Testgröße als > Daher kann die Normalverteilung akzeptiert werden. (5) Kann ein Erwartungswert größer Null der Residuen des 2. Modells statistisch ausgeschlossen werden? Begründung! Aufgabe 4 : Ein Wert größer Null kann nicht ausgeschlossen werden, da das Vertrauensintervall [ , ] Werte größer 0 enthält. Die Problemstellung: Aus dem Buch Small Datasets von Hand et al., erschienen bei Chapman und Hall, London 1994 entnehmen wir den ganzen Datensatzes Nr. 386, und zwar die Preise(in Dollar) einer gewissen Whisky-Sorte in den sechziger Jahren des 20. Jahrhunderts in den USA. Damals gab es in einigen Bundesstaaten der USA nur staatliche Stellen, die Whisky verkaufen durften, in anderen Bundesstaaten war der Verkauf privaten Unternehmern übertragen worden (über den Rest der Bundesstaaten keine Angaben). Preise der staatlichen Verkaufsstellen: 4.65, 4.55, 4.11, 4.15, 4.20, 4.55, 3.80, 4.00, 4.19, 4.75, 4.74, 4.50, 4.10, 4.00, 5.05, 4.20 Preise der privaten Verkaufsstellen: 4.82, 5.29, 4.89, 4.95, 4.55, 4.90, 5.25, 5.30, 4.29, 4.85, 4.54, 4.75, 4.85, 4.85, 4.50, 4.75, 4.79, 4.85, 4.79, 4.95, 4.95, 4.75, 5.20, 5.10, 4.80, R liefert folgendes Ergebnis: Eingabe der Daten > staat <- c(4.65, 4.55, 4.11, 4.15, 4.2, 4.55, 3.8, 4, 4.19, 4.75, , 4.5, 4.1, 4, 5.05, 4.2) > priv <- c(4.82, 5.29, 4.89, 4.95, 4.55, 4.9, 5.25, 5.3, 4.29, , 4.54, 4.75, 4.85, 4.85, 4.5, 4.75, 4.79, 4.85, 4.79, , 4.95, 4.75, 5.2, 5.1, 4.8, 4.29) Lösung Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 14

15 Statistische Beschreibung der Daten > summary(priv) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > summary(staat) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Konfidenz-(Vertrauens-)intervalle für Mittelwerte > t.test(staat, conf.level = 0.95) One Sample t-test data: staat t = , df = 15, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x > t.test(priv, conf.level = 0.95) One Sample t-test data: priv t = , df = 25, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Vergleich von Varianzen und Mittelwerten > bartlett.test(list(staat, priv)) Bartlett test for homogeneity of variances Lösung data: list(staat, priv) Bartlett's K-squared = , df = 1, p-value = > t.test(staat, priv, mu = 0, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95) Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 15

16 data: staat and priv t = , df = 40, p-value = 5.833e-06 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Entnehmen Sie die Antworten zu folgenden Fragen aus dem R-Ergebnis: (1) Muss der theoretische Mittelwert (=Erwartungswert) 4.5 für die staatlichen und/oder privaten Verkaufsstellen statistische gesehen abgelehnt werden? 4.5 kann nur bei den staatlichen Verkaufsstellen nicht abgelehnt werden, da der Wert im Intervall [ , ] liegt,jedoch nicht in [ , ]. (2) Sind die Varianzen für die beiden Datensätze statistisch als gleich anzusehen? Die beiden Varianzen können als gleich angesehen werden, da die Signifikanz (pvalue) bein Bartlett-Test > 0.05 ist. (3) Sind die Mittelwerte beider Datensätze statistisch als gleich anzusehen? Die Mittelwerte beider Datensätze können nicht als gleich angesehen werden, da der vom Two Sample t-test gelieferte p-value < 0.05 ist. Two Sample t-test Praktikums-Übung Statistik(BWL/Wi-Inf) SS 2005 Prüfung 8. Juli 05 16