Versuch 4: Elektrische Potentiale/ EKG

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1 1 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Name: Datum: Versuch 4: Elektrische Potentiale/ EKG Antestat: Abtestat: Datum: 1. Medizinischer Bezug und Ziel des Versuchs Ein wichtiger Grundbegriff der Elektrizitätslehre ist der des elektrischen Potentials bzw. der Potentialverteilung. Er ist Grundlage für die Erklärung der Entstehung von EKG- und EEG-Signalen. Da der menschliche Körper ein leitfähiges Medium ist, ist das Auftreten elektrischer Potentialdifferenzen dort immer mit Strömen verbunden. Im Falle des EKG führt z.b. die Erregungsausbreitung am Herzen zu extrazellulären Strömen im gesamten Körper. Durch diese Ströme kommt es zu einer Potentialverteilung im Körper und auf der Körperoberfläche. Mit den EKG-Elektroden werden Potentialdifferenzen zwischen bestimmten Punkten auf der Körperoberfläche erfasst, die sich aufgrund dieser Potentialverteilung ergeben. Die Aufzeichnung der Potentialdifferenzen lässt Rückschlüsse auf die Richtung, die Stärke und den zeitlichen Verlauf der Erregungsausbreitung zu. Solche Rückschlüsse sowie ein Erkennen von Artefakten im Messsignal sind nur dann möglich, wenn die prinzipiellen Zusammenhänge zwischen der Erregungsausbreitung am Herzen und den gemessenen Potentialdifferenzen bekannt sind. Da der menschliche Körper ein dreidimensionales und zudem noch inhomogen leitendes Medium darstellt, sind diese Zusammenhänge hier sehr kompliziert. Der Begriff der (elektrischen) Potentialdifferenz bezeichnet dieselbe physikalische Größe wie der der (elektrischen) Spannung, die Sie als Folge bzw. Ursache elektrischer Ströme in Versuch 3 Elektrische Leitung / Ionentransport bereits kennengelernt haben. Zur Vereinfachung werden Sie im Versuch zunächst mit einem eindimensionalen, homogen leitfähigen Modell arbeiten und daran den Unterschied zwischen den Begriffen Potential und Potentialdifferenz (oder Spannung) kennenlernen. Hieran können Sie die Potentialverteilung, die sich beim Anschluss einer Stromquelle ergibt, und die daraus resultierenden Potentialdifferenzen untersuchen. Abbildung 1: EKG-Ableitung nach Einthoven und das zweidimensionale EKG-Modell Im nächsten Schritt verwenden Sie ein zweidimensionales, immer noch homogenes leitfähiges Modell in Form einer Kreisscheibe (Abb. 1). Der Anschluss einer Stromquelle an zwei Punkten im Zentrum der Kreisscheibe ergibt eine Potentialverteilung, die derjenigen sehr ähnlich ist, welche die Herzerregung

2 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 2 auf dem Rumpf des menschlichen Körpers hervorruft. Die Lage der Anschlüsse für die Stromquelle kann dabei mit der Lage der Erregungsfront am Herzen verglichen werden. In Analogie zur Anordnung der EKG-Elektroden nach Einthoven (R: rechter Arm, L: linker Arm, F: linker Fuß) messen Sie die Potentialdifferenzen zwischen drei festen Punkten und deren Änderung in Abhängigkeit von der Lage der Anschlüsse der Stromquelle. Diese Potentialdifferenzen werden beim EKG als Ableitungen bezeichnet. Mit Hilfe der Messungen können Sie die Entstehung von EKG-Signalen prinzipiell erklären. Das bildet die Grundlage für weiterführende Versuche im Physiologiepraktikum, in denen Sie sich mit der genauen Form der Signale und deren Zusammenhang mit der Herzaktivitat beschäftigen. Außerdem können Sie an den Modellen z.b. die Fragen klären, warum die EKG-Elektroden nicht (wie in Abb. 1 angedeutet) am Rumpf, sondern an Händen und Fuß angebracht werden und welchen Einfluss Lage und Kontakt der Elektroden auf die gemessenen Signale haben. 2. Versuchsdurchführung 2.1 Messungen am eindimensionalen Modell Abbildung 2: Aufbau und Beschaltung des eindimensionalen Modells Im ersten Schritt ersetzen Sie den dreidimensionalen, inhomogen leitfähigen menschlichen Körper stark vereinfacht durch ein eindimensionales, homogenes leitfähiges Modell. Es besteht aus einem 50 cm langen Streifen, der durch seine Beschichtung mit Graphitstaub auf der gesamten Fläche eine gleichmäßige Leitfähigkeit besitzt. Das gilt allerdings nur solange die Oberfläche nicht beschmutzt oder beschädigt wird. Seien Sie also bitte beim Anlegen der Anschlüsse und beim Abtasten der Oberfläche mit Elektroden VORSICHTIG. Auch Fett, das durch Berührung mit den Fingern aufgebracht wird, kann die Eigenschaften des Graphitpapiers verändern und die Messergebnisse verfälschen. Die Lage der Erregungsfront am Herzen kann mit den beiden Anschlüssen einer Stromquelle verglichen werden. Sie müssen deshalb zunächst die Stromquelle (das Netzgerät) über das Amperemeter an das Modell anschließen. Wählen Sie dabei aus Gründen der Übersichtlichkeit die Farbe der Kabel entsprechend der Polarität: Rote Kabel für Plus und blaue (ggf. schwarze) Kabel für Minus. Schließen Sie den Pluspol der Stromquelle (Output B) mit einem Kabel, das an einer Klemme endet, an das Modell an. Den Minuspol verbinden Sie mit der -Buchse des Amperemeters (Abb 2). Die -Buchse wird an manchen Geräten auch mit COM bezeichnet. Schließen Sie die A-Buchse des Amperemeters ebenfalls mit einem Kabel, das an einer Klemme endet, an das Modell an. Der Abstand der Klemmen sollte 20 bis 30 cm betragen und keine der Klemmen sollte direkt am Rand sitzen. Achten Sie bei beiden Klemmen auf guten Kontakt mit dem Graphitpapier und notieren Sie deren Position: Position des Pluspols= Position des Minuspols=

3 3 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Schalten Sie jetzt die Stromquelle und das Amperemeter ein. Stellen Sie mit dem Drehregler an der Stromquelle den maximal möglichen Strom ein und notieren Sie die Stromstärke (mit Einheit!). Stromstärke= Potentialverteilung beim eindimensionalen Modell Zur Messung des Potentials benötigen Sie das Voltmeter, und sie müssen einen Potentialnullpunkt festlegen. Der Potentialnullpunkt kann willkürlich gewählt werden. Häufig gibt es eine Konvention für diese Wahl. Hier können Sie ihn selbst festlegen, indem Sie die -Buchse des Voltmeters mit Hilfe der dritten Klemme an einer beliebigen Stelle auf dem Graphitpapier anschließen (Abb. 2). Position des Potentialnullpunktes= Die V-Buchse des Voltmeters verbinden Sie mit dem Kabel, das an der Tastelektrode endet. Jetzt können Sie mit dieser Tastelektrode an beliebigen Stellen auf dem Graphitpapier (und im Prinzip auch an anderen Stellen im Raum) das Potential Φ gegenüber dem von Ihnen gewählten Nullpunkt (Klemme) messen. Testen Sie das an einigen Stellen am Praktikumsplatz. Das Potential besitzt ebenso wie die Spannung die Einheit Volt (vgl. Kap. 3). Führen Sie dann in Abständen von 2 cm eine systematische Messung der räumlichen Potentialverteilung Φ(x) längs des Graphitpapiers durch, wobei x die Position auf dem Papier angibt. Beginnen Sie bei der Position 2 cm und tragen Sie die Werte in Tabelle 1 ein (Einheiten!). x/cm Φ(x)/ x/cm Φ(x)/ Tabelle 1 Anschließend sollen Sie die Potentialverteilung auf Millimeterpapier graphisch darstellen: auf der x- Achse in Blattmitte (Querformat) die Längenskala des Modells im Maßstab 1:2 und auf der y-achse die gemessenen Potentiale Φ(x). Skalieren Sie die y-achse so, dass das Blatt gut ausgenutzt wird. Verbinden Sie die Messpunkte durch eine geeignete Kurve und zeichnen Sie die Position von Plus- und Minuspol sowie Potentialnullpunkt ein. Die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert, den das Potential annimmt, ist die maximale Potentialdifferenz Φ max (, sprich Delta, steht hier für Differenz ). Bestimmen Sie diese aus dem Diagramm: Φ max = Stromstärke= Um die Abhängigkeit der Potentialverteilung von der eingestellten Stromstärke zu untersuchen, reduzieren Sie die Stromstärke auf die Hälfte (das ist nicht am Drehregler der Stromquelle ablesbar, kontrollieren Sie die Stromstärke am Amperemeter) und vermessen wieder die Potentialverteilung.

4 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 4 Diesmal genügt es jedoch, wenn Sie einzelne Messpunkte aufnehmen und direkt in das Diagramm eintragen, bis Sie eine Aussage über den Potentialverlauf treffen können. Beschreiben Sie die beobachtete Veränderung: Überlegen Sie nun oder messen Sie stichpunktartig nach, wie sich die Potentialverteilung verändert, wenn Sie den Potentialnullpunkt verschieben. Wie müssten Sie den Potentialnullpunkt legen, um die größtmögliche Symmetrie bei der Potentialverteilung zu erreichen? Potentialdifferenzen beim eindimensionalen Modell Beim EKG werden nicht die Potentiale sondern die Potentialdifferenzen zwischen vorgegebenen Punkten, die sogenannten Ableitungen, gemessen. Sie können die Potentialdifferenzen zwischen zwei vorgegebenen Punkten auch aus der gemessenen Potentialverteilung ablesen: die Potentialdifferenz zwischen Punkt x 1 und Punkt x 2 ist Φ(x 1 ) Φ(x 2 ), dabei ist es wichtig, dass Sie die Potentiale mit den gemessenen Vorzeichen einsetzen. Andererseits können Sie Potentialdifferenzen, wie es beim EKG geschieht, direkt messen: Stellen Sie dazu die Stromstärke wieder auf den Maximalwert ein. Verbinden Sie dann die -Buchse des Voltmeters (hier die Klemme) mit dem Punkt x 2 und die V-Buchse (hier die Tastelektrode) mit dem Punkt x 1. 1 Führen Sie beides für das Beispiel x 1 = 26 cm und x 2 = 2 cm durch: Aus der Potentialverteilung: Φ(x 1 ) Φ(x 2 ) = Aus der direkten Messung: Φ(x 1 ) Φ(x 2 ) = Wie hängen die Potentialdifferenzen von der Wahl des Potentialnullpunktes ab? Was geschieht, wenn Sie bei der direkten Messung die Elektroden (Klemme und Taster) vertauschen? Aus diesem Grund wird beim EKG immer die Bezugselektrode angegeben, die Elektrode, die mit der -Buchse des Voltmeters verbunden ist. Bei den Ableitungen nach Einthoven ist es entweder (bei Ableitung I und II) die Elektrode R an der rechten Hand oder (bei Ableitung III) die Elektrode L an 1 Beim EKG sind die auftretenden Spannungen sehr viel kleiner als beim Modell. Sie können deshalb nicht direkt mit einem Voltmeter gemessen werden, sondern müssen vorverstärkt werden.

5 5 V4 - Elektrische Potentiale/EKG der linken Hand (Abb. 1). Durch diese Konvention ist festgelegt, wie die Vorzeichen der Potentialdifferenzen zu interpretieren sind. 2.2 Messungen am zweidimensionalen Modell Das eindimensionale Modell ist zu stark vereinfacht, um daran die Entstehung von Potentialdifferenzen an der Körperoberfläche zu erklären, wie sie beim EKG registriert werden. Im nächsten Schritt arbeiten Sie deshalb mit einem zweidimensionalen Modell, bei dem der Rumpf des menschlichen Körpers durch eine Kreisscheibe angenähert wird, in deren Zentrum sich das Herz befindet (vgl. Abb. 1 in Kapitel 1). Damit ein direkter Vergleich mit der Potentialverteilung beim eindimensionalen Modell möglich ist, besteht die Kreisscheibe aus dem gleichen homogen leitfähigen Graphitpapier. Die homogene Leitfähigkeit stellt eine weitere Näherung im Vergleich zum menschlichen Körper dar, bei dem, z.b. im Bereich der Lunge, Inhomogenitäten in der Leitfähigkeit auftreten und zu einer komplizierteren Potentialverteilung führen. Die Anschlüsse für die Stromquelle sind statt durch die beiden Klemmen (eindimensionales Abbildung 3: Aufbau und Beschaltung des zweidimensionalen Modells Modell) durch 9 Schraubenpaare vorgegeben, die Kontakt mit dem Graphitpapier haben (Abb. 3). Diese Schraubenpaare sind mit den Buchsen neben dem Graphitpapier verbunden. Die Buchsen können mit Kabeln an die Stromquelle angeschlossen werden. Die Leuchtdioden neben den Schrauben zeigen Ihnen an, welches Schraubenpaar Sie gerade an die Stromquelle angeschlossen haben und mit welcher Polung: die Diode leuchtet rot, wenn die zugehörige Schraube mit dem Pluspol verbunden ist, und wenn sie mit dem Minuspol verbunden ist, leuchtet sie grün. Das Modell wird mit einem Netzteil als Stromquelle betrieben, die Spannung können Sie an dem untersten Buchsenpaar abnehmen. Testen Sie die Funktion des Modells (und der Dioden), indem Sie die Buchsen zur Stromversorgung mit den Kabeln an einige Buchsenpaare anschließen Potentialverteilung beim zweidimensionalen Modell Für die ersten Messungen interessiert nur das senkrecht stehende Schraubenpaar (Buchsen bei 0 ). Schließen Sie die Stromversorgung jetzt so an, dass die obere Schraube mit dem Plus- die untere mit dem Minuspol verbunden ist. Um die Potentialverteilung, die sich dabei auf dem Graphitpapier einstellt, vollständig zu erfassen, musste man es in einem zweidimensionalen Raster abtasten, was einen erheblich größeren Aufwand darstellt als beim eindimensionalen Modell. Sie sollen sich deshalb auf die Vermessung ausgewählter Linien und einzelner Punkte beschränken (eine Darstellung der gesamten Potentialverteilung finden Sie in Kapitel 3). Aus Symmetriegründen (vgl. Potentialverteilung beim eindimensionalen Modell, 2.1) bietet es sich an, den Potentialnullpunkt in die Mitte zwischen den Anschlüssen der Stromquelle zu legen. Schließen Sie also die -Buchse (COM) des Voltmeters an die Buchse in der Mitte des Graphitpapiers an. Potentialverteilung entlang der senkrechten Symmetrielinie:

6 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 6 Messen Sie nun, wie in 2.1 mit der Tastelektrode die Potentialverteilung entlang der senkrechten Mittellinie in Abständen von 2 cm. Dazu müssen Sie das beiliegende Lineal auf die Plexiglasplatte aufstecken. Tragen Sie die Messwerte in Tabelle 2 ein. x/cm Φ(x)/ x/cm Φ(x)/ Tabelle 2 Zeichnen Sie auch diese Potentialverteilung wie beim eindimensionalen Modell auf Millimeterpapier in ein neues Diagramm (x-achse im Maßstab 1:2), und markieren Sie die Positionen von Plus- und Minuspol sowie Potentialnullpunkt. Vergleichen Sie den Potentialverlauf mit dem beim eindimensionalen Modell. Welche Gemeinsamkeiten gibt es, worin besteht der wesentliche Unterschied und welche Ursachen vermuten Sie für diesen Unterschied? Potentialverteilung entlang der waagerechten Symmetrielinie: Wiederholen Sie die Messung für die waagerechte Mittellinie (wieder mit dem aufgesteckten Lineal). Hier genügt es, wenn Sie in 5 cm-abständen messen. x/cm Φ(x)/ Tabelle 3 Tragen Sie die Werte in das gleiche Diagramm ein, wie die für die senkrechte Symmetrielinie. Potentialverteilung entlang der Extremitäten Die Kreisscheibe (als Modell für den menschlichen Körper) besitzt am Rand drei weitere Buchsen, die ein gleichseitiges Dreieck bilden. Diese Buchsen werden für die weiteren Messungen als Anschlüsse der EKG-Elektroden dienen. Beim menschlichen Körper werden die Elektroden (bei Ableitung nach Einthoven) jedoch an den Hand- und Fußgelenken angeschlossen und nicht direkt am Rumpf. Den Einfluss der Extremitäten auf die gemessenen Potentiale können Sie abschätzen, wenn Sie das eindimensionale Modell sozusagen als ein Bein am Modell anbringen. Der Graphitpapier-Streifen auf dem

7 7 V4 - Elektrische Potentiale/EKG eindimensionalen Modell ist, wie die Extremitäten im Vergleich zum Rumpf, schmal im Vergleich zur Kreisscheibe des zweidimensionalen Modells. Verwenden Sie eines der blauen Kabel mit einer Klemme, um die Buchse F auf der Kreisscheibe (Abb. 3) mit einem Ende des eindimensionalen Modells zu verbinden. Messen Sie in Fortsetzung der senkrechten Symmetrielinie die Potentialverteilung entlang des Graphitpapier- Streifens (alle 5 cm). x/cm Φ(x)/ Tabelle 4 Der Streifen stellt die (eindimensionale) Fortsetzung der Kreisscheibe dar (ähnlich wie die Extremitäten die Fortsetzung des Rumpfes). Beschreiben Sie, wie sich die entlang der senkrechten Symmetrielinie gemessene Potentialverteilung darauf fortsetzt. Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie daraus für den Einfluss der Elektroden-Position an den Extremitäten auf das gemessene EKG-Signal? Potentiale an den EKG-Abgriffen Da die drei Buchsen R, L und F für die weiteren Messungen als Anschlüsse der EKG-Elektroden dienen werden, sollen Sie jetzt die Potentiale an diesen drei Stellen messen, wieder bezüglich des Potentialnullpunktes im Zentrum der Kreisscheibe: Achtung! Verwenden Sie dazu nur Kabel mit Bananensteckern. Die Tastelektrode, darf nicht in die Buchsen gesteckt werden! Buchse R (oben links): Φ R Buchse L (oben rechts): Φ L Buchse F (unten Mitte): Φ F Potentialdifferenzen beim zweidimensionalen Modell Wie schon erwähnt, sind die EKG-Ableitungen keine Potentiale sondern Potentialdifferenzen, die zwischen vorgegebenen Punkten gemessen werden, z.b. jeweils zwischen zwei der drei Buchsen R, L

8 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 8 und F. Da es sich bei Potentialdifferenzen um elektrische Spannungen handelt (vgl. Kapitel 1: beide Begriffe bezeichnen dieselbe physikalische Größe!), werden sie im Folgenden mit dem Formelbuchstaben U bezeichnet. Die Potentialdifferenzen (Spannungen) zwischen je zwei der Buchsen R, L und F werden analog zu den Einthoven- Ableitungen I bis III folgendermaßen bezeichnet: U I = Φ L Φ R (Ableitung I) U II = Φ F Φ R (Ableitung II) U III = Φ F Φ L (Ableitung III) Berechnen Sie diese drei Spannungen aus Ihren Messwerten für Φ F, Φ R und Φ L und messen Sie sie direkt (wie beim eindimensionalen Modell) mit dem Voltmeter. Achten Sie dabei darauf, dass Sie bei der Messung das richtige Vorzeichen erhalten, also die Bezugselektrode richtig gewählt haben. (Zur Bedeutung der Bezugselektrode vgl. Versuchsteil 2.1.2). berechnet gemessen U I U II U III Vergleichen Sie die berechneten und gemessenen Werte. Wie hängen im zweidimensionalen Fall die Potentialdifferenzen von der Wahl des Potentialnullpunktes ab? (Vergleichen Sie das Ergebnis auch mit dem aus Versuchsteil beim eindimensionalen Modell.) Änderung der Potentialdifferenzen bei Drehung der Stromquelle Bisher haben Sie die Anschlüsse der Stromquelle nicht verändert. Dann bleiben natürlich auch die Potentialverteilung und die Potentialdifferenzen zeitlich konstant. Beim Herzen verändert sich jedoch die Lage der Erregungsfront im Laufe der unterschiedlichen Phasen der Herzaktion, während die Positionen der Elektroden konstant bleiben. Analog dazu können Sie am Modell die Anschlüsse der Stromquelle schrittweise (in 20 -Schritten von 0 bis 340 ) drehen, während die Punkte R, L und F, zwischen denen Sie die Potentialdifferenzen messen, konstant bleiben. Sie sollen den Einfluss der Drehung der Stromquellen auf die gemessenen Potentialdifferenzen untersuchen. Schließen Sie zwei Voltmeter mit Hilfe eines Adapters für Laborstecker so an, dass Sie damit gleichzeitig die Ableitungen U II und U III messen können (V-Buchse beider Voltmeter an F). Schließen Sie die Buchsen der Stromversorgung nacheinander an die verschiedenen Buchsenpaare seitlich an der Plexiglasscheibe an und notieren Sie für jede Einstellung die beiden Ableitungen in Tabelle 5 (Einheiten!). Tragen Sie diesen Verlauf auf Millimeterpapier auf: auf der Abszisse den Drehwinkel α der Stromquelle, auf der Ordinate die beiden Ableitungen (mit verschiedenen Farben). Verbinden Sie die Messpunkte jeweils durch eine glatte Kurve. Welche mathematische Funktion konnte die Messwerte beschreiben? Können Sie bereits aus einer gemessenen Ableitung (U II oder U III ) auf die momentane Lage der Stromquelle, d.h. den Winkel α, rückschließen? Können Sie das mit Hilfe beider Ableitungen oder

9 9 V4 - Elektrische Potentiale/EKG α/ U II / U III / α/ U II U III Tabelle 5 benötigen Sie noch die dritte? (Begründung?) Betrachten Sie die Definitionen der Ableitungen (s.o.) und Ihre Messwerte. Überlegen (oder testen) Sie, wie die dritte Ableitung U I mit U II und U III zusammenhängt. Welche zusätzliche Information können Sie durch deren Messung gewinnen? Zeitaufgelöste Messung der Potentialdifferenzen Mit den Voltmetern konnten Sie Messungen im stationären Zustand durchführen, d.h. dass die Anschlüsse der Stromquelle während der Ablesung der Messwerte fest blieben. Auch bei der Drehung der Stromquelle im vorigen Versuchsteil blieb deren Position während der Messung für mehrere Sekunden konstant. Beim EKG wird jedoch die Herzaktivität untersucht, ein periodischer Vorgang mit weniger als einer Sekunde Periodendauer. Daraus ergeben sich Probleme für die Messung und Darstellung der Signale. Hier kann am Demonstrationsmodell mit einer elektronischen Ansteuerung die Lage der Stromquellenanschlüsse wesentlich schneller verändert werden als von Hand. Die Rotation wird dabei weiterhin durch die Leuchtdioden angezeigt. Die Assistenten demonstrieren daran die Probleme beim Einsatz von Digitalvoltmetern. Welche Probleme treten bei der Messung zeitlich veränderlicher Signale mit dem Digitalmultimeter auf?

10 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 10 EKG-Geräte besitzen zur korrekten zeitaufgelösten Darstellung der elektrischen Signale in der Regel einen y-t-schreiber oder einen Oszillographen. Die Bedienung und Funktion des Oszillographen lernen Sie in den Versuchen 8 Ultraschall/Sonographie und 5 RC-Schaltungen/Elektrotonus kennen. Die zeitaufgelöste Darstellung mit einem y-t-schreiber wird hier ebenfalls demonstriert. Welches Artefakt kann bei zu hoher Drehfrequenz bzw. falscher Skalierung des y-ausschlags bei der Aufzeichnung auftreten? Nehmen Sie sich für eine spätere Auswertung (Aufgabe 2) einen Abschnitt des Schreiberausdrucks mit und notieren Sie sich die zugehörigen Einstellungen des Schreibers für die y-skalierung E y und die Skalierung der Zeitachse Z: y-skalierung: E y = Skalierung der Zeitachse: Z = 3. Physikalische Grundlagen 3.1 Elektrisches Potential, Potentialdifferenz und Spannung Jeder Stromfluss in einem Leiter ist aufgrund der inneren Reibung mit einem Energieverlust der bewegten Ladungsträger verbunden (vgl. Versuch 3 Elektrische Leitung/Ionentransport ). Die Ladungsträger verlieren potentielle elektrische Energie, was zu einer Erwärmung des Leiters führt Potentielle elektrische Energie Die potentielle elektrische Energie resultiert aus der Coulomb-Kraft, die zwischen elektrischen Ladungen wirkt. Befinden sich eine Ladung q im Abstand r von einer weiteren Ladung Q, so übt jede Ladung auf die andere eine Kraft aus, die sogenannte Coulomb-Kraft. Die Richtung dieser Kraft hängt von den Vorzeichen der beiden Ladungen ab: bei Ladungen gleichen Vorzeichens, also je zwei positiven oder zwei negativen Ladungen, ist sie abstoßend, bei Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens wirkt sie anziehend, ähnlich wie die Gravitationskraft zwischen Massen. In Abb. 4 ist z.b. q positiv und Q negativ, die Kraft ist anziehend. Der Betrag der Coulomb- Kraft ist umso größer, je geringer der Abstand r der Ladungen ist, und er ist proportional zu deren Beträgen q und Q.

11 11 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Bei einer Verschiebung der Ladung q in Richtung der Kraft wird Energie frei. Umgekehrt muss man Energie zuführen, um die Ladung entgegen der Richtung der Kraft zu verschieben. In dem in Abb. 4 dargestellten Fall wird z.b. bei der Verschiebung der Ladung q vom Ort x 1 zum Ort x 2 (Stromfluss!) Energie frei. Dabei ist es gleichgültig, auf welchem Weg die Ladung von x 1 nach x 2 verschoben wird. Diese Differenz der Energien in x 1 und x 2 kann direkt gemessen oder aus der Coulomb-Kraft und der Verschiebung berechnet werden. Um die Energie der Ladung an einem bestimmten Ort angeben zu können, muss man zusätzlich einen Bezugspunkt festlegen, an dem die Energie definitionsgemäß Null ist. Da man die Energiedifferenzen zwischen diesem Bezugspunkt und jedem anderen Punkt, z.b. x 1 oder x 2, (zumindest theoretisch) berechnen bzw. messen kann, kann man dann für jeden Ort einen Wert für die Energie angeben, die die Ladung in diesem Punkt besitzt. Diese Energie, welche die Ladung aufgrund der Coulomb-Kräfte, die auf sie wirken besitzt, wird als potentielle elektrische Energie bezeichnet. Ebenso wie die Coulomb-Kraft ist sie proportional zur Ladung q. q Q x r q Q x 1 2 Abbildung 4: Potentielle elektrische Energie Für die Wahl des Bezugspunktes besteht die Konvention, dass die potentielle elektrische Energie einer Ladung (gleichgültig welcher Ladung) Null ist, wenn diese Ladung unendlich weit von sämtlichen anderen Ladungen entfernt ist, so dass keine Coulomb-Kräfte auf sie wirken. Die Nullpunktswahl ist zwar eindeutig aber für die Angabe konkreter Energien unpraktisch. Man kann jedoch auch einen beliebigen anderen Ort in der Umgebung der Ladung q als Nullpunkt wählen, wenn man diesen als Bezugspunkt mit angibt Elektrisches Potential Die potentielle elektrische Energie einer Ladung ist proportional zu dieser Ladung: E pot,el q. Indem man die potentielle Energie durch die Ladung dividiert, erhält man eine Größe, die unabhängig von der Ladung ist: das elektrische Potential Φ: elektrisches Potential: Φ = E pot,el q Einheit: [Φ] = 1 J C = 1 V (Volt) Ebenso wie die potentielle elektrische Energie bezieht sich die Angabe von elektrischen Potentialen immer auf einen festgelegten Nullpunkt, an dem potentielle elektrische Energie und elektrisches Potential Null sind. Dieser wird entweder nach der oben genannten Konvention gewählt oder muss bei der Angabe von Energie bzw. Potential mit genannt werden. Im zweiten Fall spricht man vom Potential bezüglich dieses Nullpunktes. Im Versuch haben Sie den Potentialnullpunkt am eindimensionalen Modell willkürlich und beim zweidimensionalen Modell in der Mitte der Kreisscheibe festgelegt. Die Einheit des elektrischen Potentials ist die gleiche wie die der Elektrischen Spannung: das Volt (vgl. Versuch 3 Elektrische Leitung / Ionentransport ). Das hat den folgenden Grund: Potentialdifferenz und Spannung Messbar ist nicht das elektrische Potential an einem Ort, sondern nur die Potentialdifferenz Φ. zwischen zwei Orten. Ist einer dieser Orte der gewählte Nullpunkt, so ist diese Differenz identisch mit dem Potential des anderen Ortes bezüglich dieses Nullpunktes (es ist Φ = Φ(x 1 ) Φ(x 2 ) = Φ(x 1 ), wenn Φ(x 2 ) = 0, weil x 2 der Potentialnullpunkt ist). Das haben Sie im Versuch zur Messung der Potentiale ausgenutzt: Sie haben mit Voltmetern die Potentiale an verschiedenen Orten bezüglich des Nullpunktes bestimmt bzw. die Potentialdifferenzen zwischen diesen Orten und dem Nullpunkt. Dazu wurde die eine Buchse des Voltmeters mit dem Nullpunkt verbunden, die andere mit dem Ort, an dem

12 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 12 das Potential zu bestimmen war (Tastelektrode!). Das Potential an einem Ort ist die potentielle elektrische Energie einer Ladung an diesem Ort dividiert durch die Ladung oder mit anderen Worten: die potentielle elektrische Energie pro Ladung. Analog dazu ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten die Differenz der potentiellen elektrischen Energien, die pro Ladung zwischen diesen Punkten besteht: Potentialdifferenz: Φ = E Q Einheit: [ Φ] = 1 J C = 1 V (Volt) Ein Vergleich mit der Definition der Spannung in Versuch 3 Elektrische Leitung / Ionentransport (Kap ) zeigt, dass der Begriff der Potentialdifferenz völlig gleichwertig mit dem Begriff der Spannung verwendet wird, sie beschreiben die gleiche physikalische Größe und besitzen dementsprechend auch die gleiche Einheit (Volt). Deshalb wird üblicherweise (wie in Ihrer Messung) für die Potentialdifferenz ebenfalls der Formelbuchstabe U verwendet. 3.2 Potentialverteilungen Sie haben an beiden Modellen für eine Reihe von Punkten das Potential Φ vermessen und seinen räumlichen Verlauf graphisch dargestellt. Diese räumliche Verteilung bezeichnet man als Potentialverteilung Φ(x) auf dem Leiter (hier: dem Graphitpapier). Die Entstehung einer Potentialverteilung durch Stromfluss in dem Leiter kann man mit Hilfe von Strompfaden erklären Strompfade und elektrische Feldlinien Wenn sich zwischen den Anschlüssen einer Stromquelle ein leitfähiges Medium befindet, z.b. im Versuch das Graphitpapier, so tritt ein Stromfluss zwischen den Anschlüssen auf. Die Wege, die die Ladungsträger dabei nehmen, bezeichnet man als Strompfade. Sie haben die folgenden Eigenschaften: Sie verlaufen immer nur durch leitfähige Medien (weil in Isolatoren kein Transport von Ladungsträgern möglich ist). In einem Kabel an dessen Enden die Stromquelle angeschlossen ist, ist also der einzig mögliche Strompfad entlang des Kabels. Ähnliches gilt in guter Näherung für die Extremitäten (Arme und Beine) des menschlichen Körpers. Auf dem zweidimensionalen Graphitpapier oder in einer dreidimensionalen Elektrolytwanne (Versuch 3 Elektrische Leitung / Ionentransport ) und ebenso im Rumpf des menschlichen Körpers existiert dagegen eine Vielzahl von Strompfaden. Strompfade schneiden sich nicht. Das lässt sich energetisch begründen: An einer Verzweigung wurden alle Ladungsträger den energetisch günstigeren Weg nehmen, so dass die Alternative keinen möglichen Weg und damit keinen Strompfad mehr darstellt. Insbesondere sind dadurch Schleifen in einem Strompfad ausgeschlossen, die die Bewegung der Ladungsträger künstlich verlängern und zu unnötigen Energieverlusten führen wurden. In leitfähigen Medien ist der Verlauf der Strompfade identisch mit dem der elektrischen Feldlinien. Die elektrische Feldstärke E(x) gibt Betrag und Richtung der Coulomb-Kraft an, die pro Ladung am bestimmten Ort x wirkt 2. Sie ist also, ebenso wie die Kraft, eine vektorielle Größe. Die Feldlinien geben lediglich die Richtung der Coulomb-Kraft und der Feldstärke an. Da sich in einem leitfähigen Medium die beweglichen Ladungsträger in Richtung der auf sie wirkenden elektrischen Kraft bewegen, sind dort die Strompfade identisch mit den Feldlinien. 3 2 Der Buchstabe E wird sowohl als Formelzeichen für die Energie als auch für die elektrische Feldstärke verwendet. Es handelt sich jedoch um zwei völlig verschiedene physikalische Größen: Energie ist eine skalare Größe, mit der Einheit Joule (N m), die elektrische Feldstärke eine vektorielle Größe (gekennzeichnet durch den Pfeil) mit der Einheit N/C. 3 Außerhalb leitfähiger Medien existieren zwar elektrische Kräfte und dementsprechend auch Feldlinien aber keine Strompfade, weil keine beweglichen Ladungsträger vorhanden sind.

13 13 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Der Stromfluss ist mit innerer Reibung und damit mit Energieverlusten der Ladungsträger verbunden. Dadurch treten Potentialdifferenzen entlang des Strompfades auf. Das erklärt die Potentialverteilung, die Sie für das eindimensionale Modell gemessen haben: Potentialverteilung beim eindimensionalen Modell Beim Anschluss der Stromquelle an das eindimensionale Modell tritt zwischen den beiden Anschlussklemmen ein Stromfluss auf. Im Bereich außerhalb der Klemmen fließt kein Strom, obwohl dort ebenfalls leitfähiges Material zur Verfügung steht. Auf dem schmalen Streifen gibt es nur parallele Strompfade, die direkt zwischen den Anschlüssen der Stromquelle verlaufen. Ein Umweg durch den Bereich außerhalb der Anschlüsse ist aus energetischen Gründen (s.o.) ausgeschlossen. Da das Graphitpapier eine homogene Leitfähigkeit besitzt (sofern es nicht verschmutzt oder beschädigt ist), kommt es beim eindimensionalen Modell zu einem linearen Potentialverlauf entlang des Strompfades zwischen den Anschlüssen der Stromquelle. Die Ladungsträger verlieren auf gleichen Strecken gleiche Energiemengen. Folglich ist die Potentialdifferenz U zwischen den Anschlüssen (bei konstanter Stromstärke) proportional zum Abstand s der Klemmen, (bei konstanten Abstand der Klemmen) proportional zur Stromstärke I. Je größer die Stromstärke, desto größer ist die Geschwindigkeit der Ladungsträger im Leiter und desto größer auch der Energieverlust pro Ladung, die Potentialdifferenz. Man kann aus dem Verhältnis der Potentialdifferenz U zwischen den Klemmen zur Stromstärke I den Gesamtwiderstand R berechnen, den das Graphitpapier zwischen den Anschlüssen besitzt (zur Definition des Widerstands: Versuch 3 Elektrische Leitung / Ionentransport ). Der Gesamtwiderstand hängt vom Abstand der Klemmen ab. Einen längenspezifischen, d.h. vom Abstand der Klemmen unabhängigen Widerstand r erhält man, indem man den Gesamtwiderstand durch den Abstand s dividiert (vgl. längenspezifische Widerstände im Versuch 5 RC-Schaltungen/Elektrotonus ): Längenspezifischer Widerstand: r = R s (mit R = U I ) Einheit: [r] = 1 Ω m Aufgabe 1: Überprüfen Sie anhand Ihres Diagramms die Linearität des Potentialverlaufs und die Proportionalität zwischen maximaler Potentialdifferenz und Stromstärke beim eindimensionalen Modell. Berechnen Sie aus der maximalen Potentialdifferenz und der Stromstärke den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen sowie den längenspezifischen Widerstand des Graphitpapierstreifens. Da außerhalb der Klemmen kein Strompfad verläuft, ist dort das Potential konstant. Mit der Auftragung des linearen Potentialverlaufs zwischen den Klemmen und des konstanten Potentials außerhalb der Klemmen haben Sie die Potentialverteilung Φ(x) auf dem eindimensionalen Modell vollständig graphisch dargestellt.

14 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Potentialverteilung beim zweidimensionalen Modell Schon bei einem zweidimensionalen Leiter, wie er z.b. beim zweidimensionalen Modell im Versuch vorliegt, gibt es (im Gegensatz zum eindimensionalen Modell) unendlich viele Strompfade unterschiedlicher Länge zwischen den Anschlüssen der Stromquelle. Der Strom verteilt sich auf die gesamte zur Verfügung stehende Fläche. Dabei gilt jedoch weiterhin, dass die Strompfade nur im leitfähigen Medium verlaufen und sich nicht schneiden. In Abb. 5 ist der prinzipielle Verlauf einiger Strompfade für das zweidimensionale Modell dargestellt. Eine vollständige Darstellung ist nicht möglich, da sie dicht liegen und die gesamte Fläche bedecken. Der Strom teilt sich wie in einer Parallelschaltung von Widerständen auf die Strompfade auf: Die Potentialdifferenz U zwischen den beiden Anschlüssen der Stromquelle und damit die Energiedifferenz pro Ladung ist unabhängig davon, welchen Strompfad die Ladungsträger nehmen. Abbildung 5: Strompfade auf dem zweidemensionalen Modell Die Gesamtwiderstände der einzelnen Strompfade sind dagegen unterschiedlich. Bei einer homogen leitfähigen Fläche wie dem Graphitpapier ist der Gesamtwiderstand proportional zur Länge des Strompfades (vgl ). Je größer der Gesamtwiderstand R (und damit die Länge) eines Strompfades ist desto geringer ist daher der Strom, der dort fließt (I = U/R, U = konstant). Auf dem homogen leitfähigen Graphitpapier liegt entlang jedes Strompfades ein linearer Potentialverlauf vor, da die Ladungsträger auf gleichen Strecken die gleiche Energie durch innere Reibung verlieren (vgl ). Zum Beispiel haben auf der Hälfte jedes Strompfades die Ladungsträger gerade die halbe Potentialdifferenz U/2 durchlaufen. Durch die Wahl des Potentialnullpunkts in der Mitte der Kreisscheibe haben Sie dieses Potential im Versuch gleich Null gesetzt. Längs der waagerechten Symmetrielinie, die jeden Strompfad genau auf der Hälfte schneidet, ist also das Potential überall Null (Φ(x) = 0). Man bezeichnet solche Linien, die Orte gleichen Potentials verbinden als Äquipotentiallinien. (Bei einer dreidimensionalen Anordnung spricht man von Aquipotentialflächen.) Zur vollständigen Darstellung der Potentialverteilung auf dem zweidimensionalen Modell, wie Sie sie für das eindimensionale Modell angefertigt haben, musste der Wert des Potentials für jeden Punkt der Kreisscheibe aufgetragen werden. Es wäre also in diesem Fall eine dreidimensionale Darstellung notwendig. Stattdessen wählt man in der Regel entweder: eine Darstellung des Potentialverlaufs entlang ausgewählter Linien, wie Sie sie in Versuchsteil für die senkrechte und waagerechte Symmetrielinie des zweidimensionalen Modells angefertigt haben, oder eine anschauliche Darstellung der gesamten Potentialverteilung mit Hilfe von Äquipotentiallinien: Dazu werden für ausgewählte Werte des Potentials die Äquipotentiallinien eingezeichnet. In Abb. 6 ist der prinzipielle Verlauf einiger Äquipotentiallinien auf der Kreisscheibe dargestellt. Die Werte des Potentials sind an den Linien angegeben, 2,5 V und -2,5 V sind die Potentiale der Anschlüsse der Stromquelle. Daraus ist u.a. zu entnehmen, dass entlang der senkrechten Symmetrielinie das Potential auf der kurzen Strecke zwischen den Anschlüssen sehr stark variiert (um 5 V) und nach außen hin wesentlich langsamer abfällt. Vergleichen Sie das mit dem von Ihnen gemessenen Potentialverlauf.

15 15 V4 - Elektrische Potentiale/EKG Das Äquipotentiallinienbild zeigt außerdem, dass auch am Rand der Kreisscheibe Potentialdifferenzen registriert werden können, z.b. zwischen den festen Anschlüssen R, L und F Potentialverteilung beim menschlichen Körper 0,5V 0V 1V 1,5V 2V 2,5V Die Potentialverteilung im menschlichen Körper und auf der Körperoberfläche kommt analog zu der beim zweidimensionalen Modell zustande. Die von der Erregungsfront (der Stromquelle ) ausgehenden Ströme verteilen sich auf den gesamten leitfähigen Rumpf und führen dort sowie an der Körperoberfläche zu Potentialdifferenzen. Diese Potentialdifferenzen werden mit den EKG-Elektroden registriert. Die Potentialverteilung in der Frontalebene des Rumpfes ist der beim zweidimensionalen Modell sehr ähnlich. Sie ist jedoch aus zwei Gründen nicht ganz so symmetrisch: -0,5V -1V -1,5V -2,5V -2V Abbildung 6: Äquipotentiallinien beim zweidimensionalen Modell Der Körper ist nicht homogen leitfähig. Inhomogenitäten, z.b. die aufgrund der enthaltenen Luft weniger leitfähige Lunge, führen zu Verzerrungen der Strompfade und demzufolge auch der Äquipotentiallinien. Die Frontalebene des Körpers ist nicht kreisförmig. Insbesondere dort, wo die Extremitäten am Rumpf ansetzen, können sich die Strompfade in die Extremitäten ausbeulen. Das führt ebenfalls zu einer Verzerrung der Äquipotentiallinien. Längs der Extremitäten ist das Potential nahezu konstant, da die Stromquelle (Erregungsfront) innerhalb des Rumpfes liegt. (Ein Strompfad, der z.b. in einen Arm hinein und parallel dazu wieder hinaus laufen wurde, wäre extrem lang im Vergleich zu solchen, die innerhalb des Rumpfes verlaufen. Wegen der großen Länge und des damit verbundenen großen Gesamtwiderstands würde dort praktisch kein Strom fließen, der Strompfad also nicht existieren.) Sie haben diese Konstanz des Potentials selbst im Versuch selbst gemessen (Versuchsteil 2.2.1). Wenn die EKG-Elektroden an den Händen und Füßen angeschlossen werden, so werden dort also in sehr guter Näherung die gleichen Potentiale bzw. Potentialdifferenzen gemessen wie dort, wo die Extremitäten am Rumpf ansetzen. Aus diesem Grund kann man die Geometrie, in der die EKG-Elektroden angeordnet werden, näherungsweise als gleichseitiges Dreieck beschreiben, in dessen Zentrum sich das Herz befindet, wie in Abb. 1 angedeutet. 3.3 Potentialdifferenzen bei gedrehtem Stromdipol Zur Vereinfachung wird im Folgenden für die Anschlüsse der Stromquelle der Begriff Stromdipol benutzt. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem Begriff Dipol, der eine Anordnung aus einer positiven und einer gleich großen negativen Ladung beschreibt, die sich in einem bestimmten Abstand voneinander in einem nicht leitfähigen Medium befinden. In einem leitfähigen Medium, wie dem -1V Graphitpapier oder dem menschlichen Körper, kann ein solcher Dipol nicht existieren: die getrennten, entgegengesetzten Ladungen wuürden sich durch Stromfluss sofort ausgleichen. Die Anschlüsse der Stromquelle stellen keine statische Ladungsanordnung dar, sondern eine Quelle (Minuspol) und eine Senke (Pluspol) für negative Ladungsträger, die den Stromfluss zwischen den Anschlüssen aufrechterhalten. Beide gemeinsam bilden den Stromdipol, der von der Quelle zur Senke ( von Minus nach Plus ) gerichtet ist. Analog dazu ist die Erregungsfront am Herzen eine Quelle bzw. Senke für Ionen. -0,5V -1,5V 0V -2V -2,5V 0,5V 1V 2V 2,5V 1,5V Abbildung 7: Äquipotentiallinienbild um 60 gedreht

16 V4 - Elektrische Potentiale/EKG 16 Da der Stromdipol im Modell sich im Zentrum der kreisförmigen Leiterfläche befindet, drehen sich bei Drehung des Stromdipols Potentialverteilung und Äquipotentiallinienbild mit und bleiben ansonsten unverändert. Durch die Drehung der Potentialverteilung verändern sich die Potentialdifferenzen zwischen den drei festen, nicht mit gedrehten Abgriffen R, L und F. Bei senkrecht stehendem Stromdipol (Abb. 6)) sind z.b. die Ableitungen U II (= Φ F Φ R ) und U III (= Φ F Φ L ) gleich groß, der Abbildung entnimmt man ca. -2 V. Nach Drehung des Stromdipols um 60 (Abb. 7)) beträgt U III weiterhin etwa -2 V, U II dagegen fast 0 V. 3.4 Zeitaufgelöste Darstellung von EKG-Signalen Im letzten Versuchsteil haben Sie den y-t-schreiber als Hilfsmittel zur zeitaufgelösten Darstellung der Ableitungen kennengelernt. Wichtige Kenngrößen zur Beschreibung solcher Signale sind Amplitude Û, Periodendauer T und Frequenz ν. Die Definitionen von Amplitude und Periodendauer sind in Abb. 8 an einem Beispiel veranschaulicht ist. Zur Bestimmung der Periodendauer ist es jedoch sinnvoll, über möglichst viele Perioden zu mitteln, um die Messgenauigkeit zu erhöhen. Aufgabe 2: Werten Sie das im Versuch aufgezeichnete Signal aus, indem Sie a) mit Hilfe der y-skalierung E y die Amplitude Û des Signals bestimmen, b) mit Hilfe der Skalierung der Zeitachse Z die Periodendauer T des Signals bestimmen (mit Mittelung über mehrere Perioden!) c) und aus der Periodendauer die Frequenz ν = 1/T berechnen. Ein sinusförmiges Signal, wie es in diesem Versuch annähernd vorliegt, ist durch diese Angaben vollständig beschrieben. Beim EKG ist die Periodizität nur annähernd gegeben und die Signalform komplizierter. Die Zusammenhänge zwischen der Signalform und den verschiedenen Phasen der Erregungsausbreitung am Herzen werden Sie im Physiologie-Praktikum detailliert kennenlernen. Grundsätzlich werden jedoch auch bei der detaillierten Auswertung von EKG-Signalen die Periodendauer sowie die Amplitude der charakteristischen Wellen bzw. Zacken bestimmt. 3.5 Vektorkardiographie U U T Abbildung 8: Kenngrößen periodischer Signale t Eine Alternative zur Messung der Ableitungen ist das Vektorkardiogramm. Dabei wird die Richtung des Stromdipols durch die Richtung und die Stromstärke durch den Betrag (die Länge) eines Vektors dargestellt. Er zeigt vom Minus- zum Pluspol der Stromquelle, also von der Quelle zur Senke negativer Ladungsträger. Diesen Vektor bezeichnet man als Herzvektor. Beim Herzen verändert er im Laufe der Erregungsausbreitung sowohl Richtung als auch Betrag. Beim EKG-Modell variiert nur die Richtung des Stromdipols, die Stromstärke bleibt immer gleich. Dementsprechend bleibt bei Rotation des Stromdipols der Betrag des Vektors konstant und die Spitze des Vektors beschreibt einen Kreis. Beim Vektorkardiogramm wird die sogenannte Vektorschleife graphisch dargestellt, das ist der Weg der Vektorspitze, im Versuch also der Kreis (Abb. 9). Abbildung 9: Projektionen des Herzvektors auf die Ableitungsrichtungen für U II und U III Die Angabe der Vektorschleife enthält exakt die gleiche Information wie die Angabe von zwei der drei Ableitungen. Sie kann aus diesen Ableitungen rekonstruiert werden und umgekehrt. In Abb. 9

17 17 V4 - Elektrische Potentiale/EKG ist skizziert, wie die Ableitungen U II (= Φ F Φ R ) und U III (= Φ F Φ L ) mit den Projektionen des Herzvektors zusammenhängen: Eine Ableitung (z.b. U II ) ist zu jedem Zeitpunkt proportional zur Projektion des Herzvektors auf die Verbindungslinie zwischen den betreffenden Elektroden (bei UII also auf die Verbindungslinie zwischen R und F). Dreht sich der Herzvektor um das Zentrum der Kreisscheibe, so verändern diese Projektionen ihre Längen. Im Fall des EKG-Modells bedeutet das: wenn sich der Stromdipol um den Winkel α gegenüber der Senkrechten gedreht hat, betragen die Ableitungen (Abb. 9): U II (α) = Û cos(α + 30 ) und U III (α) = Û cos(α 30 ) wobei Û eine Proportionalitätskonstante ist, die von der Geometrie und der Leitfähigkeit des Modells abhängt. Insbesondere ist bei senkrecht stehendem Stromdipol (α = 0): U II (0 ) = U III (0 ) = 0, 87 Û weil cos( 30 ) = cos(30 ) = 0, 87. (1) Bei um 60 gedrehten Stromdipol (α = 60 ) U III (120 ) = 0 weil cos(90 ) = 0). (2) Aufgabe 3a) Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Messwerte und des daraus erstellten Diagramms die Proportionalitätskonstante Û für das EKG-Modell (Maßzahl und Einheit!) und zeichnen Sie Û im Diagramm ein. (Tipp: Der Cosinus schwankt zwischen -1 und +1, er nimmt sein Maximum bei 0 und 360 und sein Minimum bei 180 an. Überlegen Sie sich, analog zu den obigen Beispielen, welchen Wert U III bei α = 30 annimmt und vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrem Diagramm.) b) Ermitteln Sie zeichnerisch oder rechnerisch den Winkel α, bei dem U II nach den oben angeführten Überlegungen Null werden müsste und vergleichen Sie diese Vorhersage mit Ihren Messwerten.

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