Riemann surfaces and algebraic curves: Exercises

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1 Riemann surfaces and algebraic curves: Exercises Ariyan Javanpeykar, Duco van Straten These are the exercises for the course on Riemann surfaces Riemannsche Flächen und Algebraische Kurven given in Mainz during the Summersemester of Blatt 1 Exercise 1.1. Wir betrachten die Nullstellenmenge des Polynoms f(s, t) = s 2 + t 2 1 in C 2 : Z = {(s, t) C 2 : f(s, t) = 0}. Zusammen mit der von C 2 induzierten Topologie, wird Z zu einem topologischen Raum. Zeige, dass Z homöomorph zu einem Zylinder ist. Exercise 1.2. Seien ω 1 und ω 2 zwei über R linear unabhängige Elemente aus C. Wir definieren Γ := Zω 1 + Zω 2, das von ω 1 und ω 2 aufgespannte Gitter. Die Weierstraßsche p-funktion zum Gitter Γ ist : p : C C, p(z) = 1 z + ( 1 2 (z ω) 1 ). 2 ω 2 ω Γ\{0} 1. Zeige, dass für alle ω Γ und alle z C gilt p(z + ω) = p(z). Wir sagen p ist doppelt-periodisch. Außerdem, doppelt-periodische meromorphe Funktionen sind elliptische Funktionen. 2. Sei f eine andere bezüglich Γ doppelt-periodische meromorphe Funktion deren Polstellenmenge P in Γ enthalten ist und welche die Laurentreihenentwicklung um 0 besitzt. Warum ist dann f = p? p(z) = 1 z + c 2 k z k 3. Sei l Z >2. Zeige, dass G l := G l (Γ) := ω Γ\{0} ω k konvergiert. k=1 1

2 4. Zeige, dass p bei 0 die Laurentreihenentwicklung p(z) = 1 z + (2k 1)G 2 2k z 2k 2 k=2 besitzt. 5. Zeige, dass die p-funktion die Differentialgleichung erfüllt. (p ) 2 = 4p 3 60G 4 p 140G 6 Exercise 1.3. Let X 2 = {(a, b) C 2 : b 2 = a 6 +1} and X 1 = {(c, d) C 2 : d 2 = c 3 +1}. Define a non-constant holomorphic surjective map f from X 2 to X 1. (This means: show there exists such a map and write one down explicitly.) Show that the fibres of your function f are finite. Also, show that the cardinality of the fibres is non-constant (as a function on X 1 ). Exercise 1.4. Die 2-Sphäre S 2 R 3 ist gegeben durch x 2 +y 2 +z 2 = 1. Die stereographische Projektion ρ : S 2 \{N} R 2 ist über die Eigenschaft definiert, dass N, p und ρ(p) auf eine Geraden liegen. Zeige, dass ρ winkeltreu ist. Hinweis: Verwende den Satz von Carathéodory über Schnittwinkel von Kreisen auf S 2 (oder beweise ihn selbst). 2

3 2 Blatt 2 Exercise 2.1. Die offenen Teilmengen D, H, U aus C sind durch gegeben 1. Zeige, dass z z i z+i H := {z C : Im(z) > 0}, D := {z C : z < 1}, U := {z C : Im(z) > 0 und π 2 < Re(z) < π 2 } ein Biholomorphismus H D ist. 2. Zeige, dass z exp(z) ein Biholomorphismus ist. Was ist die Umkehrfunktion? {z C : π < Im(z) < π} C\R 0 3. Zeige, dass z 1(z + 1 ) ein Biholomorphismus 2 z ist. D\{0} C\{r R : 1 r 1} 4. Gebe einen Biholomorphismus von D C\R 0 an. 5. Zeige, dass z z 0 Umkehrfunktion? Exercise 2.2. Seien dt 1 t 2 einen Biholomorphismum von H U ist. Was ist die φ 1 : R 2 S 2 \{N}, φ 2 : R 2 S 2 \{Z} die stereographischen Projektionenen zentriert am Nordpol N, bzw. Südpol Z. Zeige, dass φ 1 2 φ 1 holomorph ist, wenn man R 2 standardmäßig als C auffasst. Exercise 2.3. Als Pendel ist eine Masse m an einem Faden der Länge L an der Zimmerdecke befestigt. Es gilt das Newtonschen Gesetz F = m d2 x, wobei F die Schwerkraft dt 2 auf m und x(t) der Aufenthaltsort der Masse m in Abhängigkeit der Zeit t ist. Wir können den Aufenthaltsort des Pendels bestimmen indem wir den Winkel Θ zwischen dem Faden und dem Lot messen. Für Θ ergibt sich dann folgende Differentialgleichung (D) : ml Θ = mg sin(θ) wobei g die Gravitationskonstante ist. Zeige, dass die Lösungen von (D) der Differentialgleichung ( Θ) 2 = 2g (cos(θ) cos(α)) L 3

4 genügen, wobei α eine Integrationskonstante ist. Bestimme die Periode der Schwingung des Pendels hin und zurück T := dt durch Trennung der Variablen (dt auf die eine, dθ auf die andere Seite). Hinweis: Führe die Substitution k := sin( α ), kx := sin(θ/2) durch. 2 Zeige, dass die Periode durch L 1 dx T = 2π g (1 x2 )(1 k 2 x 2 ) gegeben ist. Zeige, dass T die Potenzreihenentwicklung um k = 0 ( ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) L T = 2π 1 + k 2 + k 4 + k g besitzt. 1 Exercise 2.4. Für h R setzen wir f h (z) := log(z) log(z h). Zeichne die Niveau-Kurven h Re(f h ) = const und Im(f h ) = const. Was passirt wenn wir den Limes lim h 0 f h betrachten? Wie sehen die Niveau-Kurven von 1 z aus? 4

5 3 Blatt 3 Exercise 3.1. Sei X eine Riemannsche Fläche und f eine meromorphe Funktion auf X. Zeige, dass f eine holomorphe Abbildung Riemannscher Flächen f : X P 1 induziert. Exercise 3.2. In der Vorlesung wurde gezeigt: M(P 1 ) = C(z). 1. Bestimme die Automorphismen von P 1, überlege dir dazul wie viele Null- und Pollstellen eine biholomorphe Abbildung von P 1 P 1 haben kann. 2. Bestimme Aut(C). 3. Bestimme Aut(C ). 4. (Extra) Bestimme die Menge von f : C C so dass f ein Biholomorphismus und ein Ringmorphismus ist. Exercise 3.3. Gib jeweils eine Triangulierung einer kompakten Riemannschen Fläche von Geschlecht g = 0, 1, 2 an und verifiziere die Identität e k + f = 2 2g, wobei e, k, f jeweils die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Dreiecke angibt. Exercise 3.4. Wir suchen die Lösungen der Gleichung y 2 = x 3 + ax + b. Bestimme die Koeffizienten de Laurentreihen x(t) = a 2 t 2 + a 1 t +... so, dass y(t) 2 = x(t) 3 + ax(t) + b. x(t) = b 3 t 3 + b 2 t

6 4 Blatt 4 Exercise 4.1. Zeige, dass eine algebraische Kurve in C 2 nicht kompakt ist. Exercise 4.2. Wir suchen die Lösungen der Gleichung y 2 = x 3 + ax + b. Bestimme die Koeffizienten der Laurentreihen x(t) = a 2 t 2 + a 1 t +... so, dass y(t) 2 = x(t) 3 + ax(t) + b. y(t) = b 3 t 3 + b 2 t Exercise 4.3. Gegeben sind zwei reelle ebenen Kurven durch die Polynome F 1 (x, y) := (x 2 + y 2 ) 2 2a 2 (x 2 y 2 ), F 2 (x, y) := (x 2 + y 2 ) 3 4(x 2 + y 2 ) 2 + 4y 2, Zeichne die Kurven als Kurven in R 2. Was sind ihre Singularitäten in C 2, bestimme den Typ der Singulären Punkte. Zeige, dass F 1 die Menge der Punkte ist, für die das Produkt der Abstände zu den Punkten (a, 0) und ( a, 0) gerade a 2 is. Exercise 4.4. Sei F = F 0 + F F d C[x, y] mit F i homogen vom Grad i. Eine allgemeine Gerade wird C = V (F ) in d Punkten schneiden. 1. Was ist die Bedingung an a, b, α, β damit die Gerade {( ) ( )} a α g := + λ b β C in weniger als d Punkten schneidet? 2. Geraden mit weniger als d 1 Schnittpunkten nennen wir Asymptoten. Wie viele Asymptoten besistzt also eine Kurve von Grad d? 3. Bestimme die Asymptoten der Kurven für C i := V (F i ) F 1 := 1 + xy + xy 2 + x 2 y, F 2 := x 2 + y 2 1, F 3 = y 2 (x 2)(x 1)(x + 1)(x + 2). Zeichne die Kurven als Kurven in R 2, wenn möglich zeichne auch die Asymptoten ein. 6

7 Exercise 4.5. Wenn p(z) die Weierstrass p Funktion zu dem Gitter Γ ist, warum definiert dann p eine meromorphe Funktion auf E = C/Λ? Was sind die Polstellen und Polordnungen von p? Exercise 4.6. This exercise is about periods of elliptic curves. 1. Zeige, dass die Abbildung φ definiert als E\{0} z (p(z), p (z)) C = V (f); biholomorph ist. f(x, y) := y 2 4x G 4 x + 140G 6 2. Die Perioden von E bezüglich dz sind definiert als { } P (dz) = dz γ geschlossen. Zeige, dass für E p 0 0 mit c 0 = φ(p 0 ) die Abbildung γ C c c c 0 dx y + p 0 mod Γ die Umkehrabbildung zu φ ist. Hinweis: Zeige, dass φ ( dx ) = dz ist. y 7

8 5 Blatt 5 Exercise 5.1. Sei X ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Zeige, dass eine Teilmenge A X genau dann abgeschlossen ist, wenn A K für jede kompakte Teilmenge K X abgeschlossen ist. Exercise 5.2. Die Riemannsche Fläche E = C/Γ trägt die Struktur einer abelschen Gruppe. 1. Zeige, dass die Weierstrass sche p funktion das Additionstheorem erfüllt. p(z + w) = 1 4 ( p (z) p (w) p(z) p(w) ) 2 p(z) p(w) 2. Interpretiere das Additionstheorem geometrisch. Zeige, dass für ϕ : E\{0} z (p(z), p (z)) C mit p, q, p q E die Gerade ϕ(p)ϕ(q) die algebraische Kurve C in genau einem weiteren Punkt schneidet, den wir erhalten, wenn wir ϕ(p+q) an der x-achse spiegeln (y y). Exercise 5.3. Die Kurve C ist als Verschwindungsmenge des Polynoms F := y 2 (x 2)(x 1)x(x + 1)(x + 2) gegeben. Auf C sind die Differentialformen ω 1 = dx und ω y 2 = xdx definiert. Bestimme y die Divisoren (ω 1 ) und (ω 2 ). Bestimme mit Hilfe von Laurentreihen x(t) = und t 2 y(t) = , welche F (x(t), y(t)) = 0 erfüllen, den Wert v t 3 (ω i ) = v 0 (ϕ ω i ) (wobei ϕ den Ruckzug in die t-ebene definiert)? Warum ist die Bezeichnung und Definition von v (ω i ) sinnvoll? Exercise Zeige, dass für eine holomorphe Abbildung f : X C in jedem Punkt a X gilt n a (f) = ν a (f f(a)). 2. Wir betrachten die holomorphen Abbildungen f i : P 1 P 1 gegeben durch f 1 (z) := z m ; f 2 (z) := z 3 3z; f 3 (z) := z4 4z 2 z 1. Bestimme die kritischen Punkte R und kritischen Werte B sowie n p (f i ) für jeden Punkt p P 1, insbesondere n (f i ). Bestimme für die Blätter von f i die Permutationen, die bei einem Umlauf um einen kritischen Wert auftreten. 3. Was ist n ( P ) für P, Q C[z]. Q 8

9 6 Blatt 6 Exercise 6.1. Für α i, a i C betrachten wir die Differentialgleichung ( df (1) dz = α1 + α α ) n f. z a 1 z a 2 z a n Bestimme die Monodromie von (1). Finde dazu eine mehrdeutige Funkion, die Lösung von (1) ist und bestimme die Monodromiewirkung eines Weges γ in C\{a 1,..., a n }. Überlege dir dazu, was mit dem Funktionswert von f α (z) = z α passiert, wenn du die mehrdeutige Funktion entlang des Weges [0, 1] t e 2πit C analytisch fortsetzt. Setze nun α i = 1 2. Zu welcher algebraischen Kurve ist die analytische Funktion im Großen isomorph? Exercise Wieviele Verzweigungspunkte hat eine allgemeine Abbildung P 1 P 1 vom Grad d? 2. Seien X,Y zwei kompakte Riemannsche Flächen und f : X Y eine holomorphe aber nicht-konstante Abbildung. Zeige, dass g(x) g(y ) gilt. 3. Für den Fall g(x) = g(y ) = 1 in (2), zeige, dass n a (f) = 1 für alle a X gilt (d.h., f ist unverzweigt). 4. Sei f : X P 1 eine nichtkonstante holomorphe Abbildung vom Grad 3, so dass für alle kritischen Punkte a gerade n a (f) = 3 zutrifft. Was ist das Geschlecht von X in Abhängigkeit von r, der Anzahl der kritischen Punkte? Bestimme die algebraische Funktion, welche eine offene Teilmenge von X als algebraische Kurve beschreibt. Exercise 6.3. Wir wollen zeigen, dass jede endliche Überlagerung p : W D isomorph zu p d : D D ist, wobei p d (z) := z d. Betrachte dazu die Überlagerung ɛ : H D gegeben durch e(z) = e 2πiz. Warum gibt es eine holomorphe Abbildung ψ : H W mit p ψ = ɛ? Zeige, dass genau dann ψ(z) = ψ(z ) gilt, wenn z z dz ist. Definiere ɛ d : H D durch ɛ d (z) = e 2πiz/d. Zeige, dass es eine Abbildung ψ : D W mit ψ = ψ ɛ d gibt. Zeige, dass ψ ein Isomorphismus ist. Warum ist p : W D isomorph zu p d : D D? Exercise 6.4. Sei f : X Y eine nicht-konstante holomorphe Abbildung Riemannschre Flächen. Wir fassen X als verzweigte Überlagerung von Y auf. Bezeichne G die Monodromiegruppe zu einem nicht-kritischen Wert p Y und gewählter Nummerierung der Urbilder f 1 (p) = {x 1,..., x d }. Zeige 1. Die Nummerierung induziert eine Einbettung G S d, wobei S d die symmetrische Gruppe auf d Ziffern bezeichnet. Zeige, dass eine andere Nummerierung eine zu G konjugierte Untergruppe von S d induziert. 2. G operiert transitiv auf f 1 (p). 9

10 3. Sei p 0 nun ein kritischer wert von f und γ 0 ein Weg um einem Bogen von p zu p 0. Sei σ S d die durch Paralleltransport entlang γ 0 induzierte Permutation und sei f 1 (p 0 ) = {y 1,..., y k }. Zeige, dass der Zykeltyp von σ gerade (n y1 (f),..., n yk (f)) ist. 10

11 7 Blatt 7 Exercise 7.1. We study the monodromy of Tchebychev polynomials. Bestimme die kritischen Punkte sowie die kritischen Werte der Abbildungen f, g : P 1 P 1 die durch f(z) := 2z 5 10z 3 + 2z und g(z) := 16z 5 20z 3 + 5z gegeben sind. Identifiziere die Monodromiegruppen. Das n-te Tchebychev Polynom ist durch die Funktionalgleichung T n (cos(θ)) = cos(nθ) definiert. Bemerke, dass g das fünfte Tchebychev Polynom ist. Was ist die Monodromiegruppe von T n : P 1 P 1? Exercise 7.2. Hurwitz hat gezeigt, dass es 1 2 (3r 2 1) verschiedene 3-fache Überlagerungen X von P1 mit genau r einfachen Verzweigungspunkten gibt (wenn r eine gerade Zahl ist). Was ist g(x)? Nehmen wir den Fall mit vier Verzweigungspunkten an. Bestimme alle Tupel (σ 1, σ 2, σ 3, σ 4 ) aus S 3, welche als Monodromien auftreten. Wenn möglich, gib explizite Überlagerungen entsprechender Monodromie an. Exercise 7.3. We study the moduli of tori. Zeige, dass eine nicht-konstane holomorphe Abbildung zweier Tori f : C/Γ 1 C/Γ 2 mit der Eigenschaft f(0) = 0 durch ein λ C mit λγ 1 Γ 2 angegeben werden kann. Wann sind zwei Tori C/Γ 1 and C/Γ 2 isomorph? Zeige, dass die beiden Gitter ω 1 Z + ω 2 Z und ω 1Z + ω Z genau dann gleich sind, wenn es a, b, c, d Z gibt mit ω 1 = aω 1 + bω 2 und ω 2 = cω 1 + dω 2 mit ad bc = ±1. Zeige, dass E τ und E τ isomorph sind genau dann wenn es ein ( ) a b PSL c d 2 (Z) gibt, so dass Exercise 7.4. We study the lambda-function. τ = aτ + b cτ + d. 1. Das Doppelverhälthnis von komplexen Zahlen a, b, c, d ist definiert als λ(a, b, c, d) = c a b d b c d a. Wie verhält sich λ unter Permutation der Argumente? 11

12 2. Sei nun y 2 = f(x) eine algebraische Kurve wobei f(x) = 4x 3 g 2 x g 3 und a, b, c dessen Nullstellen sind. Unter Identifikation von d =, zeige, dass J(λ) = 4 (λ 2 λ + 1) 3 27 λ 2 (1 λ) 2 invariant unter der Permutation von a, b, c ist, wobei λ den Ausdruck aus (1.) bezeichnet. 3. Zeige J(λ) =. g2 3 27g3 2 Zeige, dass der Nenner gerade die Diskriminante von f ist. Exercise 7.5. Die ϑ-funktion ist durch ϑ : C H C, ϑ(z, τ) := n Z exp(πin 2 τ 2πinz) g 2 3 definiert. Zeige, dass ϑ(z + τ, τ) = exp( πiτ + 2πiz)ϑ(z, τ) für alle z C, τ H. Zeige, dass gilt ϑ a,b (z, τ) := exp(πi(a + n) 2 τ + 2πi(a + n)(z + b)) n Z = exp(πia 2 τ + 2πia(z + b))ϑ(z + aτ + b, τ). 12

13 8 Blatt 8 Exercise 8.1. Operiert eine Gruppe G auf einer Menge U C, so nennen wir zusammenhängende Teilmenge B U ein Fundamentalgebiet von G, wenn 1. alle Bahnen von G die Menge B schneiden, und 2. für zwei verschiedene Punkte p, q B, welche in der selben Bahn von G liegen, gilt p, q B. Wir definieren die Dedekindmenge durch D := {τ H τ 1, 1 2 Re(τ) 1 2 }. Wir wollen nun zeigen, dass D das Fundamentalgebiet von PSL 2 (Z) ist. Zeige zunächtst, dass PSL 2 (Z) von den elementen T : τ τ + 1 und S : τ 1 erzeugt wird. Zeige, dass τ damit jede Bahn von PSL 2 (Z) die Menge D schneidet. Um (2) zu zeigen, überlege Dir, für welche τ D das Bild unter T, beziehungsweise S, in D liegt. Exercise 8.2. Auf X = R 2 \{0} ist die Differentialform ω = xdy ydx x 2 +y 2 und der Weg γ : [0, 1] X durch γ(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) gegeben. Berechne ω. Zeige, dass γ H1 dr (X) 0 ist. Zeige dann H 1 dr (X) = R, indem Du Dir überlegst, dass gerade die 1-Formen auf X eine Stammfunktion besitzen, deren Periode verschwindet. Zeige, dass H 1 dr (R2 \{0, 1}) = R 2. Exercise 8.3. Für X = R 3 {0} wollen wir zeigen, dass H 2 dr (X) 0 gilt. Zeige dazu, dass für ω := z y x dx dy dx dz + dy dz (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 die Gleichung dω = 0 auf ganz X gilt. Was ist ω? Warum folgt daraus H 2 S 2 dr (X) 0? Exercise 8.4. Es ist ein regelmäßiges Achteck in C gegeben. Indem wir jede Seite mit der übernächsten Seite verkleben, erhalten wir eine Riemannsche Fläche C. Ziel dieser Aufgabe ist es, nun vier linear unabhängige Elemente in H 1 dr (C) zu finden. Suche dazu vier glatte Funktionen ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 auf C mit der Eigenschaft, dass dϕ i zwar eine Einsform auf C definiert, ϕ i aber keine Funktion auf C definiert. Warum ist dann 0 [dϕ i ] H 1 dr (C)? Können die ϕ i so gewählt werden, dass die [dϕ i ] linear unabhängig sind? 13

14 9 Blatt 9 Exercise 9.1. Ist ψ : U V eine holomorphe Abbildung, U, V C und ω eine Einsform auf V, zeige, dass gilt ψ ( ω) = ψ (ω). Exercise 9.2. In der Vorlesung wurde das Produkt (ω, η) := ω η definiert. Zeige, X dass bezüglich dieses Produktes eine Isometrie ist, dass also für alle ω, η gilt (ω, η) = ( ω, η). Exercise 9.3. Für eine kompakte Riemannsche Fläche schreiben wir H für den Raum der harmonischen 1-Formen, A = Ω 1 (X) für den Raum der holomorphen Differentiale. Zeige, dass wenn ω H, dann ω iω A und ω + iω A. Zeige, dass man so ein Isomorphismus H C = A A erhält. Exercise 9.4. Ist ρ eine Funktion auf E = {z C z < 1} mir kompakten Träger, zeige, dass dann f(z) = 1 log( z w )ρ(w)dxdy 2π die Differentialgleichung d df = ρ löst. E Exercise 9.5. Ist ω eine Einsform und f eine glatte Funktion, zeige, dass (ω + df, dg) = 0 für alle glatten Funktionen g genau dann gilt, wenn ω + df minimal ist. 14

15 10 Blatt 10 Exercise Warum ist für eine kompakte Riemannsche Fläche und α A 1,0 (X) und β A 0,1 (X) stets α = β = 0? Exercise We look at basic properties of the spaces L(D). X 1. Überlege, warum L(D) in der Tat ein Vektorraum ist. Was ist L(0)? X 2. Gib eine Basis für L(D) im Falle X = P 1, D = n[ ] an. Was ist l(d), die Dimension von L(D)? Gib für ein allgemeines D Div(P 1 ) eine basis für L(D) an. 3. Wie sieht das für einen Torus X = C/Γ aus? Exercise Folgere aus der Riemannschen Ungleichung, dass ein kompakte Riemannsche Fläche mit g = 0 isomorph zu P 1 ist und dass eine Riemannsche Fläche mit g = 1 eine holomorphe Abbildung nach P 1 von Grad 2 besitzt. Exercise Zwei Divisoren D und D auf einer kompakte Riemannsche Fläche X heißen linear äquivalent, D D, wenn D D = (f) für ein f M(X). 1. Warum haben linear äquivalente Divisoren den gleichen Grad? 2. Zeige, dass D D = l(d) = l(d ). 3. Zeige, dass Grad(D) < 0 = l(d) = Sei X die Riemannsche Fläche zu einer gegebenen algebraischen Kurve. Seien D die Schnittpunke von X mit einer allgemeinen Gerade L, D Schnittpunkte von X mit allgemeinen von L verschiedenen Gerade L. Warum ist D D? 15

16 11 Blatt 11 Exercise Zeige für eine kompakte Riemannsche Fläche X von Geschlecht g, dass 1. wenn D Div(X) mit l(d) 1, dann existiert ein Divisor D 0, sodass D D; 2. für Punkte P 1, P 2,..., P g, P, Q von X, es Punkte R 1, R 2,..., R g X gibt, so dass P 1 + P P g + P Q R R g ; 3. für gegebene Q 1,..., Q g X und D einem beliebigem Divisor mit Grad(D) = 0 existieren S 1,..., S g X, so dass D (S S g ) (Q 1 + Q Q g ). Exercise Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche von Geslecht g und η ein meromorphes Differential mit Polen genau in P 1, P 2,..., P r. Zeige, dass r Res Pi (η) = 0. i=1 Exercise Sei K der kanonische Divisor auf einer kompakten Riemannschen Fläche X von Geschlecht g. Seien P 1, P 2,..., P r X und D = P 1 + P P r. Zeige, dass l(k + D) = g + r 1. Folgere, dass es zu beliebigen α i C mit α i = 0 ein meromorphes Differential η mit Polen erster Ordnung gibt, für die Res Pi (η) = α i. Exercise Die Thetafunktion auf C zu dem Gitter Z τz könnten wir als Reihe abhängig von z und τ definieren. Wir wollen nun eine analoge Funktion auf C g konstruieren. Dazu nehmen wir an, dass das Gitter in C g von der Form Λ = Ze 1... Ze g ZΩe 1... ZΩe g ist, wobei Ω eine g g Matrix mit komplexen Einträgen bezeichnet, für die Im(Ω) positiv definit ist. Wir definieren nun die Thetafunktion von z C g und Ω durch: θ(z, Ω) := l Z g exp(πi < l, Ωl > +2πi < l, z >. 1. Zeige, dass die Thetafunktion definierende Reihe konvergiert. 2. Zeige, dass θ(z + e j ) = θ(z) für alle 1 j g ist. 3. Zeige, dass θ(z + Ωe j ) = exp ( 2πi(z j Ω jj) ) θ(z) für alle 1 j g ist. 16

17 12 Blatt 12 Exercise Sei f C[x, y] und F := f H C[x, y, z]. Die affine Tangente an (a, b) C 2 ist die Nullstellenmenge von l := x f(a, b) (x a) + y f(a, b) (y b). Die Projektive Tangente an der Stelle (a : b : 1) P 2 ist die Nullstellenmenge von Zeige, dass l H = L ist. L := X X F (a : b : 1) + Y Y F (a : b : 1) + Z Z F (a : b : 1). Exercise In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass für eine kompakte Riemannsche Fläche X zwei meromorphe Funktionen f, g M(X) algebraisch abhängig sind, dass heißt es gibt ein Polynom F C[x, y] mit F (f, g) = 0. Seien dazu im Folgenden f, g M(X) nicht konstant. Seien dazu im Folgenden f, g M(X) nicht konstant. 1. Zeige, dass es einen positiven Divisor D auf X gibt, so dass f, g L(D) sind. 2. Folgere aus Riemann-Roch, dass l(nd) = an + b für ausreichend große n N mit a, b Z gilt. Was sind a und b? 3. Zeige, dass wenn f und g algebraisch unabhängig sind, l(nd) n2 +n gilt. Betrachte 2 dazu f c g d für verschiedene c, d. Beweise mit Hilfe der letzten drei Aussagen, dass alle nicht konstanten meromorphen Funktionen auf X paarweise algebraisch abhängig sind. Folgere hieraus, dass für zwei nicht konstante f, g M(X) das Bild der Abbildung X z (f(z) : g(z) : 1) P 2 eine algebraische Kurve ist. Exercise Sind f, g C[s, t] zwei homogene Polynome vom Grad 3, dann wird durch: P 1 (s, t) (f(s, t) : g(s, t) : 1) P 2 eine holomorphe Abbildung von P 1 nach P 2 definiert. Nach Aufgabe 2 ist das Bild von P 1 in P 2 eine algebraische Kurve. Was ist ihr Grad? Wieviele Doppelpunkte hat diese Kurve bei allgemeiner Wahl von f und g? Zeichne die Kurve für diesen Fall. Auf welche Weise kann diese Kurve entarten? Bestimme die Anzahl der Doppelpunkte, für allgemeine f und g vom Grad d. 17