Bachelor-Prüfung SoSe 2015

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1 Hochschule Landshut Fakultät Informatik Studiengang Informatik Name: Matr.-Nr: Bachelor-Prüfung SoSe 2015 Prüfungsfach: Prüfer: Datum / Zeit: Dauer: IB015 Grundlagen der Theoretischen Informatik Prof. Andreas Siebert, Ph.D. 23. Juli 2015, bis Uhr 90 Minuten Ort: HS 111 / ZH 017 Hilfsmittel: keine Hinweis: Schreiben Sie die Lösungen der Aufgaben in die dafür vorgesehenen freien Flächen auf den Aufgabenblättern. Beschriften Sie jedes Aufgabenblatt und eventuell notwendige Zusatzblätter mit Ihrer Matrikelnummer. Lösen Sie die Aufgaben so, dass der Lösungsweg erkennbar ist. Name Punkte Note 1. Prüfer A. Siebert 2. Prüfer

2 Aufgabe 1. [5 Punkte] Die Ackermannfunktion ack(n, m) ist definiert als Wozu dient die Ackermannfunktion, d.h. was kann man mit der Ackermannfunktion zeigen? Aufgabe 2. [5 Punkte] Kann eine kontextfreie Sprache mit Hilfe einer kontextsensitiven Grammatik beschrieben werden? Begründung!

3 Aufgabe 3. [10 Punkte] Entwerfen Sie einen DEA, der alle Worte über dem Alphabet Σ = {d, z} akzeptiert, die eine durch 3 teilbare Anzahl von d und eine durch zwei teilbare Anzahl von z haben. Die Anzahl der d muss größer 0 sein. Die Anzahl der z darf hingegen 0 sein. Zur Sprache gehören also z.b. ddd, zdddz, dzzdd, dddzzdzzdd, aber nicht ε, dd, zz, ddddzz, zdzdzd.

4 Aufgabe 4. [ = 10 Punkte] a. Wandeln Sie die folgende kontextfreie Grammatik G in einen äquivalenten Automaten um. G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, E, F, M, N, X, Y}, Σ = {0, 1} und P = S N E N 0M0X M 0M0 X X 1X 1 E Y1F1 F 1F1 Y Y 0Y 0 b. Zeichnen Sie einen Ableitungsbaum für w=00101

5 Aufgabe 5. [ = 10 Punkte] a. Prof. Shlowmyre argumentiert, er könne das Leerheitsproblem für CSL wie folgt lösen: Man generiere systematisch alle Worte der Länge 1 und überprüfe, ob diese zur Sprache gehören. Dies sei möglich, da das Wortproblem für CSLs entscheidbar ist. Wenn es ein solches Wort gibt, dann ist die Frage nach der Leerheit geklärt, ansonsten fahre man mit den Worten der Länge 2 fort, usw., bis man ein Wort gefunden hat. Kann man kein solches Wort finden, so weiß man, dass die Sprache leer ist. Wo liegt bei Shlowmyres Ansatz das Problem? b. Prof. Drymullcloog argumentiert, dass die Minimale Beschreibungslänge (MDL) berechenbar sein müsste -- schließlich gäbe es ja nur endlich viele Programme, die kleiner sind als die zu komprimierende Datenmenge. Wo liegt sein Denkfehler?

6 Aufgabe 6. [ = 20 Punkte] a. Welches sind die Eingabeparameter (Input) und die Ausgabeparameter (Output) einer UTM? b. Entwerfen Sie eine Turingmaschine über dem Alphabet Σ={a, b, X, Y}, die links von jeder Instanz der Zeichenfolge 'XY' im Eingabewort das Zeichen 'z' schreibt (steht dort bereits ein anderes Zeichen, so wird dieses überschrieben). Bsp.: Steht zu Beginn das Wort 'abbxybxyaaxby' auf dem Band, so soll am Ende der Berechnung der Bandinhalt 'abzxyzxyaaxby' sein; aus 'XYXY' wird 'zxzxy'. Außerdem muss der Schreib-/Lesekopf wieder über dem ersten Symbol stehen. c. Geben Sie die ersten vier Konfigurationen an, die Ihre TM durchläuft, wenn sie mit dem Bandinhalt 'axy' gestartet wird.

7 Aufgabe 7. [4 + 6 = 10 Punkte] 1-d Zellularautomaten lassen sich mit Hilfe des Wolfram-Codes (WC) definieren. So definiert WC-0 die Regeln eines 1-d Zellularautomaten (ZA) wie folgt: a. Zeichnen Sie die Regeln des ZA WC-102 in das obige Diagramm. b. Zeichnen Sie die Schritte (= Zeilen) 2 bis 5 des ZA WC-102 in das nachfolgende Diagramm, wenn dieses in der ersten Zeile aus genau einer lebendigen Zelle besteht.

8 Aufgabe 8. [10 Punkte] Ein vierseitiger Würfel wird 1000 mal geworfen. Die 1 fällt 200 mal, die 2 fällt 300 mal, die 3 fällt 280 mal, die 4 fällt 220 mal. Überprüfen Sie mit Hilfe des Chi-Quadrat-Tests, ob der Würfel fair ist (also ob die erzeugten Zufallszahlen gleichverteilt sind). Dies sei der Fall, wenn das Quantil von χ 2 kleiner als 0.95 ist, vgl. nachfolgende Quantiltabelle. Zur Erinnerung: [Diese Aufgabe ist auch ohne Taschenrechner lösbar.]

9 Aufgabe 9. [10 Punkte] Eine Quelle S über dem Alphabet Σ = {x, y, z} generiert mit der Wahrscheinlichkeit p1=0.5 ein x, mit der WS p2=0.25 ein y und mit der WS p3=0.25 ein z. Wieviel Bits braucht man mindestens, um eine Nachricht mit 1000 Zeichen dieser Quelle S zu kodieren? [Diese Aufgabe ist auch ohne Taschenrechner lösbar.]

10 Aufgabe 10. [4+6 = 10 Punkte] Zeigen Sie am gegebenen Beispiel auf, wie die Kodierung und Dekodierung bei einem linearen (7, 4) Blockcode abläuft. Gegeben ist die Generatormatrix G, und die zugehörige Syndromtabelle a. Kodieren Sie die Datenblöcke u1 = 1110 und u2 = b. Fügen Sie zum ersten Codewort v1 den Fehlervektor e1 = hinzu und zu v2 entsprechend e2 = Bestimmen Sie für diese Vektoren r1, r2 die zugehörigen Syndrome s1, s2 und leiten Sie hieraus die jeweiligen Fehlervektoren e'1, e'2 des Dekodierers ab. Äquivalent ausgedrückt: Füllen Sie die nachfolgende Tabelle aus.