MPCP das modifizierte PCP

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1 MPCP das modifizierte PCP Das modifizierte PCP (MPCP) ist definiert wie PCP, einzige Ausnahme: Lösungen müssen mit i 1 = 1 beginnen! Lemma: H apple MPCP Zum Beweis muss eine Eingabe w#x in eine Instanz f (w#x) von MPCP so umgerechnet werden, dass M w auf Eingabe x genau dann nach endlicher Zeit hält, wenn f (w#x) als MPCP lösbar ist. Und natürlich muss diese Funktion f berechenbar sein. Sei also M = M w als 7-Tupel M =(Z,,,,z 0, E, ) gegeben und x 2. Startkonfiguration von M auf Input x ist damit z 0 x. Als erstes Paar unseres MPCP definieren wir (#, #z 0 x#). Einheit 17 Folie 17.1

2 Die Reduktion von H auf MPCP (1) Außer dem schon definierten Anfangspaar werden wir nun vier Serien von Paaren für das MPCP definieren, die jeweils einem speziellen Zweck dienen: Kopierpaare: Für jedes a 2 [{#} das Paar (a, a). Die Kopierpaare dienen dazu, Konfigurationsteile unverändert in die Folgekonfiguration übernehmen zu können. Löschpaare: Für jedes a 2 und z 2 E die Paare (za, z) und (az, z). Die Löschpaare dienen dazu, am Ende der Berechnung die vorausgeeilte Konfigurationsdarstellung zu beseitigen. Schlusspaar: Für jedes z 2 E das Paar (z##, #). Hiermit soll das MPCP zum passenden Ende gebracht werden, falls die Turingmaschinensimulation terminiert. Überführungspaare: Die Überführungspaare werden den Hauptteil einer Simulation von Turingmaschinen bilden. Dafür benötigen wir eine weitere Folie... Einheit 17 Folie 17.2

3 Die Reduktion von H auf MPCP (2) Für die Überführungspaare müssen wir die drei Fälle unterscheiden, die den drei Möglichkeiten entsprechen, welche Bewegung der Schreib-/Lesekopf durchführt. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: Der Kopf führt keine Bewegung durch, d.h. (z, a) =(z 0, c, N) für a, c 2, z, z 0 2 Z. In diesem Fall nehmen wir das Paar (za, z 0 c) in das MPCP auf. Nun betrachten wir den Fall, dass der Kopf eine Bewegung nach rechts durchführt, d.h. (z, a) =(z 0, c, R) für a, c 2, z, z 0 2 Z. In diesem Fall nehmen wir das Paar (za, cz 0 ) in das MPCP auf. Am schwierigsten ist der Fall der Linksbewegung des Schreib-/Lesekopfes, d.h. (z, a) =(z 0, c, L) für a, c 2, z, z 0 2 Z. In diesem Fall nehmen wir die Paare (bza, z 0 bc) für alle b 2 auf. Genau genommen müsste man noch einige Spezialfälle betrachten (z.b. was passiert, wenn der Kopf den rechten oder linken Rand unserer Konfigurationsbeschreibung erreicht), aber wir überlassen diese Details ebenso wie den formalen Korrektheitsbeweis den interessierten Teilnehmern als Übung. Dass das konstruierte MPCP genau dann lösbar ist, wenn die Turingmaschine M w auf x hält, erläuternwirandertafel. Einheit 17 Folie 17.3

4 PCP ist unentscheidbar Zu guter Letzt wollen wir die Reduktion H apple MPCP benutzen, um auch die Unentscheidbarkeit von PCP zu beweisen. Der Hauptpunkt hierfür ist die Reduktion von MPCP auf PCP: Lemma: MPCP apple PCP Damit erhalten wir den folgenden Satz: Satz: PCP und MPCP sind unentscheidbar. Nun müssen wir also das Lemma beweisen. Einheit 17 Folie 17.4

5 Reduktion MPCP auf PCP (1) Gegeben: MPCP-Instanz K =((x 1, y 1 ),...,(x k, y k )). Gesucht: PCP-Instanz f (K) mit: K lösbar () f (K) lösbar. Beachte: K lösbar bedeutet, dass es eine Lösung mit i 1 = 1gibt. Bei f (K) lösbar gibt es diese Einschränkung nicht! Das Alphabet für K sei. Dabeigelte: $, # 62. Nun sei w = a 1 a 2...a m 2 ein beliebiges Wort über. Wir definieren Varianten w 0 und w 00 über dem Alphabet [{#}: w 0 = a 1 #a 2 #...#a m # Damit wird f (K) wie folgt gebildet: w 00 =#a 1 #a 2 #...#a m f (K) =((#x1 0, y 1 00), (x 1 0, y 1 00), (x 2 0, y 2 00),...,(x k 0, y 00 ), ($, #$)) Einheit 17 Folie 17.5 k

6 Reduktion MPCP auf PCP (2) Wir müssen zeigen, dass das PCP f (K) genau dann eine Lösung hat, wenn auch das MPCP K (als MPCP) lösbar ist. Wir nummerieren die Paare des PCP mit 0, 1,...,k, k + 1. Sei nun eine Lösung des PCP gegeben; diese kann nur mit dem Paar (#x 0 1, y 00 1 ) beginnen. Bei allen anderen Paaren beginnen die zwei Komponenten mit verschiedenen Zeichen. Und offensichtlich muss jede Lösung mit dem Paar ($, #$) enden. Lösungen sind also gegeben durch Indexfolgen von der Form 0, i 1,...,i r, k + 1. DurchWeglassenallerZeichen# und $ erhalten wir eine Lösung 1, i 1,...,i r des MPCP! Andersherum liefert jede Lösung 1, i 1,...,i r des MPCP K für das PCP f (K) die Lösung 0, i 1,...,i r, k + 1. Wir haben also gezeigt, dass wie gefordert gilt: K hat Lösung als MPCP () f (K) hat Lösung als PCP Einheit 17 Folie 17.6

7 PCP mit 2-elementigem Alphabet PCP sei das PCP-Problem mit festem Alphabet. Satz: Für Alphabet mit 2 ist PCP unentscheidbar. Beweis: Es genügt, den Beweis für ={0, 1} zu führen. Also zeigen wir: PCP apple PCP {0,1} Das PCP sei über dem Alphabet definiert. Es genügt, die Elemente von durchzunummerieren als ={ 1, 2,..., r } Nun können wir in einer gegebenen Instanz des PCP über Vorkommen des Zeichens i ersetzen durch 01 i. Die Details sollten damit eigentlich klar sein... jedes Einheit 17 Folie 17.7

8 Unentscheidbare Grammatik-Probleme Satz: Für zwei kontextfreie Sprachen L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ) mit Typ-2-Grammatiken G 1 und G 2 sind die folgenden fünf Probleme unentscheidbar: 1) Leerheit des Schnitts (Ist L 1 \ L 2 = ;?) 2) Endlichkeit des Schnitts (Ist L 1 \ L 2 < 1?) 3) Kontextfreiheit des Schnitts 4) Inklusion (Gilt L 1 L 2?) 5) Äquivalenz (Gilt L 1 = L 2?) (9G, Typ-2,mit L(G) =L 1 \ L 2?) Einheit 17 Folie 17.8