Unentscheidbare Grammatik-Probleme

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1 Unentscheidbare Grammatik-Probleme Satz: Für zwei kontextfreie Sprachen L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ) mit Typ-2-Grammatiken G 1 und G 2 sind die folgenden fünf Probleme unentscheidbar: 1) Leerheit des Schnitts (Ist L 1 \ L 2 = ;?) 2) Endlichkeit des Schnitts (Ist L 1 \ L 2 < 1?) 3) Kontextfreiheit des Schnitts 4) Inklusion (Gilt L 1 L 2?) 5) Äquivalenz (Gilt L 1 = L 2?) (9G, Typ-2,mit L(G) =L 1 \ L 2?) Einheit 17 Folie 17.1

2 Beweis (1) Wir reduzieren PCP {0,1} auf das (Nicht-) Leerheitsproblem des Schnitts. Es sei K =((x 1, y 1 ),...,(x k, y k )) eine beliebige Instanz von PCP {0,1}. Wir wollen zwei Typ-2 Grammatiken G 1 und G 2 definieren, so dass K lösbar ist genau dann, wenn L(G 1 ) \ L(G 2 ) 6= ; gilt. Das Alphabet für die Grammatiken sei ={0, 1, $, a 1,...,a k }. Grammatik G 1 hat diese Produktionen: S! A$B, undfürallei 2{1,...,k} die folgenden vier Regeln: A! a i Ax i, A! a i x i, B! ỹ i Ba i, B! ỹ i a i. Dabei sei für w = w 1...w m die Rückwärtsform w durch w = w m...w 1 definiert. Es gilt L(G 1 )={a im...a i2 a i1 x i1 x i2...x im $ỹ jn...ỹ j2 ỹ j1 a j1 a j2...a jn }. G 2 habe folgende Regeln: S! a 1 Sa 1... a k Sa k T und T! 0T 0 1T 1 $. Also haben wir L(G 2 )={uv$ṽũ u 2{a 1,...,a k }, v 2{0, 1} }. Man kann sich nun leicht überzeugen, dass eine Lösung für K zu einem Wort in L(G 1 ) \ L(G 2 ) führt UND UMGEKEHRT! Also haben wir PCP {0,1} auf Nicht-Leerheit des Schnitts reduziert. Damit ist auch Leerheit des Schnitts unentscheidbar. Einheit 17 Folie 17.2

3 Beweis (2) Um die Unentscheidbarkeit des Problems Unendlichkeit des Schnitts für zwei durch Typ-2 Grammatiken gegebene Sprachen zu zeigen, können wir die Reduktion der vorigen Folie noch einmal verwenden. Hierzu muss man nur überprüfen, dass für die dort angegebenen Grammatiken G 1 und G 2 entweder L(G 1 ) \ L(G 2 )=; gilt, oder L(G 1 ) \ L(G 2 ) = 1. Das folgt aber direkt aus der Tatsache, dass mit jeder Indexfolge (i 1,...,i r ),dieein PCP löst, auch die iterierte Indexfolge (i 1,...,i r, i 1,...,i r,...,i 1,...,i r ) immer eine Lösung darstellt, d.h. sobald ein Wort im Schnitt existiert, gibt es unendlich viele Worte im Schnitt. Einheit 17 Folie 17.3

4 Auch für das Problem Beweis (3) Kontextfreiheit des Schnitts für zwei durch Typ-2 Grammatiken gegebene Sprachen, können wir dieselbe Reduktion wiederverwenden: Wenn das PCP unlösbar ist, ist der Durchschnitt der beiden Typ-2 Sprachen die leere Menge, also mit Sicherheit kontextfrei! Wie aber sieht es aus, wenn das PCP eine Lösung hat? Man kann sich schnell vergewissern, dass ein Pumpen bei den Worten in der Schnittsprache nicht möglich ist, da an vier Stellen gleichmäßig gepumpt werden müsste. Da der Schnitt aber immer leer oder unendlich ist, kann er in diesem Fall auch nicht kontextfrei sein! Einheit 17 Folie 17.4

5 Beweis (4) Nun geht es um das Inklusionsproblem, d.h. die Frage, ob für zwei gegebene kontextfreie Sprachen L 1 und L 2 entschieden werden kann, ob L 1 L 2 gilt. Wir geben einen indirekten Beweis, d.h. wir gehen von der Entscheidbarkeit des Inklusionsproblems aus und leiten daraus einen Widerspruch ab. Beide Sprachen aus der oben angegebenen Reduktion sind deterministisch kontextfrei. Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen ist aber abgeschlossen unter Komplement, und das sogar effektiv, d.h. man kann zu jeder deterministisch kontextfreien Sprache L eine kontextfreie Grammatik G 0 finden, für die L(G 0 )=L gilt. Es gilt: L 1 \ L 2 = ; () L 1 L 2. Also könnten wir mit einem Algorithmus für das Inklusionsproblem auch PCP {0,1} entscheiden. Aber PCP {0,1} ist unentscheidbar. Also muss auch Inklusion unentscheidbar sein. Einheit 17 Folie 17.5

6 Beweis (5) Der letzte Teil des Beweises betrifft das Äquivalenzproblem, d.h. die Frage, ob für zwei gegebene kontextfreie Grammatiken G 1 und G 2 entschieden werden kann, ob L(G 1 )=L(G 2 ) gilt. Auch das beweisen wir indirekt und mit Hilfe der nun schon mehrfach verwendeten Reduktion. Wir haben gerade schon gesehen, dass wir für die oben benutzte Grammatik G 2 effektiv eine Grammatik G 0 2 erhalten, für die L(G 0 2 )=L(G 2) gilt. Es gilt: L 1 \ L 2 = ; () L 1 L 2 () L 1 [ L 2 = L 2. Da wir leicht eine Typ-2 Grammatik für L 1 [ L 2 aus den Typ-2 Grammatiken für L 1 und für L 2 konstruieren können, würde ein Algorithmus für das Äquivalenzproblem also auch einen Algorithmus für PCP {0,1} liefern. Also muss auch Äquivalenz unentscheidbar sein. Aber Vorsicht: Das Äquivalenzproblem für DCFL ist entscheidbar. Komplexer Beweis... Geraud Senizergues wurde dafür mit dem Gödel-Preis ausgezeichnet (2002). Einheit 17 Folie 17.6