Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 2017

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1 Rev. :, TU Ilmenau, Institut für Theoretische Informatik Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Juli 207 Arbeitszeit: 50 Minuten Hinweise () Nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben! (2) Es sind keine Hilfsmittel, insbesondere keine Taschenrechner und keine Mobiltelefone, zugelassen. (3) Tragen Sie auf jedem zusätzlichen Blatt Ihren Namen und Vornamen, Ihre Studiennummer und Ihr Matrikel ein. (4) Heften Sie bei Abgabe die Blätter zusammen. Aufgabe Bonus Gesamt Note Punkte maximal Punkte erreicht Bei Prüfungsbeginn ausfüllen: Bei Einsichtnahme ausfüllen: Vorname, Name Studiennr., Matrikel Datum, Unterschrift Zusätzlich wurden eigene Blätter abgegeben. Aufgabe (Vermischte Themen) [34 Punkte] Füllen Sie folgende Lückentexte aus. Sofern keine abweichende Regelung angegeben ist, erhalten Sie auf jeden richtigen Eintrag Punkt und auf jeden falschen oder ausgelassenen Eintrag 0 Punkte. Geben Sie bei O-Notation möglichst scharfe (einfache) Schranken an! (a) O-Notation Für f,g F + bedeutet f O(g), dass positive Konstanten n 0 und c existieren, so dass für alle.. gilt: Gilt f (n) = O(g (n)) und f 2 (n) = O(g 2 (n)), dann folgt f (n) f 2 (n) = O(.. ). Für die Funktion f (n) = 3n4 logn n 2 +7n n gilt f (n) = Θ(.. ). f (n) f (n) = ω(g(n)) heißt lim n g(n) =.. für f,g F +.

2 2 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 (b) Stacks bei Arrayimplementierung mit Verdoppelungsstrategie Stacks sind.. IFO-Speicher. Die Signatur der Operation push des abstrakten Datentyps Stack (mit den Sorten Stacks und Elements) ist push:.. Die Verdoppelung eines Stacks mit n Elementen kostet Zeit Θ(.. ). Eine empty-operation gefolgt von n push-operationen kostet Zeit O(.. ). In einer Folge von Operationen, bestehend aus einer empty-operation gefolgt von n beliebigen Operationen, kostet eine einzelne Operation im schlechtesten Fall Zeit O(.. ). (c) Binäre Bäume Ein binärer Baum mit n inneren Knoten hat.. äußere Knoten und.. Kanten. Für einen binären Baum mit N nicht-leeren äußeren Knoten und Tiefe d gilt (keine O-Notation!):.. d Für jedes N existiert ein Baum, für den die untere bzw. obere Schranke mit Gleichheit gilt. Sei T ein binärer Baum mit n inneren Knoten. Für die totale innere Weglänge TIPL(T ) und die totale äußere Weglänge TEPL(T ) gilt: TEPL(T ) = TIPL(T.. ) (d) Sortierverfahren Sortiert man mit randomisiertem QuickSort n (paarweise) verschiedene Schlüssel, so ist die erwartete Laufzeit O(.. ) und die maximale Laufzeit Θ(.. ). Sortiert man mit HeapSort n Schlüssel, benötigt makeheap Zeit O(.. ). Sortiert man n (paarweise) verschiedene Schlüssel mit einem vergleichsbasierten Sortierverfahren, so ist die Anzahl an Schlüsselvergleichen im schlechtesten Fall Ω(.. ). Zum Sortieren von n Schlüsseln aus {,2,...,m} benötigt BucketSort Zeit O(.. ). (e) Divide-and-Conquer-Algorithmen Der Algorithmus von Karatsuba multipliziert zwei n-bit-zahlen in Zeit O(.. ). Der Algorithmus von Strassen führt bei der Multiplikation von zweier Matrizen der Größe n n rekursiv.. Multiplikationen von Matrizen der Größe.. durch. Für n = 2 k mit k führt ein Aufruf FFT((a 0,...,a n ), ω) zu den beiden rekursiven Aufrufen FFT(..,.. ) und FFT(..,.. ).

3 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS (f) Graphdarstellungen (4 Punkte) Sei G ein Graph mit n Knoten, m Kanten und n m. Wird G als Adjazenzmatrix gespeichert, sind Θ(.. ) Bits Speicher nötig, und das Durchlaufen aller Kanten von G benötigt Zeit O(.. ). Wird G als Adjazenzliste gespeichert, genügen Θ(.. ) Speicherworte und für das Durchlaufen aller Kanten genügt Zeit O(.. ). (g) Bestimmung kürzester Wege Hinweis: Graphen in dieser Aufgabe sind gerichtet und haben Kantengewichte. Die Anzahl der Knoten ist n, die Anzahl der Kanten ist m. Damit der Algorithmus von Dijkstra anwendbar ist, müssen alle Gewichte des Eingabegraphen.. sein. In diesem Fall berechnet der Algorithmus von Dijkstra kürzeste Wege von einem Startknoten in Zeit O(.. ). Der Algorithmus von Dijkstra benutzt eine Priority Queue. In jeder Runde wird mittels einer.. -Operation ein Knoten u ermittelt, dessen ausgehende Kanten dann betrachtet werden. Für einen Knoten w mit (u,w) E wird nun eine.. -Operation ausgeführt, falls w noch unentdeckt war. Falls w vorher schon entdeckt wurde, wird stattdessen evtl. eine.. -Operation ausgeführt.

4 4 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 2 (2-3-Bäume) [9 Punkte] Wir betrachten im Folgenden einen 2-3-Baum T der Tiefe h. Die Levels 0,...,h sind dabei von unten nach oben durchnummeriert. (Die Wurzel hat also Level h.) (a) Auf welchen Level(s) liegen die Blätter in T? ( Punkt) Level(s):.. (b) Wie viele Kinder hat ein Knoten in T mindestens und höchstens, falls er kein Blatt ist? ( Punkt) Kinder mindestens:.. Kinder höchstens:.. (c) Wie viele Knoten in T liegen auf Level h, h, h 2 bzw. h 3 mindestens und höchstens? ( Punkt) Knoten mindestens: Knoten höchstens: h h h 2 h 3.. h h h 2 h 3.. (d) Wie viele Knoten in T liegen auf Level l, 0 l h, mindestens und höchstens? Knoten mindestens:.. Knoten höchstens:.. (e) Folgern Sie aus den vorherigen Teilaufgaben eine obere und eine untere Schranke für die Anzahl der Knoten in T! (Hinweis: Für c gilt 0 i h c i = (c h+ )/(c ).) (3 Punkte) Knoten mindestens:.. Knoten höchstens:.. Beweisskizze: (f) Folgern Sie eine obere und eine untere Schranke für die Anzahl n der Schlüssel in T. ( Punkt) Schlüssel mindestens:.. Schlüssel höchstens:..

5 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 3 (Wörterbuch) [3 Punkte] Seien U und R nicht-leere Mengen. Im Folgenden wird der Datentyp Wörterbuch, mit Schlüsseln aus U und Daten aus R, mit den Sorten Keys, Range und Maps und den Operationen empty, lookup, delete und insert betrachtet. (a) Geben Sie die Signatur für alle Operationen an! empty:.. (4 Punkte) lookup:.. delete:.. insert:.. (b) Geben Sie das mathematische Modell für alle Sorten und Operationen an! (Hinweis: Schreiben Sie D( f ) für den Definitionsbereich einer Funktion f.) (7 Punkte) Sorten: Keys = Range = Maps = Operationen: empty(.. ) = lookup(.. ) = delete(.. ) = insert(.. ) = (c) Sei (U, <) total geordnet. Benennen Sie in O-Notation, aber möglichst genau, die Kosten der oben genannten Operationen im schlechtesten Fall für eine Implementierung mittels höhenbalancierter binärer Suchbäume! (n ist die Anzahl der Knoten im Suchbaum.) empty:.. lookup:.. delete:.. insert:..

6 6 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 4 (AVL-Bäume) [3 Punkte] Der folgende AVL-Baum T mit Schlüsseln aus U = N sei gegeben (der Datenteil aus R wird hier der Einfachheit halber ignoriert): T : (a) Sei d(t ) die Tiefe eines Baums T und v ein Knoten mit linkem Unterbaum T l und rechtem Unterbaum T r. Wie ist der Balancefaktor bal(v) definiert? Welche Bedingung erfüllen die Balancefaktoren in einem AVL-Baum? Definition: bal(v) :=.. Bedingung:. (b) Zeichnen Sie in dem gegebenen Baum T die Balancefaktoren ein! ( Punkt) (c) Fügen Sie mit dem Algorithmus der Vorlesung in dem gegebenen Baum T den Schlüssel 9 ein und fügen Sie anschließend in dem entstandenen Baum den Schlüssel 2 ein! Zeichnen Sie den Baum nach jeder Einfach- oder Doppelrotation und benennen Sie die Art der Rotation (Links-, Rechts-, Links-Rechts- oder Rechts-Links-Rotation)! (Hinweis: Gegebenenfalls genügt es, den sich verändernden Teilbaum zu zeichnen.) Weiter auf nächster Seite!

7 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS T : (d) Löschen Sie mit dem AVL-Löschverfahren der Vorlesung in dem gegebenen Baum T den Schlüssel 4! Zeichnen Sie den Baum nach jeder Einfach- oder Doppelrotation und benennen Sie die Art der Rotation (Links-, Rechts-, Links-Rechts- oder Rechts-Links-Rotation)! (Hinweis: Gegebenenfalls genügt es, den sich verändernden Teilbaum zu zeichnen.)

8 8 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 5 (Hashing) [0 Punkte] Im Folgenden werden eine Hashtabelle T[0..m ] und n Schlüssel betrachtet. (a) Gegeben seien die n = 8 Schlüssel A, B,, H, eine Hashtabelle der Größe m = und die Hashfunktionen h und h 2. Wir geben h (x) und + h 2 (x) an: x A B C D E F G H h (x) h 2 (x) Fügen Sie die Schlüssel in der Reihenfolge A, B,, H unter Verwendung von Doppel-Hashing in die Hashtabelle ein. Geben Sie für jedes x {A,...,H} die beim Einfügen von x untersuchten Tabellenpositionen h(x, k) für k = 0,, 2,... an. Hashtabelle: i T[i] A C Sondierungsfolgen: x h(x,k) für k = 0,,2,... A 2 B 0 C 7 D.. E.. F.. G.. H B Weiter auf nächster Seite!

9 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS (b) Wir betrachten Hashing mit verketteten Listen (offenes Hashing) für eine Hashtabelle mit Auslastungsfaktor α = n m. Dabei sei (UF) 2 erfüllt. Geben Sie je eine obere Schranke für die erwartete Anzahl an Schlüsselvergleichen bei erfolgloser und bei erfolgreicher Suche an! erfolglose Suche:.. erfolgreiche Suche:.. (c) Formulieren Sie die Uniformitätsannahme (UF) 2 für die Hashfunktion h, Tabellengröße m und Schlüsseluniversum U! (3 Punkte)

10 0 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 6 (HeapSort) [0 Punkte] (a) Gegeben ist folgendes Array A[..8] mit Einträgen aus N (ein Eintrag entspricht einem Schlüssel): A: Zeichnen Sie den linksvollständigen Binärbaum zu A[..8] und geben Sie an, ob es sich um einen Min-Heap handelt oder nicht (mit Begründung)! (3 Punkte) Weiter auf nächster Seite!

11 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 (b) Gegeben ist folgendes Array A[..8] mit Einträgen aus N (ein Eintrag entspricht einem Schlüssel): A: Führen Sie MakeHeap und anschließend zwei Runden von HeapSelect mit einem Min-Heap auf A aus. Zeichnen Sie jeweils den linksvollständigen Binärbaum nach jeder Reparatur eines Teilheaps, d. h. nach der vollständigen Ausführung von BubbleDown, falls diese eine Änderung bewirkt hat! Zeichnen Sie das nach zwei HeapSelect-Runden entstandene Array! (7 Punkte) MakeHeap: HeapSelect (2 Runden): Resultierendes Array:

12 2 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 7 (Tiefensuche und Starke Zusammenhangskomponenten) [6 Punkte] (a) Führen Sie eine volle, globale Tiefensuche auf dem im nachfolgenden Bild angegebenen gerichteten Graphen aus. Knoten sind alphabetisch geordnet (starten Sie also bei A). Ausgehende Kanten eines Knotens sind nach dem Zielknoten geordnet (betrachten Sie also die Kante (A, B) vor der Kante (A, D)). Beschriften Sie jede Kante mit ihrem Typ und jeden Knoten mit dfs-nummer/fin- Nummer. (8 Punkte). /. A B. /.. /. D C. /. E. /.. /. F G. /.. /. H (b) Definieren Sie: Eine starke Zusammenhangskomponente eines gerichteten Graphen G = (V,E) ist Hinweis: Sie dürfen die aus der Vorlesung bekannten Relationen und ohne Erklärung verwenden, wenn es Ihnen nützlich erscheint. (c) Geben Sie die starken Zusammenhangskomponenten für das Beispiel in (a) an. (Sie dürfen das durch Hinschauen lösen.) (d) Die erste Phase des Algorithmus von Kosaraju ist eine Tiefensuche, wie in Aufgabenteil (a). In welcher Weise fließt das Ergebnis dieser Tiefensuche in die zweite Phase des Algorithmus von Kosaraju ein? Wie ergibt sich am Ende des Algorithmus von Kosaraju die Ausgabe? Das heißt: Wie kann man dann die starken Zusammenhangskomponenten ablesen?

13 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 8 (Der Algorithmus von Kruskal) [2 Punkte] (a) Gegeben sei ein zusammenhängender Graph G = (V,E) mit Kantengewichten c : E R + 0. Vervollständigen Sie folgende Definition. (3 Punkte) Ein minimaler Spannbaum von G ist eine Kantenmenge T E mit den Eigenschaften (i) (V,T ) ist (ii) Für alle T E gilt:.. (b) Wir betrachten den Algorithmus von Kruskal, wobei die Union-Find Datenstruktur mit einem wurzelgerichteten Wald implementiert ist. Auf nebenstehendem Graphen hat der Algorithmus gerade die Kante e = {2, 3} mit Gewicht 5 fertig behandelt. Stellen Sie einen möglichen Zustand der Union-Find-Datenstruktur zum aktuellen Zeitpunkt dar (malen Sie also Bäume). (3 Punkte) (c) Betrachten Sie ausgehend von der Situation in (b) die nächsten zwei Runden des Algorithmus. Geben Sie jeweils die behandelte Kante an, sowie alle auf der Union-Find Datenstruktur ausgeführten Anfragen/Operationen inklusive eventueller Parameter und Rückgabewerte (z.b. find(5) liefert 3 ). Falls Sie (b) bearbeitet haben, berücksichtigen Sie den Zustand der Datenstruktur, den Sie dort angegeben haben. (4 Punkte) Nächste Runde: Kante:.. UF-Ops:.. Übernächste Runde: Kante:.. UF-Ops:.. (d) Auf einem zusammenhängenden Graphen mit n Knoten und m Kanten führt der Algorithmus von Kruskal genau.. union-operationen und.. find-operationen aus.

14 4 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 9 (Der Algorithmus von Huffman) [6 Punkte] (a) Gegeben sei folgender Codierungsbaum T für das Alphabet Σ = {a, u, l} und Wahrscheinlichkeitsverteilung p(a) = 0.3, p(u) = 0.5, p(l) = 0.2. T : 0 0 l a u Bestimmen Sie konkrete Ergebnisse in folgenden Teilaufgaben. (3 Punkte) (i) Die Kosten von T bezüglich p sind B(T, p) = (ii) Die Codierung des Wortes aula unter T ist. (iii) Der codierte Text wird unter T decodiert zu. (b) Führen Sie den Algorithmus von Huffman auf folgender Eingabe aus. Notieren Sie in der mit pred bezeichneten Zelle den Vorgängerknoten im Baum. Vermerken Sie weiterhin in der mit mark bezeichneten Zelle, ob der Buchstabe das 0-Kind oder das -Kind seines Vorgängers ist. Sie können diese Markierungen beliebig vergeben (solange ein zulässiger Codierungsbaum herauskommt). (6 Punkte) Lösung: a A B C D E F G p(a) 0,29 0,0 0,07 0,4 0,34 0,03 0,03 a i A B C D E F G i p i 0,29 0,0 0,07 0,4 0,34 0,03 0,03 pred mark i p i pred mark Weiter auf nächster Seite!

15 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS (c) Nehmen Sie an, der Algorithmus von Huffman ist (auf einer anderen Eingabe) in dem unten abgebildeten Zustand angekommen. a i A B C D E i p i 0, 0, 0, 0,5 0,55 0,2 0,25 pred Geben Sie alle Schlüssel-Wert-Paare an, die zu diesem Zeitpunkt in der Priority Queue gespeichert sind! Geben Sie alle PQ-Operationen an, die in der nächsten Runde ausgeführt werden, inklusive eventueller Parameter und Rückgabewerte als Schlüssel-Wert-Paare. (4 Punkte) In Priority Queue:.. Nächste Runde: j j-te Priority Queue-Operation (mit Parameter / Rückgabewert) (d) Nehmen Sie an, die im Algorithmus von Huffman eingesetzte Priority Queue wird als Binärheap realisiert. Welche Laufzeit (in O-Notation) hat der Algorithmus von Huffman, wenn das Eingabealphabet n Buchstaben enthält? Begründen Sie Ihre Antwort kurz! (3 Punkte) Laufzeit:.. Begründung:

16 6 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 207 Aufgabe 0 (Dynamische Programmierung) [7 Punkte] (a) Gegeben sei der rechts stehende, gerichtete und gewichtete Graph. Tragen Sie in die links stehende Matrix die zugehörige Ausgabe des Floyd-Warshall-Algorithmus ein. (3 Punkte) S = (b) Gegeben sei ein gerichteter, gewichteter Graph G = (V, E, c) mit V = n und E = m. Definieren Sie die im Algorithmus von Floyd-Warshall betrachteten Teilprobleme S(v, w, k) mit v, w n und 0 k n. (c) Geben Sie die Bellman sche Optimalitätsgleichung zur Berechnung von S(v,w,k) an! (Zu den Basisfällen müssen Sie nichts schreiben.) Optimalitätsgleichung: Für v,w n und 0 < k n gilt: S(v,w,k) =. Weiter auf nächster Seite!

17 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS (d) Auch zur Berechnung der Editierdistanz zweier Strings x[...m] und y[...n] über einem Alphabet Σ ist dynamische Programmierung ein hilfreicher Ansatz. Als Teilprobleme werden die Werte E(i, j) für 0 i m und 0 j n berechnet, hierbei ist E(i, j) definiert als Die Bellman sche Optimalitätsgleichung für i m, j n lautet E(i, j) = Hinweis: Verwenden Sie die Notation diff(a,b) aus der Vorlesung. Für a,b Σ ist diff(a,b) = für a b und diff(a,b) = 0 für a = b. (e) Berechnen Sie die Editierdistanz der Strings x = MOND und y = SONNE, indem Sie folgende Tabelle nach dem Vorbild der Vorlesung ausfüllen. E S O N N E M O 2 N 3 D 4 Die Editierdistanz von MOND und SONNE beträgt also ( Punkt) Viel Erfolg!