Theoretische Physik 2

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1 Theoretische Physik 9. März 04 Inhaltsverzeichnis

2 Theoretische Physik Die Vorlesungs- und Übungsunterlagen sind im JKU-Moodle: jku0/course/view.php?id=36 Quanten-Theorie Warum Quantentheorie?.0 Ein paar allgemeine Bemerkungen Unser bescheidenes Ziel in der Physik: die unbelebte Natur alles zu beschreiben / verstehen / erklären. Die Weltformel. Wir verwenden Modelle: reduzieren die Welt auf die die relevanten Teilaspekte für ein gegebenes Problem. Beispiele: Das Pferd ist eine Kugel spherical cow Wasserstoff H -Molekül p + +e Vereinfachung: p festgenagelt, weil m p >> m e und wir die beiden e beschreiben wollen. Experimente, z.b. Molkül äußeren Kräften aussetzen, z.b. E, B, g, Beschuss mit anderen Teilchen.. Klassische Mechanik.. Newton.. Hamilton Statt r i wird p i beschrieben: Geschwindigkeit konjugierte Impulse. Statt 3N Differentialgleichungen. Ordnung nun 6N Differentialgleichungen. Ordnung. q i = H p i ṗ i = H q i Am Beispiel obigen Wasserstoffmoleküls ist die Hamiltonfunktion zur Beschreibung der Bewegung der Elektronen H e = p m e + p m e + e e 4πε 0 r r 4πε r 0 R 4πε r 0 R e e 4πε r 0 R 4πε r 0 R +m e g z + m e g z + eu r + eu r = T +V H +V extern = T +V intern +V extern..3 Lagrange Ausgangspunkt ist das Extremalprinzip S minimal eigentlich nur: stationär für S = δs = 0 t t Ltdt e In obigem Beispiel: m e r = F Coulomb F = m a = p = F e,e + F e,p + F e,p + m e g + e E r m e r =... analog Allgemein: 3N gewöhnliche gekoppelte Differentialgleichungen. Ordnung. What to forget... das Konzept der Bahn Statt Bahnen r t, r t verwendet die Quantenphysik das Betragsquadrat ψ r, r,t der Wellenfunktion ψ Feldbeschreibung. Interpretation: ψ r, r,t d 3 r d 3 r = dw ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, zum Zeitpunkt t das erste e innerhalb d 3 r und das m i r i = j F i j + F ext i Tipp für die Klausur: Es gibt Fragen, typischerweise in der Form mit welcher Wahrscheinlichkeit finden Sie...

3 Theoretische Physik zweite innerhalb d 3 r zu finden. Dabei sind r und r beliebige Orte im Raum oder wo immer wir sind. Aber in der Spache ist man bisweilen schlampig und spricht von Orten der Teilchen. Beispiel: Aufenthalt im Hörsaal. Drei Personen: Helga Böhm, Klara Höfler, Lukas Rachbauer ψ rhelga, r Klara, r Lukas Das ikonische Orbitalbild des Atoms gilt und seiner Koordinatendarstellung bezüglich einer gegebenen Basis. Die Funktion ψx,t ist also eine spezifische Darstellung. Eine andere wäre z.b.: in Kugelkoordinaten, wenigstens in R 3. Road map: Ziel: Warum? Experimente zwingen uns zum Umdenken: Hohlraumstrahlung Photoeffekt H-Spektrum Hier betrachten wir Experimente mit linear polarisierten Photonen. So haben wir statt ψx,t mit x R und unendlich vielen verschiedenen Möglichkeiten nur zwei Möglichkeiten: Abbildung : Die klassische Vorstellung, wie ein Atom aussieht, hat ausgedient. An ihre Stelle tritt etwas, dessen Eigenschaften statistischer Beschreibung zugänglich sind vertikal horizontal... oder anderntags nicht, besser ist es, sich eine Ladungswolke vorzustellen, siehe Abbildung??. Unabhängige Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass ψ in ein Produkt zerfällt: ψ r, r, r 3 = ψ r ψ r ψ 3 r 3 Beispiel: Objekt, nur -dimensional, wird charakterisiert durch Schrödinger Wellenfunktion wave function ψx,t mit Interpretation ψx,t dx = dw ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t im Intervall [x,x + dx[ befindet. Noch ohne Beweis: die Schrödingergleichung ħ ψ i t = Ĥψ In Diracs bra-ket Schreibweise wird ψ geschrieben als ket-vektor ψ, d.h. als Zustand. Das innere Produkt sieht dann so aus: u v. Die Beziehung zwischen ψ und ψx,t ist analog zu der zwischen einem Vektor v Helga lässt den Vektorpfeil über r im Maß der Integrale gern weg und schreibt d 3 r i. Ich nicht, denn allgemein heißt es für ein Maß µ ja dµ r..3 Experimente mit Licht.3. Licht klassisch Wird beschrieben durch Felder E, B, die Maxwell-Gleichungen gelten, und im Vakuum: ρ = 0, j = 0... freie elektromagnetische Wellen. c t E = 0 } {{ } und analog für B. Lösungen sind: Dabei gilt E = E 0 e i k r ωt B = B 0 e i k r ωt cb 0 = E 0 ω = ck = πν k = π λ und die Vektoren E 0, B 0, k bilden ein rechtssinniges Dreibein. Die Amplitude ist E 0 = E 0 und die Intensität I 0 = E H E 0.

4 Theoretische Physik Mit der überaus nützlichen Formel e iα = cosα + i sinα können E-Felder statt in cos und sin geschrieben werden als E 0 coskz ωt = E 0 e i kz ωt i + e kz ωt E 0 sinkz ωt = E i 0 e i kz ωt i e kz ωt Es folgt dazu eine kleine Übung und Wiederholung der Polarisation, ausgehend von E und E, siehe auch Abbildung??: E = A 0 e x coskz ωt E = A 0 e y coskz ωt E + = E + E... linear polarisiert 45 E 3 = A 0 e y sinkz ωt E +3 = E + E 3... rechtshändig zirkular E 3 = E E 3... linkshändig zirkular E +3 = A 0 ex coskz ωt e y sinkz ωt = A 0 e xe i kz ωt + e x e i kz ωt = = = i e ye i kz ωt e y e i kz ωt A 0 e x e i kz ωt + e x e i kz ωt +i e y e i kz ωt e y e i kz ωt A 0 e x + i e y e i kz ωt A 0 = A 0 i + e x i e y e kz ωt e x + i e y e i kz ωt i + e x i e y e kz ωt e + e i kz ωt i + e e kz ωt also ein hübscher Ausdruck nach Wechsel von der Basis { e x, e y } zur Basis { e+, e } von C mit e + = e = ex + i e y e = e = ex i e y Die Energie eines elektromagnetischen Feldes ist klassisch = E D + H Bd 3 r R 3 = R 3 ε 0 E + µ 0 B d 3 r E 0 Probiere dynamische Visualisierung. Es ist unabhängig von ω..3. Photoeffekt Abbildung : Je nach Phasenverschiebung erzeugt Überlagerung von horizontal und vertikal linear polarisiertem Licht linear polarisiertes links oder zirkular polarisiertes rechts. Licht benimmt sich bisweilen wie Billard- Kugeln... Stoß zweier Objekte mit Energieund Impulserhaltung. Ich würde das eher über den Comptoneffekt sagen. Visualisierungs-Applet: PhET Photoelectric Effect Licht löst aus der Anode Elektronen. Ihre Energie kann aus der angelegten Gegen- Spannung U 0 geschlossen werden, ab der keine mehr auf die Kathode gelangen. 3

5 Theoretische Physik Lineare Regression des Zusammenhangs zwischen U 0 und ω ergibt eine Steigung. Aus ihr und der Elementarladung e ergibt sich das Wirkungsquantum beziehungsweise h = πħ 6, J s Der Schwellwert Austrittsarbeit von ω, unterhalb dessen selbst bei U = 0V keine Elektronen austreten, ist materialabhängig. Modell: Monochromatisches Licht mit Frequenz f hat Energie ħω = h f. Ein Photon ist eine Elementaranregung von Licht mit Frequenz ν = ω und Energie = ħω. π Photon = ħω = Austrittsarbeit + kin des e kin des e = ħω Austrittsarbeit = hν Austrittsarbeit Dass kurzwelliges Licht Effekte auslöst, die längerwelliges nicht schafft, entspricht auch der Erfahrung: Sonnenbrand: Ultraviolettes Licht kann ihn auslösen, infarrotes nicht. Farbsehen: verschiedene ω lösen verschiedene Reaktionen in der Netzhaut des Auges aus..3.3 Polarisationsfilter Experiment: Lampe Polarisationsfilter P a linear polarisiert. Mit λ/4-plättchen unter 45 ergibt sich aus linear polarisiertem Licht zirkular polarisiertes. Hinter P a ein zweiter Polarisationsfilter P b führt zu Intensität I = I cos a, b. Die Winkelfrequenz ω bleibt unverändert. 3 Zustand a bedeutet: Licht ist in Richtung a polarisiert. 4 Ein vorgegebener Photonenstrahl im Zustand a passiert den Polarisationsfilter P a ungeschwächt. 3 Quantenphysikerinnen sprechen etwas schlampig für ω auch nur von Frequenz. 4 Helga schreibt keinen Vektorpfeil über dem Variablennamen im Ket und dann auch nicht im Projektionsoperator ˆP a = a a. Hinter dem Filter P b hat das Licht eine schwächere Intensität I = I cosα. Modellvorstellung: Was passiert einem einzelnen Photon: Wird es manchmal absorbiert und manchmal durchgelassen. Oder geteilt? Single-Photon-Experiment: Detektor Photomultiplier mit Photoeffekt belegt, dass das Photon vor dem Polfilter so aussieht wie das nachher. Nur kommt nachher weniger oft ein Photon vorbei. Das legt die Interpretation nahe: Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durchdringt ist # # = I I = cos α Eigenschaften des Photons: ω, λ, Polarisation. Ich frage mich: wie steht es mit Ort und Ausbreitungsrichtung?.3.4 Toolkit Ein Zustand ist ein Vektor a = c horizontal horizontal +c vertikal vertikal horizontal = horizontal + 0 vertikal vertikal = 0 horizontal + vertikal Kürzer schreibt sich das als a = a h h + a v v h = h + 0 v v = 0 h + v Oder in der Basis { +, } a = a a Die Koordinatendarstellungen von a lassen sich als Vektoren in R schreiben: ax a+, a y a Definition: Bra-Vaktor a ist der duale Vektor zu a. 5 Der duale Vektor a hat die Koordinaten a a h v. Dabei bedeutet z die zu z komplex konjugierte Zahl. 5 Im Fall eines Hilbertraums kann der duale Raum aber mit dem Raum selbst identifiziert werden. 4

6 Theoretische Physik Beispiel: e + = e h + i e v... + = h + i v + = h i v i e = e h i e v... + = h i v + = h + i v i daher insbesondere ψ ψ R und positiv definit, das heißt ψ ψ 0 ψ ψ = 0 ψ = 0 Zustände sind ohnehin normierte Vektoren, also = ψ ψ = c c c h h v = c c h c h + cv c v v = c h + c v.3.5 Projektoren =Projektionsoperatoren Wir verwenden den Formalismus: horizontal polarisiert h = entspricht. 0 vertikal polarisiert v = entspricht 0. rechts zirkular polarisiert + = entspricht. i links zirkular polarisiert = entspricht. i Die Basen { h, v} und { +, } können leicht in einander umgerechnet werden, indem die Basisvektoren der einen Basis als Linearkombinationen in der anderen dargestellt werden. Wir erhalten eine Theorie, wo mit Zuständen auch ihre Superposition erlaubt ist. Als Zustände bezeichnen wir normierte Vektoren ψ Ket-psi in einem komplexen Vektorraum, ψ = ch h + c v v... ch c v Mit ψ Bra-psi wird der zu ψ duale Vektor bezeichnet, er hat die Koordinatendarstelltung c c h v. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist komplex symmetrisch ϕ ψ = ψ ϕ Wie stellen wir einen Polarisationsfilter P a dar? Durch einen Projektionsoperator ˆP a. Er soll den Zustand a ungeschwächt durchlassen. Daher ˆP a a = a Der Operator ˆP a = a a leistet genau das Richtige: ˆP a a = a a a = a ˆP a a = a a a = a0 = 0 für Vektoren a a. Beispiel: für vertikale Polarisation: 0 0 ˆP v = v v ˆP v h ˆP v v = 0 = 0 Zitat Havlicek: Willst die Matrix du erhalten, schreib die Bilder in die Spalten! Nämlich die Bilder der Basisvektoren. Beispiel: Was tut ˆV = h v? ˆV h = 0 ˆV v = h v v = h ˆV annulliert den Vektor h und klappt v in h um. In der Matrixdarstellung ergibt das

7 Theoretische Physik Die Diagonalelemente der Matrix entsprechen den Koeffizienten, wie oft h h, beziehungsweise v v in V enthalten sind nämlich gar nicht, und die Offdiagonalelemente den Koeffizienten, wie oft h v, beziehungsweise v h in V enthalten sind nämlich nur der erste, und zwar einmal. Für einen allgemeineren Operator der Gestalt Ô = a b ergibt sich eine Matrix O = a b a b a b a b genannt dyadisches Produkt. Beispiel: Zwei Polarisationsfilter in Serie: P a und P b. Sie entsprechen Operatoren , ψ> a> b> Abbildung 3: Licht durchläuft von links kommend zwei Polarisationsfilter in Serie. P a... ˆP a = a a P b... ˆP b = b b Abbildung?? zeigt den Weg eines Photons. Bevor es den ersten Polarisationsfilter P a trifft, hat das Photon eine unbekannte Polatisation ψ, nachher unter der Annahme, dass es durchkommt Polarisation a, und nach P b den Zustand b. Der Intensitätsverlust durch P b ist wegen ˆP b a = b b a = b b a cos a, b = bcos a, b ein Faktor b a. Postulat: Das Photon kommt mit Wahrscheinlichkeit W durch ˆP b, andernfalls wird es absorbiert. Ist das Photon vor P b im Zustand a, so ist die Wahrscheinlichkeit W = b a Gleichsam ist b die Frage nach dem Zustand: Ist das Photon in Richtung b polarisiert? Für die Intensitäten ergibt sich: W = #hinter P b #vor P b = b a = cos = I hinter P b I vor P b a, b Für drei Polarisationsfilter P v, P c, P h in Serie ergbt sich ˆP v = v v ˆP c = c c ˆP h = h h Die Gesamtapparatur entspricht dem Produkt ˆP h ˆP c ˆP v in umgekehrter Richtung im Vergleich zum Weg des Photons. Es ist also gewissermaßen arabisch 6 von rechts nach links zu lesen. Dabei stellt ˆP v die Polarisation v sicher. Die Wahrscheinlichkeiten dann durchzukommen, sind c v... W., durch P c zu kommen h c... W., durch P h zu kommen h c c v... W., durch beide zu kommen Die Abfolge P c und P h, entspricht dem Operator Ô = ˆP h ˆP c = h h c c und für ein einfallendes vertikal polarisiertes Photon Zustand v ist der resultierende Zustand φ = Ô v = h h c c v dennoch sicher horizontal, das heißt die Wahrscheinlichkeiten, vertikal bzw. horizontal polarisiert zu sein sind W v = v φ = v h h c c v = 0 W h = h φ = } h h h c c v {{ }} {{ } = h c c v 6 Chinesisch hingegen wird modern von links nach rechts geschrieben, historisch von oben nach unten. C 6

8 Theoretische Physik Das allgemein anwendbare Rechenschema ist hier: W h = h }{{} φ }{{} wonach ich frage Zustand des Objekts Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von W h ist folgende: Wird eine große Anzahl N Anfangszustände vorbereitet und jedes Mal dasselbe Experiment durchgeführt, kommt ungefähr W h N mal das Ergebnis, dass ein horizontal polarisiertes Photon gemessen wird. Die anderen Male wird das Photon in den aneinandergereihten Polarisationsfiltern P c und P h absorbiert..4 Welle-Teilchen-Dualismus Un photon unique: d Einstein à Wheeler... TODO iopscience.iop.org o.s. Moodle: Moodle: Paper mit JKU-Beteiligung GaAS... : einzelne Photonen..4. Existieren einzelne Photonen? Problem: E = ħω, ein Photon 7 hat sehr wenig Energie. Der Detektor kann nur schwer zwischen einem Photon und zwei Photonen unterscheiden. Das Experiment in Abbildung?? lange Zeit nur Gedankenexperiment, inzwischen 980 realisiert belegt Teilchenverhalten von Photonen, siehe Auletta S.9: TODO: Literature A beam splitter to discriminate between a particle-like and a wave-like behaviour AA, Philippe Grangier, 985. Beam-Splitter, D, D, D C Experiment. Hanbury Brown Twiss setup Paper auf Ein Photon trifft einen 50:50-Beamsplitter. An jedem Pfad ist ein Detektor D, D und am Ende ein Koinzidenz-Detektor D C, der erkennt, ob zwei Photonen fast gleichzeitig eintreffen. steht 7 gemeint ist eines, wie es im Labor zur Verfügung D D D C Abbildung 4: Ein einzelnes Photon nimmt laut Detektoren D und D entweder den oberen oder den unteren Weg, laut D C nicht gleichzeitig beide. Dem Strahlteiler entspricht ein Operator 8 Ô Beamsplitter = i i Das Experiment erzeugt zwei orthogonale Zustände 9 : upper path... u = 0 0 lower path... d = Die Zählraten N t von D und N t von D werden gemessen, und aus den zeitlichen Mittelwerten... die Funktion f τ = N t N t + τ N t N t berechnet. Dabei bedeutet +τ eine zeitliche Verschiebung der Messwerte des einen Kanals. Ein Minimum 0 für τ = 0 Antibunching belegt, dass ausschließlich entweder D oder D ein Photon misst, dass jedes Photon also ungeteilt genau einen der beiden Wege nimmt, also das Photon entweder im Zustand u oder d ist. Das Experiment zeigt tatsächlich ein Minimum bei τ = 0, was ungeteilte Photonen belegt. TODO: wieso einzelne und nicht Paare? TO- DO: Verweis auf Rastelli-Paper. Wir haben also Quellen für einzelne Photonen. Ein einzelnes Photon verhält sich hier wie ein Punkt. Eine andere Sichtweise ist die von monochromatischem Licht, gedacht als eine Frequenz und ein Impuls und eine Energie. 8 Kraft des Isomorphismus zwischen Vektoren und ihren Koordinatendarstellungen identifiziert Helga den Operator mit seiner Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis. 9 Kraft des in Fußnote?? angesprochenen Isomorphismus identifiziere ich die Vektoren mit ihren Koordinatenvektoren bezüglich der kanonischen Basis. 7

9 Theoretische Physik Bisweilen taucht daher die Frage auf: Wie lang ist ein Photon? Die Antwort ist: Das ist die Quantenmechanik: Ich kann manche Fragen nicht mehr so stellen, wie ich es aus der klassischen Physik gewöhnt bin. Und wozu brauche ich einzelne Photonen? Für die Quantenkryptographie, quantum key distribution QKD. Das ist, woher das Geld kommt. +π D π D.4. Interferenz Was ist Interferenz? Überlagerung von Wellen. Zum Beispiel: An zwei Stellen in Wasseroberfläche tippen. Oder die Muster, wenn ich einen Stein in Wasser werfe Interferenz- Muster. Überlagerung bedeutet die Addition von Amplituden 0, nicht Intensitäten. Als Konsequenz daraus gibt es konstruktive und destruktive Interferenz. Letztere führt zu ungewohnten Erscheinungen: hell+hell=dunkel laut+laut=leise Teilchen+Teilchen=nichts Interferometrie bedeutet: Interferenzmuster ansehen und aus ihrer Änderung Rückschlüsse auf Wellenlänge, Phasenbeziehungen, Gangunterschiede ziehen. Interferometer ist der zugehörige Apparat. Beim Mach-Zehnder Interferometer, siehe Abbildung??, teilt ein erster Strahlteilder Photonen auf einen oberen oder unteren möglichen Weg. An den Spiegeln und in den Strahlteilern bei Reflexion am Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium wird die Auslenkung des E-Felds invertiert, was einer Phasenverschiebung um π entspricht. Bei Reflexion am Übergang von optisch dichterem zum optisch dünneren Medium tritt kein solcher Phasensprung auf. Auf dem unteren Weg zu D ist die Phasendrehung insgesamt π, auf dem oberen π. 0 Ich hinggen würde sagen, Feldern, also zum Beispiel vektoriellen E-Feldern +π +0 +π Abbildung 5: Mach-Zehnde-Interferometer: Photonen treffen auf 45 -Strahlteiler der Einfachheit halber sei das Teilungsverhältnis 50:50. Jeder Teilstrahl wird von einem Spiegel 90 abgelenkt auf einen zweiten 45 - Strahlteiler. Detektoren D und D messen die Ergebnisse der Interferenz. Auf dem unteren Weg zu D ist die Phasendrehung insgesamt π, auf dem oberen ebenso. Zu erwarten ist daher bei D auslöschende und bei D verstärkende Interferenz. Und merkwürdigerweise kommt selbst dann bei D nichts an, wenn von der Lichtquelle nur einzelne Photonen ausgesandt werden. Es stellt sich die Frage: Was interferiert eigentlich? Nur ein Photon mit sich selbst? Wird in einen der beiden Wege noch zusätzlich eine variable Phasenverschiebung ϕ eingebaut, wechseln je nach ϕ die auslöschende und verstärkende Interferenz zwischen D und D hin und her, wie es für interferierende Wellen zu erwarten ist. Wir haben also zwei einander scheinbar widersprechende Experimente: Erstes belegt: Photon geht nur einen Weg. Zweites belegt: Photon geht beide Wege, um zu interferieren. Den Weg aus dem Dilemma weist das Bohrsche Komplementaritäts-Prinzip: Es gibt Eigenschaften, die ich klassisch als kompatibel empfinde, die einander aber im Quantenzustand ausschließen. Welchen Weg nimmmt das Photon Interferenz 8

10 Theoretische Physik Literatur Ort Impuls Bei der Quantenhantel entlang y-achse: Drehimpulse: L x L z Das Objekt hat die Eigenschaften dann sowohl als auch oder weder noch, weshalb man es auch wavicle nennt. In diesem Sinn: which path entspricht 00% Teilchenverhalten. interferenz entspricht 00% Wellenverhalten. Zwischenzustände sind möglich..4.3 Weitere Interferenzexperimente Beugung/Interferenz an Kante, Einzelspalt, Doppelspalt 97 Davisson, Germer: Elektronen an Nickel-Einkristall. 930: Beugung von Protonen, He, H. 940: Neutronenoptik. 959: Elektronen am Doppelspalt. Beim Einzelspalt zeigen sich die Welleneigenschaften. Aber erst beim Doppelspalt tritt das which path -Paradxon auf. Sobald ich nachsehe, durch welchen Spalt das Teilchen geht, verschwindet das Interferenzmuster. Also: which path XOR interferenz..4.4 Compton-Effekt In diesem Experiment sind beide Bilder Welle, Teilchen involviert. Ein Elektron im Festkörper hat Bindungsenergie von etwa 0 ev 0 ev, kann daher gegenüber Röntgenlicht 500keV als frei behandelt werden. Im klassischen Bild fällt ein E-Feld fällt auf den Festkörper und rüttelt und schüttelt an den Elektronen, die angeregt mitschwingen. Das Experiment zeigt aber: je nach Richtung, in der der Detektor die abgestrahlten Photonen misst, hat das gemessene Licht unterschiedliche Frequenz. Das Erklärungsmodell ist ein elastischer Stoß, das heißt Gesamtenergie und Gesamtimpuls bleiben erhalten. Tabelle?? fasst die Situation Stoß Photon Elektron vor Impuls p l 0 Energie cp l m 0 c nach Impuls p l p e Energie cp l m0 c4 + c pe Tabelle : Comptoneffekt: Impuls und Energie vor und nach dem Stoß. vor und nach dem Stoß zusammen. Mit dem Winkel ϑ = p l, p l ergibt sich aus Impuls- und Energieerhaltung cosϑ = m 0 c p l p l also vermöge p l = h λ, also vermöge p l = h λ cosϑ = m 0e h λ l λ l 988 Zeilinger: Doppelspalt mit Neutronen. 988 Gruppe Zeilinger: Fullerene am Doppelspalt. Sind Beugungsexperiment mit Personen denkbar? Naja, man bräuchte sehr viele idente. Literatur [] Gennaro Auletta, Mauro Fortunato, Giorgio Parisi: Quantum Mechanics, aleph.jku.at, Cambridge University Press, 04. 9

11 Theoretische Physik Literatur [] Philippe Grangier: Back to the beginning : Einstein s 905 and 909 articles, Séminaire Poincaré, Vol.,, 005, pdf, download [3] P. Grangier, G. Roger, A. Aspect: Experimental Evidence for a Photon Anticorrelation Effect on a Beam Splitter: A New Light on Single-Photon Interferences., Europhysics Letters, Vol. 4, 73 79, 986, iopscience.iop.org, download