Algorithmus der Vektoriteration

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1 TU Ilmenau Institut für Mathematik FG Numerische Mathematik und Informationsverarbeitung PD Dr. W. Neundorf Datei: pb ewp.tex Praktikumsbeispiele zum Lehrgebiet WR II, Numerische Mathematik und CAS Serie EWP Eigenwertproblem ) Allgemeines EWP Sei A eine reelle oder komplexe n n)-matrix, A = An, n) = a ij ). λ C heißt Eigenwert EW) oder charakteristischer Wert von A, falls ein Vektor x C n, x 0, existiert, so dass gilt Ax = λx x heißt zugehöriger) Eigenvektor EV), Rechts-EV oder Eigenlösung. Zuweilen wird auch das Links-EWP y T A = λy T, y 0, betrachtet. y ist Links-EV genau dann, wenn y EV von A T ist. Ein EV ist bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig definiert. ) Lineares oder klassisches EWP Ax = λx mit A R n,n, λ C, x C n, x 0. Algorithmus der Vektoriteration Die Vektoriteration beinhaltet die iterative Bestimmung des einfachen betragsgrößten EW und zugehörigen EV. Das Verfahren findet man auch unter den Bezeichnungen - einfache Vektoriteration, - Potenzmethode, - Matrixpotenzierung, - von Mises-Verfahren. Vorteile: - einfache Darstellung, - die Grundoperation ist die Matrix-Vektor-Multiplikation, - Erhalt der Ausgangsmatrix, - mögliche Konvergenzbeschleunigung, z. B. mittels Rayleigh-Quotienten, - Ausnutzung spezieller Matrixstrukturen. Nachteile: - es wird nur ein Paar von EW, EV bestimmt, - eventuell langsame Konvergenz, - Notwendigkeit einer Skalierung von Größen. Basisalgorithmus der Vektoriteration Satz Für die reelle Matrix An, n) mögen die folgenden Voraussetzungen gelten. ) Sei λ > λ λ 3... λ n, d.h. die Matrix A hat einen dominanten EW. ) Die entsprechenden EV x, x,...,x n, x i = x i, x i,..., x in ) T R n sind linear unabhängig. A ist somit diagonalisierbar. 3) Ein Startvektor y 0) habe eine Komponente in Richtung von x, d.h. y 0) = n c i x i, c 0. i=

2 Dann liefert die Vektoriteration y m+) = Ay m), m = 0,,,..., den EW λ und seinen zugehörigen EV x. Der Beweis für diesen Satz findet sich in der Darlegung des Algorithmus mit seinen Eigenschaften wieder. Beschreibung des Verfahrens y m+) = Ay m) = A m+ y 0), m = 0,,,..., n ) y m) = A m y 0) = A m c i x i i= = λ m [c x + n A m y 0) c λ m = x + n i= i= = n c i λ m i x i i= c i λi λ ) mxi ], c i c λi λ ) mxi. Für eine k-te Komponente der Vektoren y m), y m+) gilt y m+) k y m) k = λ c x k + c x k λ λ ) m cn x nk λn λ ) m+ c x k + c x k λ λ ) m cn x nk λn λ ) m mit c 0 und x k 0 wegen x 0. Weiterhin erhält man auf Grund der Voraussetzung λ i /λ <, i =, 3,..., n, die Beziehungen λ = lim m λ = lim m y m+) k y m), k y m+) y m) A m y 0) x = lim m c λ m Ay m) = lim m y m), = lim m y m) c λ m. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt wesentlich vom Verhältnis des betragsgrößten EW zum zweiten EW λ ab, denn λ = ym+) k y m) k λ m) + O λ mit λ /λ m als Konvergenzrate. Der iterierte Vektor wird im Grenzfall zum EV und der Betrag von λ bedeutet die Streckung des EV durch die Matrix A. Die Realisierung der Iteration y m+) = Ay m) kann zu betragsgroßen Vektorkomponenten führen. Da jedoch für λ nur das Verhältnis Ay m) / y m) aufeinander folgender Iterierter wichtig ist und die EV bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt sind, verwendet man praktisch noch eine Normierungsgröße. Wäre nämlich y m) =, so ist λ Ay m) = y m+). Also dividiert man nach jeder Iteration den Vektor durch seine Norm, die sowieso berechnet wird. Das Vorzeichen von λ erhalten wir aus dem Vergleich von geeigneten Komponenten der Vektoren y m), y m+). In der folgenden Prozedur sowie in den meisten Beispielen wird die euklidische Vektornorm verwendet. Analyse des Aufwands Pro Iterationsschritt sind etwa n + n Multiplikationen/Divisionen für yn = Ay, yn nötig. Für großes n und moderate Anzahl von Iterationen ist die Rechenzeit proportional zu n.

3 Inverse Vektoriteration Sei A regulär. Die Berechnung des betragskleinsten EW und zugehörigen EV erfolgt gemäß y m+) = A y m), m = 0,,..., y 0) Startvektor. Dabei tritt die Lösung des LGS Ay m+) = y m) auf, die i. Allg. auf die Verwendung einer Faktorisierung von A zurückgreift. Es gilt λ min y m+) = lim m y m). Das Vorzeichen von λ min folgt wiederum aus dem Komponentenvergleich. Turbo Pascal Prozedur type float=extended; const nmax = 30; type vektor =array[..nmax] of float; matrix =array[..nmax] of vektor; procedure EWP_EVIn:integer; var a:matrix; var y0,eiv:vektor; var eiw:float; itermax:integer; eps:float; var iter:integer; var eiw_abw:float); { A.. xm+) = A*xm).. ew := xm+) / xm) y0 Startvektor eiv EV oder letzter Vektor eiw EW oder letzter Wert itermax maximale Iterationsanzahl eps Test auf Abbruch der Iteration iter benoetigte Iterationsanzahl eiw_abw eiwiter)-eiwiter-) < eps } var it,i,j:integer; l,c,s,ha,eiw_alt,eiw_neu:float; y,yn:vektor; log:boolean; begin {Skalierung auf y =, euklidische Norm} c:=0; for i:= to n do c:=c+sqry0[i]); c:=sqrtc); if c=0 then begin iter:=0; eiv:=y0; eiw:=0; eiw_abw:=0; exit; end; for i:= to n do y[i]:=y0[i]/c; it:=0; eiw_alt:=0; ha:=eps+; while it<itermax) and ha>eps) do begin it:=it+; c:=0; for i:= to n do begin s:=0; for j:= to n do s:=s+a[i,j]*y[j]; yn[i]:=s; c:=sqrs)+c; end; c:=sqrtc); eiw_neu:=c; ha:=abseiw_neu-eiw_alt); {Skalierung auf y =} if c=0 then begin iter:=itermax; eiv:=yn; eiw:=0; eiw_abw:=ha; end else begin for i:= to n do y[i]:=yn[i]/c; eiw_alt:=eiw_neu; end; end; iter:=it; eiw_abw:=ha; eiv:=y; {Vorzeichen des EW feststellen} l:=; log:=true; i:=0; while log do begin i:=i+; s:=0; for j:= to n do s:=s+a[i,j]*y[j]; s:=y[i]*s; if s<>0 then begin l:=signs); log:=false; end; end; eiw:=l*eiw_neu; end; 3

4 Beispiele 4. Hilbert-Matrix A = A T, a ij =, i, j =,,..., n. i + j Die Kondition von A verschlechtert sich mit wachsendem n. EW: λ > λ >... > λ n > 0, λ n 0 EW von A6, 6): E-6, E-4, E-3, E-, , Boothroyd-Dekker-Matrix a ij = n i + j n + i i ) n n j ) N, i, j =,,..., n EW von A6, 6): E-3, E-, , , , A6, 6) = 3. Wilkinson-Matrix A4, 4) = A =.3, A =.5 0 6, λ i = a ii, i =,, 3, 4 4. Matrix mit Blockstruktur A B A4, 4) = C A ), A 7, 7), B7, 7), C7, 7) A = ã ij ), B = b ij ), b ij = ã 8 i,j A = , C = EW: , , , , , , , , ± i, , , ,

5 5. Matrix A4, 4) = Um zehn gültige Mantissenstellen der EW zu erhalten, muss man mit einem GP-Format rechnen, dass ca. 3 Dezimalstellen erfasst. EW: E9, E3, E-3, E-3 6. )-Matrizen A =.0000 ), B =.0000 ) EW: λ, A) = ) ± = , λ, B) = n n)-matrizen A = ± ) 0 5 = , E = tridiag,, ) EW: λ i = cosih) = 4 sin ih/), i =,,..., n, h = π/n + ) EV: v i) = v i) A =, vi),..., vi) n ) T, v i) = sinijh) j = tridiag, 0, ) EW: λ i = cosih), i =,,..., n, h = π/n + ) EV: v i) = v i), vi),..., vi) n ) T, v i) = sinijh) j 8. Tridiagonalmatrix b c a b c 0 0 An, n) = 0 a b = tridiaga, b, c) mit a, c 0, b a + c b c a b EW: λ i = { b, falls a c = 0, b + c a/c cosiπ/n + )), falls a c > 0, i =,,..., n

6 9. Parameterabhängige Matrix α α A = α α, α R, σa) = { α, α, + α} α α 6 0. Parameterabhängige Matrix + α cos/α) α sin/α) Aα) = α sin/α) α cos/α) ), α R, α 0 EW/EV: λ = + α, v = λ = α, v =. Schlecht konditionierte Matrix ) A = B = A T A = deta) = 0 6,, cos/α) sin/α) sin/α) ) T + cos/α), ) T ), C = AA T = σa) = { , E-7} detb) = detc) = 0, σb) = σc) = {.93 9, E-3}. Parameterabhängige Matrix + α... + α... An, n) = + α......, α R... + α λ = α ist n )-facher EW, ranga αi) = bzw. Rangabfall von A αi ist n. Weiter ist λ = n + α einfacher EW, weil deta n + α)i) = 0 ist oder anders gesagt, weil die Summe aller Zeilen wie auch Spalten) der Matrix A n + α)i den Nullvektor ergibt. Spezialfälle sind α =, 0,. 3. Matrix An, n) = , a ij = i + j λ = 0 ist n )-facher EW, weil ranga) = ist. Die zwei Nichtnull-EW sind Lösung einer quadratischen Gleichung. n = 3 : p 3 λ) = λλ λ 6), λ = 0, λ,3 = 6 ± 4 = 6 ± n = 4 : p 4 λ) = λ λ 0λ 0), λ, = 0, λ 3,4 = 0 ± 0 = 0 ± n = 0 : p 0 λ) = λ 8 λ 0λ 85), λ,,...,8 = 0, λ 9,0 = 55 ± 5 54 = 55 ± )

7 4. Matrix An, n) = , a ij = mini, j) 7 n = 3 : λ = , λ = , λ 3 = n = 4 : λ = , λ = , λ 3 =, λ 4 = Matrix An, n) = / /4 /8... / /4 /8 /6... /4 /8 /6 /3... /8 /6 /3 / , a ij = i+j λ = 0 ist n )-facher EW, weil ranga) = ist, also λ,,...,n = 0. Der Nichtnull-EW kann explizit berechnet werden gemäß der Formel λ n = n + ) n n p n ), wobei p n x) = { für n = x n +x n 3 x n 4 +x n ) n x+ ) n+ für n 6. Matrix An, n) = n = 3 : λ, = ± 3, λ 3 = n = 4 : λ, = ±, λ 3,4 = ± 0 7. Wilkinson-Matrix, a ij = i j A, ) = A T = tridiag0, 9,...,, 0,,,...,0;,,...,) A = EW: λ < λ <... < λ 0 < λ λ 0 = , λ =

8 8. )-Matrizen ) 0 A =, σa ) = {, } ) 3 A =, 3 σa ) = {, 4} ) 5 4 A 3 =, σa 3 ) = {3, 3} ) 5 4 A 4 =, σa 4 ) = {3, 3} ) cosϕ) sinϕ) A 5 =, sinϕ) cosϕ) σa 5 ) = {cosϕ) ± ı sinϕ)} ) + s A 6 = + s, σa 6 ) = {s, + s } ) s A 7 =, 0 σa 7 ) = {, } A 8 = 5 3 ) 5/3 4 3, 5/3 9 σa 8 ) = {, 5} ) 4 A 9 =, 3 σa 9 ) = { 5 ± )} )-Matrizen 3 A = 8 3 λ = = λ,3 = ± ı 0 A =, σa ) = {0,, 3} 0 3 A 3 =, σa 3 ) = {,, 3} A 4 = 0.5, σa 4 ) = { , ,.3 086} A 5 = , σa 5 )={0.34 7, , } A 6 = 5 0, σa 6 ) = {,, 4} 0 0

9 A 7 = A 8 = A 9 = , σa 7 ) = {.46 44,.78 56, } 5/4 5/4 0 5/4 5/ , σa 8 ) = {,, 0}, σa 9 ) = {5 + 5)/4,, 5 5)/4} = {.8 46,, } 4 0 A 0 =, σa 0 ) = { , , } A = , σa ) = {0.5, 0.5, 0.4} A =, σa ) = { 3,, 0} A 3 = , σa 3 ) = { , , } 9 9 A 4 = 3, σa 4 ) = {,, } A 5 = 3 8 3, σa 5 ) = {, ± 5ı} A 6 =, σa 6 ) = {3, 0, 0} 0 A 7 =, σa 7 ) = {, ± ı 5} 0 A 8 = 0, σa 8 ) = {, ± ı 5} 0 / A 9 = /4, σa 9 ) = { , , } / /4 / A 0 = /4, σa 0 ) = { , , } / /4 9

10 A = A = A 3 = A 4 = , σa ) = {, 3, 8} s s s s 0 s 0 s, σa 3 ) = {,, 5}, σa ) = { , , }, σa 4 ) = {0, s, + s } A 5 =, σa 5 ) = {0, ± ı 7} 4 A 6 = 3 0, σa 6 ) = {0,, 5} )-Matrizen A = A T = 0 0 0, σa ) = {4 sin iπ/0), i =,, 3, 4}{ cosiπ/5)} = { 3 ± 5), 5 ± 5)} A = A T = σa ) = { , , , } A 3 = A T 3 = σa 3 ) = { , , , } 0 A 4 = A T 4 = 0 0 σa 4 ) = { , , , } A 5 = A T 5 = 0 0 σa 5 ) = { , , , }

11 A 6 = A T 6 = A 7 = A 8 = , σa 6 ) = { ,, , } σa 7 ) = { , , , } σa 8 ) = { , , , } A 9 = A T 9 = σa 9 ) = {0.06, 0., 0.4, 0.48} 4 A 0 = A T 0 = σa 0 ) = { 5, 5, 5, } A = A T = 0 0 A = σa ) = { , , , } σa ) = { , , , } A 3 = 3 4 3, σa 3) = { ± ı ), ± ı 37 33)} A 4 = σa 4 ) = { , , ± ı }

12 A 5 = σa 5 ) = { , , , }. 5 5)-Matrizen A = , σa ) = { 5,,,, } EV: v = 3 3, v = 3, v 3 = v 4 = 7 6 9, v 5 = Zum EW λ = gehört nur ein linear unabhängiger EV, da ranga I) = 4 ist A = , σa ) = { 5,,,, } )-Matrix A = A T = σa) = { , , , , , } )-Matrix A = A T = σa) = { , , , 4, , , }