Erzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Transkript

1 Erzugd Fukio vo Whrschilichkisvrilug (Fssug Juli 6) / Mrkus Schich Emil: mil@mrkus-schich.d Hompg:

2 orwor il Frg, di sich bim Umgg mi Whrschilichkisvrilug sll, sid ifchr zu lös, w di rzugd Fukio dr rilug bk is. Ws br dis rzugd Fukio (EZF) gu is, wr mir slbs lg ich klr. A disr Sll si dhr gsg, dss s ki Fukio is i di m i Wr isz um ws zu brch. Si is vilmhr i Hilfsmil mi dm Zusmmhäg chgwis wrd kö. Ers dis Zusmmhäg kö d widr i Fukio odr uch Rkursio übrführ wrd, di d widr rchbr sid. Mis wird di EZF i Tbllform für di izl Whrschilichkisfukio ifch ggb. Ab dism Puk k ds Problm ürlich widr formlmhmisch glös wrd. So läss sich di Rprodukiviä dr Poissovrilug mils ihrr rzugd Fukio (-) gz ifch bwis, d gil (-) (-) ()(-). Di folgd Ausführug soll di Id hir dr rzugd Fukio vo Whrschilichkisvrilug, spzill dr Poissovrilug, rläur. Hirbi sd zurs iml di Aschulichki im ordrgrud. Di mhmisch Exkhi dr izl Rchwg läss sichr ws zu Wüsch übrig. Disr is br i zhlrich Publikio, di im Ir fri zugäglich sid, usrichd Rchug grg. Di Grudid dr rzugd Fukio, spzill i dr Whrschilichkisrchug, is s i Grüs zu lifr, wlchs s rmöglich ls Summ ggb Whrschilichkisvrilug mils is rszwis Fukiosusdrucks i gschlossr Form drzusll. Disr rszwis Fukiosusdruck sll di Summfukio jdoch ich slbs dr, sodr i rbidug disr i ir muliplikiv rküpfug mi ir kovrg Pozrih. Hirdurch blib di Chrkrisik dr Whrschilichkisvrilug br rhl ud m k di rzugd Fukio, di dulich hdlichr is ls di Summfukio, uz um rliv ifch Zusmmhäg bzuli. Bispilwis: hp:// Bi Whrschilichkisvrilug (Biomil-, Poisso- c.) k i dr Rgl ur di Dichfukio i im gschloss Fukiosusdruck ggb wrd. Für ds Igrl dr Dichfukio, dr Whrschilichkisvrilug, is dis i dr Rgl ich möglich. /

3 Ihlsvrzichis. orwor ud Abkürzugsvrzichis. Kovrg Pozrih 5. Flug zwir Poissovrilug mils EZF.. Grudlg dr Rchvorschrif Flug. 8.. Flug zwir Pozrih.3. Übrrg dr Erkiss mi d Pozrih uf di EZF 4 3. Bsimmug dr Lgprmr dr Poissovrilug übr di EZF 3.. Erwrugswrbsimmug dr Poissovrilug übr di EZF rizbsimmug dr Poissovrilug übr di EZF 9 4. Abliug dr Rkursiosvorschrif für di Poissovrilug us dr EZF 5. Di Pjr-Rkursio 6. rsiosübrsich (chglog) * Noch off. 3/

4 Abkürzugsvrzichis EZF rzugd Fukio Erzugugsvribl für di rzugd Fukio. Sih Erläurug im Tx bi dr rs rwdug. llgmi Zählvribl bzw. Jwils di ribl für d Prmr dr Poissovrilug, dr glichziig Erwrugswr ud riz drsll. P () Poisso-Whrschilichkivrilug mi Prmr (odr uch ) dr Sll. Di fhld Agb vo sh d für di Gsm rilug mi bis. p () Whrschilichkisdich ir Poissovrilug mi Prmr (odr uch ) dr Sll. GP Erzugd (grig) Fukio dr Poissovrilug mi Prmr (odr uch ). S( ) Summ dr rilugsfukio i dr Klmmr E( ) Erwrugswr dr rilugsfukio i dr Klmmr ( ) riz dr rilugsfukio i dr Klmmr 4/

5 . Kovrg Pozrih Kovrg Pozrih sid i Ar Grudgrüs für ll rzugd Fukio. A dr Pozrih wird di Whrschilichkisvrilug d spär uf- odr uch ghäg, um d di rzugd Fukio zu rhl. Zurs soll br iml di Frg gklär wrd, wiso übrhup Pozrih? Di Awor lig i dr Ählichki mi Whrschilichkisvrilug. Kovrg Pozrih sig sig 3 ud ähr sich ihrm Grzwr. Dhr sid si für ihr bgrz Wrbrich zwisch Null ud dm Grzwr iduig umkhrbr (bijkiv). Di Pozrih is di ifchs Form ir Rih, di für < i Kovrgz ufwis. Adr Rih wi ; odr sid ich kovrg. Exkurs: Kovrgz ir Pozrih Di Prilsumm dr folgd gomrisch Rih läss sich wi folg rrch: k (... ) k s k... k k (... ) 3 k sk (... ) k sk ( ) k ( ) ( ) k ( ) s Ausklmmr vo Muliplikio mi dm Fkor s Di bid vorhrig Rih voidr subrhir k s Ausklmmr vo s k s k k ( ) k ( ) lim lim k k ( ) für < Prob (dr orfkor wird hir ich bch, d disr kompl usgklmmr wrd k): 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Ei ich sigr Asig bi ir Whrschilichkisvrilug würd i dr Dichfukio giv Whrschilichki ursll, ws schulich scho uplusibl is. 5/

6 Poissovrilug Pozrih (Zähldich) Pozrih Σ P( ),,,36788,,,73576,,,997,4,4 3,98,8,48 4,99634,6,496 5,9994,3,499 6,9999,6,4998 7,99999,,5 8,,,5 9,,,5,,,5,4,,,8,6,4,, Poissovrilug Pozrih * Ählichki vo Poissovrilug ud Pozrih Kovrgz gg urschidlich Grzwr liß sich ifch durch Divisio dr Pozrih mi,5 odr llgmi mi (-) bhb. rbid m di bid Rih muliplikiv miidr, srb si widrum gg i gmism Grzwr. Hir is bsodrs wichig, dss bid Rih izl uch kovrgir, d ur d is di gmism Kovrgz uch wirklich zwigd. Dis Bschribug diss Grzwrs i Abhägigki vo is di rzugd Fukio i dism Bispil mi dr Poissovrilug (- ), di wi folg hrgli wird.!! ( ) p Aschulich k m dis Muliplikio vo Whrschilichki mi dr Pozrih so rklär, dss m di Ergbiss mi d Whrschilichkisdich dr Poissovrilug gwich. Hirbi rhäl jd Whrschilichkisdich ihr idividulls, wlchs zuglich d Zählidx 6/

7 milifr. Ds wird ilwis uch ls Wäschklmmr bzich dr di Whrschilichki ufghäg wrd. Dmi k m di Aussg rff, dss lls ws mi im lli pssir, uch uf dss - zughörig Whrschilichkisdich zuriff. Glid dr Pozrih Whrschilichki us dr Poissovrilug!!!! M k sich dhr zur rifchug zuächs widr ur uf Pozrih bschräk, d di Whrschilichkisdich i Abhägigki vo spär ifch di izl Summd widr ghäg wrd kö. Somi k di im Folgd bschrib Flug vo zwi Poissovrilug zurs mi zwi rliv ifch Pozrih durchgführ wrd. Sid hir di Zusmmhäg dulich, k di Poissovrilug 4 ifch spär ghäg wrd. Di hrgli Zusmmhäg sid d oh i ru Bwisführug ifch übrrgbr. Is dr Zusmmhg uf Eb dr rzugd Fukio rs iml hrgsll, k di Pozrih widrum durch Grzwrbildug 5 für lg fr wrd. Ws übrig blib is di Aussg übr di Ursprugsfukio slbs. Dis orghswis wird d brffd Sll spär och gu rläur. 4 Di Id dr rzugd Fukio sid llgmir Nur ud dhr uch uf dr diskr rilug wi Biomil- odr di sig wi Gmmvrilug übrrgbr. Bi sig rilug rbi m d s mi dr Summ mi dm Igrl. 5 D ls Kovrgzbdigug gil <, drf formll ich vrwd wrd. Zur rifchug wird dis spär doch gmch. Dr korrk Wg wär übr d Lims (lim ), ws br zur glich Aussg führ. 7/

8 . Grudlg dr Rchvorschrif Flug Di Flug bschrib i mhmisch Opror, dr für zwi (odr mhrr) Fukio f ud g i hirus rsulird u Fukio lifr, di di Übrlppug vo f ud ir gspigl ud vrschob ri vo g gib. Für di kokr Awdug i dr Whrschilichkisrchug bdu di Flug bispilswis folgds: Di bid Fukio f ud g sid Zwipukvrilug is Müzwurfs. Fäll Kopf () rhäl dr Spilr ki Gwi fäll higg Zhl () wird i Gwi vo ir Gldihi usgzhl. Di Whrschilichki für jds disr Erigiss bräg p,5.,5,5 f ( x) ud g ( x),5,5 Di Flug vo f ud g gschrib f*g(x) bdu u, dss di rsulird Fukio i zwifch Müzwurf bschrib ud Whrschilichki für d Gwi vo, odr Gldihi gib. Bi dism ifch Bispil is di Wrbll och mull rmilbr. f * g x,5,75,5 Will m higg zwi Poissovrilug miidr fl, gsl sich dis scho dulich ufwdigr. Auch wär di Flug ufgrud dr udlich Dfiiiosmg dr Poissovrilug ohhi mull ich vollsädig durchführbr. Ds Ergbis dr Flug soll Idlrwis i u Forml i Form ir Summfukio si. Möglich wär ls Ergbis uch ds Ermil is Zusmmhgs für i rkursiv Brchug. I dr chfolgd Tbll wurd iml xmplrisch zwi Poissovrilug gfl. 8/

9 Poissovrilug Poissovrilug Flug vo & P( ) P( ) rlus (P * P) 36,79% 3,53% 4,98% 36,79% 7,7% 4,94% 8,39% 7,7%,4% 3 6,3% 3 8,4% 3,4% 4,53% 4 9,% 4 6,8% 5,3% 5 3,6% 5,8% 6,5% 6,% 6 5,4% 7,% 7,34% 7,6% 8,% 8,9% 8,8% 9,% 9,% 9,7%,%,%,8%,%,%,%,%,%,% 3,% 3,% 3,% 4,% 4,% 4,% 5,% 5,% 5,% Σ,% Σ,% Σ,% * Flug zwir Poissovrilug i A dr Sll is di Flug bschrib durch: ( P * P ) P ( i) P ( k i) Di kompl Flug is bschrib durch ( P * P )!! 9/

10 . Flug zwir Pozrih M dfiir forml di Flug vo zwi kovrg ( < ) Pozrih oh spzill Bzug uf Whrschilichki ls: ( ( ) * b( ) ) b Bi ir Umformug mi Hilf ds Cuchy-Produks 6 rhäl m: ( ) * b c c k bk k Dr Idx für, b ud c is hir iglich ich öig, d dis Fkor kos sid, wird br zur forml Urschidug bidr Rih vrwd. A dm Glid dr Pozrih häg u muliplikiv ds Cuchy-Produk für. Ei Pozrih wähl m dshlb, wil ll Glidr ir Pozrih ( s) ich wir zusmmgfss wrd kö ud für <, wi bris rwäh, i Kovrgz ufwis. Würd m bispilswis ur di Zählvribl slbs odr / vrwd, liß sich di izl Glidr zusmmfss. So is z.b.: higg sid ich wir zusmmfssbr ud blib, dhr urschidbr. Di Summdrsllug kö ur i i gschloss Fukiosusdruck übrführ wrd, dr ls ribl ur och d Aufhägr für di Cuchy- Produk häl. ud b( ) b 6 Augusi Louis Cuchy (*. Augus 789 i Pris; 3. Mi 857 i Scux) wr i frzösischr Mhmikr. /

11 / S bid Summ zu fl, k m u uch i dr bid Summ durch ihr gschloss Fukiosusdruck rsz. z.b. 443 b b b b * Würd m d obr Til sächlich übr di bid Summ drsll, würd m usgschrib folgd Rih rhl: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ws häg lso lls m Aufhägr? Ei kompl Pozrih Σ A disr Sll wird u dr iglich Kiff dr rzugd Fukio gwd. S dr gz Rih k m vrifchd uch ifch ur ihr Kovrgz häg - lso: M k s sich uch so rklär, dss di Summschribwis i udlich lgr Fd is, dr gg Ed immr dür wird. Dr Umgg dmi wird äußrs schwirig si. Di Kovrgz ds Fds is d i kompl Grroll 7. Möch m u d Fd wig, lg m s dm Fd ifch ur di Grroll uf di Wg ud h sofor ds Ergbis, s sich mi dm Fd hrumzuschlg, dr dch vrko, griss odr ws uch immr is. 7 Di Grroll h hir slbsvrsädlich kirli Eiggwich.

12 Glichs gil für ll übrig. Dis Rih dr Aufhägr kovrgir slbs uch widr. Dmi is b uch di folgd Schribwis zulässig: ( ( ) * b( ) ) b [ b] [ b] Di obr Forml sll ds Grudgrüs für di rzugd Fukio dr. Durch Aususch vo ud b durch z.b. b! für di Poissovrilug kö uch Whrschilichkisvrilug übr diss Grüs gfl wrd. All usmuliplizir Whrschilichkisdich häg im. Di izl Drsllug dr Cuchy-Produk k jdoch widr durch d gschloss Fukiosusdruck i Abhägigki vo rsz wrd. Ds Ergbis is di rzugd Fukio dr Flug. Diss k di rzugd Fukio dr idisch odr ir dr Whrschilichkisvrilug si. D k s dr Flug vo d b glich di rsulird Fukio vrwd wrd. Is dis ich möglich, k och vrsuch wrd us dr rzugd Fukio i Rkursio für di Brchug dr rilug bzuli. Di orml rzugd Fukio is somi dfiir ls Wirhi xisir och i xpoill rzugd Fukio, d für xpoill sigd di Kovrgzigschf dr udlich Rih ich mhr sichrgsll is. Durch di Fkulä wir di Kovrgz widr sichrgsll.! /

13 3/.3 Übrrg dr Erkiss mi d Pozrih uf di EZF Wi ur. bris bgdu wird u di Poissovrilug di Pozrih ghäg. D für di Flug zwi Poissovrilug böig wrd, wrd zuächs für di bispilhf Poissovrilug di rzugd Fukio bsimm.! P mi dr rzugd Fukio ) (! GP! P mi dr rzugd Fukio ) (! GP Aus. gl für di Flug dr bid Pozrih dr Zusmmhg: [ ] [ ] * b b b b Ei Flug vo zwi rilug bzw. llgmir vo Fukio - im obr Fll di Glichvrilug ud b - is lso idisch mi dr Muliplikio ihrr rzugd Fukio. D di Poissovrilug im kull Bispil ur i Ahägsl dr Pozrih is, muss für si dr glich Zusmmhg gl.!! * P P [ ] ) ( ) ( * GP GP P G P Hirbi fäll uf, dss ()(-) widrum di rzugd Fukio ir dr Poissovrilug P () is. Dmi is bwis, dss di Flug zwir Poissovrilug widr poissovril is, di Poissovrilug lso rprodukiv is. Di Erwrugswr dr bid Ursprugsvrilug wrd hirbi ddir.! * P P bzw. P P! *

14 Forml k uch och di ribl widr mi us d rzugd Fukio fr wrd. lim ( ) ( ) ( )[ ] () () ( )[ ] [ G( P * P ) ] ( P * P ) I dism Fll rsulir us dm Efr vo ki bsodrs wrvoll Aussg. Di Aussg is ur, dss di gsm Whrschilichkismss dr gfl rilug widr is. Bi dr Bsimmug ds Erwrugswrs dr Poissovrilug wird ds fr vo jdoch i größr Bduug hb. Di Rprodukiviä gil jdoch ich bi jdr Flug. Isbsodr ich bi Flug urschidlichr Fukio. Tilwis is jdoch di shd dri Fukio bris bk ud dr Zusmmhg läss sich übr di izugd Fukio chwis. Is ll dis ich möglich, k us dr rzugd Fukio och vrsuch wrd i Rkursiosvorschrif bzuli, ws spär ur Puk 4. rläur wird. 4/

15 3. Erwrugswrbsimmug dr Poissovrilug übr di EZF M brch zuächs widr di kovrg ( < ) (Bsis-)Pozrih mi Dr orfkor odr b k hirbi ubch blib, d ur i izl Pozrih vrwd wird ud dhr ki Urschidug owdig is. Di Aufgbsllug is u d Erwrugswr dr Pozrih zu bsimm. o im Erwrugswr im Si dr Whrschilichkisrchug k jdoch ich di Rd si, d di Pozrih ki Whrschilichkisvrilug drsll. Es hdl sich dhr zurs iml um i Ar Erwrugswr bzüglich dr Zähldich. Durch i kli Ergäzug k jdoch uch di Pozrih zu ir Ar Psudo-Whrschilichkisvrilug gmch wrd, di gg kovrgir. ( ) ( ) Dis Zwischdrsllug wr jdoch ur zur rschulichug. Im Folgd wird u widr ur di (Bsis-)Pozrih vrwd. Um u d Erwrugswr zu bsimm, müss ur ll Sll dr Fukio bzw. Rih ( s) mi dr sprchd Whrschilichki bzw. hir dr Zähldich dr Sll gwich wrd. Dmi rhäl m: E ( ) Klmmr m hir us, rhäl m irhlb dr Summ di Abliug dr rzugd Fukio. 5/

16 ( ) E (Achug ch dm Ausklmmr vo bgi u bi ) Es hdl sich hir um i glidwis Abliug d.h. s wurd zuächs ich di Pozrih i ihrr gschloss Form bgli, sodr s wurd ll Glidr dr Summschribwis ur Awdug dr Pozrgl izl bgli. D bris gil: gil dmi uch: ( ) Dr kompl Wg dr Umformug hir och iml zusmmgfss. E ( ) ( ) ( ) Abliugsrgl für glidwis Abliug: Dr gsuch qusi Erwrugswr, hir di Zähldichrwrug dr Pozrih, is somi (bzw. Expobsis vo ) ml di Abliug ihrs gschloss Fukiosusdrucks. Ds Ergbis is sogr schulich rklärbr. Irprir m di Pozrih ls rzugd Fukio dr Glichvrilug Σ bi is Udlich, is dr Zähldichrwrugswr bflls udlich. Efr m u uch disr rzugd Fukio für d Erwrugswr widr ds ( ), folg forml b gu di bris gmch Aussg us dr Aschuug. lim ( ) 6/

17 Di Zähldichrwrug is für di Aschulichki ich ubdig fördrlich. So bräg dis bi,9 ch dm Eisz i di Forml 9. Ei Erwrugswr würd m bi ir grfisch Drsllug dr Pozrih jdoch hr bi 9 rwr. Grud is hirfür, dss di Pozrih gg kovrgir. Um dis zur ir uf ormir Whrschilichkisvrilug umzuform, is jds Glid mi (-) zu muliplizir im Bispil lso,. Dmi wär dr schulich Erwrugswr uch bi 9. Nu gil s dis Erkis uf di Poissovrilug zu übrrg. Di Pozrih wird u lso durch GP! ( ) rsz. E GP! D Erwhrugswr brch m dhr mi dr Fukio Disr Asz zur Erwrugswrbsimmug, dr ll Glidr ochmls mi muliplizir, is bi Kis dr rzugd Fukio br übrhup ich mhr öig. Es gh vil ifchr idm m di orghswis us dr Pozrih forml uf di rzugd Fukio wd. GP!! ( ) ( ) Zuächs klmmr m di Bsis ds Expo us dr Summ us. Übr di rädrug dr izl Glidr i dr Summ muss m sich disr Sll übrhup ki Gdk mhr mch, d us dr llgmi ri mi dr Pozrih bk is, dss di Summ durch ds Ausklmmr zu ihrr ig Abliug wird. E ( ) ( ) GP D zudm bi dism Spzilfll mi dr Poissovrilug di Summ i - Fukio is, is si ihr ig Abliug. 7/

18 E ( ) ( ) ( ) ( GP ) ( ) s gil: Nu is dr Erwrugswr vo GP bk, ws br och ich di gsuch Lösug is. Zum Schluss muss och ds fr wrd. Dis gschih widr idm m gg gh läss. lim E ( ) ( GP ) E( P ) 3 3 Dmi is übr di rzugd Fukio bwis, dss dr Prmr dr Poissovrilug glichziig dr Erwrugswr is. 8/

19 3. rizbsimmug dr Poissovrilug übr di EZF M brch zuächs widr di kovrg ( < ) (Bsis-)Pozrih mi Für dis gl di glich Aussg wi scho ur Puk 3. bi dr Bsimmug ds Erwrugswrs. Für di Bsimmug dr riz dr Rih rmil m dis zuächs izl für jds Summglid. Ei Eizlvriz für is dr Summglidr is somi: ( ) ( E( ) ( ) Hirbi is s zur rschulichug bsodrs wichig zu wiss, dss di riz ir Fukio dr Erwrugswr dr qudrir Diffrz dr Fukioswr zum Erwrugswr dr Fukio is ls i Ar rwrr bzw. milrr Abwichug. Bi ir Whrschilichkisvrilug würd dis Eizlvriz u mi d zughörig Whrschilichki ihrs Aufrs gwich. D br zuächs di Brchug mils ir Pozrih durchgführ wird, wrd di Eizlvriz zuächs widr d s ufghäg. Dmi lu dr Asz für di gsm Fukio: ( ) ( E( ) ( ) Es gil wirhi: E ( ) Durch Ausmuliplizir dr qudrir Klmmr rgib sich: ( ( ) ) ( E( ) E( ) E( ) 9/

20 / E E E E Aus dm milr Summd is u rkbr, dss hir widr i Erwrugswr vrsck is. E E E 3 E E Dmi is bi d lz bid Summd i Ausklmmr ds qudrir Erwrugswrs möglich. Dr Til i dr Klmmr ( Pozrih) is zudm bi Whrschilichkisvrilug immr, wird br wir so migführ. E Um u di Summ gg zu bsimm, wird durch ((-)) subsiuir. E Ddurch k di Summ gg durch zwi Summ i Form vo Abliug dr Pozrih drgsll wrd. E E E

21 Aschulich bdu di vorhrig Forml uf Bsis dr rzugd Fukio: muliplizir mi dr zwi Abliug muliplizir mi dr rs Abliug - Erwrugswr zum Qudr ws glichzusz is mi: o muliplizir mi dr rs Abliug zum Qudr Ds ddo (-rzugd Fukio) k hir vrchlässig wrd, d s bi Whrschilichkisvrilug ch dm Efr vo ( ) immr gg kovrgir. o Evull müss i Bchug rfolg, w i rilug us mhrr Eizlfukio zusmmgsz wär, di d ich gg kovrgir. Dis wurd jdoch hir ich wir ursuch. Nu gil s dis Erkis widr uf di Poissovrilug zu übrrg. Di Pozrih wird dzu durch GP! ( ) rsz. Di riz brch m dhr mi dr Fukio ( GP ) ( E( GP ) ( E( GP )! ( )! Ds bris mi dr Pozrih durchgführ Ausmuliplizir dr Klmmr rgib hirbi folgd Schribwis ( GP ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! 3 E GP! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( GP ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) E GP ( ) ( ) ( ) ( ) s gil: ; /

22 lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( GP ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( P ) Dmi is übr di rzugd Fukio bwis, dss dr Prmr dr Poissovrilug glichziig dr riz is. /