4. Versuchsplanung. 1 Versuchsplanung: Einführung

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1 4. Versuchsplanung Stichwörter: Response-Variable, primärer Faktor, sekundärer Faktor, Blocken, Blockdesign, Randomisieren, faktorielles Experiment, Haupteffekt, Wechselwirkung, fraktionales faktorielles Experiment, Qualitätskosten, robustes Design, Verlustfunktion, Produkt Design Prozess, System Design, Parameter Design, Toleranz Design, inner array, outer array. Literatur: Ledolter & Burrill, Statistical Quality Control, Kap. 14: Principles of Effective Experimental Design; Kap. 15: Principles of Effective Experimental Design; Kap. 16: Taguchi Design Methods for Product and Process Improvement. Bergman & Klefsjö, Quality, Kap. 7: Design of Experiments; Kap. 8: Robust Design. Das Ausführen von Experimenten ist die wichtigste Möglichkeit, Wissen über die uns interessierenden Prozesse zu erwerben, etwa um Verbesserungspotentiale zu nützen. Um Experimente in effizienter Weise durchzuführen, sind eine Reihe von Dingen zu beachten. In diesem Kapitel werden wir uns damit befassen, wie Experimente zu planen und auszuwerten sind, und welche Auswirkungen unterschiedliche Versuchspläne auf die Ergebnisse haben. Nach einer allgemeinen Einführung und einer Illustration anhand von Experimenten mit dem Ziel, zwei Mittelwerte zu vergleichen, werden wir uns mit drei Themen befassen: den faktoriellen Experimenten, den fraktionalen faktoriellen Experimenten, und den Taguchi Methoden. 1 Versuchsplanung: Einführung Qualitätsverbesserung (Lernen): erfordert Information (Daten) Beispiele: Kundenbefragung zeigt Notwendigkeit einer Änderung des Bestellprozesses, Bedarf an Schulung der Mitarbeiter, etc. Annahmekontrolle gibt Hinweise auf Mängel in der Produktion eines Lieferanten Prozesskontrolle hilft, special causes der Variation zu identifizieren

2 Ein Experiment ist eine systematische Methode, Information über das Wirken und Zusammenwirken von (Prozess-)faktoren zu sammeln. Versuchsplanung (experimental design, design of experiments) umfasst Prinzipien und Regeln, nach denen Experimente gestaltet werden. Beispiele für den Einsatz von Experimente: Ist der Verwendung von Material A oder Material B günstiger? Welches von mehreren Verfahren gibt den besten Output Wie kann der Ertrag eines Prozesses verbessert werden? Wie hängt er von Temperatur und Druck ab? Gibt es eine Wechselwirkung der beiden? Bei welcher Kombination wird der Ertrag maximiert? Die Qualität von Stahl wird von der Qualität des Erzes, von Zusätzen, der Temperatur im Hochofen, der Abkühlgeschwindigkeit, etc. bestimmt. Welche Faktoren sind die wichtigsten? Wie kann Stahl einer bestimmten Härte erzeugt werden? Bei welcher Kombination der Input-Faktoren hält der Produktionsprozess den Zielwert ein und hat die geringste Variation? Ein Experiment, also das aktive Sammeln von Daten, muß nach einem geeigneten Plan ausgeführt werden, damit es die notwendigen Informationen bei effizientem Einsatz der Ressourcen liefern. Ledolter s Beispiele: Beispiel 1: Dauerhaftigkeit von Schuhsohlen. Wir haben zwei Möglichkeiten, Daten zu erheben: Plan 1: Je 10 Studierende tragen Schuhe mit Sohle A und B; die Sohlen werden den Studierenden zufällig zugeordnet (vollständig randomisiertes Experiment). Plan 2: Jeder der 20 Studenten trägt je einen Schuh mit Sohle A und B; Sohle A wird zufällig am linken oder rechten Schuh getragen (randomisiertes Block- Experiment).

3 Beispiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses. Er hängt ab von den Faktoren Temperatur (500 o, 600 o ) Druck (60kg/cm 2, 80kg/cm 2 ) Katalysator (A, B) Es gibt also 8 Faktorkombinationen. Wir planen je Faktorkombination einen Durchlauf des Experiments (in randomisierter Folge), je eine Wiederholung jedes Laufes. Beispiel 3: Aushärtezeit von Gips. Die Variabilität dieser Dauer macht Probleme. Es gibt eine große Zahl potentieller Einflussfaktoren. Beispielsweise hängt die Kalzinierung (Ausglühen der Mischung von Gipskörnern und Zitronensäure) vermutlich ab von der verarbeiteten Menge, der Temperatur und der Säurekonzentration. Anhand dieser Beispiele können wir einige Aspekte von Experimenten erläutern: 1. Ziel eines Experiments kann sein der Vergleich zweier Methoden (Beispiel 1) die Optimierung des Ertrages (Beispiel 2) das Minimieren der Variabilität der Response-Variablen (Beispiel 3) Adjustieren der Response-Variablen nahe dem Zielwert 2. Die Verallgemeinerbarkeit ist beschränkt! Gültigkeit eines Experiments ist beschränkt auf Bedingungen des Experiments (Faktorwerte, regional, etc.) off-line Experiment vs. on-line Produktion 3. Response-Variable: Wir unterscheiden univariat (z.b. Ertrag) oder multivariat (z.b. Ertrag, Reinheit) quantitativ (z.b. Menge) oder qualitativ (z.b. Geschmack, Qualität) 4. Faktoren: Wir unterscheiden interessierende (primäre) Faktoren, nicht interessierende (sekundäre) Faktoren, Blocken ist gute Strategie, den Effekt von sekundären Faktoren zu eliminieren. Statistische Elemente der Versuchsplanung

4 A. Blockdesign Block: Teilmenge der Untersuchungseinheiten, die ähnliche Bedingungen hinsichtlich eines sekundären Faktors aufweist. Beispiel 1: Dauerhaftigkeit von Schuhsohlen (Fortsetzung). Als Blöcke kommen die einzelnen Personen im Sohlenexperiment in Betracht: Es sind Unterschiede in der Abnutzung von Person zu Person zu erwarten (Gewicht, Bewegungsintensität, sportliche Aktivitäten, etc.). B. Randomisieren: Zufälliges Zuordnen der Untersuchungseinheiten zu den Behandlungen; damit soll Wirkung nicht kontrollierbarer Faktoren eliminiert werden. Merksatz: Blocke alles, was zu blocken ist, und randomisiere, was nicht zu blocken ist. Beispiel 4: Abrieb bei Autoreifen. Uns interessiert der Vergleich der Abriebsintensität von vier Typen (A, B, C, D) von Autoreifen; sekundäre Faktoren sind Auto, Reifenposition; bester Versuchsplan: Lateinquadrat-Experiment. C. Wechselwirkung von Faktoren beachten: Die change-one-factor-at-atime Vorgangsweise führt nicht oder nur langsam zum Optimum. Beispiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses (Fortsetzung). Der optimale Ertrag hänge ab von Druck und Temperatur; größter Ertrag bei Variation von Druck (bei fixer Temperatur) ist nicht notwendigerweise das Optimum! D. Strategie des Experimentierens Kleine Schritte: kein komplexer Versuchsplan, Klären des interessierenden Sachverhalts in Teilen, Verwenden des neuen Wissens im nächsten Schritt (sequentielle Vorgangsweise). Beste Zeit, ein Experiment zu planen, ist nach dem Experiment: Dann kennt man die wirksamen Faktoren und ihre relevanten Bereiche. 25%-Regel (Box, Hunter & Hunter): Investiere höchstens ein Viertel der verfügbaren Ressourcen in den ersten Versuchsplan. E. Weitere Begriffe Durchlauf des Experiments: Das Nehmen einer Beobachtung bei einer bestimmten Faktorkombination.

5 Behandlung der Untersuchungseinheit: Faktorkombination, bei welcher der Durchlauf ausgeführt wird. Wiederholungen: mehrere Durchläufe mit gleicher Faktorkombination. 2 Designs zum Vergleich von Mittelwerten Den Effekt des Versuchsplans auf die Entscheidung soll am Beispiel des Vergleichs von Mittelwerten gezeigt werden. Die für die Entscheidung verwendeten Daten stammen einmal aus einem vollständig randomisierten Experiment, dann aus einem Experiment mit Blockdesign. 2.1 Mittelwertsvergleich: Unabhängige Stichproben Wir gehen davon aus, dass zum Vergleich von Mittelwerten Daten aus zwei unabhängigen Stichproben zur Verfügung stehen; der Versuchsplan ist ein vollständig randomisiertes Experiment. Beispiel 5: Bruchlast von Bleistiftminen. Uns interessiert die maximale Bruchlast von Bleistiftminen verschiedener Marken. In einem Experiment wurden je gleich viele Messungen bei Bleistiftminen der Marken A und B vorgenommen. Die zusammengefassten Ergebnisse sind: Marke A: n A = 6, x A = 45.8, s A = 4.31; Marke B: n B = 6, x B = 39.5, s B = Der Vergleich der Mittelwerte ergibt Ist diese Differenz statistisch signifikant? x A x B = = 6.3. Beurteilung der statistischen Signifikanz: Das interessierende Merkmal sei X (X könnte die Bruchlast sein). Population 1: X 1, E{X 1 } = µ 1, Var{X 1 } = σ 2 1; Stichprobe vom Umfang n 1 ergibt x 1, es gilt (näherungsweise) X 1 N ( µ 1, σ2 1 n 1 ).

6 Population 2: X 2, E{X 2 } = µ 2, Var{X 2 } = σ2; 2 Stichprobe vom Umfang n 2 ergibt x 2, es gilt (näherungsweise) ( ) X 2 N µ 2, σ2 2. n 2 Für die Differenz gilt (näherungsweise) mit µ d = µ 1 µ 2 und D = X 1 X 2 N(µ d, σ 2 d) σ d = SD{ X 1 X 2 } = Var{ X 1 } + Var{ X 2 } = bei unbekannten Varianzen wird σ d ersetzt durch s 2 s d = 1 + s2 2. n 1 n 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ; Beispiel 5: Bruchlast von Bleistiftminen (Fortsetzung). Entscheidung, ob die Bruchlast für beide Marken als gleich angesehen werden kann (H 0 : µ A = µ B trifft zu) oder nicht (H 1 : µ A µ B ), ermitteln wir den p-wert zur Differenz x A x B = 6.3. Wir benötigen dafür Der p-wert ergibt sich zu s d = p = 2P = { Z 6.3 } = ; 2.57 die Differenz 6.3 ist statistisch signifikant. Zur gleichen Aussagen kommen wir mittels Konfidenzintervall: Der Wert µ A µ B = 0 ist im 95%-ige Konfidenzintervall x A x B ± 2 SD{ X 1 X 2 } oder (mit geschätztem SD:) x A x B ± 2s d oder 6.3 ± 5.1 oder (1.2, 11.4) nicht enthalten; die Differenz 6.3 ist statistisch signifikant. Statistische Signifikanz vs. praktische Relevanz: Ein statistisch signifikanter Unterschied muss nicht unbedingt von inhaltlicher Relevanz sein! Beachte! Dieses Ergebnis wurde auf Basis von Daten erhalten, die in unabhängigen Stichproben beobachtet wurden (vollständig randomisiertes Experiment).

7 2.2 Mittelwertsvergleich: Blockdesign Wir wollen zwei Materialien A und B vergleichen. Das Blockdesign besteht darin, dass wir Blöcke definieren, also Einheiten, die ähnliche Bedingungen hinsichtlich sekundärer Faktoren aufweisen. In jedem Block wird die Differenz d = x A x B beobachtet. Das Experiment wird in jedem Block durchgeführt und die mittlere Differenz D zur Entscheidung verwendet. Beispiel 1: Dauerhaftigkeit von Schuhsohlen (Fortsetzung). Wir vergleichen zwei Materialien A und B. Als Block definieren wir jeden der 20 Studierenden. Jeder Studierende trägt Schuhe mit unterschiedlichen Sohlen: Ein Schuh hat die Sohle aus Materialien A, der andere eine aus B. Für jeden Studierenden wird die Differenz d = x A x B beobachtet. Die n = 20 Messungen sind d 1,..., d 20 und geben Beurteilung mittels D: d = 0.27 ; s d = SD( D) = s d n = = Der Wert µ A µ B = 0 ist im 95%-igen Konfidenzintervall 0.27 ± 2 (0.0665) oder (0.14, 0.40) nicht enthalten; die Differenz 0.27 ist statistisch signifikant. 3 Faktorielle Experimente Die Response hängt von mehr als einem Faktor ab; bei einem (2-stufigen) faktoriellen Experiment interessieren bei jedem Faktor zwei Werte (Niveaus). 3.1 Der Versuchsplan Beispiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses. Wir vermuten, dass der Ertrag von den Faktoren Temperatur und Reaktionszeit abhängt. Ein Versuchsplan könnte Durchläufe unter folgende Versuchsbedingungen vorsehen: Zwei Temperaturen (110 0, ), zwei Reaktionszeiten (50, 70 Minuten). Der Einfachheit schreiben wir für die Faktor T (Temperatur) und R (Reaktionszeit), für die Niveaus und +. Das Experiment, das aus den Durchläufe für Faktorkombinationen (, ), (, +), (+, ), (+, +) besteht, nennen wir ein 2-stufiges faktorielles Experiment.

8 Notation: 2 k faktorielles Experiment steht für ein 2-stufiges faktorielles Experiment in k Faktoren. Tabellierung der Durchläufe und Ergebnisse: Standard-Form (standard order) zeigt in jeder Zeile die Faktorkombination und die erzielte Response an. Reihenfolge der Variation der Faktorkombination: Erste Spalte: , zweite Spalte: , usw.; letzte Spalte: 2 k 1 mal, dann 2 k 1 mal +. A B C Analyse der Daten faktorielles Experiment Die Auswertung der Daten kann erfolgen durch graphische Darstellung Schätzen der Effekte der Faktoren (Haupteffekte). Die Effekte der Faktoren nennen wir die Haupteffekte.

9 Beipiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses (Fortsezung). Der Effekt einer Änderung der Temperatur von 110 auf 130 Grad ergibt sich zu T = = ( ) 1 2 ; = = 4.8 der Effekt einer Änderung der Reaktionszeit von 50 auf 70 Minuten ergibt sich zu R = = ( ) 1 2. = = Wechselwirkung Eine Wechselwirkung kann in der graphischen Darstellung sichtbar gemacht werden. Die Wechselwirkung hat zur Folge, dass in Beipiel 6 der Effekt der Temperatur vom Niveau der Reaktionszeit abhängt: Beipiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses (Fortsezung). Die Wechselwirkung zwischen Temperatur und Reaktionszeit ergibt sich zu T R = = 0.8 = ( ) 1 2.

10 faktorielles Experiment Beispiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses. Wir wollen untersuchen, welche der Faktoren Temperatur (T ), Konzentration (C) und Art des Katalysators (K) auf den Ertrag des Prozesses eine Wirkung haben und we groß diese ist. Jeder Faktor soll auf zwei Stufen im Experiment berücksichtigt werden: Temperatur (T ; :160 0, +: ) Konzentration (C; : 20%, +: 40%) Katalysator (K; : Typ A, +: Typ B) Für die Haupteffekte erhalten wir T = = = 23.0 = ( ) 1 4 Analog ergeben sich C = 5.0 und K = 1.5. Die 2-Faktoren Wechselwirkung T K ergibt sich aus zu T (K : +) = T (K : ) = T K = = = 33.0, = = = 10.0 = ( ) 1 4. Die Konzentration wird dabei nicht berücksichtigt! Analog ergeben sich T C = 1.5 und K C = 0.0. Die 3-Faktoren Wechselwirkung T K C beschreibt den Unterschied zwischen T K bei den beiden Konzentrationen:

11 sie ergibt sich zu T K(C : +) = T K(C : ) = = 10.5, = 9.5 ; 2 2 T K C = ( ) 1 2 = 0.5. Beachte! T K C erhalten wir als T K C = ( ) Beurteilung der statistischen Signifikanz Experiment ohne Wiederholungen Hilfreich sind graphische Darstellungen der geschätzten Effekte in Form eines Punkt-Diagramm, eines QQ-Plot (normal probability plot) Experiment mit n Wiederholungen Die Standardabweichung σ kann geschätzt und Konfidenzintervalle können berechnet werden. Sei s i der Schätzer für σ aus den Beobachtungen im i-ten Lauf eines 2 k -faktoriellen Experiments. Der Schätzer s p (aus gepoolten Daten) ergibt sich zu s p = i(s i ) 2 2 k. Das 95%-ige Konfidenzintervall für den Effekt T ermitteln wir als T (2) SD(T ), T + (2) SD(T ) mit SD(T ) = s p (n)2 k 2.

12 Beispiel 2: Ertrag eines chemischen Prozesses (Fortsetzung). Wir erhalten s p = 0.61; damit ergibt sich SD(T ) = (2) = Das 95%-ige Konfidenzintervall für T ist 4.8 ± 2(0.44) oder (3.72, 5.68). erhalten wir für R: (7.52, 9.28), für T R: ( 0.08, 1.68). Analog Beispiel 6: Die Suppenwürze Intermix in der Lipton Soup. Die interessierenden Faktoren und die im Experiment zu berücksichtigenden Stufen sind: P : Zahl der ports ( : 1, +: 3) T : Temperatur ( : Zimmertemperatur, +: gekühlt) W : Chargen-Gewicht ( : 1500 lb, +: 2000 lb) D: Zeit bis zum Abpacken ( : 1 Tag, +: 7 Tage). 4 Fraktionale faktorielle Experimente Bei einem fraktionalen (nicht-vollständigen) faktoriellen Experimente erlaubt es der Verzicht auf das Schätzen von Wechselwirkungen, die Zahl der notwendigen Läufe des Experiments zu reduzieren. Beispiel 7: Fraktionales faktorielles Experiment. Einen Versuchsplan eines fraktionalen faktorielles Experiment mit drei Faktoren A, B und C zeigt die folgende Tabelle. A B C Zum Schätzen des Haupteffekts C werden die Gewichte der letzten Spalte verwendet; wir sparen 2 1 (die Hälfte) der 2 3 Läufe des faktoriellen Experiments, es müssen nur = 2 2 Läufe ausgeführt werden! Beachte! Der Haupteffekt C wird gleich geschätzt wie die Wechselwirkung A B; es gilt also C = A B; die beiden sind vermengt (confounded).

13 Beispiel 8: Experiment. Es handelt sich also um ein fraktionales faktorielles Experiment mit sieben Faktoren, das mit = 2 3 = 8 Läufen auskommt. Die Faktoren werden mit 1 bis 7 bezeichnet, die Wechselwirkung 1 2 mit 12 etc. Konstruktion des fraktionalen faktoriellen Designs: Die ersten drei Spalten sind die gleichen wie beim faktoriellen Experiment; die Spalten 3 bis 7 ergeben sich aus den ersten drei Spalten, wie es den Wechselwirkungen 1 2, 1 3, 2 3 und entspricht =12 =13 =23 = Beispiel 6: Die Suppenwürze Intermix in der Lipton Soup (Fortsetzung). Wir konstruieren ein fraktionales faktorielles Experiment mit fünf Faktoren P, T, W, D (siehe oben) und dem Faktor M: Mischdauer ( : 60 sec, +: 80 sec). Zum Schätzen von M verwenden wir die Wechselwirkung P T W D. Beachte! Vermischt sind M und P T W D (M = P T W D); aber auch P und T W D M wegen [T W D] M = [T W D] P T W D = P, T und W D M P, usw. P T und W D M, usw. 5 Taguchi s Design Methoden Genichi Taguchi: Japanischer Ingenieur; Pionier in der Anwendung von Versuchsplanung zur Verbesserung von Produkten und Prozessen; entwickelte eine Philosophie der Qualitätsverbesserung, und eine Methode der Versuchsplanung.

14 Taguchi ist Deming-Preisträger für seine Verdienste um die Verbreitung des Qualitätsgedankens und seiner Implementierung im Wirtschafts- und öffentlichen Leben (in den USA). Taguchi s Bücher wurden ab ca auf Englisch verlegt: G. Taguchi & Y. Wu (1985), Introduction to Off-Line Quality Control. Taguchi (1986), Introduction to Quality Engineering: Designing Quality into Products and Processes. etc. Taguchi s Methoden werden seit ca in großen Konzernen angewendet (Ford; AT&T, Xerox, etc.); Ford gründete 1981 das American Supplier Institute zur Schulung seiner Lieferanten. 5.1 Taguchi s Konzepte Die Verdienste von Taguchi sind seine Sicht der Qualitätskosten, seine Idee der robusten Produkte und Prozesse A. Qualitätskosten Der Verlust entsteht durch Abweichung vom idealen Produkt/Prozess höherer Aufwand für Gewährleistung, geringere Kundenzufriedenheit, schlechteres Image. Von einem high quality Produkt ist zu verlangen: geringe Abweichung vom Zielwert während der gesamten Lebensdauer unter beliebigen Bedingungen der Verwendung.

15 Verlustfunktion: Sie enthält Kosten (pro Einheit) des Produzenten und Konsumenten A(y τ)2 L(y) = 2 mit A: erwartete Kosten bei einer Abweichung vom Zielwert τ. Bei Kosten B für Ausschuss ergibt sich die maximal tolerierte Abweichung zu B δ = A B. Robuste Produkte und Prozesse Produkt wird beschrieben in folgenden Dimensionen: Produkt-Charakteristika, das sind Variable, die das Produkt am Markt positionieren. Qualitäts-Charakteristika, das sind Variable, in denen Abweichungen vom idealen Produkt auftreten. Faktoren, die zu Abweichungen führen, sind äußere Störungen (Umgebung während der Verwendung; Temperatur-, Spannungsschwankungen, etc.) innere Störungen (innerhalb des Produktes; Abnutzung, etc.) Variationen der Produktion (Vorprodukte, Kompetenz der Mitarbeiter, Qualität der Ausrüstung, etc.) Je größere Abweichungen vorkommen, umso höher ist die Variabilität, umso geringer ist die Qualität. Reduktion der Variabilität durch des Produktes und des Produktionsprozesses Verbesserung des Designs des Produktes und Verbesserung des Designs des Produktionsprozesses. Ziel ist das Minimieren der Effekte von ungünstigen Faktoren während der Produktion und während des Gebrauchs.

16 5.2 Taguchi s Methode Sie betrifft den Versuchsplan der Experimente (orthogonale Versuchspläne) die Analyse der Ergebnisse (der Variation der Response-Variablen) Nach Taguchi entspricht der Versuchsplan eines Experimentes einem Prozess, dem Produkt Design Prozess, der drei Stufen umfasst: 1. System Design 2. Parameter Design 3. Toleranz Design System Design Entwurf des Produktes entsprechend den Anforderungen der Konsumenten, den Möglichkeiten der Produktion. Ergebnis ist ein Prototyp; Identifizierung möglicher Störfaktoren in Produktion und Verwendung. Es werden unterschieden kontrollierte Faktoren, nicht kontrollierte Faktoren (noise). Unter Parameter versteht Taguchi die Werte (den Wertebereich) der Faktoren; wird auch synonym mit Faktor verwendet Parameter Design Festlegung jener Zielwerte der kontrollierten Faktoren, bei denen die Variabilität minimal ist; Basis sind entsprechende Experimente. Behandlung von noise: Behandlung als kontrollierter Faktor, wenn Ursache für Fehler

17 Wahl der Werte der kontrollierten Faktoren so, dass der Effekt des noise minimiert wird; Robustifizieren des Produktes! Aufgabe des Design Prozesses ist die Festlegung, welche Faktoren kontrolliert werden sollen und welche nicht, die Festlegung der Werte der Faktoren so, dass der Effekt des noise minimiert wird Toleranz Design Festlegung von reduzierten Toleranzbereichen für die einzelnen Faktoren, um die Variabilität des Produktes zu verkleinern; höherer Aufwand, teurere Maschinen, etc. 5.3 Der Versuchsplan Taguchi s Produkt Design unterscheidet zwischen kontrollierten und nicht kontrollierten Faktoren. Begriffe: inner array: Versuchsplan für die kontrollierten Faktoren; deckt den relevanten Wertebereich ab (zwei bis vier Niveaus); outer array: Versuchsplan für ausgewählte noise Faktoren; orthogonale Versuchspläne (faktorielle Designs, fraktionale faktorielle Designs, Lateinische Quadrate Design). Ziel des Experiments ist es, eine Faktorkombination zu finden, so dass der Produktionsprozess ein Produkt liefert, das nahe dem gewünschten Output liegt und minimale Variation hat. Anstelle der minimalen Variation kann ein maximales signal-to-noise Verhältnis angestrebt werden. Taguchi schlägt folgende signal-to-noise Verhältnisse und entsprechende Anwendungen vor (y ist die Response-Variable):

18 SN sml, wenn y möglichst klein sein soll ( sml für small): i yi 2 SN sml = 10 log 10 n ; SN lrg, wenn y möglichst groß sein soll ( lrg für large): y 2 i SN lrg = 10 log 10 n SN tgt, wenn y möglichst nahe einem Zielwert sein soll ( tgt für target): (ȳ2 ) SN tgt = 10 log 10 oder s 2 1 n (ȳ2 ) SN tgt = 10 log 10 ȳ und s sind Mittelwert und Standardabweichung der Response y bei der jeweiligen Faktorkombination Beispiel 9: Widerstand einer elektrischen Schaltung. Der Zielwert ist 73 Ohm; es gibt drei level-adjustment Faktoren A, B und C und zwei variabilityadjustment Faktoren. Die Analyse der Mittelwerte egibt Durchschnitt: 69.1 Haupteffekte: A = 16.0, B = 26.7, C = 3.1; Wechselwirkungen: A B = 1.3, A C = 1.4, B C = 0.8, A B C = 2.1. Analyse der Varianzen: Durchschnitt: 0.68; Haupteffekte: A = 0.25, B = 0.40, C = 0.75; Wechselwirkungen: A B = 0.19, A C = 0.29, B C = 0.27, A B C = Um die Variabilität zu minimieren, verwenden wir den Faktor C: die mittlere Varianz bei C auf dem unteren Niveau ( ) ist 0.31, bei C: + ergibt sich 1.06; wir setzen C auf. Adjustierung des Niveaus mit den Faktoren A und B: Die Mittelwerte betragen (A:, B: ), (A:, B: +), (A: +, B: ), und (A: +, B: +). Als Ergebnis der Analysese legen wir die Parameter folgendermaßen fest: Wir setzen A auf +, B auf + und C auf. s 2 ; ;

19 5.4 Kritik an Taguchi s Methoden Folgende Hauptkritikpunkte werden vorgebracht: die Versuchspläne der vorgeschlagenen Experimente sind oft nicht effizient; die Interpretation der signal-to-noise Verhältnisse ist oft schwierig. Beispiel 10: Produktion von wafer für integrierte Schaltkreise. Die Response-Variable ist die Dicke des wafers; der Zielwert beträgt 14.5µ. Faktoren sind: das Rotations-Verfahren (A), der Code des wafers (B), die Kondensations- Temperatur (C), die Kondensations-Zeit (D), die Durchflußmenge des Dotierungsgases (E), die Ätz-Temperatur (F ), die Durchflußmenge der Ätzsubstanz (G), und die Position der Düse (H). Für das Experiment werden jeweils zwei Niveaus vorgegeben. Der Versuchsplan sieht ein Experiment vor; bei jeder der 16 Faktorkombinationen werden an je 14 wafer fünf Dicken-Messungen genommen. Beispiel 11: Kupplung für Nylonrohre. Die Response-Variable ist die Abzieh- Stärke, die notwendig ist, um ein Rohre von der Steckkupplung zu trennen. Sie soll maximiert werden. Kontrollierbare Faktoren sind die Verbindungsfestigkeit (A), die Wandstärke der Kupplung (B), die Kupplungstiefe (C) und die Kleber-Konzentration (D). Für jeden Faktor werden jeweils drei Niveaus (notiert als 1, 2, 3 oder, 0, +) gewählt. Noise-Faktoren sind die Prüf-Zeit (N 1), die Prüf-Temperatur (N 2) und die Luftfeuchtigkeit bei der Prüfung (N 3); es werden jeweils zwei Niveaus verwendet. Der Versuchsplan: Das inner array ist ein orthogonales Experiment in neun Durchläufen; das outer array ist ein 2 3 faktorielles Experiment. Das analysierte signal-to-noise Verhältnis ist SN lrg. Es ergibt sich als maximal bei der folgenden Faktorkombination: A auf 0, B auf 0, C auf +, D auf.

20 Beispiel 11: Blattfedern für LKWs. Die Response-Variable ist die Krümmung der Federn; sie soll 8 Zoll betragen. Kontrollierbare Faktoren sind die Temperatur (B; : F, +: F), die Aufheiz-Zeit (C; : 25sec, +: 23sec), die Transfer- Zeit (D; : 12sec, +: 10sec), die Eintauch-Zeit (E; : 2sec, +: 3sec). Noise- Faktor ist die Temperatur des Ölbades (O; : 130 bis 150 0, +: 150 bis F). Die Temperatur ist schwer zu kontrollieren. Der Versuchsplan: Das inner array ist ein Experiment; Das outer array ist 2 1 Experiment mit 3 Wiederholungen. Das analysierte signal-to-noise Verhältnis ist SN tgt. Für die Haupteffekte ergeben sich B = 0.33, C = 9.27, D = 4.57 und E = 2.94; B und E haben wenig Effekt; C und D wirken direkt und durch Wechselwirkung. Das maximale signal-to-noise Verhältnis wird erreicht bei C auf + und D auf. Die Mittelwerte der Haupteffekte betragen B = 0.22, C = 0.18, D = 0.03 und E = 0.10; Adjustierung auf den Zielwert mit Hilfe der Faktoren B und E; bei B und E auf + beträgt die Krümmung 7.78 Zoll. Aufgaben 1. Planen Sie das Experiment Keimen von Bohnen : (a) Identifizieren Sie die Response-Variable. (b) Identifizieren Sie primäre und sekundäre Faktoren. (c) Legen Sie fest, wie die Variablen gemessen werden? (d) Entwerfen Sie einen geeigneten Versuchsplan; machen Sie Gebrauch von Blocken und Randomisieren. 2. Führen Sie das Experiment durch und stellen Sie Ihre Ergebnisse graphisch dar. Schreiben Sie einen Bericht: Beschreiben Sie (a) die Aufgabenstellung, (b) den Versuchsplan, (c) und die Ergebnisse. (d) Diskutieren Sie, welche Änderungen im Versuchsplan günstig gewesen wären. 3. Die Reibfestigkeit von Textilfasern wird durch Reiben eines Gewebes aus dieser Faser unter standardisierten Bedingungen gemessen. Unter StPDaten, Tabelle Abrieb, finden Sie die gemessenen Abriebwerte für zwei verschiedene Fasern.

21 (a) Sind Reibfestigkeiten der beiden Fasern gleich? Wenn nicht, in welcher Weise unterscheiden sie sich? (b) Beschreiben Sie, wie das Design des Experiments, das den Daten zugrunde liegt, ausgesehen haben kann. Diskutieren Sie, welche Rolle Blocken und Randomisieren gespielt haben können. 4. Ein Ätz-Prozess läuft unter Verwendung eine Fluorids in einem Reaktor ab. Unter StPDaten, Tabelle Ätz-Prozess, finden Sie die Ergebnisse eines Experiments, in dem die Bedingungen festgestellt werden sollten, unter denen eine maximale Ätz-Rate erreicht wird. Die interessierenden Faktoren sind der Elektrodenabstand (A; : 8mm, +: 12mm), der Druck im Reaktor (B; : 450mTorr, +: 550mTorr), die Durchflussmenge des Fluorids (C; : 125cc/min, +: 200cc/min), und die Leistung (D; : 275W, +: 325W), mit welcher der Reaktor betrieben wird. (a) Welche sind die wesentlichen Faktoren und Wechselwirkungen? (b) Können die Effekte als statistische signifikant angesehen werden? (c) Bei welcher Faktorkombinaton erreicht man die maximale Ätz-Rate? 5. Unter PeterJohn (EXCEL-Datei StPDaten, Tabelle PeterJohn) finden Sie das inner design eines Experiments (fünf kontrollierte Faktoren mit je drei Niveaus, 18 Durchläufe) und die Ergebnisse (Mittelwert, Varianz), die aus jeweils neun Wiederholungen bei Variation der noise-faktoren entsprechend dem outer design des Experiments erhalten wurden. (a) Berechnen Sie die Mittelwerte der Response (Mittelwert, Varianz oder logarithmierte Varianz) für alle Niveaus der kontrollierten Faktoren. Welche Faktoren bestimmen den Mittelwert und welche die Varianz? (b) Bei welcher Faktorkombination erhalten wir die maximale mittlere Response? (c) Bei welcher Faktorkombination erhalten wir das maximale signal-tonoise Verhältnis SN tgt? Wie unterscheidet sich die Lösung von der aus (b)?