5 Codierung nach RSA (Lösung)

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1 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 1/17 5 Codierung nach RSA (Lösung) 5.1 Einführung Die drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman entwickelten 1977 das nach ihnen benannte RSA-Verfahren. Es basiert auf der Idee, dass die Faktorisierung einer großen Zahl, also ihre Zerlegung in (mindestens zwei) Faktoren, eine sehr aufwändige Angelegenheit ist, während das Erzeugen einer Zahl durch Multiplikation zweier Primzahlen trivial ist. Abbildung 5.1: Ronald Rivest (in der Mitte), Adi Shamir (links) und Leonard Adleman (rechts), Ich will nun das RSA-Verfahren an einem Beispiel verdeutlichen. An Alice sollen verschlüsselte Botschaften versendet werden. Dazu stellt Alice einen öffentlich bekannten Schlüssel (public key) zur Verfügung. Jeder kann diesen Schlüssel verwenden, um seine Botschaften an Alice zu kodieren. Bob verwendet nun diesen Schlüssel, um eine verschlüsselte Nachricht an Alice zu senden. Nach der Verschlüsselung ist es nur noch Alice möglich, diese Nachricht zu dekodieren, da nur sie die "Zusammensetzung" (private key) des von ihr erzeugten (öffentlichen) Schlüssels kennt. Bemerkung: Zuerst müssen die Buchstaben in Zahlen verwandelt werden. Dazu eignet sich natürlich der ASCII-Code. Dadurch entstehen bei den Großbuchstaben Zahlen zwischen 65 und 90. Um nun ein Beispiel mit Hilfe des Taschenrechners durchzuspielen, benötige ich möglichst kleine Zahlen. Beim RSA-Verfahren

2 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 2/17 müssen nämlich zwei Primzahlen gewählt werden, deren Produkt größer ist als die größte Zahl, die die Buchstaben darstellen. Deshalb nummeriere ich die Buchstaben von 1 bis 26 (ASCII 65). Somit können im folgenden Beispiel kleinere Primzahlen gewählt werden Öffentlicher Schlüssel (public key) Alice muss also zuerst einen öffentlichen Schlüssel erzeugen. Sie wählt zwei riesige Primzahlen p und q. Die Primzahlen sollten sehr groß sein, doch der Einfachheit halber nehmen wir an, das Alice p = 5 und q = 11 wählt. Diese Zahlen muss sie geheim halten. Alice multipliziert diese beiden Primzahlen miteinander und erhält die Zahl N, in diesem Fall ist N = 55. Nun errechnet Alice eine Hilfszahl Z = (p-1). (q-1) = (5 1). (11 1) = 40. Sie wählt jetzt eine weitere Zahl E, die prim ist und zugleich kein Teiler von dieser Hilfszahl Z ist, in diesem Fall z.b. E = 7. Jetzt kann Alice diese beiden Zahlen E und N in einem öffentlichen Verzeichnis ablegen, so dass jeder Zugang zu diesen beiden Zahlen hat. Diese stellen also den öffentlichen Schlüssel (public key) dar, also N = 55 und E = Verschlüsselung Bob will nun Alice eine Mitteilung machen. Er muss also die Buchstaben des Klartextes zuerst in Zahlen umwandeln. Dazu nummeriert er das Alphabet durch: A = 0, B = 1, C = 2,, Z = 25. Nun sucht er den öffentlichen Schlüssel von Alice heraus, also N = 55 und E = 7. Damit kann er jeden Klarbuchstaben K in den Geheimbuchstaben G umrechnen nach folgender Formel G = K E mod N [K = Klarbuchstabe, G = Geheimbuchstabe] Nehmen wir nun an, Bob will an Alice den Klarbuchstaben M verschlüsselt senden. M = 12 G = 12 7 mod 55 = mod 55

3 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 3/17 Bei großen Primzahlen wird diese Berechnung schwierig werden. Hierzu kann deshalb die Kongruenzarithmetik verwendet werden, indem 12 7 (bezüglich des Modulus 55) schrittweise durch eine dazu kongruente kleinere Zahl ersetzt wird. G = [12 mod ] mod mod 55. G = 23 Aus dem Klartext K = 12 (entspricht dem Buchstaben M ) ist somit der Geheimtext G = 23 geworden. Jetzt schickt Bob den Geheimtext 23 an Alice Geheimer Schlüssel (private key) Da die Modul-Arithmetik eine Einwegfunktion ist, ist es sehr schwer, bei sehr großen Zahlen sogar unmöglich, von G = 23 den Weg zurückzugehen und auf die ursprünglich Botschaft zu schließen. Alice jedoch kann die Botschaft entschlüsseln, weil nur sie eine bestimmte Information hat, nämlich die beiden Primzahlen p und q. Daraus berechnet sie eine besondere Zahl D, den privaten Schlüssel (private key). Diese Zahl D wird nach folgender Formel berechnet: E. D = 1 mod ((p-1). (q-1)) also E. D = 1 mod 40 = 1, 41, , 161, 201, 241, 281, 321, 361, 401, 441, Aus all diesen Zahlen sucht man nun eine, die E (hier 7) als Teiler haben, z.b. D = 161 : 7 = 23 D = 441 : 7 = 63 oder auch Somit besitzt nun Alice den geheimen Schlüssel (private key), also N = 55 und D = Entschlüsselung Um die Mitteilung von Bob nun zu entschlüsseln, benutzt Alice einfach folgende Formel: K = G D mod N [K = Klarbuchstabe, G = Geheimbuchstabe]

4 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 4/17 K = (mod 55) = [23 mod 55). 23]. mod mod 55 = 12 also K = 12 = M. Alice kann also die von Bob verschlüsselte Nachricht lesen. Ein weiteres Beispiel zum Probieren: H = = 7 G = 7 7 (mod 55) = 28 K = (mod 55) = 7 = H Verwende nun folgenden Schlüssel: p = 47 N = 2773 D = 157 q = 59 E = 17 Auf den folgenden Webseiten findest du weitere Informationen über das RSA- Verfahren:

5 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 5/ Definieren der Schnittstelle Abbildung 5.2: Definieren einer grafischen Schnittstelle Die Abbildung 5.2 zeigt, wie unsere grafische Benutzeroberfläche gestaltet sein könnte. Unabhängig vom Aussehen der GUI benötigen wir zur Codierung eines Textes die beiden Schlüssel N und E und das Klarwort. Diese drei Daten sollen vom Benutzer in entsprechenden Textfelder eingeben werden. Die Klasse RSA ist also verantwortlich, dass sie sich diese Daten aus der GUI selber holt. Dafür wird eine Methode holedaten() implementiert, die diese Aufgabe zu erledigen hat. Die Klasse RSA codiert nun mit Hilfe der beiden Schlüssel das eingegebene Das entsprechende Geheimwort gibt die Klasse RSA mit Hilfe der Methode gibwort() wieder zurück. Somit hat die Klasse Ansicht das Geheimwort und kann dann es in das dafür vorgesehene Textfeld einlesen. Die Klasse RSA hat also die folgenden öffentlichen Methoden: holedaten() und gibwort(). Nur diese beiden Methoden können von der Klasse Ansicht gesehen und somit auch verwendet werden.

6 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 6/ Die Klasse RSA Verschlüsselung Wie in Abbildung 5.2 angedeutet, benötigt die Klasse RSA das Klarwort und die beiden Schlüssel und ermittelt daraus das Geheimwort. Allerdings können wir Klarwort und Geheimwort in einem einzigen Datenfeld speichern. Somit besitzt die Klasse RSA die drei Datenfelder wort, nschl und eschl. wort nsschl eschl RSA Methoden Abbildung 5.3: Datenfelder der Klasse RSA Diese drei Datenfelder müssen nun mit entsprechenden Werten belegt werden. Diese Werte holt sich die Klasse RSA mit Hilfe der Methode holedaten() aus den Textfeldern der GUI. In der Methode codierewort() wird aus dem Klartext der Geheimtext berechnet. Mit Hilfe der Methode gibwort() gibt die Klasse RSA nun den Geheimtext wieder zurück an die Klasse Ansicht, die ihn in das entsprechende Textfeld einsetzt. wort nschl eschl RSA holedaten() codierewort() rechnerest() gibwort() Abbildung 5.4: Datenfelder und Methoden der Klasse RSA Die Methode codierewort() ähnelt der Methode aus den bisher besprochenen Kapiteln.

7 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 7/17 private void codierewort() StringBuffer wortbuffer; int wortlaenge, x; char ch; wortbuffer = new StringBuffer(); wort = wort.touppercase(); wortlaenge = wort.length(); for (int i = 0; i < wortlaenge; i++) ch = wort.charat(i); x = (int) ch; x = x - 65; x = rechnerest(x); wortbuffer.append(x + " "); wort = wortbuffer.tostring(); Abbildung 5.5: Die Methode codierewort() Neu hingegen ist die Methode rechnerest(). Jedem Buchstaben wird eine Zahl zugeordnet. Hier habe ich vorerst die Nummerierung im Alphabet genommen, also A = 0, B = 1,, Z = 25, weil mit diesen kleinen Zahlen relativ leicht zu rechnen ist. Diese zu verschlüsselnde Zahl, die Klarzahl, wird mit dem Schlüssel E potenziert und der Rest bezüglich der Division durch den Schlüssel N berechnet: G = K E mod N [K = Klarbuchstabe, G = Geheimbuchstabe] Dieser Rest ist die verschlüsselte Zahl. Die Methode rechnerest() ermittelt den Rest, indem man die Klarzahl modulo N berechnet. Dieser Rest wird wieder mit der Klarzahl multipliziert, der Rest modulo N ermittelt, und so weiter. Die Anzahl der Durchläufe wird durch den Schlüssel E bestimmt: G = [x mod N. x] mod N. x mod N. for (int i = 0; i < eschl; i++) rest = zahl % nschl; zahl = rest * zahlh; Abbildung 5.6: Die Kongruenz-Arithmetik

8 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 8/17 Mit Hilfe dieser Kongruenz-Arithmetik wird also aus der Klarzahl zahl die Geheimzahl rest ermittelt. private int rechnerest(int zahlh) int zahl, rest = 0; zahl = zahlh; for (int i = 0; i < eschl; i++) rest = zahl % nschl; zahl = rest * zahlh; return rest; Abbildung 5.7: Die Methode rechnerest() Übung: Das Projekt RSA01a behandelt die Verschlüsselung nach RSA. Abbildung 5.8: Die Methoden holedaten() und gibwort() Entschlüsselung In der Methode codierewort() wurden die Klarbuchstaben in Geheimzahlen umgerechnet und jeweils mit einem Zwischenabstand in das Textfeld geschrieben. Auch nach der letzten Geheimzahl befindet sich ein Leerzeichen. Bemerkung: Es ist wichtig, dass die Eingabe der Zahlenreihe mit einem Leerzeichen abgeschlossen wird, denn dieses Leerzeichen wird hier zur Trennung dieser Zahlenreihe benötigt. Zum Dekodieren benötigen wir nun den Schlüssel D. Folglich verwenden wir ein Datenfeld dschl. Die öffentlichen Methoden holewort() und gibwort() bleiben unverändert und können somit von der Klasse Ansicht gelesen werden.

9 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 9/17 Änderungen finden in den beiden privaten Methoden decodierewort() und rechnerest(). wort nschl dschl RSA holedaten() decodierewort() rechnerest() gibwort() Abbildung 5.9: Datenfelder und Methoden der Klasse RSA Die Methode decodierwort() muss nun aus der Zahlenreihe wieder das Klarwort ermitteln. private void decodierewort() StringBuffer wortbuffer; String teilwort; int trennen, x; wortbuffer = new StringBuffer(); while (wort.length() > 0) trennen = wort.indexof(32); teilwort = wort.substring(0, trennen); wort = wort.substring(trennen + 1); x = Integer.parseInt(teilWort); x = rechnerest(x); x = x + 65; wortbuffer.append((char) x); wort = wortbuffer.tostring(); Abbildung 5.10: Die Methode decodierewort() Der ASCII-Code für die Leertaste beträgt 32. Die Stelle des Leerzeichens innerhalb der Zeichenkette wird mit indexof(32) gesucht und somit der String in zwei Teile zerlegt. Der erste Teilstring wird als teilwort gespeichert und in eine Integerzahl x umgewandelt, die dann der Methode rechnerest() übergeben wird. Diese Methode berechnet den Modulo-Rest und gibt diesen wieder an die Methode decodierewort() zurück. Daraus wird der Klarbuchstabe erzeugt.

10 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 10/17 Der zweite Teilstring nach dem Leerzeichen wird wieder in der Methode decodierewort() zur weiteren Verarbeitung verwendet. Somit wird der String von Leerzeichen zu Leerzeichen in den Klartext umgewandelt solange die Länge des Strings größer 0 ist. In der Methode rechnerest() wird an Stelle der Variablen eschl die Variable dschl verwendet. private int rechnerest(int zahlh) int zahl, rest = 0; zahl = zahlh; for (int i = 0; i < dschl; i++) rest = zahl % nschl; zahl = rest * zahlh; return rest; Abbildung 5.11: Die Methode rechnerest() Übung: Das Projekt RSA01b behandelt die Entschlüsselung nach RSA. Abbildung 5.12: Die Methoden holedaten() und gibwort() Zusammenfassung Nun sollten die Verschlüsselung und die Entschlüsselung zu einer einzigen Klasse zusammengefasst werden. Hierzu führe ich eine Variable codier vom Typ boolean ein. if (codier == true) codierewort(); if (codier == false) decodierewort(); Abbildung 5.13: Verwendung der Variablen codier

11 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 11/17 Im Konstruktor wird deren Wert überprüft. Falls sie den Wert true hat, wird die Methode codierewort(), falls sie den Wert false hat, wird die Methode decodierewort() ausgeführt. wort nschl edschl codier RSA holedaten() codierewort() decodierewort() rechnerest() gibwort() Abbildung 5.14: Datenfelder und Methoden der Klasse RSA Übung: Das Projekt RSA01c behandelt die Verschlüsselung/Entschlüsselung nach RSA. Abbildung 5.15: Die Methoden holedaten() und gibwort() beim Codieren bzw. Decodieren

12 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 12/ Die grafische Oberfläche Gestaltung Die grafische Oberfläche übernehme ich aus Kapitel 1 Abbildung 1.16, Abbildung 5.16: Beispiel für die GUI von RSA02a Es wurden folgende Veränderungen durchgeführt: 1. Name des Fensters 2. Weitere Labels und Textfelder für die Eingabe der Schlüssel. Übung: Das Projekt RSA02a behandelt die Oberfläche Reaktionen Nun müssen wir noch die Reaktionen programmieren, wenn auf die Radiobutton bzw. auf den Button geklickt wird. Die Reaktionen auf die beiden Radiobuttons sind recht einfach. Wird codiert, wird im Einstellungsbereich der öffentliche Schlüssel public key eingetragen, das Textfeld eschltf erwartet den Schlüssel E und im Darstellungsbereich ist das obere Textfeld für den Klartext, das untere für den Geheimtext vorgesehen. Beim Decodieren werden entsprechend geänderte Eintragungen angezeigt. Dementsprechend müssen die Labels die richtige Beschriftung wider geben. private void codierrbitemstatechanged(itemevent evt) if (codierrb.isselected()) textl.settext("public key"); edschll.settext("schluessel E:");

13 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 13/17 eingabel.settext("klartext:"); ausgabel.settext("geheimtext:"); private void decodierrbitemstatechanged(itemevent evt) if (decodierrb.isselected()) textl.settext("private key"); edschll.settext("schluessel D:"); eingabel.settext("geheimtext: (letztes Zeichen Leertaste!)"); ausgabel.settext("klartext:"); Abbildung 5.17: Methoden zur Beschriftung der Textfelder Die Reaktion auf den Button lässt sich weit gehend aus Projekt Caesar03d übernehmen. Sie unterscheidet sich nur in der Verwendung der zusätzlichen Variablen codieren. Ihr Wert ist true bzw. false je nach Wahl des Radiobuttons. private void uebersetzbactionperformed(actionevent evt) String wort; int nschl, edschl; boolean codieren = true; //gerade aktivierter Radiobutton RSA einrsa = new RSA(); wort = eingabetf.gettext(); nschl = Integer.parseInt(nSchlTF.getText()); edschl = Integer.parseInt(edSchlTF.getText()); if (codierrb.isselected()) codieren = true; if (decodierrb.isselected()) codieren = false; einrsa.holedaten(wort, nschl, edschl, codieren); wort = einrsa.gibwort(); ausgabetf.settext(wort); Abbildung 5.18: Die Methode uebersetzbactionperformed() in der Klasse Ansicht Übung: Das Projekt RSA02b behandelt die Oberfläche mit den Reaktionen.

14 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 14/17 Abbildung 5.19: Das Projekt RSA02b beim Verschlüsseln Abbildung 5.20: Das Projekt RSA02b beim Entschlüsseln 5.5 Eine stand-alone Applikation Bis jetzt läuft unser Programm nur in der Entwicklungsumgebung BlueJ. Wir wollen es jedoch als selbstständiges Programm an dritte Personen weitergeben können. Hierzu benötigen wir eine so genannte main()-methode. Wird diese Methode beim Aufruf des Programms gefunden, so läuft der Rest sozusagen von allein ab. Ich lege diese Methode main() aus didaktischen Gründen in eine eigene Klasse Codierung. public class Codierung Ansicht ansicht; public Codierung()

15 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 15/17 ansicht = new Ansicht(); public static void main(string[] args) Codierung q = new Codierung(); Abbildung 5.21: Quellcode der Klasse Codierung Abbildung 5.22: Klassendiagramm von RSA03 mit dem Aufruf der Methode main() Übung: Aus dem Projekt RSA03 kann eine stand-alone-applikation erstellt werden. 5.6 Verbesserung des RSA-Verfahrens Wird nun jeder Buchstabe für sich verschlüsselt, dann erhalten alle gleichen Buchstaben den gleichen Geheimbuchstaben. Das ist natürlich sinnlos, da man mit Hilfe einer Häufigkeitsanalyse recht schnell den Klartext ermitteln kann. Fasst man jedoch zwei Buchstaben zusammen zu einer Zahl, die codiert wird, so ist dieser Geheimtext schon nicht mehr so leicht zu entschlüsseln. Klartext: g e h e i m Nummer:

16 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 16/17 Zahl: Bemerkung: Beim Durchspielen von RSA04 ergaben sich folgende Probleme: 1. Da immer zwei Buchstaben zusammengefasst werden, muss der Klartext aus einer geraden Anzahl von Buchstaben bestehen. Vorläufig hänge ich zum Schluss ggf. den Buchstaben z noch an. 2. Der Buchstabe Z erhält bei der Durchnummerierung die Zahl 25. Da immer zwei Buchstaben zusammengefasst werden zu einer Zahl, ist die größte vorkommende Zahl Beim Dechiffrieren muss also als Klarzahl wieder 2525 erscheinen. Dies erfolgt nur, wenn bei der Modulo-Rechnung eine größere Zahl als 2525 verwendet wird. Deswegen verwende ich folgende Schlüssel: p = 47, q = 59, N = 2773, E = 17, D = Es kann noch kein Text mit Leerzeichen, Sonderzeichen und Umlauten eingegeben werden, da der ASCII-Code für die Leertaste 32 beträgt. Wird davon 65 abgezogen, kommt man zu einer negativen Zahl, die in der Modulo-Rechnung Probleme bereitet. In der Methode codierewort() werden von zwei aufeinander folgenden Buchstaben die Klarzahlen x1 und x2 ermittelt und zu einer vierstelligen Zahl x zusammengefasst. Diese Zahl wird nun in der Methode rechnerest() dem RSA- Algorithmus unterworfen. for (int i = 0; i < wortlaenge; i = i + 2) ch1 = wort.charat(i); x1 = (int) ch1; x1 = x1-65; ch2 = wort.charat(i + 1); x2 = (int) ch2; x2 = x2-65; x = 100 * x1 + x2; x = rechnerest(x); wortbuffer.append(x + " "); Abbildung 5.23: Änderungen in der Methode codierewort() In der Methode decodierewort() müssen aus der vierstelligen Zahl x wieder die beiden Klarzahlen x1 und x2 ermittelt werden. Die Zahl x2 wird durch mod 100 und die Zahl x1 durch div 100 berechnet. while (wort.length() > 0)

17 Kapitel 5 Codierung nach RSA (Lösung) Seite 17/17 trennen = wort.indexof(32); teilwort = wort.substring(0, trennen); wort = wort.substring(trennen + 1); x = Integer.parseInt(teilWort); x = rechnerest(x); x2 = x % 100; x1 = (int) (x / 100); x1 = x1 + 65; x2 = x2 + 65; wortbuffer.append((char) x1); wortbuffer.append((char) x2); Abbildung 5.24: Änderungen in der Methode decodierewort() Abbildung 5.25: Das Projekt RSA04 beim Verschlüsseln Abbildung 5.26: Das Projekt RSA04 beim Entschlüsseln