Rechnen mit Sterbetafeln & Renten

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1 Raiffeisenverband Salzburg REVISION Rechnen mit Sterbetafeln & Renten Dir. Dr. Hannes Leitinger Version Mai 2011

2 - 2 / 17 - INHALTSVERZEICHNIS RECHNEN MIT ÜBERLEBENSTABELLEN VERWENDETE BEGRIFFE UND VARIABLE DEFINITIONEN BESCHREIBUNG: STERBETAFEL / ÜBERLEBENSTAFEL ERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN AB ALTER Erlebens-Wahrscheinlichkeit von Alter 60 auf Alter 61 bei Männern und Frauen Erlebens-Wahrscheinlichkeit von Alter 60: bei Männer auf Alter 80, bei Frauen auf Alter LEBENSERWARTUNG IM ALTER X RENTENRECHNUNG FINANZMATHEMATISCH STERBETAFELN ÖSTERREICH 2006 QUELLE: STATISTIK AUSTRIA ( ) STERBETAFELN DEUTSCHLAND...15 DM 1 - STERBETAFELN MÄNNLICH...15 DW 1 - STERBETAFELN WEIBLICH...15 DM 2 - MÄNNLICH...16 DW 2 - WEIBLICH...16 DM 3 - MÄNNLICH...17 DW 3 - WEIBLICH...17

3 - 3 / 17 - Vorwort Für den Praktiker ergibt sich bei der Kontrolle von Pensionsanwartschaften und Rentenleistungen oft die Frage einer überschlagsmäßigen Nachkontrolle von konkreten Zahlungsplänen bei der Anwartschaft und von Pensionsauszahlungen bei Rentenleistungen. Dies kann einfach unter Berücksichtigung von aktuellen Überlebenstabellen (=Sterbetafeln) und finanzmathematischen Kalkülen erfolgen. Zum Rechnen mit Sterbetafeln bzw. zum Nachschlagen für den Praktiker eignen sich die Kapitel 1 und 2, Zielwert- und Rentenrechnungen mit EXCEL werden in Kapitel 3 vorgestellt. Aktuelle Sterbetafeln downloadbar in EXCEL - für Österreich und Deutschland befinden sich in Kapitel 4 und 5 Als Unterlagen wurden verwendet: Falkenberg Herbert, Mathematik für den Wirtschaftspraktiker, Methoden Formeln und Systeme, Wien 1977 Luy Marc, Lebenserwartung.info 1, Universität Rostock, Demographie und ihre Anwendungsgebiete 2007 Statistik Austria, Sterbetafeln Österreich für Männer und Frauen, zuletzt Wien Statistisches Bundesamt, Sterbetafeln Deutschland für Männer und Frauen 2001/2003, Wiesbaden Der Autor ist für die Mitteilung von Fehlern und Unklarheiten sowie Verbesserungsvorschlägen dankbar. Salzburg Oktober Layout-Korrekturen Februar 2008 Dir. Dr. Hannes Leitinger 4 eh 1 Artikel downloadbar unter: " 2 Jährliche Sterbetafeln seit 1947 in EXCEL, downloadbar unter: " 3 Sterbetafeln Deutschland 2001/2003 in EXCEL, downloadbar unter 4 Dr. Hannes Leitinger ist Volkswirt (UNI Innsbruck 1974), Universitätsassistent (1975), ausgebildeter Programmierer (UNI Manchester 1977), empirischer Wirtschaftsforscher (UNI München ), Doktorat mit Dissertation über Lohndrift, Revisor und Bankprüfer (1983), BWG- und Basel II Sektorspezialist seit 1985, Revisionsdirektor seit 1999

4 - 4 / 17 - Rechnen mit Überlebenstabellen 1 verwendete Begriffe und Variable Nr. Var. deutsche Bezeichnung Var. Englische Bezeichnung 1 Alter 2 L Zahl der Lebenden 3 D Gestorbene 4 p W. das +1 zu erleben 5 Q W. vor +1 zu sterben 6 L Überlebensjahre 7 a a fraction of last age interval life 8 e Lebenserwartung

5 - 5 / 17-2 Definitionen 2.1 Beschreibung: Sterbetafel / Überlebenstafel Gesetzliche Pensions- und private Lebensversicherungen basieren auf Zinseszins-, Renten- und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Weiters ist zu ihrem technischen Aufbau eine Sterbetafel notwendig. Darunter versteht man eine tabellarische Übersicht, aus der man ersehen kann, wie groß die Zahl gleichaltriger Personen ist, die das nächste Jahr überleben. Diese Tabellen sollten daher richtiger Überlebenstafeln heißen. Solche Tabellen werden von den Statistischen Ämtern aber auch von den Versicherungsgesellschaften erstellt und laufend aktualisiert. Grundsätzlich gilt: Sterbetafel Überlebenstafel = Zahl Personen mit, die das +1 erleben = Alter ( = Alter )

6 - 6 / Erlebenswahrscheinlichkeiten ab Alter 0 l = Zahl der Lebenden Alterssegm ent 1 d = l l = Gestorbene Altersegme nt +1 Anzahl der Personen mit, die das Alter X+1 nicht erlebt haben, also zwischen den Jahren und +1 verstorben sind. l p 1 = + = W daß X Jährige( r) das + 1erlebt. l d q = = W daß X Jährige( r) vor l stirbt.

7 - 7 / 17 - q = 1 p oder W = Ableben W Erleben gilt definitorisch Genau genommen stellen die einzelnen l () -Werte die Erlebenswahrscheinlichkeiten vom Startpunkt (0) dar, ein bestmtes Alter zu erreichen Erlebens-Wahrscheinlichkeit von Alter 60 auf Alter 61 bei Männern und Frauen Österreichische Sterbetafel 2006 (M=Männer F=Frauen) p l61 M = = = 0,98944; 1q M l M 60M = 1 0,98944 = 0,01056 p l61f = = = 0,99500 ; 1q F l F 60F = 1 0,99500 = 0, Deutsche Sterbetafel 2001/2003 (M=Männer F=Frauen)

8 p - 8 / 17 - l61 M = = = 0,98865; 1q M l M 60M = 1 0,98865 = 0,01135 p l61 F = = = 0,99463; 1q F l F 60F = 1 0,99463 = 0, Erlebens-Wahrscheinlichkeit von Alter 60: bei Männer auf Alter 80, bei Frauen auf Alter Österreichische Sterbetafel 2006 (M=Männer F=Frauen) p l80m = = = 0,57728; 20q M l M 60M = 1 0,57728= 0,42271

9 p - 9 / 17 - l85f = = = 0,55411; 25q F l F 60F = 1 0,55411= 0, Deutsche Sterbetafel 2001/2003 (M=Männer F=Frauen) p l = 0,51681; M = = 20 20q60M 60 M l60m = 1 0,51681= 0,48319 p l85 F = = = 0,50106; 25q F l F 60F = 1 0,50106= 0,49894

10 - 10 / Lebenserwartung Für die Frage Lebenserwartung sind weitere Berechnungen und Umformungen der l()-werte erforderlich. Aus den Sterbetafelfunktionen lassen sich die von der Sterbetafelbevölkerung durchlebten L() bestmen: Jedes Mitglied der Sterbetafel, das von bis +1 überlebt hat, trägt eakt ein Jahr zu dem entsprechenden L()-Wert bei, während die verstorbenen Personen zu dem jeweiligen L()-Wert nur den von ihnen durchschnittlich Intervall gelebten Anteil a() beisteuern. In der Regel wird a() = 0,5 angenommen, das heißt es wird angenommen, dass die Intervall Verstorbenen Durchschnitt noch die Hälfte des Intervalls gelebt haben. Da sich bei Säuglingen die Sterbefälle in zeitlicher Nähe zur Geburt ereignen, wird abweichend für a(0) = 0,1 angenommen. Die Summe der gelebten Jahre der Sterbetafelbevölkerung berechnet sich nach der Formel: L = l+ 1 + a * d ; a0 = 0,1; a 0 = 0,5 Die Aufsummierung sämtlicher L()-Werte ergibt schließlich alle von der Sterbebevölkerung gelebten Personenjahre. Aus der Division dieses Wertes mit dem Ausgangszustand =0 auch Radi bezeichnet ergibt sich die durchschnittliche Lebenserwartung bei Geburt e(0) und gibt damit die durchschnittliche Anzahl an Lebensjahren der Sterbetafelbevölkerung wieder. Die durchschnittliche Lebenserwartung lässt sich in gleicher Weise für jedes berechnen, in dem alle ab diesem Alter gelebten Personenjahre addiert und durch die l() vielen Überlebenden geteilt werden. Fall GEBURTSJAHR: e (0) e = 100 i = 0 0 l 0 L i ALLGEMEINER Fall: e () e = 100 i = l L i

11 - 11 / 17-3 Rentenrechnung finanzmathematisch Beispielrechnungen: Zukünftiger Wert Da nun die Länge der Auszahlungsperiode bekannt ist, kann bei einer Monatsleistung von 1.000,00 über 30 Jahre finanzmathematisch mit EXCEL der Zukünftige Wert (=ZW) der Veranlagung bis zum Pensionszeitpunkt ermittelt werden nämlich ,00. Regelmäßige Zahlung (Jahresrente) Mit diesem Anlagewert ergibt sich statistisch für den Überlebenszeitraum eines 60-jährigen Mannes in Österreich finanzmathematisch eine 20-jährige Rente von ,00 pa. Alternativ beträgt bei einer 60-jährigen Frau (Österreich) die Jahresrente ,00 pa. für 25 Jahre. Zahlungszeiträume (Jahresrente) Die Kontrollrechnung bei dem 60-jährigen Mann ergibt bei einem Barwert von ,00 und einer Jahresrente von ,00 einen Zahlungszeitraum von 20 Jahren. Hinweis: Versicherungen nehmen noch weitere Risiken in ihre Prämienrechnungen Prämienkalkulationen auf, berücksichtigen aber natürlich auch eigene Kosten und Provisionen. Jedenfalls ist diese Form der Kontrolle von Prämien und Leistungen bei Pensionsanwartschaften und Renten in der Prais ausreichend. Zinseszinsrechnung mit Ecel Bw Barwert EUR F Fälligkeit 0 = Anfang vorschüßig (= Vorschlag) 1 = Ende nachschüßig Rmz Regelmäßige Zahlung EUR Zins Zinssatz/Periode % nominal Zw Zielwert EUR Zzr Zahlungszeiträume n Zahlungen Zper Zinsperioden pro Jahr m Perioden Zukünftiger Wert Bw 0 Ecel-Funktion F 0 Zw(Zins;Zzr;Rmz;Bw;F) = Rmz Zins 3,00 % Beitragsleistung 12 Monate Jahre Zzr 30 Regelmäßige Zahlung Bw Ecel-Funktion Zw 0 Rmz(Zins;Zzr;Bw;Zw;F) = F 0 Zins 3,00 % Pensionsleistung aus Zielwert Jahre Zzr 20 Zahlungszeiträume Bw Ecel-Funktion Zw 0 Zzr(Zins;Rmz;Bw;Zw;F) = 20 F 0 Jahre Zins 3,00 % Rmz

12 - 12 / 17-4 Sterbetafeln Österreich 2006 Quelle: Statistik Austria ( ) Männliches Geschlecht Weibliches Geschlecht Genaues Alter (am -ten Geburtstag) Fernere Sterbe- Überlebende Lebenserwartung lichkeit Alters-intervall bis +1 insgesamt wahrschein- Gestorbene bis +1 insgesamt Alters-intervall bis +1 noch zu durchlebende Jahre lebende noch zu durch- bis +1 Jahre Sterbewahrscheinlichkeit Alters-intervall bis +1 Überlebende Gestorbene Alters-intervall bis +1 Von den Überlebenden Von den Überlebenden Fernere Lebenserwartung Genaues Alter (am -ten Geburtstag) q() l() d() L() T() e() q() l() d() L() T() e() 0 0, ,13 0, , , ,44 0, , , ,48 0, , , ,50 0, , , ,51 0, , , ,52 0, , , ,53 0, , , ,53 0, , , ,54 0, , , ,55 0, , , ,56 0, , , ,56 0, , , ,57 0, , , ,58 0, , , ,59 0, , , ,60 0, , , ,62 0, , , ,65 0, , , ,69 0, , , ,76 0, , , ,81 0, , , ,87 0, , , ,91 0, , , ,96 0, , , ,00 0, , , ,04 0, , , ,08 0, , , ,11 0, , , ,15 0, , , ,19 0, , , ,22 0, ,31 30

13 - 13 / 17 - Männliches Geschlecht Weibliches Geschlecht Genaues Alter (am -ten Geburtstag) Fernere Sterbe- Überlebende Lebenserwartung lichkeit Alters-intervall bis +1 insgesamt wahrschein- Gestorbene bis +1 insgesamt Alters-intervall bis +1 noch zu durchlebende Jahre lebende noch zu durch- bis +1 Jahre Sterbewahrscheinlichkeit Alters-intervall bis +1 Überlebende Gestorbene Alters-intervall bis +1 Von den Überlebenden Von den Überlebenden Fernere Lebenserwartung Genaues Alter (am -ten Geburtstag) q() l() d() L() T() e() q() l() d() L() T() e() 31 0, ,26 0, , , ,29 0, , , ,32 0, , , ,37 0, , , ,41 0, , , ,44 0, , , ,49 0, , , ,53 0, , , ,57 0, , , ,64 0, , , ,69 0, , , ,74 0, , , ,80 0, , , ,86 0, , , ,94 0, , , ,02 0, , , ,12 0, , , ,20 0, , , ,29 0, , , ,40 0, , , ,50 0, , , ,64 0, , , ,78 0, , , ,92 0, , , ,09 0, , , ,23 0, , , ,43 0, , , ,62 0, , , ,82 0, , , ,04 0, , , ,26 0, , , ,50 0, , , ,76 0, , , ,00 0, , , ,24 0, , , ,50 0, , , ,77 0, , , ,03 0, , , ,33 0, , , ,62 0, ,40 70

14 - 14 / 17 - Männliches Geschlecht Weibliches Geschlecht Genaues Alter (am -ten Geburtstag) Fernere Sterbe- Überlebende Lebenserwartung lichkeit Alters-intervall bis +1 insgesamt wahrschein- Gestorbene bis +1 insgesamt Alters-intervall bis +1 noch zu durchlebende Jahre lebende noch zu durch- bis +1 Jahre Sterbewahrscheinlichkeit Alters-intervall bis +1 Überlebende Gestorbene Alters-intervall bis +1 Von den Überlebenden Von den Überlebenden Fernere Lebenserwartung Genaues Alter (am -ten Geburtstag) q() l() d() L() T() e() q() l() d() L() T() e() 71 0, ,93 0, , , ,25 0, , , ,59 0, , , ,95 0, , , ,35 0, , , ,75 0, , , ,18 0, , , ,64 0, , , ,09 0, , , ,55 0, , , ,05 0, , , ,58 0, , , ,16 0, , , ,72 0, , , ,32 0, , , ,94 0, , , ,59 0, , , ,32 0, , , ,98 0, , , ,68 0, , , ,44 0, , , ,25 0, , , ,04 0, , , ,88 0, , , ,74 0, ,01 95 Q: STATISTIK AUSTRIA. Erstellt am:

15 5 Sterbetafeln Deutschland DM 1 - Sterbetafeln MÄNNLICH Vo n d e n Üb er leb en d e n Alt e r St erb e- Überlebens- Üb erleb end e Gest orbene bis zum insgesam t urchschnit t lich Alt er w ahrscheinlichkeit Alt er Alt er Alt er + 1 noch zu eb enserw art un vo m Alt er b is + 1 b is u n t er + 1 d u r ch leb t e d u r ch leb en d e Alt e r q p Jahre l d e l 0 0, , ,59 1 0, , ,94 2 0, , ,98 3 0, , ,99 4 0, , ,01 5 0, , ,02 6 0, , ,03 7 0, , ,04 8 0, , ,05 9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,64 e Q.: Statistisches tistisches Bundesamt (2004) DW 1 - Sterbetafeln WEIBLICH Vo n d en Üb e r leb en d en Alt er St erbe - Üb erlebens- Überlebend e Gest orb ene b is zum insgesam t urchschnit t lich Alt er w ahrscheinlichkeit Alt er Alt er Alt er + 1 noch zu ebenserw art un v o m Alt er b is + 1 b is u n t e r + 1 d u r ch leb t e d u r ch leb en d e Alt er Jahre q p l d e l e 0 0, , ,34 1 0, , ,65 2 0, , ,68 3 0, , ,70 4 0, , ,71 5 0, , ,72 6 0, , ,73 7 0, , ,74 8 0, , ,75 9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,02

16 - 16 / 17 - DM 2 - MÄNNLICH DW 2 - WEIBLICH

17 - 17 / 17 - DM 3 - MÄNNLICH DW 3 - WEIBLICH