Kapitel 12: Bestandsanalyse und Tafelrechnung

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1 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) Prof. Dr. Peter von der Lippe Der folgende Tet ist eine überarbeitete Fassung von Kap. der Formel- und Aufgabensammlung zur Deskriptiven Statistik, erscheinen bei Oldenbourg (ähnlich, wenngleich ausführlicher auch Kap. meines Buches "Deskriptiven Statistik" in der (roten) UTB-Reihe. Er gliedert sich in die folgenden drei Abschnitte. Bestands- und Bewegungsmassen. Kennzahlen der Dynamik eines Bestands 3. Stationäre Bevölkerung und Tafelrechnung Kapitel : Bestandsanalyse und Tafelrechnung. Bestands- und Bewegungsmassen Def..: (Bestandsmasse, Bewegungsmasse, Verweildauer) a) Eine statistische Masse, deren Einheiten (i=,,...,n) jeweils gemeinsam zu einem bestimmten Zeitpunkt t j in einem Bestand (über eine nicht näher bestimmte Dauer) verweilen, heißt Bestandsmasse (engl. stock). Der Umfang der Bestandsmasse zum Zeitpunkt t j heißt Bestand B(t j ) = B j. Er ist zu jedem Zeitpunkt t = t j durch die Bestandsfunktion B(t) gegeben. Die Zeit kann als diskrete (t = t 0, t,...,t j,...,t m ) oder stetige Variable betrachtet werden. b) Eine statistische Masse, deren Einheiten dadurch charakterisiert sind, daß sie zu einem bestimmten Zeitpunkt ihren Zustand ändern (was ein "Ereignis" darstellt), heißt Bewegungsmasse (Ereignismasse, Strgröße, engl. flow). Der Umfang einer Bewegungsmasse ist die Anzahl derartiger Ereignisse in einem gegebenen Zeitraum (Zeitintervall). Zustandsänderung kann insbesondere bedeuten: Zugang zu oder Abgang von einer Bestandsmasse. c) Jede Einheit einer Bewegungsmasse (i=,,...,n) ist durch Zugangszeit (t Zi ) und Abgangszeit (t Ai ) gekennzeichnet. Der Zeitraum zwischen Zu- und Abgangszeit d i = t Ai - t Zi heißt Verweildauer. Methoden der Erhebung von Bestands- und Bewegungsmassen:. Feststellung der Bewegungen (Bewegungsmassen) a) durch individualisierte Erhebung aller Verläufe, d.h. für jede Einheit werden Zugangs- und Abgangszeit festgestellt (= Längsschnittsanalyse oder Verlaufsanalyse); b) laufende Registrierung aller Bestandsveränderungen und Auswertung der über ein Beobachtungsintervall (von t o bis t j ) kumulierten Zugänge (Z 0 ) und Abgänge (A 0 ), d. h. der Bruttoströme. c) Feststellung der Bestandsveränderungen (d.h. der Salden- oder Nettoströme Z 0 -A 0 ).. Feststellung der Bestände (Bestandsmassen) a) durch periodische Inventuren (Zählen oder Messen) b) durch Fortschreibung für das Intervall [t o,t j ]: (.) B j = B 0 + Z 0j -A 0j (j = 0,,..., m) In Gl.. ist B 0 der Anfangsbestand, B 0j der Bestand zum Zeitpunkt t 0j, Z 0j die Anzahl der Zugänge und A 0j die Anzahl der Abgänge im Beobachtungsintervall [t 0, t ].

2 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) c) Bei Kenntnis sämtlicher individueller Verläufe (wie in a), also bei Längsschnittdaten, ist der Bestand zu jedem beliebigen Zeitpunkt bekannt. Unter Querschnittsanalysen versteht man die Kbination b + a und unter Längsschnittsanalysen die Kbination a + c. Beckersches Diagramm, Bestandsfunktion und Zeitmengenfläche. Beckersches Diagramm: Eine graphische Darstellung der individuellen Verläufe ist das Beckersche Diagramm (Abb.. für das Beispiel.).. Bestandsfunktion: Es ist leicht zu sehen, wie aus dem Beckerschen Diagramm (oberer Teil von Abb..) die Bestandsfunktion B(t) (t stetig) herzuleiten ist. Mit jedem Zugang (Abgang) einer Einheit erhöht (verringert) sich die Bestandsfunktion um. 3. Zeitmengenfläche: Die schraffierte Fläche unter der Bestandsfunktion heißt Zeitmengenfläche F, oder genauer F wenn die Fläche "über" dem Intervall [t o,t m ] betrachtet wird. Zahlenbeispiel Zugang Zeitpunkt Abb.. Beckersches Diagramm und Bestandsfunktion (Bsp.) Abgang A B C D E Def..3: (offene-, geschlossene Masse) Eine Bestandsmasse heißt geschlossen bezüglich des Zeitintervalls [t 0,t m ], wenn keine ihrer Einheiten vor t 0 zugegangen ist und nach t m abgeht (endgültig aus dem Bestand ausscheidet). Es gilt folglich (speziell bei einer [beidseitig] geschlossenen Masse). B(0) = B(m) = 0. Z 0m = A 0m (alle Zugänge gehen auch wieder ab) 3. F 0m = Σd i (Zeitmengenfläche = Verweilsumme) Eine Masse, die nicht beidseitig geschlossen ist, heißt offene Masse. Man kann auch halbseitig und vgl. Original des Tetes (Lehrbuch im Oldenbourg Verlag), bzw. Demonstrationsbeispiel der Vorlesung.

3 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) 3 beidseitig offene Massen unterscheiden.. Kennzahlen der Dynamik eines Bestands. Übersicht Übers..: Kennzahlen zur Beschreibung der Bestandsentwicklung Zeitmengenfläche F 0m (Personenstunden) Zeitdimension [horizontal] Anzahldimension (Bestand) [vertikal] Division durch die Anzahl N 0m * (Bilanzsumme, Anzahl der Ein- und Austritts-fälle) Division durch die Länge m des Intervalls von t 0 bis t m liefert die/den durchschnittliche Verweildauer d (Stunden) Durchschnittsbestand B (Personen) U = Umschlagshäufigkeit dimensionslos, weil Verhältnis von zwei Zeitintervallen m und d bzw. von zwei Anzahlen N 0m und B *) Die Anzahl N = N ist eine Anzahl von Fällen, nicht notwendig gleich der Anzahl n von Personen (Einheiten) die ein- und ausgetreten (zu- und abgegangen) sind.. Kennzahlen bei Kenntnis der individuellen Verläufe (Längsschnittsdaten) Def..4: (Durchschnittsbestand) Def..5: (durchschnittliche Verweildauer (.3) B F = d i m (.4) d = ; und N F (.4a) d N * folgt unmittelbar aus Gl..3 und.4 = bei geschlossenen Massen Def..5: (Umschlagshäufigkeit) (.5) U = m d (.5a) U = N * B. Kennzahlen bei einer offenen Masse Für die Definition des Durchschnittsbestands gilt weiterhin Gl..3, die auch zur Berechnung von B herangezogen werden kann. Es ist aber nicht mehr von Σd i = F 0m auszugehen. Vielmehr ist F 0m

4 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) 4 zu korrigieren um die Zeiten, welche die B o Einheiten des Anfangsbestands vor to bereits dem Bestand angehört hatten und die Zeiten welche die B m Einheiten des Endbestands nach dem Ende des Beobachtungsintervalls, also nach t m dem Bestand noch angehören werden. In diesem Sinne spricht man von Aufbauzeiten und Abbauzeiten und es ist davon auszugehen, daß für die Zeiten vor t o und nach t m keine Daten vorliegen, so daß die Auf- und Abbauzeiten nur geschätzt werden können. Die Verweilsumme ist unter diesen Voraussetzungen zu schätzen mit Gl..6. Hierin ist B 0, bzw. B m der Anfangs-, bzw. der Endbestand; d o ist die mittlere Auf-bauzeit [d.h. die mittlere Verweildauer der B o Einheiten vor t o ] und d m die mittlere Ab-bauzeit [mittlere restliche Verbleibdauer nach t m im Bestand]. Für die durchschnittliche Verweildauer gilt dann Gl..8, woraus dann unter bestimmten weiteren Voraussetzungen Gl.. und. folgen: Geschätzte Verweilsumme G 0m (durch Ergänzungen zur Zeitmengenfläche F( 0m ) durchschnittliche Verweildauer (.6) G = Bod o + F + Bmd m (.8) d = G N.3 Kennzahlen bei Querschnittsdaten.3.. Übersicht Übersicht.: Schätzprobleme bei den Kennzahlen Daten / Masse. Längsschnitt a) geschlossen b) offen. Querschnittsdaten Zeitmengenfläche F und damit Schätzung des Durchschnittsbestands F kein Problem, da Bestandsfunktion B(t) für jedes t bekannt zu schätzen mit Gl..0, da B(t) nur zu bestimmten Zeitpunkten bekannt ist Verweilsumme Σd i und damit Schätzung der durchschnittlichen Verweildauer a) Σd i identisch mit F b) Σd i aus F zu schätzen mit Gl..6 Übergang von F zu G wie im Fall b, Annahmen über Auf- und Abbauzeiten nötig.3.. Zeitmengenfläche und Durchschnittsbestand Wenn die Bestandsänderungen ausschließlich genau zu den Beobachtungszeitpunkten t j (j=,,...,m) stattfinden, dann ist die Zeitmengenfläche gegeben durch Gl..9. : Sind die Beobachtungszeitpunkte t j (mit j =,,...,m) äquidistant, so daß t j -t j- = (für alle j) und t m -t o = m, so gilt Gl..0, woraus dann B mit Gl..3 zu errechnen ist: (.0) F = B + B+ K+ B + B j (.9) F = B j ( t j t j ).3.3. Durchschnittliche Verweildauer und Umschlagshäufigkeit o m m Es ist analog zu Gl..6 vorzugehen, d.h. G ist die geeignete Schätzung von Σd i. Es sind jetzt Annahmen über die mittlere Aufbau- (d o ) und Abbauzeit (d m ) nötig. üblich ist die Annahme d = δ o d und d = ( δ ) d mit 0 < δ < m

5 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) 5 Eingesetzt in (.6) liefert das Gl.. und für die sehr verbreitete Annahme δ = ½ die sehr bekannte Formel von Gl..: Geschätzte durchschnittliche Verweildauer bei offener Masse (.) d = δ Z F + ( δ ) A 3. Stationäre Bevölkerung und Tafelrechnung Spezielle Annahme δ= ½ für die durchschnittliche Auf- und Abbauzeit (.) d = Z Def..7: (Kohorte, Abgangsordnung, stationäre Bevölkerung) mb + A a) Eine Zugangskohorte oder einfach Kohorte ist die Gesamtheit der gleichzeitig (zum gleichen Zeitpunkt t j, bzw. im gleichen Intervall geringer Länge [t j-,t j ]) zugehenden Einheiten. Der Umfang dieser Masse, d.h. die Anzahl der zugehenden Einheiten ist l o. b) Die Abgangsordnung l (wobei = 0,,..., ω das Alter, d.h. die Anzahl der vollendeten Jahre ist) ist die Anzahl der Überlebenden des Alters. Es ist der Restbestand einer Geburtskohorte des Umfangs l o nach Vollendung von Jahren. c) Bei einer stationären Bevölkerung (Sterbetafelbevölkerung) wird jede Kohorte (jeder Geburtsjahrgang) in jedem aufeinanderfolgenden Intervall (in allen folgenden Jahren) durch eine gleich große Kohorte (so daß Z j-,j o für alle j) mit gleicher Abgangsordnung (d.h. gleicher "Struktur" ersetzt so daß l nicht von j sondern nur von abhängig ist. Es wird im Modell von Wachstum und Strukturveränderung abstrahiert. d) Bei einer stabilen Bevölkerung wird jede Kohorte durch eine λ fache Kohorte ersetzt, so daß gilt: Z 0 o, Z = λl o Z 3 = λ l o... (also weiter keine Strukturveränderung aber es ist Wachstum in der einfachsten Form [mit konstanter Wachstumsrate λ ] zugelassen). Def..8 (Tafelfunktionen q, p, l, L ): a) Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit q der -jährigen ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person, die das Alter von erreicht hat, das Alter von + nicht mehr erreichen wird (mit = 0,,...,w für das Alter in vollendeten Jahren). b) Die einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit p ist demzufolge p = - q ; p ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. c) Sämtliche Sterbetafelfunktionen sind allein Funktionen des Alters und sie sind mit der Folge der Sterbewahrscheinlichkeiten q und dem willkürlich gewählten Anfangsbestand (Geburten) l o eindeutig gegeben: die Absterbeordnung l ist ausgehend von einem fiktiven Anfangsbestand von l o = Personen rekursiv zu berechnen mit (.8) l + p ( q ). Entsprechend ist die Anzahl d der im Altersintervall (,+) gestorbenen Personen (.9) d q l + 0. d) Mit L wird die Anzahl der von allen Überlebenden -jährigen Personen bis zum Alter + durchlebten Jahre (die Anzahl der im Intervall (,+) verlebten Personenjahre) bezeichnet.

6 Peter von der Lippe: Download zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik (Kapitel Bestandsanalyse) 6 = + + (.0) L ( l l ). Man kann die Größe L als Zeitmengenfläche interpretieren und auch als Mittelwert von l + Personen, die noch Jahr leben werden und d + l + Personen, die noch / Jahr leben werden, denn ( l l ) + l = ( l + l ) Def..9: (Tafelfunktionen T, e ) a) Die Tafelfunktion T, die Zahl der von den Überlebenden des Alters noch zu durchlebenden Jahre ist die Summe der Größen L, L +, L +,...,L w. w (.4) T = L y y w. y= * (.5) T y * = l = T + l w y= Die Größen T und T * sind Verweilsummen; Maßeinheit: "Personenjahre". b) Dividiert man T bzw. T * durch die Anzahl der Überlebenden des Alters, also durch l, so erhält man mit (.6) e * T T * = = = e l l die (mittlere, durchschnittliche weitere) Lebenserwartung einer -jährigen Person (spricht man von "der" Lebenserwartung, so ist e o gemeint). Beispiel einer Klausuraufgabe [Rechenaufgabe nicht Multiple ChoiceAufgabe] a) Bei einer Sterbetafelbevölkerung gelte fürdie einjährige Sterbewahrscheinlichkeit von Frauen w q = 00 ( = Alter = Anzahl der vollendeten Lebensjahre, = 0,,...99) Aus der Gestalt der Abgangsordnung ergibt sich, daß hier der folgende Spezialfall einer Abgangsordnung vorliegt: Dabei ist die Anzahl der jedes Jahr (im Alter = 0,,...) gestorbenen Frauen d = b) bei welcher der beiden Absterbeordnungen ist die Lebenserwartung größer? Absterbeordnung Absterbeordnung = 0 l 0 = 50 = 0 l 0 = 00 = l = 40 = l = 60 = l = 30 = l = 40 = 3 l 3 = 0 = 3 l 3 = 0 und wie groß ist e 0 in den beiden Fällen?