Zufallszahlen. Einsatzgebiete

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1 Zufallszahlen Zufallszahlen werden auf vielen Gebieten der Naturwissenschaft und Technik bei stochastischen Simulationen eingesetzt, um einerseits analytisch gewonnene Ergebnisse zu überprüfen und andererseits zu Aussagen über das Verhalten von zufallsbeeinflussten Systemen auch dann zu gelangen, falls es nicht möglich ist, analytische Ergebnisse zu berechnen. Bei diesen Simulationen werden stochastisch beeinflusste Eingabedaten durch einen Zufallszahlengenerator nachgebildet. Hier wie in allen anderen Fällen kommt es darauf an, dass die Simulation unbedingt zuverlässige Ergebnisse liefert. Die Qualität der getroffenen Aussagen hängt von der Qualität der zugrundeliegenden Daten ab. Daher ist es notwendig, dass auch der verwendete Zufallsgenerator wirklich zuverlässig ist. Einsatzgebiete Generierung von Geheimnummern oder Transaktionsnummern Verschlüsselung von Daten (z.b. für die Kommunikation im Internet) Digitale Unterschriften Direkte Verwendung für Monte-Carlo-Simulationen Referenz für statistische Zufallszahlen-Tests Numerische Lösung mathematischer Probleme Steuerung/Test von Glücksspielautomaten Generierung von Lottozahlen usf. Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 1

2 Bei der Erzeugung von Zufallszahlen unterscheidet man zwischen echten Zufallszahlen und Pseudo- Zufallszahlen. Echte Zufallszahlen können z.b. durch Wurf mit einem (ungezinkten) Würfel (der einfachste Zufallszahlengenerator für die Zahlen von 1 bis 6) oder durch Beobachtung physikalischer Vorgänge (z. B. physikalischer Zerfall) gewonnen werden. Pseudo-Zufallszahlen werden durch spezielle deterministische Algorithmen mit Hilfe des Computers erzeugt. Sie entstehen also nicht zufällig, wie die echten Zufallszahlen, sondern sind streng determiniert. Unter einem Zufallszahlengenerator versteht man nun ein Verfahren, welches eine Folge von Zahlen erzeugt, die möglichst viele Eigenschaften einer Zufallszahlenfolge besitzt. Da die Folge durch ein Verfahren, also einen deterministischen Algorithmus erzeugt wird, kann sie prinzipiell nicht zufällig angeordnet sein. Fast alle Programmiersprachen verfügen über Sprachelemente zur Erzeugung von sogenannten Pseudo-Zufallszahlen. Die Vorteile echter Zufallszahlen gegenüber von Zufallsgeneratoren erzeugter Pseudo-Zufallszahlen liegen auf der Hand: keine Periodizitäten keine Vorhersagbarkeit der Zufallszahlen aufgrund vorangehender Sequenzen keine irgendwie geartete Systematik ( Daten können absolut sicher verschlüsselt werden) Gewissheit, dass keine versteckten Korrelationen vorliegen Gewissheit, dass die Schwankungen in der Gleichverteilung rein stochastisch sind (Pseudo- Zufallszahlen weisen systematisch, d.h. unnatürliche Schwankungen in der Gleichverteilung auf) Zufallszahlenfolgen kann man mit Würfeln, Losen oder Münzen erzeugen. Solchen physikalischen Verfahren stehen algorithmische Verfahren gegenüber, die Zufallszahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 2

3 berechnen. Die physikalischen Verfahren sind nur auf den ersten Blick besser. Sie haben Nachteile: Sie bedürfen der Wartung und der Eichung, und man kann die erzeugten Zahlenfolgen nicht reproduzieren, was für viele Experimente wünschenswert ist. Die algorithmischen Verfahren, welche heute praktisch benutzt werden, haben diese Nachteile nicht. Sie liefern Zahlenfolgen mit guten statistischen Eigenschaften. Alle praktisch bedeutenden Zufallszahlengeneratoren arbeiten rekursiv. Diese Generatoren erzeugen zuerst eine gewisse Anfangsfolge, danach einen nullten Zyklus: eine Folge, die im ersten Zyklus exakt wiederholt wird usw. Die Anzahl der Zahlen innerhalb eines Zyklus heißt Zykluslänge des Generators. Am Beginn der Arbeit muss eine Zahl als Startpunkt gewählt werden. Diese erste Zahl einer Zufallszahlenfolge wird Anfangswert (engl. seed) genannt. Zufallsquellen in einem Modell müssen statistisch unabhängig sein, damit Änderungen eines Teils des Modells keinen Einfluss auf das Verhalten anderer Teile haben. Das kann man am Beispiel der Simulation eines Friseursalons erklären: Die Ankunft von Kunden sowie die Dauer eines Haarschnitts (bzw. einer Rasur) sind Zufallsvariablen. Beim Experimentieren mit dem Modell wird man sicherlich die Ankunftsrate, die Bedienungsrate oder beides verändern und sehen, was geschieht. Würden die Zufallsvariablen mit demselben Pseudozufallszahlenstrom erzeugt werden, dann wären die beiden Zufallsquellen nicht unabhängig. Man könnte z. B. nicht die Auswirkungen eines veränderten Kundenstroms bei gleichbleibenden Bedienungszeiten untersuchen. Die Verwendung von zwei unabhängigen Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 3

4 Pseudozufallszahlenströmen ist zu bevorzugen. Wird diese Methode angewandt, können entweder die Ankunfts- oder die Bedienungsrate unabhängig voneinander verändert werden, was das Experimentieren mit dem zu modellierenden System erleichtert. Es gibt Softwareprodukte, welche den Einsatz von mehreren Pseudozufallszahlenströmen gestatten ( link zu GPSS). Eine weitere Forderung ist eine schnelle Verfügbarkeit der Zufallszahlen während des Simulationsvorgangs. Falls die Zufallszahlen zur Zeit der Benutzung laufend erzeugt werden sollen, muss die Generationsdauer entsprechend kurz sein, wodurch jedoch in der Regel eine unzureichende Qualität der Zufallszahlen entsteht. Um unabhängig von der Generierungsrate zu sein, kann man einen Tabellengenerator benutzen, bei dem die Zufallszahlen vor der Benutzung erzeugt und abgespeichert worden sind. Werden die Zufallszahlen dann benötigt, können sie schnell aus der Tabelle herausgelesen werden. In der Praxis werden die Zufallszahlen häufig aus einer rekursiven Rechenvorschrift gewonnen, nach der aus dem oder einigen Vorgängern eine weitere Zufallszahl gebildet wird. Die so erzeugten Sequenzen sind im strengen Sinn nicht zufällig und werden daher als pseudozufällig bezeichnet, können aber als ausreichend zufällig angesehen werden, falls sie die geforderten Qualitätsansprüche erfüllen. Hierzu beobachtet man eine solche Sequenz, bestimmt ihren Mittelwert, Momente der Verteilung sowie die Korrelationen und andere Eigenschaften und entscheidet dann, ob sie den gestellten Anforderungen genügt. Physikalischer Zufallszahlengenerator: z. B. der Zufallszahlengenerator PURAN ( link), ein Rauschgenerator, welcher ein 1,5 GHz-Rauschsignal aus einer Halbleiterdiode erzeugt, um mit Hilfe einer aus zwei Flipflops bestehenden Abtastschaltung Zufallsbits zu erzeugen, die einmalig aufgenommen und auf ein geeignetes Speichermedium abgespeichert werden. Bei einer effektiven Generationsrate von 50 Kbit/s sind die Abhängigkeiten der Bit untereinander so klein, dass sie nicht mehr nachgewiesen werden können. Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 4

5 link zu Excel-Lösung für 6 aus 45 (zuger245.zip) link zu C++-Lösung für 6 aus 45 link zur Literaturliste von Dr. Richter link zu zweigliedriger Markovkette Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 5

6 Zufallszahlen im Unterricht Meine Schüler kommen erstmals in Kontakt mit dem Begriff der Zufallszahl, wenn sie folgende Aufgabenstellung im Rahmen der Festigung der Kontrollstruktur IF-THEN-ELSE erhalten: Zahlenraten(1): Der Benutzer versucht, eine vom System generierte Zufallszahl zu erraten. Das System teilt ihm mit, ob er die Zahl erraten hat oder nicht. Zur Generierung einer Zufallszahl stellt BorlandC die Funktion random(obergrenze); liefert eine ganze Zahl x mit 0 <= x < Obergrenze in der Bibliothek stdlib.h zur Verfügung stellt. Zahlenraten(2): Erweitern Sie Zahlenraten(1) dahingehend, dass das System dem Benutzer mitteilt, ob sein Tipp zu hoch oder zu niedrig gewesen ist. Bei dieser Aufgabe stellen sich meist noch keine Fragen. Spätestens bei der Festigung der FOR-Schleife mit der folgenden Aufgabe, welche auch zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufgegriffen werden kann, wird der Begriff der Zufallszahl auch von den Schülern hinterfragt. Lottosimulation(1): Erstellen Sie ein Programm, welches Ihnen mittels Zufallszahlengenerator einen Tipp für "6 aus 45" erstellt. Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 6

7 Lottosimulation(2): Erstellen Sie ein Programm, welches Ihnen mittels Zufallszahlengenerator drei Tipps für 6 aus 45 erzeugt. Mittels Zufallszahlengenerator wird dann auch das Ergebnis einer Ziehung simuliert. Das Programm soll nun berechnen, wie viele Treffer Sie mit Ihren einzelnen Tipps erzielt haben. Setzen Sie dabei die Unterprogrammtechnik sinnvoll ein! Bereits bei Lottosimulation(1) stellen die Schüler fest, dass sie den gleichen Tipp auf ihrem Bildschirm stehen haben wie ihre Nachbarn. Auch bei einem neuerlichen Start des Programms ändert sich die Folge der Zufallszahlen nicht. Diese Erkenntnis gibt Anlass dazu, zu Hinterfragen, was der Computer überhaupt unter Zufallszahlen versteht und wie sie generiert werden. Die Schüler lernen dabei auch die Prozedur randomize(); (Bibliotheken: stdlib.h und time.h) kennen, welche vor der Generierung der ersten Zufallszahl aufzurufen ist. Bei jedem Aufruf dieser Prozedur (also auch bei jedem neuerlichen Programmstart) wird der Anfangswert (seed) für die Generierung der Zufallszahlen abhängig von der Betriebssystemzeit neu wählt, wodurch sichergestellt wird, dass nicht bei jedem Programmstart die gleiche Folge von Zufallszahlen erzeugt wird. Ein Problem, welches der Befehl randomize(); nicht lösen kann, ist jenes, dass eine Zufallszahl mehr als einmal in der generierten Zufallszahlenfolge auftauchen kann. Dieses Problem stellt eine gute Überleitung zur Einführung der Datenstruktur Feld dar, da das Programm sich die bisher generierten Zahlen merken und bei Generierung einer bereits existierenden Zahl diese verwerfen muss. Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 7

8 Kapitel 8 aus dem Turing-Omnibus: Random Numbers The Chaitin-Kolmogoroff Theory Das Wesen des Zufalls ist das Fehlen von Prozeduren und Mechanismen. Daher ist es fast ein Widerspruch, Zufallszahlen und Computer im selben Atemzug zu erwähnen. Wenn wir mittwochs oder samstags die Ziehung der Lottozahlen am Fernsehschirm mitverfolgen, stellen wir den Zufall doch kaum in Frage, da nur die physikalischen Gesetze die Position der Bälle im Behälter bestimmen. Zufallszahlengeneratoren der Programmiersprachen werden von ihren Benutzern auch kaum hinterfragt (vergleiche Zahlenraten(1)). Sofern die generierten Zufallszahlen, die doch in mehreren Applikationen Anwendung finden, zufällig wirken, wird ihre Zufälligkeit auch nicht hinterfragt. Erst bei Implementierung der Lottosimulation sind Bedenken aufgetreten. Viele der in den modernen Rechnern eingebauten Generatoren verwenden die lineare kongruente Methode. Hierbei wird (rekursiv) durch eine einfache Formel die nächste Zufallszahl anhand der aktuellen Zufallszahl ermittelt: x n+ 1 = ( k x + c) mod m Um den Prozess zu starten, wird ein Initialwert x 0, seed genannt, gewählt. c wird offset genannt. Nicht jede Kombination der Parameter k, c und m produziert Zahlen, die zufällig wirken: z. B. erzeugt k = 19, c = 51, m = 100, x 0 = 25 die Zahlenfolge n 25, 26, 45, 6, 47, 44, 87, 4, 27, 64, 67, 24, 7, 84, 47,... Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 8

9 Nachdem die verwendete Formel deterministisch ist, kann man leicht nachvollziehen, dass sich die Zahlenfolge zwischen den beiden Werten 47 immer wieder wiederholen wird. 25, 26, 45, 6, 47, 44, 87, 4, 27, 64, 67, 24, 7, 84, 47,... Die Länge einer solchen Teilsequenz wird Periode genannt. Bei obiger Folge hat die Periode den Wert 10. Es ist offensichtlich, dass sich jede Folge von Zahlen, die mit Hilfe dieser Methode generiert wird, sich früher oder später wiederholen wird. Es erhebt sich nur die Frage, um wie viel besser man werden kann. Die folgende Wahl der Parameter zeigt, dass man die Dinge etwas verbessern kann. Es zeigt aber auch, wie sensibel der Generierungsprozess auf kleinste Parameteränderungen reagiert. Ändern wir z. B. nur den Parameter m von 100 auf 101 ab, so erhalten wir die Zahlenfolge 25, 21, 46, 16, 52, 29, 97, 76, 81, 75, 62, 17, 71, 87, 88, 6, 64, 55, 86, 69, 49, 73, 24, 2, 89, 76,... Die Periode hat sich auf 18 vergrößert und beginnt auch um einiges später. Noch mehr zufällige Zahlen können anscheinend durch die bestens bekannte logistische Formel, welche als Illustration von Chaos in Dynamischen Systemen verwendet wird, erzeugt werden: x = r x (1 x n+ 1 n n Indem mit einem Startwert x 0 begonnen wird, der zwischen 0 und 1 liegt, kann mit dieser Formel eine überzeugend aussehende Folge von Zufallszahlen erzeugt werden. Der Startwert ist bei dieser Formel nicht ) Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 9

10 kritisch. Aber nach ein paar Iterationen wird die Folge der Zahlenwerte (übertrieben ausgedrückt) wie wild geworden in einem Teilintervall [a, b] [0, 1] hin und her hüpfen. Man kann dieses Übel aber beseitigen, indem man auf x n die folgende Transformation anwendet, wodurch man eine neue zufällige Zahl y n zwischen 0 und 1 erhält. Die logistische Formel verhält sich nur für bestimmte Werte des Parameters r chaotisch. ( 3.57 r 4) Es wurden viele Theorien entwickelt, die sich mit der Zufälligkeit der von Zufallsgeneratoren erzeugten Zufallszahlen beschäftigen. Aber da sie durch einen deterministischen Algorithmus erzeugt werden, können sie immer nur sogenannte Pseudo-Zufallszahlen sein. Eine dieser Theorien ist die von Gregory J. Chaitin und A. N. Kolmogoroff Mitte der Sechziger Jahre unabhängig voneinander entwickelte Chaitin-Kolmogoroff Theory. Diese Theorie definiert die Zufälligkeit einer endlichen Folge von Zahlen in Abhängigkeit von der Länge des kürzesten Programms, welche diese Zahlenfolge generieren kann. Je länger dieses Programm sein muss, umso zufälliger ist diese Zahlenfolge. Offensichtlich braucht ein Programm, welches eine gegebene Zahlenfolge erzeugen soll, kaum länger als die Folge selbst sein. Dies legt nahe, dass jene Folgen, welche Programme erfordern, die annähernd so lang sind wie die Folge selbst, die zufälligsten sind. Beispiel: Welches ist das kürzeste Programm, das eine Zahlenfolge erzeugt, die aus m Wiederholungen der Sequenz besteht? Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 10

11 Angenommen, wir verwenden folgende Pseudo-Programmiersprache, for i = 1 to m output 0,1,0,0,1 so haben wir ein Programm, welches aus 23 ASCII-Zeichen (Blanks nicht mitgezählt) und einer Variablen m besteht, die sich von einer Programmversion zur anderen ändern wird. Für einen bestimmten Wert von m wird die Länge des vorliegenden Programms (in ASCII-Zeichen gemessen) 23 + log m sein. Es erzeugt eine Zahlenfolge der Länge n = m 5 (5 ist die Periode, d.h. Länge der Teilsequenz 01001). Wie zufällig ist nun die durch dieses Programm erzeugte Zahlenfolge? Eine Möglichkeit, die Zufälligkeit zu messen, ist, das Verhältnis aus Programmlänge und Länge der Zahlenfolge zu bilden: 23 + log m r 5m Für m geht r gegen 0. Daraus kann man schließen, dass längere Zahlenfolgen immer weniger zufällig werden. Das Problem bei dem ganzen ist, zu beweisen, dass es sich bei dem angegebenen Programm tatsächlich um das kürzestmögliche handelt. Es ist unmöglich zu beweisen, dass eine bestimmte Folge zufällig ist, aber man kann zeigen, dass die meisten Folgen zufällig sind. Aber darauf möchte ich hier nicht näher eingehen. Ich möchte nur auf den berühmten Unvollständigkeitssatz von Gödel verweisen. Evelin Kofler Zufallszahlen first draft Seite 11