Die Physiker von F. Dürrenmatt

Transkript

1 Codierungstheorie

2 Kryptographie

3 Codierungstheorie

4 Die Physiker von F. Dürrenmatt ISBN (Internationale Standard Buchnummer) p = 0 mod p = 0 mod 209 = 0 mod

5 ISBN 0a 0 + 9a 9 + 8a 8 + 7a 7 + 6a 6 + 5a 5 + 4a 4 + 3a 3 + 2a 2 + a = 0 mod alternativ: a 0 + 2a 9 + 3a 8 + 4a 7 + 5a 6 + 6a 5 + 7a 4 + 8a 3 + 9a 2 + 0a = 0 mod und somit a = a 0 + 2a 9 + 3a 8 + 4a 7 + 5a 6 + 6a 5 + 7a 4 + 8a 3 + 9a 2 mod

6 Fehlererkennung und -korrektur (erste Schritte) Die ISBN ist eine ungültige ISBN, da = 263 = = 0 0 mod Bei der ISBN ? berechnet sich die Prüfziffer zu: a = = 22 = = 3 mod

7 Fehlererkennung und -korrektur (erste Schritte) Bei der ISBN ?704-3 ist eine Ziffer an einer bestimmten Stelle unbekannt: x =5 x+223 = 5 x + 3 = 0 mod x + = 8 mod 9 45 x = 72 mod x = 6 mod Jedoch gibt es bei einer fehlerhaften ISBN (etwa: ) keine Möglichkeit zur Korrektur, außer man kennt die Stelle des Fehlers.

8 Welche Fehler werden erkannt? Einzelfehler: statt Nachbarschaftsvertauschung: statt Allgemeine Drehfehler: statt Begründung?

9 Einzelfehler a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a korrekte ISBN a' 0 a' 9 a' 8 a' 7 a' 6 a' 5 a' 4 a' 3 a' 2 a' ISBN mit Fehler an der i-ten Stelle, auch als korrekt angenommen 0a 0 + 9a 9 + 8a 8 + 7a 7 + 6a 6 + 5a 5 + 4a 4 + 3a 3 + 2a 2 + a = 0 mod 0a' 0 + 9a' 9 + 8a' 8 + 7a' 7 + 6a' 6 + 5a' 5 + 4a' 4 + 3a' 3 + 2a' 2 + a' = 0 mod Subtrakion liefert: i a i - i a' i = i (a i - a' i ) = 0 mod i {; 2;... ; 9} und a i - a' i {-0; -9;... ; -; ; 2;... ; 9; 0}, also a i - a' i = 0 mod a i = a' i

10 Allgemeiner Drehfehler a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a korrekte ISBN a' 0 a' 9 a' 8 a' 7 a' 6 a' 5 a' 4 a' 3 a' 2 a' ISBN mit Vertauschung an der i-ten und j- ten Stelle, auch als korrekt angenommen 0a 0 + 9a 9 + 8a 8 + 7a 7 + 6a 6 + 5a 5 + 4a 4 + 3a 3 + 2a 2 + a = 0 mod 0a' 0 + 9a' 9 + 8a' 8 + 7a' 7 + 6a' 6 + 5a' 5 + 4a' 4 + 3a' 3 + 2a' 2 + a' = 0 mod Subtrakion liefert: i a i + j a j - i a' i - j a' j = i a i + j a j - i a j - j a i = i (a i - a j ) - j (a i - a j ) = = (i - j) (a i - a j ) = 0 mod i - j {-9; -8;...; -; ; 2;... ; 9} und a i - a j {-0;... ; -; ;... ; 0}, also a i - a j = 0 mod a i = a j

11 Die Europäische Artikelnummer EAN a 3 a 2 a a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a Mit der Prüfgleichung a 3 +3 a 2 +a + 3 a 0 +a 9 +3 a 8 +a 7 +3 a 6 +a 5 +3 a 4 +a 3 +3 a 2 + a = 0 mod 0

12 Die Europäische Artikelnummer EAN a 3 a 2 a a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a Mit der Prüfgleichung = = 40 = 0 mod 0

13 Aufgaben zur EAN ) Ist die EAN gültig? 2) Bestimme die Prüfziffer p in p. 3) Korrigiere den Fehler x in 73529x ) Welche Fehler werden vom EAN-Verfahren erkannt? Beweis? 5) Was ändert sich, wenn man im EAN-Verfahren die 3 durch eine 2 ersetzt, welche Fehler werden nun von diesemverfahren erkannt? Beweis? 6) Die 3 durch 5, durch 7... ersetzen?!?

14 Kontonummernsysteme Es gibt verschiedene Prüfgleichungen. Einige Verfahren sind dem EAN sehr ähnlich, andere benutzen die Quersumme (hier mit Q bezeichnet, also Q(2)=3).

15 Kontonummernsysteme. Weg: a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a Mit der Prüfgleichung 2 a 8 +a 7 +2 a 6 +a 5 +2 a 4 +a 3 +2 a 2 +a =0 mod =50=0 mod0

16 Kontonummernsysteme 2. Weg: a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a Mit der Prüfgleichung Q(2 a 8 )+a 7 +Q(2 a 6 )+a 5 +Q(2 a 4 )+a 3 + Q(2 a 2 )+a =0 mod0 Q(2)+9+Q(2)+4+Q(0)+5+ Q(4)+2=0 mod = 30 = 0 mod0

17 Kontonummernsysteme Man kann Q(2 x) auch als Permutation schreiben: Q =

18 Die alten DM-Scheine - Diedergruppe Es wird die Symmetriegruppe D 5 des Fünfecks mit ebenfalls 0 Elementen verwendet. Wie rechnet man in D 5? Man benötigt auch Permutationen!

19 Die alten DM-Scheine - Diedergruppe Es wird die Symmetriegruppe D 5 des Fünfecks mit ebenfalls 0 Elementen verwendet. Wie rechnet man in D 5? Mit einem Fünfeck! Man benötigt auch Permutationen! Die mischen die Zahlen nur kräftig durch.

20 Berechnung DG624429Y allgemein a a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a mit der Prüfgleichung T(a )*T 2 (a 0 )*T 3 (a 9 )*T 4 (a 8 )*T 5 (a 7 )*T 6 (a 6 )*T 7 (a 5 ) * T 8 (a 4 )*T 9 (a 3 )*T 0 (a 2 )* a = 0 T()*T 2 (2)*T 3 (6)*T 4 (2)*T 5 (4)*T 6 (4)*T 7 () *T 8 (2)*T 9 (9)*T 0 (8)* = 0

21 Berechnung DG624429Y 5 * 0 * 3 * 5 * 5* 8 * 0 * 2 * 4 * 4 * = 0 5 * 8 * 5* 8 * 0 * 2 * 4 * 4 * = 0 2 * 2* 2 *3 * = 0 4 * 0 * = 0 4 * = 0

22 Aufgaben ) Berechne a 2 ba 2 b 5 a 2 bbba 3 a 4 mit dem Fünfeck! 2) Prüfe die Tabelle. 3) Handelt es sich bei DG426624Y3 um eine korrekte Nummer auf einem DM-Schein? 4) Bereche das fehlende Zeichen: DG234567?. Es handelt sich dabei um einen Buchstaben! 5) Warum gibt es dieses Verfahren beim Euro nicht mehr?

23 Vergleich der Verfahren Verwechslung einer Ziffer Drehfehler (Nachbarziffer) Allgemeiner Drehfehler ISBN immer immer immer EKONS (.Weg) in Sonderfällen nicht immer selten EKONS (2.Weg) immer in Sonderfällen nicht selten EAN immer in Sonderfällen nicht selten Geldschein immer immer in Sonderfällen nicht

24 Andere Interpretation, etwa der ISBN: Aus allen möglichen Wörtern a 0 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a der Länge 0 mit Buchstaben {0,,2,3,4,5,6,7,8,9,X} werden die richtigen ausgewählt. Nur a darf mit X belegt werden. Es muss die Prüfgleichung 0 a 0 +9 a 9 +8 a 8 +7 a 7 +6 a 6 +5 a 5 +4 a 4 +3 a 3 +2 a 2 + a = 0 mod gelten.

25 Andere Interpretation: Der Code C (der richtigen Codewörter ) ist also eine Teilmenge aller Wörter der Länge 0. 0 C {0,,2,3,4,5,6,7,8,9,X}

26 Vertiefung dieser Interpretation Man benötigt ein Alphabet A der Länge r, z.b. {A,B,C,D, Z} (r=26) oder {0,,2,3, 9} (r=0) oder Z/2Z (r=2) oder. Ein Code C ist eine Teilmenge von A n. Man nennt n die Länge der Codewörter. Die Anzahl der Codewörter ist M mit M = C. Der Hammingabstand zweier Codewörter, ist die Anzahl der Fehlstände: d(rot, tot) =; d(2345, 5432) =4; d(0,0)=0

27 Ein r-ärer (n,m,d)-code Der Minimalabstand eines Codes C, ist das Minimum aller (versch.) Abstände. C = {0000, 00, 00, } d = 2 also ein (4,4,2)-Code C = {0000, 00, 00, 00, 00, 00, 00, } d = 2 also ein (4,8,2)-Code Es werden nun Codes mit vorgegebenen Parametern r, n und d gesucht. Dabei soll M möglichst groß sein.

28 Aufgaben zum (n,m,d)-code )C={000, 000, 0,000} r=2; n=?; M=?; d=? 2)C={00000, } r=3; n=?; M=?; d=? 3)C={00, 0, 0, } r=2; n=?; M=?; d=? 4) Gib jeweils einen binären (n,m,d)-code an mit (8,2,8); (8,3,8); (3,9,); (4,8,2); (5;3;4).

29 Fehlerkorrektur mit dem Hamming-Abstand C= {0000,00,000,00} empfangen: x = 0 d(0000,0) = 3 d(00,0) = d(000,0) = 4 d(00,0) = 3 Decodierung : c = 00

30 Aufgabe zur Decodierung ) C = {0000, 00, 00, 00, 00, 00, 00, } Empfangen: 0 2) C = Rep 3 (4) = {0000,, 2222} Empfangen: 2 Empfangen: 22

31 Die Suche nach A r (n,d) Die größte Codelängen M bezeichnet man mit A r (n,d) Beispielsweise: A 5 (7,7) = 5 allgemeiner A r (n,n) = r A r (n,) = r n A 2 (5,3) = 4 C = {00000, 00, 00, 0} Ein (32,64,6)-Code wurde 972 von Mariner 9 benutzt um Bilder vom Mars zu senden

32 Aufgabe zu A r (n,d) Begründe: ) A 2 (6,5) = 2 2) A 2 (7,5) = 2 3) A 2 (8,5) = 4 4) A r (n,n) = r

33 Schranken für A r (n,d) Singleton-Schranke: A (n,d) r r n-d + Plotkin-Schranke: A [ d ] (n,d) 2 2 2d n Kugelpackungs-Schranken: V n r r (d n mit Kugelvolumen A (n,d) ([ d ]) r n ) Vr 2 r ρ n n V r r- k = 0 k ( ρ ) = ( ) k n

34 Offene Fragen A 2 (n,d)= n d=3 d=5 d=

35 Exakte Sequenz Für einen linearen r-ären (n,r k,d)-code hat man die Z/rZ-lineare Einbettung (Z/rZ) k (Z/rZ) n und erhält man die exakte Sequenz C t H 0 (Z/rZ) k (Z/rZ) n (Z/rZ) n-k 0 Man nennt C die Erzeugermatrix und H die Prüfmatrix des Codes. (so schnell sind viele Lehrbücher)

36 Zwei Arten von Matrizen Eine Prüfmatrix ist die Kurzschrift eines Gleichungssystems: Der Code ist dessen Lösungsmenge: C= { , 000, 0000, 0000, 000, 0000, 0000, 000, 0000, 0000, 000, 000, 0000, 000, 000, } 0

37 Zwei Arten von Matrizen Aus der Erzeugermatrix entsteht der Code durch Addition aller möglichen Kombinationen von Vielfachen der Zeilen: C= { , 000, 0000, 0000, 000, 0000, 0000, 000, 0000, 0000, 000, 000, 0000, 000, 000, }

38 Aufgaben zu den Matrizen ) Welcher Code ist durch diese Prüfmatrix gegeben? = H ) Welcher Code ist durch diese Erzeugermatrix gegeben? C= ) Welcher Code ist durch diese Prüfmatrix gegeben? = H ) Welcher Code ist durch diese Erzeugermatrix gegeben? C=

39 Der Hamming-Code Ein binärer Code mit mehreren Prüfstellen (z.b. der Hamming-(7,4)-Code oder auch H(3): ein (7,6,3)-Code): p p2 b3 p4 b5 b6 b7 Im Folgenden wird die Entwicklung des Hamming-Codes vorgestellt, wie sie ein Schüler im W-Seminar vorgestellt hat.

40 Der Hamming-(7,4)-Code Der bekannteste Hamming-Code Besteht aus insgesamt 7 Bits (n = 7) 4 Datenbits (k = 4) und 3 Prüfbits (r = 3) Hamming-(7,4)-Code oder auch H2(3) definiert durch : H:= 000 G:= Prüfmatrix Generatormatrix

41 Erstellen eines Codewortes p p2 b3 p4 b5 b6 b7 ALICE erstellt ein Codewort : Sie will eine Zahl Z = 0 zu BOB übertragen. Dazu schreibt sie 0 im Dualsystem :

42 ALICE schreibt ihre Information 00 als Datenbits im Hamming-Codewort : p p2 p4 0 0 Um zu vermeiden, dass eine falsche Zahl übertragen wird, muss ALICE die Prüfdatenbits errechnen. So kann BOB später nachprüfen, ob sein erhaltenes Codewort stimmt.

43 ALICE benutzt die Kontroll-Matrix, um die Prüfbits p zu errechnen. Erste Zeile : c + c3 + c5 + c7 = 0 Zweite Zeile : c2 + c3 + c6 + c7 = 0 Dritte Zeile: c4 + c5 + c6 + c7 = 0 c = - c3 c5 c7 = c3 + c5 + c7 c2 = - c3 c6 c7 = c3 + c6 + c7 c4 = - c5 c6 c7 = c5 + c6 + c7

44 p p2 p4 0 0 c = c3 + c5 + c7 = = c2 = c3 + c6 + c7 = = 0 c4 = c5 + c6 + c7 = = Z / 2Z Z / 2Z Z / 2Z c = = p c2 = 0 = p2 c4 = = p4 ALICE hat die Prüfbits erfolgreich errechnet Der Code ist erstellt!

45 Fehlerkorrektur ALICE versendet das Codewort an BOB Leider wird durch einen Übertragungsfehler ein Bit vertauscht. 0 0 BOB überprüft zur Sicherheit das Codewort. Dazu hat er 2 Möglichkeiten:

46 Methode zur Fehlerkorrektur : BOB überprüft die Prüfgleichungen. 0 0 c = c3 + c5 + c7 = falsch c2 = c3 + c6 + c7 0 = wahr c4 = c5 + c6 + c7 = falsch Gleichungen von c und c4 sind falsch => c5 ist falsch

47 0 X 0 Was muss BOB in c5 einsetzen, damit der Code stimmt? c = c3 + c5 + c7 c5 = c c3 c7 = c + c3 + c7 = = Code erfolgreich korrigiert.

48 Methode 2 zur Fehlerkorrektur : Skalarmultiplikation mit Prüfmatrix Gedachter Rechenschritt: x = = 0 0 ( = 4 ) 4.Stelle falsch (anschließend mit Prüfgleichung c4 errechnen )

49 Decodierung Nachdem BOB alle Fehler korrigiert hat, decodiert er BOB erhält eine von ALICE verschlüsselte Botschaft: 00 (=0)

50 Ergänzungen zum Hamming-Code Man verwendet geschickter die Prüfmatrix in folgender Form: H = Man beachte, dass in den Spalten die Zahlen, 2, 3, 4,... in binärer Schreibweise stehen.

51 tertiärer Hamming-Code H 3 (3) H 3 (3)= Die Zahlen, 2, 3, 4,... in tertiärer Schreibweise, jedoch nur mit führender Stelle

52 Seminararbeit All das und noch mehr findet sich in der Seminararbeit dieses Schülers: Hamming-Code

53 Aufgaben zu Hamming-Codes ) Stelle die Matrix zu H 2 (4) auf. 2) Stelle die Matrix zu H 4 (2) auf. 3) Decodiere 000 mit H 2 (3).

54 Weitere dezimale Codes Wer noch nicht genug hat, kann die Seminararbeit eines anderen Schülers schauen: Einige dezimale Codes

55 Englische Literatur Steven Roman Introduction to Coding and Information Theory Springer (997)

56 Weitere Literatur A. Beutelspacher, Luftschlösser und Hirngespinste, Vieweg (986) F. Padberg, Elementare Zahlentheorie, Spektrum (996) R.-H. Schulz, Codierungstheorie, Vieweg (99) A. Bartholomé, J. Rung, H. Kern, Zahlentheorie für Einsteiger, Vieweg (200)

57 Überblick zu den didaktischen Überlegungen ) Kompetenzen 2) Projektunterricht 3)Schreiben im Mathematikunterricht: Dialogisches Lernen 4) Themenstudienarbeit 5)Allgemeinbildung und Bildungsstandards

58 Kompetenzen (ISB München) Selbstkompetenz Sozialkompetenz Fachkompetenz Methodenkompetenz geeignete didaktische Konzepte schülergemäße Umsetzung der fachwissenschaftlichen Inhalte

59 Gudjons Merkmalkatalog des Projektunterrichts Situationsbezug Orientierung an den Interessen der Beteiligten Gesellschaftliche Praxisrelevanz Zielgerichtete Projektplanung Selbstorganisation und Selbstverantwortung Einbeziehen vieler Sinne Soziales Lernen Produktorientierung Interdisziplinarität Grenzen des Projektunterrichts

60 Stufenmodell nach Frey Produktinitiative Fixpunkte im Verlauf eingeschoben Auseinandersetzung Metainteraktion Zwischengespräche Ergebnis: Projektskizzen möglicher Abschluss Entwicklung des Betätigungsfeldes Ergebnis: Projektplan möglicher Abschluss Aktivität Projektdurchführung Beendigung Bewusser Abschluss Rückkoppelung zur Projektinitiative Auslaufen lassen

61 Projektunterricht Besonders die auf unterrichtliche Praxis bezogenen Umsetzungsmöglichkeiten von Ludwig sind für die Gestaltung eines W- Seminars hilfreich. Projekte im Mathematikunterricht können Veränderungen im schulischen und unterrichtlichen Bereich hervorrufen. (Ludwig, 998) Reflexion über das W-Seminar

62 Magnetmodus nach Ludwig Wahrscheinlichkeitsrechnung Mengenlehre Logik Arithmetik Modulorechnen Codierungstheorie Analysis Geometrie Lineare Algebra (Analytische Geometrie) Informationstheorie

63 Sternmodus nach Ludwig Informatik Englisch Ethik, Religion Kommunikation, Rhetorik Codierungstheorie Wirtschaft Astronomie Deutsch Physik

64 Dialogisches Lernen nach Gallin und Ruf (Ich-Du-Wir-Prinzip) Du Frage Aufgabe lösen Lösung Theorie verstehen Frage Ich Dauerkonvergenz im Mathematikunterricht Du Thema Schreiben Text Lesen Thema Ich Dauerdivergenz im Deutschunterricht

65 Ich-Du-Wir-Prinzip am Beispiel des W-Seminars DU Inputphase WIR Problemfeld Codierungstheorie Kernideen der Codierungstheorie Themen vorstellen ICH Themensuche Erste Recherche DU Themenstellung Beratungsgespräch mit dem Lehrer WIR Thema Gliederung Recherche ICH DU Feedback durch Lehrer und Mitschüler WIR Reflektierte Kernideen Zwischenpräsentation Reflektierte Kernidee ICH Recherche Arbeit an Präsentation

66 Ich-Du-Wir-Prinzip am Beispiel des W-Seminars DU Abschlussgespräch mit dem Lehrer WIR Der Wechsel zwischen Recherche und erneuter Präsentation kann mehrfach erfolgen. Konzept der Seminararbeit ICH Recherche Arbeit an Präsentation DU Diskussion Feedback WIR ICH Zusammenstellung der Seminararbeit Abgabe der Seminararbeit Abschlusspräsentation Es könnte noch weiter gehen (besser schwingen), aber hier ist das Seminar zu Ende.

67 Themenstudienarbeit nach Kuntze Themenstudienarbeit Schüler setzen sich mit heterogenen Materialien auseinander Sie schreiben über ein mathematikbezogenes Thema Verbindung zwischen der eigenen Persönlichkeit und Themen der Mathematik Dreiphasiger Aufbau: Ausgangspunkt, Arbeitsprozess, Ergebnis

68 Allgemeinbildender Mathematikunterricht nach Heymann Lebensvorbereitung Stiftung kultureller Kohärenz Weltorientierung Denkenlernen und kritischer Vernunftgebrauch Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft Einübung von Verständigung und Kooperation Ich-Stärke der Schüler

69 Bildungsstandards der KMK mathematische Kompetenzen Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mathematisch modellieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit Mathematik symbolisch, formal und technisch umgehen Mathematisch kommunizieren Anforderungsbereiche I. Reproduzieren II. Zusammenhänge herstellen III. Verallgemeinern und Reflektieren Leitideen Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall

70 W-Seminar mit Rahmenthema Codierungstheorie anspruchsvolles Thema guter Anwendungsbezug viele Möglichkeiten zur Programmierung Verwirklichung kompetenzorientierter und allgemeinbildender Aspekte

71 Zeitplanung im Schulversuch September 06 bis Dezember 06 Inputphase (lehrerzentrierter Unterricht) Dezember 06. Besprechung (Themenstellung) Januar Besprechung (erste Ergebnisse) Februar 07 bis April 07 (Seminarfahrt!) Referate (im G8 Zwischenpräsentation) Wertung als mündliche Note

72 Zeitplanung im Schulversuch Mai Besprechung (Feed-back für das Referat) 4. Besprechung (Abschluss der Seminararbeit) Juni 07 Abgabe der Seminararbeit Wertung als 4. Schulaufgabe (im G8 folgt noch eine Abschlusspräsentation) analog im Schuljahr 2007/08

73 Mögliche Seminararbeiten Codierungstheorie bei Kontonummern verschiedener Institute Codierung bei den DM-Geldscheinen: Diedergruppe Huffman-Codierung Das Hauptproblem der Codierungstheorie - Berechnungen von A r (n,d) Neue Codes aus alten Codes Die Singleton- und Plotkin-Schranken Hamming-Codes Reed-Muller-Codes Zyklische Codes

74 Benotung der Referate Eine Bewertungsmatrix kann helfen, dass die Notengebung für die Schüler nachvollziehbar wird. Meist schätzen sich die Schüler besser ein und es muss sorgfältig begründet werden, damit nicht der Eindruck von Willkür entsteht.

75 Seminararbeiten Seminararbeit zum Thema Wie erstelle ich eine Seminararbeit? Bitte werfen Sie einen Blick in die Arbeiten. Beachten Sie, dass nicht (wie im G8) alle Schüler freiwillig das Seminarfach gewählt haben, da ein ganze Klasse an dem Experiment teilgenommen hat.

76 Vielen Dank!