Der normgerechte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen

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1 Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

2 orwort Naturwissenschaftler, Ingenieure und Techniker erlernen in der Regel während des Studius oder der Berufsausbildung den korrekten Ugang it physikalischen Größen, Einheiten und Gleichungen. In der beruflichen Praxis tritt dieser Ugang jedoch häufig in den Hintergrund. Zur Auffrischung dieser Kenntnisse und als Nachschlagewerk gibt dieses Repetitoriu einen Überblick über die einschlägigen nationalen und internationalen Noren. Dabei werden ausschließlich die Einheiten des internationalen Einheitensystes SI und die dait zusaenhängenden Größen des internationalen Größensystes ISQ sowie Einheiten und Größen, die it de SI bzw. ISQ verwendet werden können, und die logarithischen Größen it der Einheit Dezibel behandelt. Für andere Einheiten und Größen wird auf die Literaturstellen [3] und [4] verwiesen. 2 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

3 Die gesetzlichen Einheiten und das Internationale Größensyste Das Internationale Einheitensyste SI (Systèe international d unités) wurde 1960 von der Generalkonferenz für Maß und Gewicht (Conférence générale des poids et esures, CGPM) angenoen. Maßgeblich für den aktuellen Stand ist der französische Text der BIPM-Broschüre [1]. Die PTB-Broschüre [2] ist die deutsche Übersetzung. Das Internationale Einheitensyste SI wurde in fast allen Staaten in das jeweilige nationale Recht übernoen, in Deutschland durch das Gesetz von 1969 über Einheiten i Messwesen (zuletzt geändert 2008) und die Ausführungsverordnung von 1970 (zuletzt geändert 2009). Während das Gesetz nur den geschäftlichen und den atlichen erkehr als Anwendungsbereich hat, gelten die entsprechenden Noren ohne diese Einschränkung. Die ISQ-Basisgrößen und die SI-Basiseinheiten sind in Tabelle 1, die abgeleiteten Größen it besonderen Einheitenzeichen in Tabelle 2 zusaengestellt. In Tabelle 3 sind Beispiele für abgeleitete Größen ohne besondere Einheitenzeichen angegeben. Tabelle 4 enthält die orsätze und orsatzzeichen für deziale Teile und ielfache von Einheiten. Die orsätze beziehungsweise orsatzzeichen werden nur zusaen it Einheitennaen beziehungsweise Einheitenzeichen verwendet. Ein orsatzzeichen wird ohne Zwischenrau vor das Einheitenzeichen geschrieben; es bildet it de Einheitenzeichen das Zeichen einer neuen Einheit. Tabelle 5 enthält Beispiele für die erwendung von orsätzen und orsatzzeichen. Die abgeleiteten SI-Einheiten werden als Produkte, Quotienten und Potenzen der Basiseinheiten definiert, wobei kein von 1 verschiedener Zahlenfaktor auftritt. Dieses Einheitensyste ist kohärent. Tabelle 6 enthält Einheiten außerhalb des SI, die i Zusaenhang it de SI benutzt werden können. Die DIN-Noren über Größen, Einheiten, Forelzeichen und Gleichungen sind in den DIN-Taschenbüchern 22 [5] und 202 [6] zusaengefasst. DIN [20] enthält den aktuellen Stand des SI. Die deutschen Noren sind it den zuständigen internationalen Organisationen (ISO und IEC) abgestit und beschreiben den international anerkannten Stand der Technik [7]. Die aktuellen internationalen Noren sind in [8], [9] und [14] bis [19] angegeben. In [8], [9], [10], [11], [12], [13] werden die SI-Einheiten auf Grundlage des Internationalen Größensystes ISQ (International Syste of Quantities) definiert. Tabelle 1: ISQ-Basisgrößen und SI-Basiseinheiten ISQ-Basisgröße SI-Basiseinheit Nae Forelzeichen Nae Zeichen Länge l Masse Kilogra kg Zeit, Dauer t Sekunde s Elektrische Strostärke I Apere A Therodynaische Teperatur T, Q Kelvin K Stoffenge n, v Mol ol Lichtstärke Iv Candela cd Die Forelzeichen für die SI-Einheiten sind international genort, sie sind in allen Sprachen gleich. Sie dürfen nicht anders als in Gesetz und Nor angegeben geschrieben und nicht durch zusätzliche Kennzeichen wie Indizes oder Anhängsel verändert werden! Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 3 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

4 Tabelle 2: Abgeleitete Größen und abgeleitete Einheiten it besonderen Einheitenzeichen Abgeleitete ISQ-Größe Nae 1) Abgeleitete SI-Einheit Forelzeichen Nae Einheitenzeichen α, β, γ, φ Radiant rad Ausgedrückt in anderen SI-Einheiten Ebener Winkel SI-Basiseinheiten 1 Rauwinkel Ω Steradiant sr 1 Frequenz f, ν Hertz Hz s 1 Kraft F Newton N kg s 2 Druck, echanische Spannung P Pascal Pa N/² 1 kg s 2 Energie, Arbeit, Wäreenge W Joule J N 2 kg s 2 Leistung, Wärestro P Watt W J/s 2 kg s 3 Elektrische Spannung U, olt W/A 2 kg s 3 A 1 Elektrische Ladung Q Coulob C Elektrische Kapazität C Farad F C/ 2 kg 1 s4 A2 Elektrischer Widerstand R Oh Ω /A 2 kg s 3 A 2 Elektrischer Leitwert G Sieens S A/ 2 kg 1 s3 A2 Magnetischer Fluss Φ Weber Wb s 2 kg s 2 A 1 Magnetische Flussdichte B Tesla T Wb/² kg s 2 A 1 Induktivität L Henry H Wb/A 2 kg s 2 A 2 Lichtstro Φv Luen l cd sr cd Beleuchtungsstärke Ev Lux lx l/² 2 cd Aktivität eines Radionuklids A Becquerel Bq Energiedosis D Gray Gy J/kg 2 s 2 Äquivalentdosis H Sievert Sv J/kg 2 s 2 Katal kat Katalytische Aktivität As s 1 ol s 1 Geht aus de Kontext eindeutig hervor, dass es sich u elektrische Größen handelt, kann das Adjektiv elektrisch weggelassen werden. 1) Tabelle 3: Beispiele für abgeleitete Größen ohne besondere Einheitenzeichen Abgeleitete ISQ-Größe Abgeleitete SI-Einheit Nae Forelzeichen Nae Ausgedrückt in Fläche A Quadrateter 2 oluen Kubiketer 3 Geschwindigkeit v durch Sekunde s 1 Beschleunigung a durch Sekundequadrat s 2 Winkelgeschwindigkeit ω Radiant durch Sekunde rad/s s 1 Winkelbeschleunigung α Radiant durch Sekundequadrat rad/s² s 2 Kraftoent M Newtoneter N 2 kg s 2 Wärestrodichte q Watt durch Quadrateter W/² kg s 3 Wärekapazität C Joule durch Kelvin J/K 2 kg s 2 K 1 Wäreleitfähigkeit λ Watt durch Kelvin W/( K) kg s 3 K 1 Energiedichte e Joule durch Kubiketer J/³ 1 kg s 2 Elektrische Feldstärke E olt durch / kg s 3 A 1 Magnetische Feldstärke H Apere durch anderen SI-Einheiten SI-Basiseinheiten A 1 4 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

5 Tabelle 4: orsätze und orsatzzeichen für deziale Teile und ielfache von Einheiten Tabelle 5: Beispiele für die erwendung von orsätzen und orsatzzeichen orsatz Zeichen Faktor Einheit Einheitennae Beziehung Yocto y k Kiloeter 1 k = 103 Zepto z 10 Millieter 1 = 10 3 Atto a µ Mikroeter 1 µ = 10 6 Feto f n Nanoeter 1 n = 10 9 Piko p 10 TW Terawatt 1 TW = 1012 W Nano n 10 GW Gigawatt 1 GW = 109 W Mikro µ 10 MW Megawatt 1 MW = 106 W Milli 10 3 kw Kilowatt 1 kw = 103 W Zenti c 10 2 W Milliwatt 1 W = 10 3 W Dezi d 10 1 µw Mikrowatt 1 µw = 10 6 W Deka da 10 nw Nanowatt 1 nw = 10 9 W Hekto h 10 pw Pikowatt 1 pw = W Kilo k 10 Mega M 106 Giga G 109 Tera T 1012 Peta P 1015 Exa E 1018 Zetta Z 1021 Yotta Y Bei der Masse sind die orsätze auf das Gra anzuwenden. Tabelle 6: Einheiten außerhalb des SI, die it de SI benutzt werden können Größe Einheitennae Einheitenzeichen Zeit Minute in Stunde h 1 h = 60 in 1 h = 3600 s Tag d 1 d = 24 h 1 d = s Grad Winkelinute 1 = (1/60) 1 = (π/10 800) rad Winkelsekunde 1 = (1/60) 1 = (π/ ) rad Fläche Hektar ha 1 ha = oluen Liter L, l 1 L = Masse Tonne t Druck Bar bar Ebener Winkel Beziehung Wert in SI-Einheiten 1 in = 60 s 1 = (π/180) rad 1 t = 103 kg 10 Pa 5 1 bar = kg s 2 Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 5 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

6 Größen Physikalische Phänoene werden qualitativ und quantitativ durch physikalische Größen beschrieben. Jeder spezielle Wert einer Größe kann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden. Ändert sich die Einheit (z.b. durch den Gebrauch einer Einheit it orsatzzeichen), ändert sich auch der Zahlenwert. Das Produkt aus Zahlenwert und Einheit bleibt dabei konstant; es ist invariant gegenüber eine Wechsel der Einheit. Beispiel: Bei den Angaben U = 0,1 und U = 100 handelt es sich u denselben Größenwert. Tabelle 7: Beispiele für Größen der Größenart Länge Größe Einheit Nae Forelzeichen Nae Forelzeichen Länge l Breite b Höhe h Dicke D, d Radius r, R Durchesser d, D Ufang u, U Wellenlänge λ Tabelle 8: Beispiele für Größen der Größenart Leistung Größe Aus ehreren Buchstaben bestehende Abkürzungen von Bezeichnungen sollen nicht als Forelzeichen von Größen verwendet werden. Soll eine bestite Bedeutung eines Forelzeichens gekennzeichnet werden, so kann das allgeeine Forelzeichen Buchstaben oder Zahlen als Indizes erhalten. Forelzeichen für Größen sollen keinen Hinweis auf bestite Einheiten enthalten! Einheit Nae Forelzeichen Leistung P Watt W Signalleistung Ps Watt W Rauschleistung Pn Watt W Wirkleistung P, Pp Watt W Blindleistung Q, Pq Watt W (auch var) S, Ps Watt W (auch A) Scheinleistung Forelzeichen für physikalische Größen sind international in der Norenreihe IEC ([14], [16] und [18]) sowie i IE 112 [12] festgelegt. Diese Noren sind vo CENELEC als Europa-Noren (EN) und vo DIN als Deutsche Noren übernoen worden ([15], [17] und [19]). Die deutsche Übersetzung des IE 112 [13] wurde von der DKE herausgegeben. Nae Forelzeichen Tabelle 9: Beispiele für Größen der Größenart elektrische Spannung Größe Größen gleicher Art werden in der gleichen Einheit angegeben und entweder durch unterschiedliche Forelzeichen oder durch Forelzeichen it Index unterschieden. Die Tabellen 7, 8 und 9 enthalten einige Beispiele für Größen gleicher Art. Suen und Differenzen sind nur für Größen gleicher Art zulässig. Durch Multiplikation und Division von Größen können weitere Größen definiert werden (Beispiele siehe Tabelle 10). Für Größen ist Multiplikation und Division it Zahlenfaktoren öglich. Einheit Nae Forelzeichen Nae Forelzeichen Elektrische Spannung U, u olt Effektivwert einer Wechselspannung Ueff olt Scheitelwert einer Wechselspannung Us olt Gleichrichtwert einer U Wechselspannung olt Koplexe Aplitude U einer Sinusspannung olt 6 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

7 Tabelle 10: Beispiele für abgeleitete ISQ-Größen Nae 2) Forelzeichen Ausgedrückt in Fläche A l² oluen l³ Geschwindigkeit v l t 1 Beschleunigung a l t 2 Kraft F l t 2 Druck, echanische Spannung P F/l² l 1 t 2 Energie, Arbeit, Wäreenge W F l l² t 2 Leistung, Wärestro P W/t l² t 3 Elektrische Spannung U, W/I Elektrische Ladung Q Elektrische Kapazität C Q/U l 2 1 t4 I2 Elektrischer Widerstand R U/I l² t 3 I 2 Magnetischer Fluss Φ U t l² t 2 I 1 Magnetische Flussdichte B Φ /l² t 2 I 1 Induktivität L Φ/I l² t 2 I 2 Kraftoent M F l l² t 2 Wärestrodichte q W/l² t 3 Wärekapazität C J/T l² t 2 T 1 Wäreleitfähigkeit Φ W/(l T) l t 3 T 1 Energiedichte e J/l³ l 1 t 2 Elektrische Feldstärke E U/l l t 3 I 1 Magnetische Feldstärke H I/l I l 1 anderen ISQ-Größen 2) ISQ-Basisgrößen l² t 3 I 1 It Geht aus de Kontext eindeutig hervor, dass es sich u elektrische Größen handelt, kann das Adjektiv elektrisch weggelassen werden. Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 7 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

8 Größen it Bezugswert, Niveaugrößen Für je zwei Werte einer Niveaugröße kann eine Differenz gebildet werden, die eine Größe ist. Die Differenzgröße ist unabhängig vo Bezugswert. Die Teperaturdifferenz kann in Kelvin oder Grad Celsius angegeben werden; die Werte sind gleich. Niveaugrößen geben die Differenz zu eine von Null verschiedenen festgelegten Bezugswert an. Jeder Wert einer Niveaugröße kann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden. Das Forelzeichen für die Niveaugröße uss zusätzlich einen Hinweis auf die Bezugsgröße enthalten, oder es uss ein besonderes Forelzeichen verwendet werden. Die Addition von Werten einer Niveaugröße ist nur sinnvoll, wenn die Sue durch die Anzahl der Suanden geteilt wird. Dadurch wird der Mittelwert berechnet, der ebenfalls eine Niveaugröße ist. Zu eine Wert einer Niveaugröße kann eine Größe gleicher Art addiert oder von ihr subtrahiert werden. Das Ergebnis ist ebenfalls eine Niveaugröße. Tabelle 11: Beispiele für Niveaugrößen Niveaugröße Forel zeichen Bezugswert Einheit Einheiten zeichen Höhenkoordinate eines Geländepunktes hnhn Nationale Höhenarke, Noralhöhennull Wasserstands koordinate eines Gewässers hp Nullpunkt einer Pegellatte Elektrisches Potential φ Nullpotential, z.b. Erdpotential olt Tageszeit td Mitternacht, 0:00 h Sekunde, Minute, Stunde s, in, h Celsius- Teperatur TC T0 = 273,15 K Grad Celsius C Tabelle 12: Beispiele für Differenzen von Niveaugrößen Niveaugröße Differenz Differenzgröße Einheit Einheitenzeichen Höhenkoordinate eines Geländepunktes Δh = hnhn,2 hnhn,1 Höhendifferenz Wasserstandskoordinate eines Gewässers Δh = hp,2 hp,1 Pegeldifferenz Elektrisches Potential U = Δφ = φ2 φ1 Elektrische Spannung olt Tageszeit Δtd = td,2 td,1 Dauer Sekunde, Minute, Stunde s, in, h Celsius-Teperatur ΔTC = TC,2 TC,1 Teperaturdifferenz Grad C elsius, Kelvin C, K Tabelle 13: Beispiele für Mittelwerte von Niveaugrößen Niveaugröße Mittelwert Niveau-Mittelwert Einheit Einheitenzeichen Höhenkoordinate eines Geländepunktes h = (hnhn,2 + hnhn,1) /2 Mittlere Höhenkoordinate Wasserstandskoordinate eines Gewässers h = (hp,2 + hp,1) /2 Mittlere Wasserstandskoordinate Elektrisches Potential φ = (φ2 + φ1) /2 Mittleres Potential olt Tageszeit td, = (td,2 + td,1) /2 Zeitittelwert Sekunde, Minute, Stunde s, in, h Celsius-Teperatur TC, = (TC,2 + TC,1) /2 Teperaturittelwert Grad Celsius C 8 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:02

9 Physikalische Konstanten Jeder Wert einer physikalischen Konstanten kann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt und in Gleichungen wie eine Größe behandelt werden. Tabelle 14: Beispiele für physikalische Fundaentalkonstanten Nae Forelzeichen Lichtgeschwindigkeit i akuu c, c0 Magnetische Feldkonstante µ0 Elektrische Feldkonstante ε0 Feldwellenwiderstand Z0 Eleentarladung e Elektronenasse e Gravitationskonstante G Boltzann-Konstante kb Loschidt-Konstante NL Beziehung Ausgedrückt in SI-Einheiten π µh 10 ε0 = Z 0 = 1 µ 0 c2 8,854 pf 4 π 10 7 s s A 8, As 376,730 Ω µ0 = µ0 c ε0 1602, C 1602, A s 9, kg 6, kg s2 1381, J K 2, Anerkung: Der Wert für die Lichtgeschwindigkeit ist exakt, die übrigen Zahlenwerte sind gerundet. Die Werte zahlreicher physikalischen Fundaentalkonstanten sind in [25] und [26] zu finden. Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 9 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

10 Gleichungen Die Begriffe Größengleichung, zugeschnittene Größengleichung, Zahlenwertgleichung sowie die Beziehung Größenwert gleich Zahlenwert al Einheit gehen auf Arbeiten von Julius Wallot und anderen aus den Jahren 1922 bis 1933 zurück. Die Diskussionen über diese Theatik führten zu der Erstausgabe der Nor DIN 1313 (1931): Schreibweise physikalischer Gleichungen. Die aktuelle Ausgabe dieser Nor ist [21]. Die Forelzeichen für Größen, Konstanten und Einheiten sind in Gleichungen wie ariablen i Sinne der Algebra zu behandeln. Größengleichungen Größengleichungen sind Gleichungen, in denen die Forelzeichen physikalische Größen oder atheatische Zeichen bedeuten ([3], [4], [8], [9], [12], [13], [21]). Diese Gleichungen sind von der Wahl der Einheiten unabhängig. Bei der Auswertung von Größengleichungen sind für die Forelzeichen der Größen die Produkte aus Zahlenwert und Einheit einzusetzen. Zahlenwerte und Einheiten werden in Größengleichungen als selbstständige Faktoren behandelt. Beispiel: Die Gleichung U=R I liefert ier dasselbe Ergebnis für die Spannung U, unabhängig davon, in welchen Einheiten der Widerstand R und die Strostärke I angegeben werden, falls stets für R und I die zugehörigen Produkte aus Zahlenwert und Einheit eingesetzt werden. Zugeschnittene Größengleichungen Zugeschnittene Größengleichungen sind Größengleichungen, in denen jede Größe durch eine zugehörige Einheit dividiert erscheint [21]. Beispiele: U/ = (R/Ω) (I/A) U/ = (R/kΩ) (I/A) U/k = 10 3 (R/Ω) (I/A) Die Klaern können weggelassen werden, wenn die Zuordnung von Größen und Einheiten ohne Klaern ersichtlich ist, zu Beispiel auf der linken Seite der obigen Gleichungen oder bei erwendung waagerechter Bruchstriche: U R I = 10 3 k Ω A 10 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

11 Die zugeschnittene Größengleichung hat den orteil, dass die Quotienten aus Größe und Einheit unittelbar die Zahlenwerte darstellen. Die Gleichungen bleiben aber auch richtig, wenn für die Größen die Produkte aus Zahlenwert und Einheit in anderen Einheiten eingesetzt werden. Daraus ergeben sich dann zusätzliche Urechnungen der Einheiten. Die zugeschnittene Größengleichung eignet sich in erster Linie zur Darstellung von Ergebnissen. Diese Schreibweisen sind keinesfalls zu verwenden. Soll nur der Zusaenhang zwischen den Zahlenwerten dargestellt werden, ist die For der zugeschnittenen Größengleichung vorzuziehen. Korrekt sind hingegen die Angaben U in k, R in Ω, I in A. Diese Schreibweise hat den orteil, dass sie i Englischen gleichlautend ist. Zahlenwertgleichungen U = 10 3 R I Zahlenwertgleichungen sind Gleichungen, in denen die Forelzeichen Zahlenwerte physikalischer Größen oder atheatische Zeichen bedeuten. Diese Gleichungen sind von der Wahl der Einheiten abhängig. Zahlenwertgleichungen sollten nicht verwendet werden, sie gelten als veraltet. Sie üssen geäß DIN 1313 [21] und ISO [8], [9] als Zahlenwertgleichungen gekennzeichnet werden; für alle Größen sind die Einheiten anzugeben. Beispiel: U in k, R in Ω, I in A (korrekt, aber nicht zu epfehlen!) Gleichungen it Niveaugrößen Für Niveaugrößen epfiehlt sich die Anwendung von zugeschnittenen Größengleichungen oder von Zahlenwertgleichungen. Beispiel: Urechnung einer therodynaischen Teperatur in die entsprechende Celsius-Teperatur: Als zugeschnittene Größengleichung: Bei der erwendung kohärenter Einheiten stien die Zahlenwertgleichungen it den entsprechenden Größengleichungen überein. Bei der erwendung gleicher Forelzeichen für Größen und Zahlenwerte ist nicht erkennbar, ob es sich u eine Größengleichung oder eine Zahlenwertgleichung handelt. TC/ C = T/K 273,15 Als Zahlenwertgleichung: TC = T 273,15 TC in C, T in K Zur Kennzeichnung von Zahlenwert und Einheit einer Größe werden in den Noren geschweifte und eckige Klaern in folgender Bedeutung verwendet: {U} Zahlenwert der Größe U [U] Einheit der Größe U U = {U} [U] Größe = Zahlenwert Einheit Diese Bezeichnungsweise wird nur benötigt, wenn Einheiten außerhalb des SI verwendet werden. Den einschlägigen Noren widerspricht es, in Gleichungen den Größensybolen die Einheiten in rechteckigen Klaen anzufügen oder die Einheiten vor, neben oder unter den Gleichungen in rechteckigen Klaern anzugeben. Negativbeispiele: U [k] = 10 3 R [Ω] I [A] falsch! U = 10 3 R I falsch! U [k], R [Ω], I [A] Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 11 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

12 Logarithierte Größenverhältnisse, Däpfungs- und Übertragungsaß In der Telekounikation und der Akustik wird it -aß ein logarithiertes erhältnis zweier elektrischer Größen gleicher Art bezeichnet, das zur Kennzeichnung der Eigenschaften eines Zweitors oder einer Übertragungsstrecke dient [22]. Als Einheit wird das Dezibel (db) verwendet. Die Arguente des Logarithus sind Größenverhältnisse der Diension Zahl (Zahlenwerte). Die Einheit db ist keine SIEinheit, sollte jedoch ebenso wie die SI-Einheiten nicht durch Zusätze verändert werden. Die Funktion lg bezeichnet den Logarithus zur Basis 10; log steht für die allgeeine Logarithusfunktion. In den folgenden Gleichungen bezeichnet der Index 1 die Eingangsgröße, der Index 2 die Ausgangsgröße eines Zweitors. Definition für Leistungsgrößen Beispiel: Wirkleistungen Leistungsdäpfungsaß eines Zweitors: P AP = 10 lg 1 db P2 Leistungsgewinnaß (erstärkungsaß) eines Zweitors: P GP = 10 lg 2 db AP = P1 Definition für Größen, deren Quadrat einer Leistungsgröße proportional ist Beispiel: koplexe Aplituden oder Effektivwerte von Wechselspannungen Spannungsdäpfungsaß eines Zweitors: U U AU = 20 lg 1 db = 20 lg 1 eff db U U 2 eff 2 Spannungsgewinnaß (erstärkungsaß) eines Zweitors: U U GU = 20 lg 2 db = 20 lg 2 eff db = AU U1 U1 eff Diese Größen wurden bisher als Feldgrößen bezeichnet, diese Benennung ist jedoch irreführend. Leistungs- und Energiedichten sind zugleich Feldgrößen und Leistungsgrößen. Elektrische Spannung und elektrische Strostärke sind keine Feldgrößen, sondern Integrale über Feldgrößen. Deshalb wurde in ISO [8] die Benennung root power quantity (in [9] Leistungswurzelgröße ) eingeführt. Diese Benennung wurde in den Entwurf der nächsten ersion der Nor IEC übernoen. Weitere Beispiele enthält [22]. 12 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

13 Logarithierte Größenverhältnisse, Pegel In der Telekounikation und der Akustik wird als Pegel das logarithierte erhältnis zweier Größen bezeichnet, wenn die Nennergröße ein festgelegter Wert einer Bezugsgröße gleicher Art wie die Zählergröße ist [18], [19], [22]. Als Einheit wird das Dezibel (db) verwendet. Der Wert der Bezugsgröße sollte stets bei der Nennung der Zahlenwerte von Pegeln angegeben werden. Als Kurzfor dieser Angabe kann die Bezugsgröße in Klaern hinter das dbzeichen gesetzt werden. Ist der Zahlenwert der Bezugsgröße gleich 1, kann in der Klaer diese 1 weggelassen werden. U zu kennzeichnen, dass es sich nicht u eine besondere Einheit, sondern nur u eine Bezeichnung des Bezugswertes handelt, sollte zwischen de Einheitenzeichen db und de Klaerausdruck ein Zwischenrau eingefügt werden (siehe [18], [19]). In [18] und [19] sind zusätzlich einige Kurzforen angegeben, die von der Internationalen Ferneldeunion ITU/UIT eingeführt wurden [23]. Bei diesen Kurzforen wird an die Bezeichnung db zur Kennzeichnung des Bezugswertes ein Buchstabe oder eine Zeichenfolge unittelbar angehängt. Diese Kurzbezeichnungen ist geäß IEC ([18], [19]) zu vereiden. Definition für Leistungsgrößen Beispiel: Leistung P, Bezugswert P0 LP (re = P0 ) L= 10 lg P P0 P db P0 Definition für Größen, deren Quadrat einer Leistungsgröße proportional ist Beispiel: Spannung U, Bezugswert U0 LU (re = U 0 ) L= 20 lg U U0 U db U0 In Tabelle 15 sind einige Pegeldefinitionen und deren Kurzzeichen angegeben. Weitere in der Nachrichtenübertragungstechnik gebräuchliche Pegelangaben enthält IEC [16], [17]. Die Kurzforen in den Spalten 5 und 6 von Tabelle 15 sind nur zur Angabe von Messwerten und Ergebnissen geeignet! Generell sollen Hinweiszeichen für Bezugswerte und Messverfahren a Größensybol, nicht a Einheitenzeichen angebracht werden! Dies gilt nicht nur für die SI-Einheiten, sondern auch für die Einheit Dezibel. In der Akustik werden die früher üblichen Einheiten it Zusätzen (z.b. db(a)) nicht ehr verwendet! Weitere Beispiele sind in [22] zu finden. Tabelle 15: Beispiele von Pegeldefinitionen it verschiedenen Bezugsgrößen Größe Bezugswert 3) 4) 5) Forelzeichen Pegel, Definition Einheit, Kurzfor IEC 3) ITU/UIT 4) P 10 lg db 1 W db (W) db LU/ U 20 lg eff db 1 db () db LU (re 1 µ) LU/µ U 20 lg eff db 1 µ db (µ) dbµ Elektrische Strostärke L (re 1 µa) I Bezugswert 1 µa LI/µA I 20 lg eff db 1 µa db (µa) dbµa Elektrische Feldstärke Bezugswert 1 µ/ LE (re 1 µ/) LE/(µ/) Eeff 20 lg db 1 µ/ db (µ/) nicht: dbµ/ 5) Magnetische Feldstärke L (re 1 µa/) H Bezugswert 1 µa/ LH/(µA/) H eff 20 lg db 1 µa/ db (µa/) nicht: dbµa/ 5) Relativer Störpegel Trägerleistung Pc Störsignalleistung Pn Ln, Pc P 10 lg n db Pc db (Pc) dbc ausführlich kurz Elektrische Leistung Bezugswert 1 W LP (re 1 W) LP/W Elektrische Spannung Bezugswert 1 LU (re 1 ) Elektrische Spannung Bezugswert 1 µ Ln (re Pc) In Größengleichungen durch db ohne Zusatz zu ersetzen. Diese Kurzbezeichnungen sollten verieden werden. Diese Kurzbezeichnungen sind fehlerhaft. Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 13 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

14 Beziehung zwischen Pegeln der elektrischen und agnetischen Feldstärke Die Feldstärken sind durch die Gleichung Eeff = ZW Heff verknüpft, wobei ZW der Wellenwiderstand ist. Urechnung in Pegel: Eeff H eff Z W db 20 lg = db 20 lg Ω 1 µ/ 1 µa/ 1 H e ff ZW = 20 lg db + 20 lg db 1 Ω 1 µa/ Mit de Ausdruck Z AZ Ω = 20 lg W db 1 Ω und den in Tabelle 15 definierten Forelzeichen kann die Beziehung zwischen den Feldstärkepegeln folgenderaßen geschrieben werden: LE/(µ/) = LH/(µA/) + AZ/Ω Für den Ter AZ/Ω wird die Benennung Ipedanz-Wandlungsaß vorgeschlagen. Er ist kein Pegel, da der Bezugswert weder eine Leistungsgröße noch eine Leistungswurzelgröße ist. Als Kurzbezeichnung kann db (Ω) verwendet werden. Die Bezeichnung dbω sollte verieden werden. Der Wellenwiderstand ZW kann ein Leitungswellenwiderstand oder der Feldwellenwiderstand Z0 ( Tabelle 14) sein. 14 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

15 Rechenoperationen für logarithische Pegel und Maße In Gleichungen sind ein logarithisches Maß wie eine Größe und ein logarithischer Pegel wie eine Niveaugröße zu behandeln. Der Mittelwert zweier Pegel it gleichen Bezugswerten ist ebenfalls ein Pegel: L = (L1 + L2) /2 Die Differenz zweier Pegel it gleiche Bezugswert ist ein Maß: ΔL = A = L1 L2 Für Maße sind die Suen- und Differenzbildung sowie Multiplikation und Division it reellen Faktoren öglich: As = A1 + A2, Ad = A1 A2, Ap = k A1, Aq = A1/k Maße können zu Pegeln addiert oder von diesen subtrahiert werden: L1 = L2 + A, L1 = L2 A Diese Rechenoperation entspricht nur dann den Regeln der Algebra, wenn Pegel und Maß in der gleichen Einheit db ohne Zusätze eingesetzt werden. Diese Beziehungen sollten als Größengleichungen aufgefasst werden. Die Werte für Pegel und Maße sind als Produkt von Zahlenwert und der Einheit db ohne Zusatzkennzeichen einzusetzen. Werden für die Pegel die Einheitenbezeichnungen geäß UIT einsetzt (z.b. db), kann die Gleichung für die Pegeldifferenz entweder als zugeschnittene Größengleichung ΔL/dB = A/dB = L1/dB L2/dB oder als Zahlenwertgleichung geschrieben werden: ΔL = A = L1 L2 ΔL, A in db, L1, L2 in db (korrekt, aber nicht zu epfehlen!) Der Mittelwert wird aus der zugeschnittenen Größengleichung gebildet: L/dB = (L1/dB + L2/dB) /2 Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 15 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

16 Schreibweisen Die Schreibweisen für Größen und Einheiten sind in [8] und [9] international genort, siehe auch [1] bis [4]. Kursivschrift In Kursivschrift werden geschrieben: Forelzeichen für physikalische Größen, z.b. (Masse); U (elektrische Spannung) Forelzeichen für ariablen, z.b. x; n Funktions- und Operatorzeichen it frei wählbarer Bedeutung, z.b. f(x) Für diese Forelzeichen wird in den Noren ein SerifenSchrifttyp (z.b. Ties) epfohlen. Steilschrift In Steilschrift werden geschrieben: Einheiten und ihre orsätze, z.b. ; ; kg; s; MW; µ; db Forelzeichen für Konstanten, z.b. c (Lichtgeschwindigkeit) Zahlen, z.b. 4,5; 67; 8fach; 1/2 Funktions- und Operatorzeichen it feststehender Bedeutung, z.b. sin; lg; π Cheische Eleente und erbindungen, z.b. Cu; H2O Für diese Forelzeichen wird in den Noren kein bestiter Schrifttyp epfohlen. Es wird epfohlen, für Ziffern einen Schrifttyp zu verwenden, bei de sich die Ziffern Eins (1) und Null (0) deutlich von den Buchstaben kleines L (l) und großes i (I) bzw. großes o (O) unterscheiden (z.b. Arial). Forelzeichen für Einheiten werden klein geschrieben (z.b., s), es sei denn, sie sind von eine Naen hergeleitet (z.b. A, W). Zeigen Einheitenvorsätze eine erkleinerung an, werden sie klein geschrieben. Bedeuten Einheitenvorsätze eine ergrößerung, werden sie it Ausnahe des k groß geschrieben. 16 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

17 Angabe von Größenwerten in Tabellen und Diagraen Epfehlungen zur Beschriftung von Koordinatenachsen in grafischen Darstellungen und von Tabellenköpfen enthalten [4] und [24]. Die Tabellen 16 und 17 geben Beispiele für norgerechte und für fehlerhafte Beschriftungen von Tabellenköpfen und Koordinatenachsen. Die Beschriftung der Anzeige von elektronischen Geräten, insbesondere von Messgeräten, sollte ebenfalls nach diesen Epfehlungen ausgerichtet sein. Wegen der ielfalt der Funktionen oderner elektronischer Geräte und der Beschränkung von Platz und Zeichenvorrat gibt es besondere Problee; in anchen Fällen üssen Koproisse eingegangen werden. Tabelle 17: Beschriftung von Tabellenköpfen und Koordinatenachsen für große Wertebereiche richtig P P/W P/W P/W Tabelle 16: Beschriftung von Tabellenköpfen und Koordinatenachsen 1 TW T 1 GW G richtig 10 1M U 6) falsch 7) falsch U/, U in E E/(µ/), E in µ/ 1 MW 1 10 U [], U in [] 1 kw k 1W ) µ/ W µ/ µw µ n p µ/ nw pw Einheiten nicht in rechteckige Klaern setzen. 7) orsatzzeichen dürfen nicht getrennt verwendet werden. Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 17 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

18 Häufige Fehler Bei der Durchsicht von Fachzeitschriften, technischen Dokuentationen und ortragsanuskripten sind i Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen zahlreiche erstöße gegen die einschlägigen nationalen und internationalen Noren zu finden. Eine verbreitete Unsitte ist es, Einheiten it Index zu versehen. Dies ist nicht nur ein erstoß gegen die einschlägigen Noren, sondern auch gegen das Einheitengesetz. Ein solcher Index gehört stets an das Größensybol, nicht an das Einheitensybol. Als Folge dieses Missbrauchs werden Urechnungen zwischen Einheiten angegeben, wenn Urechnungen zwischen Größen geeint sind. Besonders probleatisch ist in dieser Hinsicht die Einheit Dezibel (db). Alle Problee it den verschiedenen Anwendungen vereinfachen sich, wenn anstelle spezieller Einheiten die entsprechenden Größen definiert werden und der Bezugswert als Index a Größensybol angebracht wird. Ein weiterer erstoß gegen die Noren ist es, die Einheit in rechteckigen Klaern neben das Größensybol zu schreiben. Leider ist diese Unsitte weit verbreitet. Wenn zusätzlich zur Größe die Einheit angegeben werden soll, wird die For der zugeschnittenen Größengleichung epfohlen. Dr. Klaus H. Blankenburg, Noveber Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:03

19 Literaturangaben Referenznuer Referenz [1] [7] Le Systèe international d unités (SI), 8e édition/ The International Syste of Units (SI) [8th edition, 2006; updated in 2014, Das Internationale Einheitensyste (SI), Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig (2007) (Deutsche Fassung von [1], Thopson, A/Taylor, B.N.: Guide for the Use of the International Syste of Units (SI), Gaithersburg, 1995 (NIST Special Publication 811) Drath, P.: Leitfaden für den Gebrauch des Internationalen Einheitensystes. Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig (1996). DIN-Taschenbuch 22: Einheiten und Begriffe für physikalische Größen DIN Deutsches Institut für Norung e.., Beuth erlag GbH, Berlin, 9. Auflage 2009 DIN-Taschenbuch 202: Forelzeichen, Forelsatz, atheatische Zeichen und Begriffe DIN Deutsches Institut für Norung e.., Beuth erlag GbH, Berlin, 3. Auflage 2009 Garlichs, G.: Grundlegende Norung für die Elektrotechnik. teleko praxis (8/93). [8] ISO :2009, Quantities and units Part 1: General [9] DIN EN ISO :2013, Größen und Einheiten Teil 1: Allgeeines (Deutsche Fassung von [8]) [10] [12] International vocabulary of etrology Basic and general concepts and associated ters (IM), 3rd edition, JCGM 200:2012 (E/F) Internationales Wörterbuch der Metrologie Grundlegende und allgeeine Begriffe und zugeordnete Benennungen (IM), englisch/deutsche Fassung von [10] DIN Deutsches Institut für Norung e.., Beuth erlag GbH, Berlin, 3. Auflage 2010 (E/D) IEC :2010, IE PART 112: QUANTITIES AND UNITS (E/F) ( [13] IE Internationales elektrisches Wörterbuch Teil 112:2010: Größen und Einheiten (D/E/F) ( [14] IEC :1992, Letter sybols to be used in electrical technology Part 1: General [15] DIN EN :2007, Forelzeichen für die Elektrotechnik Teil 1: Allgeeines (Deutsche Fassung von [14]) [16] IEC :2000, Letter sybols to be used in electrical technology Part 2: Telecounications and electronics [17] [20] DIN EN :2007, Forelzeichen für die Elektrotechnik Teil 2: Telekounikation und Elektronik (Deutsche Fassung von [16)] IEC :2004, Letter sybols to be used in electrical technology Part 3: Logarithic and related quantities, and their units DIN EN :2007, Forelzeichen für die Elektrotechnik Teil 3: Logarithische und verwandte Größen und ihre Einheiten, (Deutsche Fassung von [18]) DIN :2010, Einheiten Teil 1: Einheitennaen, Einheitenzeichen [21] DIN 1313:1998, Größen [22] DIN 5493:2012, Logarithische Größen und Einheiten [23] ITU-R.574-4:2000, Use of the decibel and the neper in telecounications [24] DIN 461:1973, Graphische Darstellung in Koordinatensysteen (in [6] enthalten) [25] Fundaental Physical Constants Extensive Listing ( [26] Mohr, Taylor, Newell: CODATA Recoended alues of the Fundaental Physical Constants: 2010 National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, USA [2] [3] [4] [5] [6] [11] [18] [19] Bezeichnungen der zitierten Institutionen CGPM Conférence générale des poids et esures JCGM Joint Coittee for Guides in Metrology BIPM Bureau International des Poids et Mesures ISO International Organization for Standardization IEC International Electrotechnical Coission CENELEC Coité Européen de Noralisation Electrotechnique DIN Deutsches Institut für Norung DKE Deutsche Koission Elektrotechnik Elektronik Inforationstechnik i DIN und DE PTB Physikalisch-Technische Bundesanstalt ITU International Telecounication Union NIST National Institute of Standards and Technology Rohde & Schwarz Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen 19 Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:04

20 Kontakt Rohde & Schwarz Europa, Afrika, Osten DerMittlerer Elektronikkonzern Rohde & Schwarz bietet innovative Lösungen auf den Arbeitsgebieten Nordaerika TEST RSA ( )Medientechnik, Messtechnik, Rundfunkund custoer.support@rsa.rohde-schwarz.co Sichere Kounikation, Cyber-Sicherheit sowie Lateinaerika Funküberwachungsund -ortungstechnik. or custoersupport.la@rohde-schwarz.co ehr als 80 Jahren gegründet ist das selbst Asien-Pazifikständige Unternehen in über 70 Ländern it custoersupport.asia@rohde-schwarz.co eine engaschigen ertriebs- und Servicenetz China +86vertreten angestaten In seinen Arbeitsgecustoersupport.china@rohde-schwarz.co bieten zählt der Elektronikkonzern zu den führenden Anbietern weltweit. Der Firensitz ist in München, Deutschland. Ergänzend steuern je ein regionales Headquarter in Singapur sowie in Colubia (Maryland), USA, die Geschäfte. R&S ist eingetragenes Warenzeichen der Rohde & Schwarz GbH & Co. KG Eigennaen sind Warenzeichen der jeweiligen Eigentüer PD ersion Noveber 2016 (sk) Der norgerechte Ugang it Größen, Einheiten und Gleichungen Daten ohne Genauigkeitsangabe sind unverbindlich Änderungen vorbehalten Rohde & Schwarz GbH & Co. KG München PDP 1 de Rohde & Schwarz GbH & Co. KG Norgerechter_Ugang_it_Groessen_Einheiten_Gleichungen_bro_de_ _v0402.indd :52:04