Mit Quantencomputern ins nächste Jahrtausend?

Transkript

1 Mit Quantencomputern ins nächste Jahrtausend? Eine Arbeit von Jens Weidemann

2 Inhaltsverzeichnis Einführung 3 Definition eines Quantencomputers 4 Aufbau und Messung eines Quantencomputers 6 Funktionen und Algorithmen für Quantencomputer 11 Die controlled NOT-Funktion 12 Die NOT-Funktion 13 Die Hadamard-Transformation 14 Die AND-Funktion 14 Der Funktionsaufruf 15 Der Faktorisierungsalgorithmus 18 Grover Search Algorithm 19 Vorteile und Anwendungen Quantencomputer 20 Realisierungsversuche und Probleme 22 Polarisierte Photonen 22 Ionenfallen 23 NMR 26 Forschungserfolge 29 Hintergrundinformationen 31 Parallele Universen 31 Heisenbergs Unschärferelation 32 Schrödingers Katze 32 Schlusswort 33 Quellenangaben 34 2

3 Einführung In letzter Zeit erfährt man in Medienberichten immer wieder etwas über Quantencomputer. Sie sollen schneller sein als alles Bestehende und unsere Computerwelt vollständig revolutionieren. Doch was steckt dahinter? Was ist das Besondere und Außergewöhnliche an der Funktionsweise der Quantencomputer? Wie kann man die zu Grunde liegenden Mechanismen verstehen? Genau das versuche ich in dieser Arbeit zu klären. Ich habe dieses Thema gewählt, weil ich selbst viel mit Computern zu tun und die aktuellen Forschungsergebnisse aus eigenem Interesse verfolgt habe. Daher sind Quantencomputer für mich ein faszinierendes Gebiet. Ich werde über den theoretischen Quantencomputer berichten, über bereits entwickelte Algorithmen und über Realisierungsversuche und Probleme, die diese noch verhindern. Woher kommt dieses Interesse an Quantencomputern? In der heutigen Zeit stehen bei der Computerentwicklung die Miniaturisierung der Hardware, ein geringerer Energieverbrauch, Mobilität und die Beschleunigung von Rechenoperationen im Vordergrund. Würde der Miniaturisierungstrend weiter so fortgesetzt, würden wir bald in Größenordnungen eines Atoms vorstoßen, was wohl kaum möglich ist. Auch wenn eine konkrete Nutzanwendung für derartige Quantencomputer fehlt, so verbargen sich hinter diesem faszinierenden Gebiet in den letzten Jahren für viele Physiker echte Überraschungen. Bei verschiedenen Computerfirmen wie z.b. IBM, HP oder auch AT&T befassen sich seit einigen Jahren eigene Forschungsgruppen mit den Möglichkeiten von Quantencomputern und ihrer Realisierung. Quantencomputer arbeiten auf den Grundlagen der Quantenphysik, deshalb ist nötig, klassische Denkweisen und Erfahrungen aus der Physik in den Hintergrund zu stellen und sich auf neue Auffassungen von Realität und Natur einzustellen die bei Quantenobjekten anders sind als bei Gegenständen unseres Alltages. 3

4 Definition eines Quantencomputers Doch bevor wir weiter in die Materie vordringen, muss man sich bestimmten Gesetzmäßigkeiten bewusst sein. Klassische Systeme sind unvorhersehbar, weil sie abhängig von ihren Startbedingungen sind. Quantenmechanische Systeme dagegen sind aus einem anderen Grund unvorhersehbar. Da sie in mehreren Universen gleichzeitig existieren (siehe Everetts Theorie der parallelen Welten) und darin sich unterschiedlich Verhalten erscheint es in jedem Universum zufällig. Man muss den newton schen Determinismus abstreifen, denn nach Heisenbergs Unschärferelation ist es unmöglich gleichzeitig Geschwindigkeit und Position eines Teilchens genau zu bestimmen und offenbarte uns damit, dass mikrophysikalische Systeme alles andere als deterministisch sind (siehe Hintergrundinformationen). Ein klassischer Computer arbeitet mit Bits die in ihrem Binärsystem nur 2 unterschiedliche Zustände 1 und 0 haben können, wobei wir 1 für JA (ein Strom fließt) und 0 für NEIN (kein Strom fließt) übersetzen können. Ein Quantencomputer besteht aus Q-Bits, Qu-Bits oder auch Quantenbits genannt. Auf den Aufbau möglicher Q-Bits werde ich später eingehen. Zustände betrachtet man in der Quantenphysik mithilfe von Vektoren. Also wäre der Vektor (0,1) auf der x-achse mit NEIN und (1,0) auf der z-achse mit JA zu übersetzen und wobei diese Vektoren in der Ebene liegen. Der eingeschlossene Raum wird Hilbertraum genannt. Quantencomputer haben also zwei Basiszustände, einen Anfangszustand (0,1) und einen Zustand der das Ergebnis der Rechnung in sich trägt (1,0). Quantendynamische Vorgänge werden durch Drehungen beschrieben, wodurch Überlagerungen und Mischzustände entstehen. Das Ergebnis erhält man also durch Drehung von der x-achse zur z-achse und was dazwischen passiert bzw. welche Überlagerungen entstehen, bleibt uns teilweise verborgen. Zur Veranschaulichung kann man das mit Schrödingers Katze vergleichen. 4

5 Zur weiteren Definition eines Quantencomputers gehört die Fähigkeit der absoluten Reversibilität. Auch klassische Computer können reversibel rechnen indem sie Zwischenergebnisse speichern und abrufen können, was aber keine echte Lösung ist. Bei einer quantenmechanischen Berechnung kann man jede Drehung rückgängig machen. Der Sachverhalt der reversiblen Rechnung wird noch an der AND-Funktion deutlich. Quantencomputer nutzen den Interferenz-Effekt. Da Q-Bits wie Wellen Wechselwirken können manche sich verstärken und manche sich auslöschen. Q-Bits können aber nicht nur Wechselwirken, sie können sich vereinigen zu Überlagerungen mit sehr vielen Variablen und sich wieder trennen. Quantenphänomene können nicht innerhalb eines Universums simuliert werden, sondern benötigen hierfür die Interferenz einer Vielzahl paralleler Universen. Hierbei werden die Computerberechnungen in unterschiedlichen parallelen Universen durchgeführt und die Ergebnisse durch Interferenz übermittelt (siehe Everetts Theorie der parallelen Welten). 5

6 Aufbau und Messung von Quantencomputer Wir haben nun schon gehört, dass Quantencomputer aus Q-Bits bestehen, die 2 Basiszustände und unendlich viele Mischzustände annehmen können. Sie besitzen den Anfangszustand (0,1) und einen Zustand der das Ergebnis der Rechnung in sich trägt (1,0) oder auch 0> und 1> als Ket-Vektoren, die die bevorzugte Darstellung der Zustände sein wird. Die Überlagerungszustände, auch Superposition genannt (siehe Superpositionsprinzip), kennzeichnet man mit der Formel: a 0> + b 1> Die Variablen a und b können alle positiven rationalen Zahlen annehmen solange a²+b²=1 gilt. Sie geben an ob sich der Vektor näher an der z-achse oder näher an der x-achse befindet. Ähnlich dem klassischen Computer müssen Q-Bits bestimmte Schaltungen durchlaufen, die bestimmte Operationen durchführen. Damit ein klassischer Computer größere Mengen von Informationen speichern und verarbeiten kann brauch er jede Menge Bits. Wenn er z.b. die zahl 9 darstellen möchte so ergibt das Binärsystem die Ziffernfolge Er brauch also genau 4 Bits, um sich die Zahl merken zu können, bei dem das erste Bit den Zustand 1, das zweite Bit den Zustand 0, das dritte Bit den Zustand 0 und das vierte Bit den Zustand 1 besitzt. Zum Vergleich betrachten wir einen Quantencomputer mit 2 Q-Bits. Man kann die Q-Bits zunächst in einen Basiszustand halten, wobei das erste Q-Bit den Zustand 1, also 1>, und das zweite Q-Bit erhält den Zustand 0, also 0>, erhält. Das Gesamtsystem beinhaltet folglich den Zustand ø>, den man als das Produkt der Teilzustände erhält: ø> = 1> 0> 6

7 Man kann also einen Quantencomputer mit 4 Q-Bits bauen der aber mit einem Binärsystem arbeitet, was schon realisiert wurde. So ein Quantencomputer würde natürlich nicht schneller als ein klassischer Computer arbeiten, da er die Vorteile der Interferenz und Überlagerung nicht nutzt. Es müssen schlussfolgernd auch beliebige Überlagerungen bzw. Superpositionen angenommen werden können. Der allgemeinste Zustand eines 2-Q-Bit-System lässt sich durch folgende Summe schreiben: ø> = a 0> 0> + b 0> 1> + c 1> 0> + d 1> 1> Es muss wieder a² + b² + c² + d² = 1 gelten, da die Variablen, zum Quadrat, die Wahrscheinlichkeit beschreiben, mit der dieser Zustand bei einer Messung auftritt, und die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik 1 ergeben muss. Befindet sich nur ein Q-Bit in einer Superposition und das zweite in einem Basiszustand, kann man das Gesamtsystem wieder in ein Produkt ø> schreiben: 0> 0> + 0> 1> = ( 0> + 1>) 0> Die beiden Q-Bits bilden 2 unabhängige Teilsysteme. Wenn man aber 2 Q-Bits in Superposition hat dann wird die Schranke zwischen den Teilsystemen verschwinden und man hat einen Überlagerungszustand, in dem man nicht erkennen kann, welche Zustände jedes einzelne Q-Bit besitzt. Sie verschmelzen zu einem System und sie können nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden. Eine Produktbildung ist nicht möglich, deswegen nennt man den Zustand auch verschränkter Zustand". ø> = 0> 0> + 1> 1> 7

8 Erst eine Messung veranlasst das System sich für einen Zustand zu entscheiden. Der Indeterminismus der Quantenphysik verhindert eine Aussage, wie die Entscheidung ausfällt, jedoch kann man Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, welchen Zustand das System annimmt, wenn man eine Zwischenmessung vornehmen würde. In einem Q-Bit gilt: a 0> + b 1>. Die Variablen a und b geben uns Auskunft über die Wahrscheinlichkeit mit der der Zustand 0 bzw. 1 auftreten wird. Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus: a² bzw. b². Es ist zu beachten das der Zustand, den man durch die Messung erhält, erst durch die Messung vom Q-Bit angenommen wurde. Die Superposition wurde damit aufgehoben. In der folgenden Tabelle erkennt man Zustände, die ein Messgerät für verschiedene Fälle in den 2 Q-Bits wahrnimmt. Zustand Messung im Q-Bit 1 Messung im Q-Bit 2 0> 0> 0 0 1> 0> 1 0 1> 0> 1> 1> 1 0 oder 1 0> 0> + 1> 0> 0 oder 1 0 0> 0> + 1> 1> 0 oder 1 0 oder 1 Bei dem ersten Zustand befinden sich beide Q-Bits im Basiszustand 0 weshalb die Messung ebenfalls 0 ergibt. Beim zweiten Zustand liegen wieder beide Q-Bits in einem Basiszustand, die Messung bestätigt die Zustände. Beim dritten Zustand befindet sich das erste Q-Bit wieder im Basiszustand 1 und das zweite Q-Bit in einer Superposition, deren Messung ein zufälliges Ergebnis ausgibt, dessen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können (siehe oben). Der vierte Zustand ähnelt dem dritten, mit dem Unterschied, dass sich das erste Q-Bit diesmal in der Superposition befindet und das zweite definitiv 0 ergibt. Beim Letzten handelt es sich um einen verschränkten Zustand, indem sich beide Q-Bits in Superposition befinden und voneinander abhängig sind. 8

9 Um die Wahrscheinlichkeit in einem 2-Q-Bit-System zu berechnen, betrachtet man wieder den allgemeinsten Fall: ø> = a 0> 0> + b 0> 1> + c 1> 0> + d 1> 1> für den wieder a² + b² + c² + d² = 1 gelten muss, um den Wahrscheinlichkeitsgesetzten der Quantenphysik gerecht zu werden. Folgende Fälle sind zu betrachten: - steht im ersten Q-Bits jedes Summanden 0>, so ergibt die Messung ebenfalls 0 da sich das erste Q-Bit im Basiszustand 0 befindet und z.b. das andere in Überlagerung. Mögliche Zustände sind: ø> = 0> 0>; ø> = 0> 1>; ø> = c ( 0> 0> + 0> 1>), wobei c die Normierungskonstante für quantenphysikalische Wahrscheinlichkeitsberechnungen ist: c=1/2. Das System behält den Zustand während der Messung bei. - steht im ersten Q-Bit jedes Summanden 1>, so ergibt die Messung ebenfalls 1 da sich das erste Q-Bit im Basiszustand 1 befindet und z.b. das andere in Überlagerung. Mögliche Zustände sind: ø> = 1> 1>; ø> = 1> 0>; ø> = c ( 1> 0> + 1> 1>) mit c=1/2. Das System behält den Zustand während der Messung bei. - besitzt das erste Q-Bit die Superposition 0> 1> (es steht im ersten Q-Bit eines Summanden 0> und in einem zweiten 1>), so sind beide Messergebnisse möglich. Es gilt: - 0 wird mit der Wahrscheinlichkeit a²+b² gemessen. Nach der Messung befindet sich das Gesamtsystem im Zustand ø> = C(a 0> 0> + b 0> 1>) wobei C=1/((a²+b²)) gilt. b 1> 1> wurde somit in b 0> 1> geändert, so dass keine Superposition beider Q-Bits mehr vorliegt bzw. das erste Q-Bit liegt im Basiszustand 0 vor, weswegen das Messergebnis 0 beträgt. - 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit c²+d² gemessen. Nach der Messung befindet sich das Gesamtsystem im Zustand ø> = C(c 1> 0> + d 1> 1>) wobei C=1/((c²+d²)) gilt. c 0> 0> wurde somit in c 1> 0> geändert, so dass keine Superposition beider Q-Bits mehr vorliegt bzw. das erste Q-Bit liegt im Basiszustand 1 vor, weswegen das Messergebnis 1 beträgt. 9

10 Nach der Messung werden die Superpositionen zumindest für das erste Q-Bit aufgehoben (und wenn man die Messprozedur beim zweiten Q-Bit ansetzt, alle Superpositionen) und es gehen Daten unwiederbringlich verloren. Wenn man nun im Fall ø> = 0> 0> + 1> 1> (also beide Q-Bits in Superposition) eine gleichzeitige Messung vornimmt, d.h. die oben erwähnte Messung für beide Q-Bits gleichzeitig anwendet, so erhält man entweder das Ergebnis 00 oder 11. Welcher Fall eintritt ist unbestimmt, jedoch ergibt die Messung niemals 10 oder 01. Beide Q-Bit sind also nicht völlig voneinander unabhängig, man sagt, dass sie korreliert sind. Q-Bits enthalten mehr Informationen als klassische Bits. Der Zustand ø> = 0> 0> + 1> 1> enthält folglich die Zahlenpaare 00 und 11. Auch wenn wir nach der Messung nur auf eines dieser Zahlenpaare treffen so sind sie trotzdem gespeichert und können zur Berechnung benutzt werden. Diese Effekte nehmen mit wachsender Zahl von Q-Bits expotenziell zu und steigern so die Leistung von Quantencomputer erheblich. 10

11 Funktionen und Algorithmen für Quantencomputer Es gibt nur sehr wenige Algorithmen die für den Quantencomputer entwickelt worden, denn sie sind größtenteils Gegenstand derzeitiger Forschung. Lov Grover gelang es einen Suchalgorithmus zu entwickeln, der aus einer Datenbank einen bestimmten Namen heraussuchte. Ich stelle aber auch viele theoretische Funktionen vor, die die Vorteile Quantencomputer verdeutlichen und die den Unterschied zum klassischen Computer verdeutlichen. Die NOT-Funktion klassischer Computer Jegliche Eingabe in einen klassischen Computer wird in Bits mit den Werten 0 oder 1 dargestellt. Mithilfe der NOT-Funktion kann man zwischen den Zuständen hin- und herschalten, d.h. aus 1 wird 0 und aus 0 wird 1. Eingang Ausgang Die klassischen Bits 0 und 1 lassen sich in Q-Bits 0> = (0,1) und 1> = (1,0) gemäß der Ket- Vektoren übersetzen. Doch bei Q-Bits gibt es, wie schon oben erwähnt, Überlagerungen, die man mit folgender Schreibweise ausdrücken kann: a 0> + b 1> Mit a²+b²=1, da a² und b² die Wahrscheinlichkeit des Zustandes 1 oder 0 beschreiben zusammen 1 ergeben müssen. Wäre a=b, dann hätten wir quasi einen Mittelzustand, den wir mit JEIN übersetzen könnten, da es eine 50% Wahrscheinlichkeit für die beiden Zustände gibt. 11

12 Die controlled NOT-Funktion: In einem 2-Q-Bit-System hat das erste Q-Bit die Aufgabe, zu entscheiden ob eine Änderung vorgenommen wird oder nicht. Ist der Zustand des ersten Q-Bits also 0>, so wird der Zustand des zweiten Q-Bits nicht geändert. Ist er jedoch 1>, so werden die Zustände im zweiten Q- Bit vertauscht. Da folglich das zweite Q-Bit vom Ersten abhängt, spricht man von Wechselwirkung, ohne die kein Computer etwas berechnen könnte. Eingang Ausgang cn 0> 0> 0> 0> cn 1> 0> 1> 1> cn 0> 1> 0> 1> cn 1> 1> 1> 0> Das erste Q-Bit veranlasst die cnot-funktion (hier kurz cn = controlled NOT) den Zustand des zweiten zu ändern und verändert den eigenen Zustand nicht. Liegt eine Superposition vor, so werden diese Formeln linear kombiniert. Jeder Summand verhält sich wie in den oben geschriebenen Formeln. So wird beispielsweise aus: cn ( 0> 0> + 1> 0>) = 0> 0> + 1> 1> aus cn 1> 0> wird 1> 1> 12

13 Die NOT-Funktion Jedoch gibt es auch die NOT-Funktion N, die nur mit einem Q-Bit arbeitet und den Zustand immer ändert: und. N 0> = 1> N 1> = 0> Eine Superposition wird folgendermaßen geändert: a 0> + b 1> = b 0> + a 1> Es werden einfach die Wahrscheinlichkeiten vertauscht mit dem jeder Zustand auftreten kann, oder anders erklärt wird wieder jeder Summand differenziert betrachtet: aus a 0> wird a 1> und aus b 1> wird b 0>. Die N-Funktion ändert bei dem Zustand 0> - 1> lediglich die Vorzeichen: 0> - 1> = -(0,1) + (1,0) da der Vektor -(0,1) + (1,0) der umgekehrte Vektor von (0,1) (1,0) ist. 13

14 Die Hadamard-Transformation Die Hadamard-Transformation ist durch den Buchstaben H gekennzeichnet und durch folgende Formeln definiert: H 0> = c ( 0> + 1> ) H 1> = c ( 0> - 1> ) Wobei c wieder die Normierungskonstante c=1/2 ist. Die Hadamard-Transformation stellt aus den Basiszuständen Superpositionen her. Die Bestandteile sind weiterhin enthalten und wird die Hadamard-Transformation zweimal angewendet, so erhält man wieder den Ausgangszustand. Aus einer Superposition entsteht also ein Basiszustand, wenn man die Formel einfach umdreht. Die AND-Funktion Für die AND-Funktion benötigt ein klassischer Rechner 2 Bits: Eingang 1 Eingang 2 Ausgang Die AND-Funktion ist nicht reversibel. Ein klassischer Computer kann aus den Zuständen 0 und 1 nicht schließen, um welche Eingaben es sich handelte. Die AND-Funktion birgt also ein irreversibles Element. 14

15 Quantencomputer können nur aber vollständig reversibel rechnen und kommen somit ohne AND-Funktion aus. In einem 2-Q-Bit-System in Basiszuständen gibt es die möglichen Zustände 0> und 0>, 0> und 1>, 1> und 0> und 1> und 1> in denen das UND schon vorhanden ist. Somit ist die AND-Funktion schon in der Konzeption eines Quantencomputers enthalten und man kann die Ausgangszustände erkennen. Funktionsaufruf Für den Aufruf einer Funktion betrachten wir wieder unser 2-Q-Bit-System mit dem man einfache Funktionen berechnen kann. Sie haben die Form: f: {0,1} {0,1 Es gibt also vier mögliche Funktionen: f (0) = 0, f (1) = 0 (konstant 0) f (0) = 1, f (1) = 1 (konstant 1) f (0) = 0, f (1) = 1 (Identität) f (0) = 1, f (1) = 0 (Vertauschung) Dafür definiert man die Operation U der Funktionen f: U m> n> = m> n + f(m)> m> und n> steht jeweils für ein Q-Bit und sie können die Werte 0> und 1> annehmen. Das Pluszeichen veranlasst die Addition modulo 2 vom Funktionswert von m> und dem Zustand von n>. Dafür gilt: 1+1=0; 1+0=1; und 0+0=0. Die Q-Bits Wechselwirken wieder, sind korreliert. 15

16 In der folgenden Tabelle sehen wir die Auswirkung der Operation U auf die konstante Funktion f{0,1}=1. Eingang Ausgang U 0> 0> 0> 1> U 1> 0> 1> 1> U 0> 1> 0> 0> U 1> 1> 1> 0> Der Zustand des ersten Q-Bits bleibt unverändert, während der Zustand des zweiten Q-Bits immer mit 1 addiert wird (modulo 2). Liegt eine Superposition vor, so werden die Formeln linear kombiniert, d.h. in diesem Fall wird jeder Summand nach den oberen Formeln einzeln betrachtet. U ( 0> 0> + 1> 0> ) = 0> 1> + 1> 1> oder auch U ( 0> f(0)> + 1> 0> ) = 0> 1> + 1> f(1)> Es liegt also ein Zustand vor, indem alle Paare m, f(m) der Funktionen f: {0,1} {0,1} enthalten sind. Sofern wir aber keine Kopie des Systems haben (was aber durch Teleportation realisierbar ist), ist uns eine Messung verboten, da wir sonst wieder Superpositionen zerstören würden und Informationen verloren gingen. Die Operation U lässt sich für jeder der vier Funktionen f: {0,1} {0,1} realisieren, indem man zusätzlich NOT-Funktionen mit in Reihe schaltet. 16

17 Schlussfolgernd ist es möglich durch einen Aufruf einen Quantenzustand zu erzeugen, in dem Informationen über alle Funktionswerte enthalten sind. Derartiges ist mit klassischen Computern nicht möglich. Durch verschieden Schaltpläne kann man mit den Funktionen arbeiten, z.b. die Konstanz der Funktionen bestimmen (auch als Deutsch s Problem bekannt) oder Funktionswerte modulo 2 addieren. Der revolutionäre Vorteil ist, dass Quantencomputer dafür nur einen Aufruf der Funktion benötigen, weil sie alle nötigen Informationen in einer Superposition gleichzeitig speichern können. Während ein klassischer Computer die gestellte Aufgabe für 2 Funktionswerte durchführen muss. Dies spart die Hälfte der notwendigen Funktionsaufrufe. Das klingt zwar auf den ersten Blick nicht sonderlich großartig, führt aber mit komplexeren Aufgaben zur einer Einsparung der Rechzeit, die ins Milliardenfache geht. Wenn wir einen komplexen Quantencomputer mit wesentlich mehr Q-Bits haben, kann man Funktionen mit sehr vielen Werten gleichzeitig auswerten. Man bezeichnet diese Fähigkeit als den massiven Parallelismus von Quantencomputern. Das ist einer der wichtigen Fähigkeiten, damit Quantencomputer in Sachen Geschwindigkeit unsere Computerwelt revolutionieren. 17

18 Der Faktorisierungsalgorithmus 1994 entdeckte Peter Shor in den AT-T Bell Labs den ersten praktisch verwendbaren Algorithmus, mit dem eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen kann. An der zu zerlegenden Zahl erkennt der Quantencomputer alle möglichen Werte und errechnet daraus eine Superposition. Das Ergebnis kann nicht gemessen werden, da sonst die Superposition verloren geht und das System sich, gemäß Schrödingers Katze, für einen Zustand entscheidet, also nur einen zufälligen Wert zurückliefert. Jedoch kann man mithilfe der Diskreten Fourier-Transformation das richtige Ergebnis ermitteln. Ein klassischer Computer muss alle Werte von 1 bis zur Wurzel der zu zerlegenden Zahl ausprobieren. Gehen wir von einem Computer mit 10^10 Teilungen/Sekunde aus, so brauch er länger als die geschätzte Dauer des Universums. Die Methode ist also praktisch nicht anwendbar. Von diesem Phänomen macht die Verschlüsselung durch den RSA-Algorithmus gebrauch. Er geht davon aus, dass es klassisch unmöglich ist, größere Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Ein Quantencomputer könnte dies aber und wäre damit eine große Gefahr für die Datensicherheit. 18

19 GSA (Grover Search Algorithm) Geht man von einer Datenbank mit N Namen, in unserem Beispiel Namen, aus, so muss ein klassischer Computer alle nacheinander durcharbeiten, was zu einem Aufwand von Schritten führt, also N/2 Schritte. Lov Grovers Suchalgorithmus braucht nur Schritte, also N. Dies funktioniert durch die so genannte Grover-Iteration im Quantenregister, die die Wahrscheinlichkeit für das richtige Ergebnis erhöht und für die Falschen verringert. So stößt man durch einfaches Auslesen schneller auf das richtige Ergebnis. Dieser Algorithmus konnte schon erfolgreich in einen Quantencomputer implementiert werden. Brauchte man für diesen Algorithmus noch den genauen Namen der gesuchten Person, so kann Grovers neuester Algorithmus auch Personen durch ungenaue Angaben finden. Leider waren dazu keine wissenschaftlichen Informationen zu finden, da er erst im Sommer 2000 vorgestellt wurde. Hierzu ein Beispiel von Grover selbst: "Vielleicht erinnern sie sich nur noch an den Vornamen John, aber nicht an den Nachnamen, ausgenommen, dass er etwas wie Smith, Jones oder Miller war", so Grover. "Sie denken, die Wahrscheinlichkeit, dass der Nachname Smith war, liegt bei etwa 50 Prozent, 30 Prozent, dass es sich um Jones handelt und 20 Prozent, dass es Miller war. Zudem erinnern sie sich, dass er in der Nähe des Lincoln Center in New York City lebt und von seinem Apartment auf den Broadway sehen kann. Außerdem wissen sie zufällig, dass die letzten vier Ziffern die gleichen waren wie die ihres Arztes." Auch wenn dieses Beispiel konstruiert klinge, sei diese Art von Problemen in der Informatik und Statistik alltäglich, so Grover, und mit seinem Algorithmus drastisch schneller zu lösen als mit jedem heute konventionellen Computer. 19

20 Vorteile und Anwendungen der Quantencomputer Quantencomputer können wesentlich schneller Daten verarbeiten als alle bisherigen klassischen Computer, weil sie nicht, wie klassische Computer alles nacheinander Berechnen, sondern Berechnungen parallel simulieren. Ein rein quantenmechanischer Prozess ist zeitlos, in ihm gibt es weder Vergangenheit noch Zukunft. Sie sind sehr wahrscheinlich in der Lage Bewusstsein zu erzeugen, die fähig wären hinter die Gödelgrenze des Menschen zu schauen, d.h. der Quantencomputer kann Wahrheiten erkennen, die wir nicht erkennen können, weil wir trotz Vorstellungskraft nicht in der Lage sind aus der 3.Person auf uns und unsere Umwelt zu schauen. Quantencomputer würden uns in Intelligenz um Längen schlagen. Sie wären fähig jede Gödelgrenze zu überschreiten, indem sie ein Bewusstsein erzeugen, das dazu in der Lage ist. Ein universeller Quantencomputer könnte alle Berechnungen durchführen, die jeder beliebige Quantencomputer oder jede Turing-Maschine durchführen kann, und er könnte jede endliche physikalisch mögliche virtuelle Realität konstruieren und wäre damit die Lösung aller Hard Problems und Problemen, die mit Turing-Maschinen gar nicht zu lösen sind. Auch könnten mit Hilfe von Quantencomputer Tests zur Nichtlokalität und zu anderen Quanteneffekten durchgeführt werden. Er wäre auch die Lösung für Berechnungen, die wir nicht anstellen, weil sie länger dauern, als das für uns Menschen akzeptabel ist. Eine weitere wichtige Anwendung Quantencomputer ist die Kryptografie. Da die Berechnungen zur Ver- und Entschlüsselung nahe zu in Echtzeit durchgeführt werden, könnten Quantencomputer eine entscheidende Rolle für Datensicherung in unserer Wissensgesellschaft spielen (siehe Faktorisierungsalgorithmus). 20

21 Quantencomputer würden einen echten Zufallsgenerator simulieren können. Selbst auf einem klassischen Rechner werden Zahlen aus einem Zufallsgenerator letztendlich berechnet, sind also keineswegs richtige Zufallszahlen. Für viele Anwendungen kann das durchaus zu falschen Ergebnissen führen, wenn man nicht aufpasst. Die Quantentheorie liefert mit dem Indeterminismus die passende Eigenschaft die es erlaubt echte Zufallszahlen zu erzeugen (siehe Funktionen für Quantencomputer). Mit dem Suchalgorithmus von Lov Grover wäre es in Zukunft möglich Suchaufgaben in unendlich kleiner Zeit zu lösen, weil nicht wie bisher die gesamte Datenbank durchsucht und mit dem gewünschten Objekt verglichen wird, sondern ein Quantencomputer wie ein Mensch reagiert und das richtige Objekt erkennt und herausnimmt. (siehe Funktionen für Quantencomputer). 21

22 Realisierungsversuche und Probleme Es gibt mehrere Methoden, um Quantencomputer bzw. Q-Bits zu realisieren. Grundsätzlich braucht man Objekte, bei denen sich die lineare Grundstruktur der Quantentheorie einfügen lässt und die zwei Basiszustände besitzen, die man entsprechend mit JA oder NEIN übersetzen kann, sowie es möglich sein muss Superpositionen herzustellen. Die dargestellten Q-Bits müssen fähig sein zu interferieren bzw. zu wechselwirken. Dazu die drei wichtigsten Realisierungsversuche, die ich vorstellen werde: - Polarisierte Photonen - Ionenfallen - Kernspinresonanz (NMR) Es gibt auch neue Methoden der Realisierung, die allerdings noch nicht erfolgreich demonstriert worden und Gegenstand aktueller Forschung sind: - Quantenoptische Systeme - Polymere Polarisierte Photonen Wenn wir den Spin von polarisierten Photonen messen können wir uns unseren Basiszustand 0 als horizontal polarisiert bzw. parallel zur Messrichtung polarisiert und den Zustand 1 als vertikal polarisiert bzw. orthogonal zur Messrichtung polarisiert wieder finden. Man kann sich dazu Licht vorstellen mit jeweils einem einzelnen Photon auf dem Weg. Man weiß darüber hinaus aus Experimenten mit einem Polarisationsfilter, dass auch beliebige Überlagerungen auftreten können. Aber auch aus polarisiertem Licht lassen sich Überlagerungen leicht herstellen. 22

23 Ionenfallen Bei diesem Konzept werden Q-Bits durch Energiezustände von Ionen repräsentiert, wobei sich die Ionen aufgereiht in einer Ionenfalle befinden. Man nutzt das Prinzip, dass geladene Teilchen in Magnetfeldern eingeschlossen werden können. Dazu baut man ein inhomogenes elektromagnetisches Feld auf Paulfalle. Die Paulfalle besteht aus einer Ringelektrode und 2 Kappenelektroden im Abstand von etwa 1mm. Das alles wird in einem Vakuum aufgebaut: Das Ion bzw. die Ionen sind nun im Magnetfeld der Paulfalle eingeschlossen: 23

24 Das Ion wird nun von einem Laser bis auf Tausendstel über dem absoluten Nullpunkt abgekühlt. Es befindet sich nun also in praktischer Ruhelage. Man kann das Ion nun wochenlang in der Fall isoliert speichern und Experimente daran verüben, da ungewünschte Störungen, wie z.b. Atomstöße, nicht auftreten. Durch die Streuung des Lichtes kann man das Ion sogar unter einem Mikroskop als leuchtenden Punkt beobachten. Hier Bilder von einem bzw. mehreren gefangenen Ionen: Für unsere Quantencomputer betrachtet man das Energieniveau eines Ions. Dazu wählt man die zwei Basiszustände 0e (Grundzustand) und 1e (bei angeregtem Zustand), wobei e für den Energiezustand des äußersten Elektrons steht. 24

25 Jedem Ion ist ein Laserstrahl zugeordnet, mit dessen Hilfe Operationen auf ein einzelnes Teilchen durchgeführt werden können. Der durch die gegenseitige, magnetische Abstoßung zwischen den Ionen entstandene Abstand genügt dabei, um jedes einzeln zu betrachten. Jedes Ion kann nun, durch eine geeignete Wahl der Frequenz, in den energetischen Grundzustand 0> bzw. 0e und in einen angeregten Zustand 1> bzw. 1e gebracht werden. Genauso können Superpositionen erhalten bzw. hergestellt werden. Um allerdings ein 2-Q-Bit-System umzusetzen, muss eine weitere Eigenschaft der Ionen ausgenutzt werden. Die Ionen führen in der Ionenfalle ihre Bewegung entlang einer bestimmten Achse immer gemeinsam aus, d.h. wenn eines der Ionen einen Impuls erhält, würden sich die anderen Ionen ebenfalls mitbewegen. Um nun eine controlled NOT-Funktion zu realisieren, wird das erste Ion einem Laserpuls ausgesetzt. Nun besitzt das Ion aber abhängig von seinem Zustand verschiedene Resonanzfrequenzen und wird nur in einem Fall das Photon absorbieren. Dadurch erhält es einen Impuls, der zwar sehr gering ist, jedoch genügt, um das Ion und damit die ganze Ionenkette in Bewegung zu versetzen. Befindet sich das Ion im anderem Basiszustand, so wird der Laser keinen Einfluss verüben. Nun setzt man das zweite Ion ebenfalls einem Laserstrahl aus, der es in den anderen Grundzustand versetzt. Die Frequenz des Laserstrahls ist allerdings so gewählt, dass das Ion ihn nur absorbiert, wenn es sich bewegt. Da wir das erste Ion in Bewegung und damit in den Zustand 1> gesetzt haben wird das zweite Ion den Laserstrahl absorbieren und wir haben damit die gewünschte Zustandsänderung im zweiten Ion erreicht. Viele Experimente zu Quanteneffekten wie z.b. zur Teleportation wurden erfolgreich mithilfe von Ionenfallen durchgeführt. Teleportation steht für das Übertragen von einem Quantenzustand auf ein anderes System bzw. ein anderes Ion. So könnte man beim Quantencomputer Kopien von Berechnungen anfertigen und Zwischenergebnisse messen. Wir wissen ja bereits, dass Messungen die Rechnung bzw. die Superpositionen zerstören, weswegen Kopien der Zustände äußerst nützlich wären. 25

26 Es ist des Weiteren möglich die innere Schwingung eines Ions pro Sekunde zu bestimmen und damit Uhren darzustellen, die um ein Vielfaches genauer wären wie Atomuhren und ihr Anwendung in der Weltraum-Navigation, zur Berechnung des Kontinentaldrifts oder auch zur Synchronisation für z.b. ISDN finden würden. Das Problem der Ionenfallen stellt die ständige Kühlung der Ionen auf fast 0 Kelvin und die zufällig auftretende Dekohärenz dar. Deshalb kann kein größerer Quantencomputer mit Hilfe von Ionenfallen gebaut werden. Des Weiteren ist es noch nicht möglich die Laserbestrahlung mit absoluter Präzision durchzuführen. NMR Die derzeit erfolgreichste Methode, Quantencomputer zu realisieren basiert auf nuklearer magnetischer Resonanz (NMR). Sie steht für die Kernspinresonanz und ist bereits aus der Medizin unter dem Begriff der Kernspintomografie bekannt. Man wählt eine geeignete Flüssigkeit aus, deren Moleküle aus Atomen mit den gewünschten Kernspins bestehen. Da Moleküle an sich nicht geändert werden können, stellt jedes Molekül einen einzelnen Quantencomputer dar, der mit genau so vielen Q-Bits arbeitet, wie das Molekül Atome besitzt. Die Q-Bits entsprechen dabei dem Spin der Atomkerne des Moleküls in einem magnetischen Feld. Jedes dieser Spins wirkt wie ein winziger Stabmagnet und kann entweder in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung in Bezug auf das magnetische Feld ausgerichtet sein. 26

27 Ist der Spin des Atoms genauso wie das Feld ausgerichtet, so hat es einen niedrigeren Energiezustand und repräsentiert daher Basiszustand 0>. Ist er entgegengesetzt den magnetischen Feldlinien ausgerichtet, so befindet sich das Q-Bit im Zustand 1>. Es ist nun möglich diese winzigen Energiezustände zu messen, um den Zustand zu ermitteln. Die Kernspins werden nun mithilfe von gezielten Radiowellen beeinflusst bzw. manipuliert, dass sie veranlasst zu rotieren. Will man beispielsweise die Protonen eines Wasserstoffkerns in eine Superposition zu bringen, setzt man den Spin einige Mikrosekunden lang Radiowellen aus, deren Richtung in einem rechten Winkel zum Magnetfeld steht. Die Spins werden so um 90 gedreht und das Teilchen befindet sich in einer ausgewogenen Superposition, bei der a=b gelten würde. Verdoppelt man die Bestrahlungszeit, so dreht sich das Spin um weitere 90 und liegt damit im jeweils anderen Basiszustand vor, was einer NOT-Funktion gleich käme. Wenn man wieder die controlled NOT-Funktionen betrachtet, muss man sich das Phänomen der Spin-Spin Kopplung zu nutzte machen. Je nach Ausrichtung des einen Spins wird das andere unterschiedlich beeinflusst. Unser erstes Spin, das Kontroll-Spin, liegt in einem unbekannten Basiszustand vor. Das zweite Spin liegt in unserem Beispiel im Basiszustand 0> vor und wird nun per Radiowelle um 90 gedreht und erhält damit wieder eine ausgewogene Superposition. Die Spin-Spin Kopplung bewirkt, dass das zweite Spin sich vertikal zu drehen beginnt, wobei die Drehgeschwindigkeit von dem Zustand des Kontroll-Spins abhängt. Nach der Drehung wird es wieder um 90 in einen Basiszustand gedreht. Hat es sich schnell gedreht, so befand sich das Kontroll-Spin im Zustand 1> und das zweite Spin wurde in den Zustand 1> geändert. Bewegte es sich allerdings langsam, so hat seinen Zustand 0> beibehalten, denn das Kontroll-Spin ist im Zustand 0>. 27

28 Damit sind die Bedingungen für eine cnot-funktion erfüllt. Für das Auslesen misst man das Absorptionsverhalten der Moleküle, wodurch man Rückschlüsse auf die Ausrichtung der Kernspins ziehen kann und damit das Ergebnis der Rechnung erhält. Quantencomputer, die auf dieser Methode basieren, haben drei Vorteile: - sie arbeiten bei Normaltemperatur und brauchen damit keine komplizierte Laserkühlung, wie das bei Ionenfallen der Fall ist - es steht aus der Medizin bereits eine ausgereifte Technik zur Verfügung, die nur noch weiterentwickelt werden muss - es lassen sich Quantencomputer mit sehr vielen Q-Bits realisieren 28

29 Forschungserfolge Zu den Forschungserfolgen gehören natürlich auch die Algorithmen von Shor und Grover, die ich allerdings schon erläutert habe. Hier eine Tabelle, die den Fortschritt der Forschung zeigt: Errungenschaft Benötigte Anzahl Nötige an Q-Bits Operartionen Status Quantenkryptographie 1 1 Verwirklicht Quantenkryptographie auf 2-Q-Bit-Basis 2 1 Demonstriert Controlled NOT-Gate 2 1 Demonstriert Kombination 2er Gatter 2 2 Demonstriert Grovers Algorithmus 2 3 Demonstriert Simulation von Einige Einfache Beispiele Einige wenige Quantensystemen wenige demonstriert Shors Algorithmus 16 aufwäts Hunderte? Faktorisierungs-Computer Hunderte Hunderte?? Universeller Quantencomputer Tausende Tausende??? Vor 2 Jahren ist es der Technischen Universität München gelungen einen Quantencomputer mit 5 Q-Bits zu bauen. Die Wissenschaftler, unter anderem Prof. Dr. Steffen Glaser, Extraordinarius für organische Chemie der TUM in Garching, und Raimund Marx, Doktorand von Professor Dr. Christian Griesinger am Institut für organische Chemie der Universität Frankfurt, nutzten die NMR-Spektroskopie und eine extra für diesen Zweck synthetisierte chemische Verbindung mit 5 gekoppelten Kernspins. 29

30 Um weitere Quantencomputer zu bauen und schließlich wirtschaftlich zu machen haben sich Hewlett-Packard und das Massachusetts Institute of Technology (MIT) zusammengetan. Die Zusammenarbeit soll mit 2,5Millionen US-Dollar über die nächsten viereinhalb Jahre finanziert werden. Hierzu eine Stellungnahme von Phil Kuekes: "Wie die Brüder Wright sind Ike und Neil Pioniere - zwei der wenigen Experimentatoren, denen es bisher gelungen ist, einen Quantencomputer zu betreiben", so Phil Kuekes, Computer Architekt und Senior Wissenschaftler an den HP Labs. "Hinzu kommen Leute wie Seth, Tim Spiller und Sandu Popescu von den HP Labs aus Bristol, die internationale Reputation auf dem Gebiet der Quanten-Computer-Theorie in das Projekt einbringen." So habe das Projekt das Potenzial, neue innovative Technologien, wie z.b. ein theoretisch absolut sicheres Kommunikations-Netzwerk, zu bauen. Es gibt also noch nicht viel zu berichten, was sich jedoch in den nächsten Jahren ändern wird, wie das letzte Beispiel zeigt. 30

31 Hintergrundinformationen Bei so vielen Theorien auf denen Quantencomputer war es für mich nötig sehr viel in verwandten Gebieten nachzuschlagen. Deshalb habe ich mich entschlossen diese Hintergrundinformationen hier mit einzubringen, weil es hilft den Quantencomputer zu verstehen und damit manche Zusammenhänge besser veranschaulicht werden können. Parallele Universen Im Jahre 1926 stellte der österreichische Physiker Erwin Schrödinger eine der grundlegenden Theorien der Quantenphysik auf. Danach besitzt jedes Partikel eine eigene Wellenfunktion, in der sämtliche Zustände festgelegt sind, in denen sich ein solches Partikel befinden kann. Auf dieser Idee basiert die Theorie der parallelen Universen. Diese Theorie, 1957 erstmals von Hugh Everett III vorgestellt, besagt, dass immer, wenn sich verschiedene Zustandsformen eines Systems mit der Wellenfunktion beschreiben lassen, dann existieren sie alle nebeneinander in Universen. Hierzu verzweigt sich das Universum immer weiter, so dass jede Zustandsform in einem anderen Universum existiert. Danach gibt es inzwischen unendlich viele parallele Universen, in denen Raum für sämtliche möglichen Zustände aller existierenden Partikel ist. Einige dieser parallelen Universen würden dem unseren ähneln, andere wären uns vollkommen fremd. 31

32 Heisenbergs Unschärferelation Werner Heisenberg versuchte die genaue Position und Geschwindigkeit eines Teilchens genau zu messen, um zukünftige Positionen und Geschwindigkeiten zu berechnen. Dazu bestrahlte er ein Teilchen mit Licht, welches vom Teilchen gestreut wurde und die Position, abhängig von der Wellenlänge, nur undeutlich erkennbar machte. Also musste er die Wellenlänge erheblich verringern, womit jedoch ein weiteres Problem auftrat. Das Licht hatte nach der Formel W=h*f (also abhängig von der Frequenz) sehr viel Energie und beim Auftreffen wurde das Teilchen weggeschleudert. Daraus entwickelte er seine Unschärferelation: Je genauer man die Position eines Teilchens zu messen versucht, desto ungenauer lässt sich seine Geschwindigkeit messen und umgekehrt. Das Produkt der ungewissen Geschwindigkeit mal seines ungewissen Ortes kann niemals den Wert des planckschen Wirkungsquantum unterschreiten. Schrödingers Katze Ein Katze in einem abgeschlossen System kann tot oder lebendig sein. Da wir nicht wissen, in welchem Zustand sich die Katze befindet, kann man gemäß der Quantentheorie aussagen, dass sich diese in einem Überlagerungszustand befindet, bei dem sie sowohl tot als auch lebendig ist. Dies gilt solange, bis man dem System beitritt und die Katze sich für einen Zustand entscheidet. Diesen Entscheidungsvorgang nennt man Dekohärenz. 32

33 Schlusswort Das Thema war komplizierter als ich zunächst dachte und bedurfte Genaues studieren der Informationen sowie Hintergrundwissen, dass ich mir größtenteils erst erarbeiten musste, bevor ich mit der eigentlichen Arbeit anfangen konnte. Ich habe nur das in dieser Arbeit niedergeschrieben, was ich auch selber zu 100% verstanden habe, auch wenn es ein bisschen gedauert hat. Daher eignet sich dieser Arbeit zur Fortführung, da ich mitzunehmendem Wissen im Bereich der Fachinformatik und Quantenphysik mehr Informationen verstehen und einordnen kann und sich die Arbeit somit erweitern lässt. Die Informationssuche beschränkte sich auf das Internet, da das Gebiet zu aktuell ist um nach Veröffentlichungen in Büchern zu suchen. Jedoch für Hintergrundwissen gebrauchte ich auch Lexika und sogar das Physik-Lehrbuch, um einen Einstieg in die Quantenphysik zu gewinnen, die mir bis dahin unbekannt war. Es war kein ausgesprochen anschauliches Thema, wodurch ich sehr viel so erklären musste, wie ich es selbst verstanden habe. Man muss also genau lesen und den Beschreibungen folgen, um nicht durcheinander zu kommen. Die Arbeit bedurfter deswegen auch eine genaue und klare Sprache, um dem Thema folgen zu können, was mir wohl die größten Probleme bereitet hatte. Zum Thema ist klar geworden das der Quantencomputer unseren Heimcomputer vorerst nicht ersetzen kann. Bis zur wirtschaftlichen Nutzung werden wohl noch mindestens weitere 20 bis 30 Jahre vergehen. Im Moment sieht es aus als müsste man für jeden Zweck einen eigenen spezialisierten Quantencomputer bauen, da die Realisierung eines universellen Quantencomputers derzeit nahezu unmöglich ist. Das lässt sich allerdings alles nur sehr schwer einschätzen, wer hat denn schließlich vor 100 Jahren an den Computer oder Raumfahrt gedacht? 33

34 Quellenangaben - Bertelsmann Lexikon - Microsoft Encarta Stephen Hawking: Eine Kurze Geschichte der Zeit Internet: pdf-veröffentlichungen: - Der Quantencomputer - Die Paulfalle - Paulfalle als Schulversuch 34