Einführung in SIMULINK

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1 CIC Lab Computational Intelligence and Control Laboratory Einführung in SIMULINK Prof. Dipl.-Ing. Dipl.-Ing. Ulrich Lehmann Dipl.-Ing. Udo Reitz

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Grundsätzliches über SIMULINK SIMULINK-Hilfe Handhabung von SIMULINK Aufbau eines SIMULINK-Blockschaltbildes Blockparametrierung Simulation des Modells Der SIMULINK Library Browser Commonly Used Blocks Continous Discontinuities Discrete Lookup Tables Math Operations Signal Routing Sinks Sources Die Datensenke Scope Kennlinien Datenexport und Datenimport Datenexport Datenimport Vereinfachung von SIMULINK-Modellen Subsysteme Erstellen eigener Funktionsblöcke

4 Inhaltsverzeichnis 9 Anhang Öffnen des Library Browsers Ändern des Arbeitsverzeichnisses Editieren im Modellfenster

5 Grundsätzliches über SIMULINK 1 Grundsätzliches über SIMULINK Bei dem Simulationswerkzeug SIMULINK handelt es sich um eine Toolbox der Programmierumgebung MATLAB. Sie dient mit ihrer speziell konzipierten Grafikoberfläche der Simulation dynamischer Systeme. Im Gegensatz zur zeilenorientierten Programmierung mit alphanumerischen Zeichen wird in SIMULINK das Systemmodell mittels grafischer Blöcke in einem Editierfenster erstellt. Die Blöcke werden mittels des Simulink Library Browsers einer nach Funktionen unterteilten Bibliothek entnommen und in das Editierfenster gezogen. Dort werden sie per Mausklick sinnvoll miteinander verbunden. In den allermeisten Fällen handelt es sich bei dynamischen Systemen um zeitabhängige, lineare (oder nichtlineare) Vorgänge, die sich mit Differnzialgleichungen beschreiben lassen. In der Systemtechnik wird zur Beschreibung häufig eine andere Form, nämlich die von Blockschaltbildern bevorzugt. Dabei wird versucht, das Verhalten des Gesamtsystems durch eine grafische Darstellung zu erfassen. Einzelne Blöcke werden durch gezielte Verbindungen, den Signalflüssen, miteinander verbunden. w + - xd k R T k N,T V k1 T1 2 D,T0 y k3 T3 x Da SIMULINK auf dieser Art der Darstellung fußt, ist es offensichtlich, dass sich viele in Form von Blockschaltbildern vorliegende Systeme unmittelbar in SIMULINK programmieren und simulieren lassen. 5

6 Grundsätzliches über SIMULINK Nach dem Aufbau des Modells im Editierfenster müssen die einzelnen Blöcke parametriert werden. Nach Einstellung der Simulationsparameter kann dann die Simulation gestartet und das Ergebnis grafisch dargestellt werden. Die Simulation von Simulinkmodellen basiert auf iterativen Näherungsverfahren (Runge-Kutta, Adams, etc). Das zeitliche Verhalten der simulierten Systeme wird daher in den seltensten Fällen völlig identisch dem mit Differezialgleichung errechten sein. Bei richtiger Programmierung und guter Parameterwahl wird es diesem aber sehr Nahe kommen. 6

7 SIMULINK-Hilfe 2 SIMULINK-Hilfe Eine umfassende Hilfe über SIMULINK findet man nach Öffnen der MATLAB-Entwicklungsumgebung im Popup-Menü Help. Dieses Menü stellt eine Windows-typische Hilfe für die gesamte MATLAB- Produktfamilie zur Verfügung. Die Hilfe für SIMULINK befindet sich in der ersten Hierarchieebene. Ist SIMULINK bereits geöffnet, so führt die Auswahl der Hilfe im Library Browser oder im Editierfenster direkt zur SIMULINK-Hilfe. Hilfe zu den einzelnen Blöcken der Bibliothek erhält man durch einen rechten Mausklick auf den entsprechenden Block und Auswahl Help im Editierfenster bzw. Help for... im Library Browser. Darüber hinaus werden in der SIMULINK-Hilfe viele Beispiele als lauffähige Programme zur Verfügung gestellt. Diese findet man in der Hilfe unter Demos. 7

8 Handhabung von SIMULINK 3 Handhabung von SIMULINK Um mit SIMULINK arbeiten zu können, muss zunächst die MATLAB-Entwicklungsumgebung in den Arbeitsspeicher geladen werden. Der Start von SIMULINK kann dann entweder durch Eingabe des Kommandos simulink im Kommandofenster von MATLAB oder durch drücken auf das SIMULINK-Symbol in der Symbolleiste erfolgen. Es öffnet sich dann der Library Browser, der den Zugriff auf die nach Funktionalität unterteilten Bibliotheken erlaubt. Die folgende Abbildung zeigt den Library Browser und die geöffnete Bibliothek Continous mit den darin enthaltenen Blöcken. Durch Drücken der Schaltfläche Create a new model wird ein weiteres Fenster geöffnet, in dem das Modell programmiert wird. Dieses Fenster wird als Modell- oder Editierfenster bezeichnet. Soll ein bereits vorhandenes Modell geöffnet werden, so kann dies über die Schaltfläche Open a model geschehen. 8

9 Aufbau eines SIMULINK-Blockschaltbildes SIMULINK-Modelle werden mit der Dateiendung.mdl gespeichert. Es sind Textdateien, die die Modellbestandteile, die Signalverbindungen und die Simulationsparameter enthalten. Sie können mit Texteditoren eingesehen bzw. verändert werden. Ist MATLAB noch nicht in den Arbeitsspeicher geladen, so bewirkt ein Doppelklick auf eine Modelldatei, dass zunächst MATLAB und dann SIMULINK gestartet wird. Das gewählte Modell wird dann im Modellfenster angezeigt. 3.1 Aufbau eines SIMULINK-Blockschaltbildes Nach Auswahl von Create a new model öffnet sich ein neues Editierfenster mit dem Namen untitled. Es empfiehlt sich, das leere Fenster gleich unter einem aussagekräftigen Namen für das zu erstellende Modell zu speichern. Im Folgenden wird anhand eines sehr einfachen Beispiels der Aufbau eines Modells gezeigt. Zunächst wird aus der Bibliothek sources der Modellblock Step ausgewählt und unter Festhalten der linken Maustaste in das Modellfenster gezogen. Da es sinnvoll ist, jeden Block im Blockschaltbild individuell zu bezeichnen, wird der Name Step per Mausklick auf das Label und markieren in Quelle geändert. Gegebenenfalls kann der Block durch Ziehen an den Ecken in der Größe verändert werden. Das Modellfenster hat dann folgendes Aussehen: Als nächstes soll ein Übertragungsglied 1ter Ordnung im Modellfenster platziert werden. Dieses befindet sich in der Bibliothek Continuos und hat den Namen Transfer Fnc (Transferfunction). Übertragungsglieder 1ter Ordnung werden auch als PT1-Glieder bezeichnet. Der Block soll daher den Namen PT1-Glied erhalten. 9

10 Aufbau eines SIMULINK-Blockschaltbildes Die beiden Blöcke können nun mit einer Signalleitung verbunden werden, indem man mit der linken Maustaste auf den Ausgang der Quelle klickt und mit gehaltener Taste eine Verbindung zum Eingang des PT1-Glieds erstellt. Das Erstellen der Verbindung kann natürlich auch in umgekehrter Richtung erfolgen. 1 Bei dem Eintrag in dem Block handelt es sich um die Laplaces + 1 Transformierte für ein Übertragungsglied 1ter Ordnung. Viele der linearen Funktionsblöcke sind mit der Laplace-Transformierten bezeichnet. An dieser Stelle soll hierauf aber nicht näher eingegangen werden. Um das Übertragungsverhalten des PT1-Glieds darstellen zu können, muss noch eine Datensenke platziert werden. Im Allgemeinen ist es sinnvoll, das Eingangs- und Ausgangssignal des Modells in einem Fenster darzustellen. Deshalb müssen beide Signale zuvor noch mit Multiplexer (Signal Routing > Mux) auf eine Signalverbindung zusammengelegt werden. Der Ausgang des Multiplexers kann nun an eine Datensenke angeschlossen werden. Es wird aus der Bibliothek Sinks der Block Scope gewählt. Die noch freien Ein- und Ausgänge werden nun wie beschrieben mit Signalleitungen verbunden. Interessant ist die Möglichkeit, auch den Signalverbindungen Namen zu geben. Hierzu wird ein Doppelklick auf die entsprechende Verbindung ausgeführt. Weitere Informationen zur Handhabung der Blöcke und deren Verbindungen befinden sich im Anhang. Das fertige Blockschaltbild kann jetzt mit einer Dokumentation versehen werden. Dazu wird ein Doppelklick an einer beliebigen Stelle im Editierfenster ausgeführt und die Dokumentation per Tastatur eingegeben. 10

11 Blockparametrierung Das Modellfenster hat nun folgendes Aussehen: Bevor die Simulation des Modells gestartet werden kann, müssen die Modellblocks parametriert und die Simulationsparameter eingestellt werden 3.2 Blockparametrierung Der Zugriff auf die Blockparameter erfolgt am einfachsten per Doppelklick. Es öffnet sich dann eine Parameterliste. Die Parameterliste des Multiplexers zeigt, dass die Anzahl der Eingänge, abweichend von der Standardeinstellung zwei, beliebig gewählt werden kann. Ferner lässt sich unter Display option die Darstellung von bar auf signals umstellen. Es werden dann im Multiplexer die zugeführten Signale angezeigt, was bei großen Systemen die Übersichtlichkeit deutlich erhöht. Hierzu ist es erforderlich, die Größe des Blocks wie beschrieben anzupassen. 11

12 Blockparametrierung Nun sollen die Werte für das PT1-Glied eingegeben werden. Es soll einen Proportionalbeiwert von 2 und eine Zeitkonstante von 0,5s haben. Die Parameter von Transferfunktionen werden getrennt als Zähler- (Numerator) und Nennerpolynom (Denominator) eingegeben. Hierbei steht der Multiplikator für die höchste Potenz von s links in der eckigen Klammer. Die Transferfunktion für das im Beispiel gegebene PT1-Glied lautet:. Die Parameter sind also wie folgt 2 0,5s + 1 einzutragen: Die Parameter für die Quelle (Step) werden wie folgt eingestellt: Step time: 0.5 (Beginn des Sprungs bezogen auf Simulationsbeginn) Initial value: 0 (Startwert der Amplitude) Final value: 1 (Endwert der Amplitude) Sample time: 0 (Intervall wird von den Simulationsparametern übernommen) Ein Doppelklick auf das Scope öffnet ein neues Fenster, in dem die Signale der Simulation aufgezeichnet werden. Das Fenster besitzt eine Symbolleiste zur Anpassung der Signale nach der Simulation. Hier befindet sich auch eine Schaltfläche für die Scope parameters. Diese ermöglichen u.a. die interessante Möglichkeit, die Daten der Simulation in den Workspace (Arbeitsspeicher) von MATLAB zu transferieren. Mit den entsprechenden Anweisungen kann dann sehr komfortabel auf das Simulationsergebnis zugegriffen werden. Hierauf wird an anderer Stelle näher eingegangen. 12

13 Simulation des Modells Das Modellfenster hat nun folgendes Aussehen: 3.3 Simulation des Modells Durch Auswahl von Configuration Parameters im Menü Simulation kann auf die Simulationsparameter zugegriffen werden. Standardmäßig werden beim Öffnen die Optionen für die Einstellung des Solvers angezeigt, siehe folgende Abbildung. Als Solver bezeichnet man das Näherungsverfahren zur numerischen Lösung von Differenzialgleichungen, welches für die vorliegende Simulation eingesetzt werden soll. Sie werden in zwei Klassen unterteilt: mit und ohne variabler Schrittweitensteuerung. Die Klasse wird durch die Auswahl Type > Variable-step oder Fixed-step festgelegt. Der wesentliche Unterschied zwischen beiden besteht darin, dass bei der variablen Schrittweite die Anzahl der berechneten Stützpunkte in Abhängigkeit der Dynamik festgelegt wird. D.h. für Signalabschnitte, die sich nur wenig ändern, wird die Schrittweite größer eingestellt und damit weniger Punkte berechnet. 13

14 Simulation des Modells Zur Simulation können zunächst die voreingestellten Solver verwendet werden (ode45 und ode3). Die Wahl anderer Solver wird immer dann notwendig, wenn diese Solver keine schlüssigen Lösungen liefern. Für das vorliegende Modell wird eine variable Schrittweite mit dem Solver ode45 gewählt. Durch Setzen der Max step size soll allerdings eine gewünschte Schrittweite von 5ms nicht überschritten werden. Die Start time wird i.a. auf dem Wert 0 belassen. Für die Stop time ist eine sinnvolle Abschätzung notwendig. Für das vorliegende Modell wird sie auf 5s gesetzt. Alle anderen Parameter bleiben unverändert. Über die Schaltfläche Start simulation kann das Modell nun simuliert und das Ergebnis im Fenster des Scope angezeigt werden. Das Ergebnis ist in der folgenden Abbildung dargestellt: 14

15 Der SIMULINK Library Browser 4 Der SIMULINK Library Browser Wie unter 3 beschrieben, beinhaltet der Library-Browser nach Funktionen unterteilte Bibliotheken. Der Inhalt der am häufigsten gebrauchten Bibliotheken soll im Folgenden kurz beschrieben werden: 4.1 Commonly Used Blocks Eine Zusammenfassung der am häufigsten gebrauchten Funktionsblöcke. Diese Bibliothek ist aus den anderen zusammengestellt. 4.2 Continous Hierin befinden sich alle Elemente zur Darstellung linearer kontinuierlicher Systeme, wie Differenziator, Integrator, Übertragungsfunktionen, Totzeit. 4.3 Discontinuities Enthält nichtlineare Blöcke wie Hysterese, Sättigung, Unempfindlichkeit, Quantisierung. 4.4 Discrete Hierin befinden sich alle Elemente zur Darstellung linearer zeitdiskreter Systeme, wie z.b. zeitdiskrete(r) Übertragungsfunktion, -Integrator, -Filter. Jeder Block enthält ein Abtast- und Halteglied. 4.5 Lookup Tables Funktionsblöcke zum Erzeugen von Kennlinien oder Feldern. 15

16 Der SIMULINK Library Browser 4.6 Math Operations Grundlegende mathematische Funktionen wie Addieren, Multiplizieren, etc. Hier befinden sich auch der häufig benötigte Summenpunkt Sum und der Block zur Multiplikation mit einer Konstanten Gain. 4.7 Signal Routing Enthält Blöcke zum Zusammenlegen oder Aufteilen von Signalverbindungen wie Multiplexer, Demultiplexer und Schalter. 4.8 Sinks Enthält Funktionsblöcke zur Anzeige, Darstelung und zum Abspeichern von Signalen, wie z.b. das oft benutzte Scope. 4.9 Sources Hierin befinden sich Blöcke mit allen möglichen Eingangssignalen, wie z.b. Einheitssprung (Step), Rampe (Ramp), Sinussignal (Sine Wave). Darüber hinaus können auch beliebig generierte Signalformen geladen werden (aus dem Workspace oder vom Speichermedium). 16

17 Die Datensenke Scope 5 Die Datensenke Scope Da die am häufigsten in SIMULINK verwendete Datensenke das Scope ist, werden dessen Optionen und Parameter im Folgenden kurz erklärt. Nach Öffnen dieser Anzeigeeinheit wird der simulierte Signalverlauf im Scope grafisch dargestellt. Als Beispiel dient die folgende Abbildung: Das Drücken auf die Icons der Symbolleiste verursacht folgende Aktionen: Der Inhalt wird auf einem Drucker ausgegeben. Das Fenster Scope -Parameters wird geöffnet. General: Auf dieser Registerkarte kann unter Time range eine von der Simulationsdauer unterschiedliche Darstellungszeit eingegeben werden. Data history: Unter Limit data points to last kann die Anzahl der aufzunehmenden Datenpunkte begrenzt werden. Es empfiehlt sich, die Option zu deaktivieren. Wird die Option Save data to workspace aktiviert, so werden die aufgezeichneten Daten in den Arbeitsspeicher von MATLAB exportiert. Hierzu ist die Angabe eines Namens und des Formats (meistens Array) erforderlich. Die Daten liegen dann im Workspace in Form eines zweidimensionalen Arrays vor und können über Workspace und Doppelklick auf den Variablen-Namen eingesehen werden. In der ersten Spalte befindet 17

18 Die Datensenke Scope sich der Zeitvektor (Achtung: In MATLAB beginnt die Arrayindizierung mit 1). In den folgenden Spalten sind die Signale in der Reihenfolge abgelegt, in der sie dem Scope zugeführt wurden. Mit dem Kommando: plot (name (:,1), name(:,[2 3 4])) können die Daten dann in einem Plotfenster (Figure) angezeigt werden. Dieses Plotfenster bietet vielfältige Gestaltungsmöglichkeiten (Farbe, Raster, etc). Außerdem können die Daten in unterschiedlichen Formaten als Grafik abgespeichert werden. Von links nach rechts: Zoom in beide Richtungen, Zoom nur in X-Richtung, Zoom nur in Y-Richtung. Von links nach rechts: Autoskalierung des Plots, Speichern der aktuellen Achseinstellungen, Laden der ursprünglichen Achseinstellungen. Die anderen Symbole sind von untergeordneter Bedeutung. 18

19 Kennlinien 6 Kennlinien Häufig lässt sich der funktionale Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgang eines Systems nicht allein durch Angabe einer Formel oder Funktionsvorschrift beschreiben, sondern durch Wertepaare, die an diskreten Stellen aufgenommen werden. Der Zusammenhang lässt sich dann in einer indizierten Tabelle abspeichern. Eine solche Tabelle nennt man Kennlinie. Im einfachsten Fall besteht eine Kennlinie aus zwei gleich langen Vektoren. Jedem Eingangswert ist genau ein Ausgangswert zugeordnet. Anhand eines einfachen Beispiels soll die Erzeugung einer Kennlinie erklärt werden. Folgende Tabelle soll die Zuordnung von Ausgangswerten (Zeile 2) zu den Eingangswerten (Zeile1) definieren: Zunächst wird aus der Bibliothek Lookup Tables die Kennlinie Lookup Table in das Editierfenster gezogen und per Doppelklick geöffnet. Auf der Registerkarte Main können nun der Eingangsvektor Vector of input values und der Ausgangsvektor Table Data editiert werden. Dies geschieht durch Kopieren der Werte und Einfügen in das betreffende Feld. Wichtig ist, dass sich beide Vektoren in eckigen Klammern befinden müssen. 19

20 Kennlinien Es kann ferner die Methode der Interpolation gewählt werden: Lookup Method. Die Standardeinstellung Interpolation- Extrapolation liefert eine lineare Interpolation. Die Sample time muss nur für Simulationen mit fester Schrittweite gesetzt werden. Das Fenster hat nun folgendes Aussehen: Über die Schaltfläche Edit können beide Vektoren in Tabellenform eingesehen werden. Nach Bestätigen der Eingaben erscheint der Block mit der neuen Kennlinie im Editierfenster. Er sollte eine sinnvolle Bezeichnung erhalten und kann nun entsprechend angeschlossen werden. 20

21 Datenexport und Datenimport 7 Datenexport und Datenimport 7.1 Datenexport Neben der unter 6 beschriebenen Möglichkeit, Daten aus SIMULINK zu exportieren, gibt es weitere Funktionsblöcke, die dies gestatten. Sie sind in der Bibliothek Sinks zu finden: Diese Datensenke exportiert die Simulationsergebnisse in den Workspace von MATLAB. Durch Doppelklick auf den Block können der Name und das Format editiert werden. Mit dieser Datensenke können Simulationsdaten als Datensatz (Dateiendung.mat) auf das per Current Directory eingestellte Speichermedium geschrieben werden. 7.2 Datenimport Daten werden mittels folgender Blöcke aus der Bibliothek Sources in SIMULINK importiert: Aus dem Workspace. Aus dem aktuellen Verzeichnis. 21

22 Vereinfachung von SIMULINK-Modellen 8 Vereinfachung von SIMULINK-Modellen Beim Aufbau komplexer SIMULINK-Modelle wird relativ schnell eine Anzahl von Funktionsblöcken erreicht, die den Inhalt des Editierfensters unübersichtlich machen. Es bietet sich dann an, zusammengehörende Blöcke zu einem Subsystem ähnlich einem Unterprogramm zusammenzufassen. Eine weitere Möglichkeit zur Vereinfachung bietet die Verwendung des Fnc-Blocks. 8.1 Subsysteme Das Erstellen eines Subsystems soll anhand eines einfachen Beispiels erklärt werden. Gegeben ist der in der Abbildung gezeigte Regelkreis: Die Funktionsblöcke, die den Regler bilden, sollen zu einem Subsystem zusammengefasst werden. Dazu müssen diese Blöcke zunächst markiert werden. Dies kann durch das Aufziehen eines Rahmens über diese Blöcke geschehen. Durch das Anklicken von Blöcken bei gedrückter Umschalttaste können weitere einzelne Blöcke der Markierung hinzugefügt oder weggenommen werden. Das Modellfenster hat nun folgendes Aussehen: Das Subsystem wird nun durch einen rechten Mausklick auf die markierten Elemente und Auswahl von Create Subsystem erzeugt. Es ergibt sich folgender Inhalt des Modellfensters: 22

23 Vereinfachung von SIMULINK-Modellen Per Doppelklick auf das Subsystem wird ein neues Fenster geöffnet, in dem dieses dargestellt ist: Es empfiehlt sich, die Ein- und Ausgänge des Subsystems sinnvoll zu bezeichnen. Im das Subsystem aufrufenden Fenster erscheinen nun diese Bezeichnungen. Weiterhin ist es sinnvoll das Label von Subsystem auf einen sinnvollen Namen zu ändern. Weiterhin können die Eingangsund Ausgangssignale für das Subsystem bezeichnet werden. Dies geschieht durch einen rechten Mausklick auf das Subsystem und Auswahl Port Signal Properties > Input/Output Ports > Port Number > Signal Name. Diese Namen erscheinen dann auf den Signalverbindungen. Das Modellfenster hat nun folgendes Aussehen: Ggf. können nun weitere Subsysteme z.b. für die Regelstrecke erstellt werden. 8.2 Erstellen eigener Funktionsblöcke Der Block Fnc in der Bibliothek User-Defined Functions bietet die Möglichkeit, ganze Formeln in einem einzigen Block zusammenzufassen. So kann auf einfache Blöcke der untersten Ebene wie sum oder gain verzichtet werden. Dies wird sicher zur Vereinfachung eines Modells beitragen. 23

24 Anhang 9 Anhang 9.1 Öffnen des Library Browsers Der Library Browser kann aus dem Modellfenster durch Klicken auf die gleichnamige Schaltfläche geöffnet werden. 9.2 Ändern des Arbeitsverzeichnisses Beim Öffnen von MATLAB wird das aktuelle Verzeichnis auf das Verzeichnis C:\Dokumente und Einstellungen\Udo\Eigene Dateien\MATLAB gesetzt. Dieser Pfad kann beliebig geändert werden. Auch in SIMULINK wird dann standardmäßig auf dieses Verzeichnis zugegriffen. 9.3 Editieren im Modellfenster Platzieren von Blöcken aus einer Bibliothek durch Auswahl des Blocks und Ziehen bei gehaltener linker Maustaste in das Modellfenster. Der Name eines Blocks kann per Doppelklick auf das Label und Eingabe über die Tastatur geändert werden. Verschieben von Blöcken durch Markieren und Ziehen bei gehaltener linker Maustaste. Markieren mehrerer Blöcke durch Aufziehen eines Rahmens oder durch Anklicken bei gehaltener Umschalttaste. Block oder Blöcke kopieren durch Ziehen mit der linken Maustaste bei gehaltener Steuerungstaste oder durch Ziehen mit gehaltener rechter Maustaste. Signalverbindungen erstellen durch Ziehen bei gehaltener linker Maustaste vom Eingang zum Ausgang oder umgekehrt. Signalverzweigungen erzeugen durch rechten Mausklick auf die Signalleitung und Verbinden mit dem entsprechenden Blockeingang oder Auswählen des Blockeingangs und ziehen mit linker Maustaste auf die Signalleitung. Signalleitungen können durch Doppelklick auf die Leitung und Eingabe von Text über die Tastatur bezeichnet werden. 24

25 Anhang Durch rechten Mausklick auf einen Block und Auswahl von Format können Blöcke gedreht oder gespiegelt werden. Ferner lässt sich der Blockname spiegeln oder ausblenden. Durch rechten Mausklick auf einen Block und Auswahl von (Foreground/Background) Color können Blöcke farblich gestaltet werden. Summenpunkten (Math Operations > Sum) können per Doppelklick Eingänge hinzugefügt werden bzw. die Vorzeichen und Anordnung geändert werden Einfügen von Text in das Modellfenster durch Doppelklick an die gewünschte Stelle und Eingabe über die Tastatur. Durch anschließenden doppelten Mausklick auf den Text kann dieser Formatiert werden. 25

26 Anhang 26