Fachmittelschul-Ausweis 2014 Mathematik

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1 Bildungs-, Kultur- und Sportdirektion Kanton Basel-Landschaft Fachmittelschule am Gymnasium Oberwil Fachmittelschul-Ausweis 2014 Mathematik Anzahl Seiten (mit Deckblatt): 7 Inhalt: FMS Abschlussprüfung 2014 Mathematik schriftlich Anweisungen/ Erläuterungen: Zeit: Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt 3 Stunden Hilfsmittel: FMS-Formelsammlung & nicht programmierbarer, nicht graphikfähiger Taschenrechner Bewertung: Maximal 72 Punkte Die erreichbare Punktzahl ist bei jeder Aufgabe angeschrieben. Für die Note 6 ist nicht die volle Punktzahl erforderlich. Bevor Sie mit dem Lösen der Aufgaben beginnen, kontrollieren Sie bitte, ob die Prüfung gemäss obiger Aufstellung vollständig ist. Sollten Sie der Meinung sein, dass etwas fehlt, melden Sie dies bitte umgehend der Aufsicht. 1

2 1. Stern (9 Pkt) Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge s = 12 cm. Zeichnet man im Quadrat alle Verbindungsstrecken einer Ecke zu den Mittelpunkten aller nicht angrenzenden Seiten entsteht im Innern des Quadrats der unten abgebildete Stern. a) Wie viele Verbindungsstrecken hat man eingezeichnet? b) Berechnen Sie die Länge einer Verbindungsstrecke. c) Berechnen Sie den Winkel φ. d) Zeigen Sie, dass der Winkel ε = 90 ist. e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sterns. 2

3 2. Pyramide (13 Pkt) Ein Körper besteht aus drei der Grösse nach zentriert aufeinander gestapelten Quadern. Der unterste und grösste Quader hat die Masse Länge x Breite x Höhe von 16 cm x 12 cm x 8 cm. Die Seitenlängen des mittleren Quaders sind halb so lang wie die Seitenlängen des untersten Quaders. Die Seitenlängen des obersten Quaders sind wiederum halb so lang wie die Seitenlängen des mittleren Quaders. a) Berechnen Sie das Volumen des Körpers. b) Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. Nun werden durch die einander entsprechenden oberen Ecken der Quader Geraden gelegt. Diese Geraden sind Kanten einer Pyramide mit viereckiger Grundfläche. Die Grundfläche des untersten Quaders liegt in der Grundfläche der Pyramide. c) Zeichnen Sie möglichst exakt die Pyramide in die obige Abbildung ein. d) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel einer beliebigen Seitenfläche der Pyramide zur Grundfläche. 3

4 3. Fahrt zwischen Basel und Luzern (14 Pkt) Basel und Luzern liegen 100 km voneinander entfernt. Um 9:00 Uhr fährt ein Personenwagen (PKW) in Basel Richtung Luzern los. Er legt in der Stunde 60 km zurück. Um 9:30 Uhr fährt ein Lastwagen (LKW) in Luzern Richtung Basel los. Die Durchschnittsgeschwindigkeit des LKWs beträgt 40 km/h. a) Stellen Sie die Fahrt des PKWs und des LKWs in folgendem Diagramm grafisch dar. b) Geben Sie für die beiden Grafen aus a) die entsprechenden Funktionsgleichungen an. (Beachten Sie, dass auf der Zeitskala Uhrzeiten angegeben sind. Nehmen Sie als Einheiten auf der Zeitachse t die seit 9:00 Uhr verflossenen Stunden) c) Berechnen Sie auf die Minute genau, wann sich der PKW und der LKW treffen. d) Berechnen Sie, wie viele Minuten der PKW schon in Luzern ist, wenn der LKW in Basel ankommt. e) Zeichnen Sie in das Diagramm die Fahrt des LKWs ein, wenn er nach dem Treffen mit dem PKW zur selben Zeit wie dieser an seinem Zielort ankommen soll. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit welcher der LKW dazu fahren müsste. 100 km 50 km 09:00 10:00 11:00 12:00 4

5 4. Rasensprenger (13 Pkt) Ein Rasensprenger, dessen Düse einen fixen Winkel zur Horizontalen hat, erzeugt einen Wasserstrahl in der Form einer Parabel. Die Parabel wird beschrieben durch die Gleichung y f (x) 0.125x x Der Rasensprenger steht im Ursprung eines Koordinatensystems. Die x- und y-koordinateneinheiten sind Meter. a) Zeichnen Sie die Parabel in das vorgegeben Koordinatensystem ein. Verwenden Sie für Ihre Zeichnung mindestens sechs exakt eingezeichnete Punkte. b) Der Wasserstrahl reicht nicht bis zu einem 9 Meter entfernten Punkt. Zeigen Sie wie dies mit Hilfe der Funktionsgleichung ermittelt werden kann. c) In einigem Abstand zum Rasensprenger steht ein Gartenzwerg. Der höchste Punkt seiner Zipfelkappe ist 52 cm über dem Boden. Wie weit darf der Gartenzwerg maximal vom Rasensprenger entfernt sein, wenn der Wasserstrahl oberhalb seiner Zipfelkappe durchgehen soll? d) Welches ist die grösste Höhe, die der Wasserstrahl erreicht? Die Austrittsgeschwindigkeit v des Wassers kann variiert werden. Die Parabel verändert dadurch ihre Form. Ihre Gleichung ist jetzt y f (x) 8 v 2 x2 0.75x e) Stellen Sie die Parabelgleichung auf für den Fall, dass die Austrittsgeschwindigkeit v = 10 beträgt. In welcher Entfernung vom Rasensprenger trifft der Wasserstrahl jetzt auf den Boden? f) Der entfernteste Punkt des Gartens ist bei x = 15m. Wie muss man die Austrittsgeschwindigkeit v einstellen, damit das Wasser gerade bis dorthin reicht? 5

6 5. Aspirin (10 Pkt) Fachinformation: Wirkstoff: Zulassungsinhaber: Hersteller: Zusammensetzung: Weitere Inhaltsstoffe: Eigenschaften und Wirksamkeit: Acetylsalicylsäure Bayer Austria, Wien Bayer AG, Leverkusen, Deutschland Eine Tablette enthält 100mg Acetylsalicylsäure (ASS). Cellulosepulver, Maisstärke. ASS hat analgetische, antipyretische und antiphlogistische Wirkung. ASS wird überwiegend im Magen resorbiert und vor allem in der Leber enzymatisch hydrolisiert (abgebaut). Dieser Abbau von ASS verläuft exponentiell mit einer Halbwertszeit von 2 Stunden. a) Jemand nimmt eine Aspirintablette um 6:00 Uhr morgens. Berechnen Sie die Menge an ASS im Körper dieser Person um 18:00 Uhr abends? b) Berechnen Sie die prozentuale Abnahme von ASS innerhalb von 3 Stunden. c) Nach wie vielen Stunden ist die Menge an ASS unter 1 mg gefallen? d) Eine zweite Person nimmt erstmals um 6:00 Uhr eine Tablette. Danach nimmt Sie alle 6 Stunden eine weitere Tablette zu sich. Welche Menge an ASS hat die Person um 24:00 Uhr desselben Tages, wobei um Mitternacht keine weitere Tablette genommen wird? 6

7 6. Glücksrad (13 Pkt) Das hier abgebildete Glücksrad hat zwölf gleich grosse Sektoren: a) Auf fünf verschiedenen Sektoren steht etwas, nämlich vier Geldbeträge (Fr. 10., Fr. 20., Fr. 50., Fr ) und das Zeichen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wie diese fünf Sektoren gefärbt werden können? Es stehen die sieben Farben Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau, Indigo und Violett zur Auswahl und es darf keine Farbe mehr als einmal verwendet werden. b) Wie viele Färbungsmöglichkeiten gibt es für die fünf beschrifteten Sektoren, wenn jeder von ihnen entweder blau oder rot gefärbt werden muss? c) Das abgebildete Rad wird ein Mal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei irgendeinem Geldbetrag anhält? d) Nun wird das Rad zwei Mal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad beide Male bei einem Geldbetrag stehen bleibt und der zweite Geldbetrag grösser ist als der erste? Nun wird das Rad für ein Glücksspiel verwendet: Man muss einen Einsatz bezahlen, dann darf man das Rad ein Mal drehen. Falls das Rad bei einem Geldbetrag stehenbleibt, bekommt man diesen Betrag ausbezahlt. e) Wie gross muss der Einsatz mindestens sein, damit der Anbieter des Spiels auf lange Sicht keine Verluste zu erwarten hat? Das Glücksspiel erhält nun noch die folgende Zusatzregel: Wenn das Rad bei stehenbleibt, darf man noch ein zweites Mal drehen ohne nochmals einen Einsatz zu bezahlen. Wenn beim zweiten Mal wieder erscheint, ist das Spiel fertig und man hat nichts gewonnen. f) Berechnen Sie die im Mittel zu erwartende Auszahlung, wenn das Spiel mit der Zusatzregel gespielt wird. 7