Die Fermatsche Vermutung

Transkript

1 Die Fermatsche Vermutung Ulrich Görtz 3. Juli 2008

2 Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3,...

3 Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3,... n-te Potenzen: x 2 = x x, x 3 = x x x,..., x n = x x x }{{} n Faktoren

4 Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3,... n-te Potenzen: x 2 = x x, x 3 = x x x,..., x n = x x x }{{} n Faktoren Zum Beispiel: 5 4 = = 625.

5 Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3,... n-te Potenzen: x 2 = x x, x 3 = x x x,..., x n = x x x }{{} n Faktoren Zum Beispiel: 5 4 = = 625. Die allermeisten Zahlen sind nicht die n-te Potenz einer anderen Zahl!

6 Die Fermatsche Vermutung Vermutung Sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann gibt es keine natürlichen Zahlen x, y, z mit x n + y n = z n.

7 Die Fermatsche Vermutung Vermutung Sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann gibt es keine natürlichen Zahlen x, y, z mit x n + y n = z n. Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

8 Pierre de Fermat Geboren Ende 1607/Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne, Frankreich Gestorben 12. Januar 1665 in Castres Französischer Mathematiker und Jurist.

9 Der Fall n = 2 Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y, z zu finden, für die x 2 + y 2 = z 2 gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:

10 Der Fall n = 2 Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y, z zu finden, für die x 2 + y 2 = z 2 gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel: = 5 2,

11 Der Fall n = 2 Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y, z zu finden, für die x 2 + y 2 = z 2 gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel: = 5 2, = 13 2,

12 Der Fall n = 2 Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y, z zu finden, für die x 2 + y 2 = z 2 gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel: = 5 2, = 13 2, = 65 2.

13 Der Fall n = 2 Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y, z zu finden, für die x 2 + y 2 = z 2 gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel: = 5 2, = 13 2, = Sind u, v natürliche Zahlen, u > v, so ist (u 2 v 2 ) 2 + (2uv) 2 = u 4 2u 2 v 2 + v 4 + 4u 2 v 2 = (u 2 + v 2 ) 2, also ist (u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2 ) ein Pythagoräisches Zahlentripel, und im wesentlichen haben alle genau diese Form.

14 Der Fall n = 4. Theorem Seien x, y 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz).

15 Der Fall n = 4. Theorem Seien x, y 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz). Beweis. Angenommen x, y 1 sind teilerfremd, x ungerade, und x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.

16 Der Fall n = 4. Theorem Seien x, y 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz). Beweis. Angenommen x, y 1 sind teilerfremd, x ungerade, und x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.Dann ist auch x y 4 1 mit x 1 = y 1 = ( ( ) ( ) x 4 + y 4 + x 2 + x ) ( ) x 4 + y 4 + x 2 x eine Quadratzahl, und x y 4 1 < x 4 + y 4.

17 Der Fall n = 4. Theorem Seien x, y 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz). Beweis. Angenommen x, y 1 sind teilerfremd, x ungerade, und x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.Dann ist auch x y 4 1 mit x 1 = y 1 = eine Quadratzahl, und x y 4 1 < x 4 + y 4.

18 Der Beweis von Wiles Andrew Wiles Geboren 11. April 1953 in Cambridge Studium in Oxford (Abschluss als Bachelor 1974), Cambridge (Promotion 1980, Reciprocity laws and the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer). Aufenthalte in Harvard, Bonn, etc. Seit 1982: Professor an der Princeton University

19 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, I Betrachte Gleichung der Form y 2 = x(x + A)(x + B), für ganze Zahlen A B und A, B 0,

20 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, I Betrachte Gleichung der Form y 2 = x(x + A)(x + B), für ganze Zahlen A B und A, B 0, zum Beispiel y 2 = x(x 1)(x + 3). Können nach Lösungen dieser Gleichung fragen. Im Beispiel: x = 3, y = 6, beide Seiten ergeben 36.

21 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die Gleichung modulo p aufgeht: beide Seiten sollen bei Division durch p den gleichen Rest liefern.

22 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die Gleichung modulo p aufgeht: beide Seiten sollen bei Division durch p den gleichen Rest liefern. Beispiel Sei p = 5, y 2 = x(x 1)(x + 3) Erhalte für x = 3, y = 4 y 2 = 16, x(x 1)(x + 3) = 36,

23 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die Gleichung modulo p aufgeht: beide Seiten sollen bei Division durch p den gleichen Rest liefern. Beispiel Sei p = 5, y 2 = x(x 1)(x + 3) Erhalte für x = 3, y = 4 also eine Lösung modulo 5. y 2 = 16, x(x 1)(x + 3) = 36,

24 Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die Gleichung modulo p aufgeht: beide Seiten sollen bei Division durch p den gleichen Rest liefern. Beispiel Sei p = 5, y 2 = x(x 1)(x + 3) Erhalte für x = 3, y = 4 also eine Lösung modulo 5. y 2 = 16, x(x 1)(x + 3) = 36, Man kann zählen, wie viele Lösungen es modulo p gibt.

25 Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung Für jede Primzahl p bezeichnen wir mit N(p) die Anzahl der Lösungen unserer Gleichung modulo p. Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung macht eine präzise Aussage über eine erstaunliche Regelmäßigkeit der Zahlen N(2), N(3), N(5), N(7), N(11),..., N(p),...

26 Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung Für jede Primzahl p bezeichnen wir mit N(p) die Anzahl der Lösungen unserer Gleichung modulo p. Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung macht eine präzise Aussage über eine erstaunliche Regelmäßigkeit der Zahlen N(2), N(3), N(5), N(7), N(11),..., N(p),... Die Idee von Frey/Der Satz von Ribet: Sei q eine Primzahl. Wäre a q + b q = c q, so würde die Gleichung y 2 = x (x a q ) (x + b q ) die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung nicht erfüllen.

27 Proposition 1.7. If q Σ, and X is an arbitrary finite Gal(Q Σ /Q)- module of p-power order, Eine Seite aus der Arbeit von Wiles MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT S LAST THEOREM 473 where M = Hom(M,Q p /Z p ). Now using local duality and global Euler characteristics (cf. [Mi2, Cor. 2.3 and Th. 5.1]) we easily obtain the formula in the proposition. We repeat that in the above proposition X can be arbitrary of p-power order. We wish to apply the proposition to investigate HD 1. Let D =(, Σ, O, M) be a standard deformation theory as in Section 1 and define a corresponding group L n = L D,n by setting H 1 (Q q,v λ n) for q p and q M L n,q = H 1 Dq (Q q,v λ n) for q p and q M H. 1 (Q p,v λ n) for q = p. Then H 1 D (Q Σ/Q,V λ n)=h 1 L n(q Σ/Q,V λ n) and we also define H 1 D (Q Σ/Q,V λ n)=h1 L n (Q Σ/Q,V λ n). We will adopt the convention implicit in the above that if we consider Σ Σ then HD 1 (Q Σ /Q,V λn) places no local restriction on the cohomology classes at primes q Σ Σ. Thus in HD 1 (Q Σ /Q,V λn) we will require (by duality) that the cohomology class be locally trivial at q Σ Σ. We need now some estimates for the local cohomology groups. First we consider an arbitrary finite Gal(Q Σ /Q)-module X:

28