Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) #3

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1 Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) #3 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz 1 Helmholtz Centre for Environmental Research UFZ, Leipzig 2 Technische Universität Dresden TUD, Dresden Dresden, 22. Juni /22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

2 Vorlesungsplan SoSe 2012: USA-I Numerische Methoden # Datum Vorlesung Übung Skript Einführung, Systemanalyse Grundwasserhydraulik, Prinzip-Beispiel USA Einführung in geotechnische Modellierung PDF FDM#1: 2D, explizit USA FDM#2: Selke-Modell, Q&D USA FDM#3: Selke-Modell, OOP, USA FDM#3: Selke-Modell, VTK USA FH-DGG Tagung FDM#4: implizit, instationär USA vorlesungsfrei FDM#5: stationär, Randbedingungen USA FDM#6: Rechteck-Aquifer USA FEM#1: Grundlagen FEM#2: 1D Modell USA FEM#3: Implementierung, 2D Modell USA UFZ-Exkursion: MOSAIC / TERENO Qt, Klausurvorbereitung UFZ-Exkursion: VISLab 2/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

3 Lecture Table of Contents FEM flexibility 3/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

4 Finite-Elemente-Methode (FEM) Abbildung: Modellierung eines Kluftsystems im Kristallin (Herbert Kunz, BGR) 4/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

5 FEM: Element-Typen Abbildung: Mögliche Elementtypen für die Finite Elemente Methode (FEM) 5/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

6 FEM: 2D Problem Wir betrachten ein 2D stationäres Grundwasserströmungsproblem. ( ) h K x + ( ) h K y = 0 (1) x x y y 6/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

7 FEM: Residuum - Schwache Formulierung Ω e N ( ( ) ĥ K x x x Ω e N(x, y) ( )) + ĥ K y dω e = R e 0 (2) y y ( ) 2 ĥ K x x 2 + K 2 ĥ y y 2 dω e = R e 0 (3) K: Warum können wir das tun? 7/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

8 FEM: Partielle Integration Dabei nutzen wir zwei mathematische Tricks, die uns schon bekannt sind (Hydroinformatik II) 1. Kettenregel (integration by parts) (NA) = N A + NA N A = ( }{{} NA ) NA (4) B 2. Definition der Divergenz BdΩ = BdΓ (5) Ω 3. Darcy s law A = K h Ω 4. Gradient = ( x, y, z )T (7) (6) 8/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

9 FEM: Ω e N(x, y) ( ) 2 ĥ K x x 2 + K 2 ĥ y y 2 dω e = 0 (8) Die Gleichung lässt sich für 2D und 3D Problemstellungen erweitern Ω N (K h)dω = NK hdω + NK hdγ = 0 (9) Ω Ω 9/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

10 FEM: Näherungslösung NK hdω = Ω Ω NK hdγ (10) 3 h(x, y, t) = N i (x, y)ĥ i (t) (11) i=1 h(x, y) = N(x, y)ĥ(t) (12) ( NK N) ĥ dω = Ω Ω (NK N)ĥ dγ (13) 10/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

11 FEM: Symbols N = N 1 N 2 N 3, ĥ = h 1 h 2 h 3, K = K x K y K z (14) 11/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

12 FEM: Bildchens Abbildung: Linear triangular element 12/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

13 FEM: Let s talk about N Obviously, an arbitrary point in the triangle can be identified by use of the following local (area) coordinates (Fig. 3), N 1 = A 1 /A N 2 = A 2 /A N 3 = A 3 /A where A is the area of triangular element A = 1 x 1 y x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 (15) (16) 13/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

14 FEM: From geometrical reasons we have 1 = N 1 + N 2 + N 3 (17) Furthermore we can write { 1 : at node i N i = 0 : at remaining nodes (18) Bildchens 14/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

15 FEM: From this condition it can be concluded that 1 = N 1 + N 2 + N 3 x = N 1 x 1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 y = N 1 y 1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 (19) Now we write the above equations in following compact matrix form 1 x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 N 1 N 2 N 3 (20) 15/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

16 FEM: Inversion gives N 1 N 2 N 3 = 1 2A x 2 y 3 x 3 y 2 y 2 y 3 x 3 x 2 x 3 y 1 x 1 y 3 y 3 y 1 x 1 x 3 x 1 y 2 x 2 y 1 y 1 y 2 x 2 x 1 1 x y (21) x = AN N = A 1 x (22) 16/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

17 FEM: N 1 (x, y) = 1 2A [(x 2y 3 x 3 y 2 ) + (y 2 y 3 )x + (x 3 x 2 )y] N 2 (x, y) = 1 2A [(x 3y 1 x 1 y 3 ) + (y 3 y 1 )x + (x 1 x 3 )y] N 3 (x, y) = 1 2A [(x 1y 2 x 2 y 1 ) + (y 1 y 2 )x + (x 2 x 1 )y] (23) 17/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

18 FEM: Now the derivatives of the shape functions can be easily written down. N 1 x N = y 2 y 3 N 1 2A y = x 3 x 2 2A x = N 2 x = y 3 y 1 N 2A y = N 2 y = x 1 x 3 2A N 3 x = y 1 y 2 N 3 2A y = x 2 x 1 2A (24) 18/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

19 FEM: Stiffness Matrix #1 K e = Ω e N K N T dω e (25) 19/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

20 FEM: Stiffness Matrix #2 K e = N K N T dω e (26) Ω e = K xx e (y 2 y 3)(y 2 y 3) (y 2 y 3)(y 3 y 1) (y 2 y 3)(y 1 y 2) (y 3 y 1)(y 2 y 3) (y 3 y 1)(y 3 y 1) (y 3 y 1)(y 1 y 2) 4A (y 1 y 2)(y 2 y 3) (y 1 y 2)(y 3 y 1) (y 1 y 2)(y 1 y 2) + K e yy 4A (x 3 x 2)(x 3 x 2) (x 3 x 2)(x 1 x 3) (x 3 x 2)(x 2 x 1) (x 1 x 3)(x 3 x 2) (x 1 x 3)(x 1 x 3) (x 1 x 3)(x 2 x 1) (x 2 x 1)(x 3 x 2) (x 2 x 1)(x 1 x 3) (x 2 x 1)(x 2 x 1) 20/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

21 FEM: Stiffness Matrix #3 K e ij = = Ω e Ω e = K x = K x N i N j K αβ dω e (27) x α x β N i N j x (Kx x + N j Ky y ) dωe + Ω e Ω e N i x y j y k 2A N j x dωe + K y y k y i 2A Ω e dωe + K y N i y Ω e Ω e N i y (Kx N j x + Ky N j y ) dωe N j y dωe x k x j 2A = Kx 4A (y j y k )(y k y i ) + Ky 4A (x k x j )(x i x k ) x i x k 2A dωe 21/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012

22 FEM: Exercise tbd 22/22 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Angewandte Umweltsystemanalyse 2012