Hydroinformatik II: Gerinnehydraulik
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- Dörte Clara Schräder
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1 Hydroinformatik II: Gerinnehydraulik 1 Helmholtz Centre for Environmental Research UFZ, Leipzig Technische Universität Dresden TUD, Dresden Dresden, 17. Juni 016 1/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
2 Vorlesungsplan Hydroinformatik II SoSe 016 # Datum Thema Einführung Grundlagen: Kontinuumsmechanik Grundlagen: Hydromechanik Grundlagen: Partielle Differentialgleichungen / TEX HW: Qt Installation (016) Qt Übung: Funktionsrechner; Grundlagen Numerik Pfingsten Numerik: (exp) Finite Differenzen Methode Vorbereitung für den Beleg Numerik: (imp) Finite Differenzen Methode Gerinnehydraulik: Theorie - Grundlagen HW: Gerinnehydraulik: Programmierung, Übung Gerinnehydraulik: Programmierung, Übung Gerinnehydraulik: Programmierung, Übung Kurs-Zusammenfassung, Ausblick und Beleg /9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
3 OGS... fo für den HI- Beleg... 3/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
4 OGS... bitte mal anklicken..., search YouTube 4/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
5 Hydroinformatik - Anwendungen 1. Abfallwirtschaft: Diffusionsprozesse. Hydrology: Gerinnehydraulik ( this) 3. Grundwasserwirtschaft: Grundwasserhydraulik ( next) 5/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
6 Lehrinhalte 1. Gerinnehydraulik: Parameter, Symbole.... Energieerhaltung: Bernoulli-Gleichung 3. Impulserhaltung: Saint-Venant-Gleichungen 4. Lösung der Bernoulli-Gleichung 5. Newton-Verfahren 6. numerisches Lösungsverfahren (nächste Veranstaltung) 6/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
7 Hydrologie - Gerinnehydraulik Für die Beschreibung von Strömungsprozessen in Flüssen (d.h. Gerinne) gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten basierend auf den sogenannten Bernoulli (Energiebetrachtung) oder Saint-Venant Gleichungen. Wir verwenden die erste für die Implementierung in C++ (Bildquellen: Technische Hydromechanik). 7/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
8 Bernoulli-Gleichung #0 History gelebt Freund von L Euler Bernoulli Gleichung kinetische Theorie der Gase russ. Akademie Petersburg Vater/Sohn Beziehung 8/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
9 Bernoulli-Gleichung #1 i+1 z i+1 + p i+1 ρg + v g = z i + p i ρg + v i g + h f (1) Symbole Gesetz von Darcy-Weisbach für streckenabhängige Verluste h f = λ x i+1 x i v d hy g () Symbole (Zusammenfassung später) Gesetz von Darcy-Weisbach für streckenabhängige Verluste d hy = 4r hy = 4 A P (3) 9/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
10 Bernoulli-Gleichung # p = ρgh (4) z i+1 + h i+1 + v i+1 g = z i + h i + v i g + h f, E = h + v g (5) 10/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
11 Channel Geometry 11/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
12 Bernoulli-Gleichung #3 Durchfluss Q = A v = bh v (6) z i+1 + h i+1 + Q i+1 g b h i+1 = z i + h i + Q i g b h i + h f (7) 1/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
13 Fluid Momentum Balance - Navier-Stokes equation v t + (v )v = fe + 1 ρ σ (8) In index notation the above vector equation is written as u t + u u x + v u y + w u z v t + v u x + v v y + w v z w t + u w x + v w y + w w z = 1 ρ ( σ xx x = 1 ρ ( σ yx x with u = v x, v = v y, w = v z and f e = g. = g + 1 ρ ( σ zx x + σ xy y + σ yy y + σ zy y + σ xz z ) + σ yz z ) + σ zz z ) (9) 13/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
14 Saint-Venant-Gleichung #0 History gelebt D open channel flow shallow water equations (Flachwassergleichungen) Stokes equation (is his) Engineer Count 14/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
15 Saint-Venant-Gleichungen #1 Saint-Venant-Gleichungen Vertikal gemittelte Navier-Stokes-Gleichung D Flachwasser-Gleichungen (Filmchen) Mittelung über die Querschnittsfläche 1D Gerinnehydraulik Fließgeschwindigkeit v = Q/A in Flußrichtung A t + Q x Q t A + ( ) Q + gh(x, A) x A = 0 (10) = g(s o S f ) (11) 15/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
16 Saint-Venant-Gleichungen # Stationäre Bedingungen d dx d (A(x, h)v) = 0 ( dx ) v + gh(x, A) = g(s o S f ) (1) unter Verwendung der Primärvariablen A und Q ( ) d Q(h) + gh(x, A) dx A(h) = g(s o S f ) (13) Nichtlineare Gleichung 16/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
17 Parameter Symbol Parameter Englisch Einheit h Wasserspiegel water surface elevation m i Sohlenspiegel channel datum m z Wassertiefe water depth m Z L, Z R linke / rechte Böschung left / right channel slope m Q Durchfluss discharge m 3 s 1 A Querschnittsfläche channel cross-section m B Breite channel width m P benetzter Umfang wetted perimeter m R, r hy hydraulische Radius hydraulic radius m U stromaufwärts upstream - D stromabwärts downstream - x Abstand zwischen U und D distance between U and D m h v kinetische Energie velocity head m h f Reibungsverluste friction head m S o Sohlgefälle bed slope - S f Streckenverlust friction slope - 17/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
18 Energiebetrachtung #1 i+1 z i+1 + p i+1 ρg + v g = z i + p i ρg + v i g + h f (14) h f = λ x i+1 x i v d hy g (15) d hy = 4r hy = 4 A P (16) 18/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
19 Energiebetrachtung #: Bernoulli/Saint-Venant 19/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
20 Energiebetrachtung #3: Bernoulli 0/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
21 Energiebetrachtung #4 Geometrie Die trapezoide Querschnittsfläche des Gerinnes kann folgendermaßen berechnet werden (Abb. 1). [ A = y B + y Z ] L + Z R Der benetzte Umfang des Gerinnes ist. ] P = B + y [ 1 + Z L ZR (17) (18) Der hydraulische Radius ergibt sich dann als. R = A (19) P Letztlich benötigen wir noch den Zusammenhang von Fließgeschwindigkeit und Durchfluss. v = Q A = Q [ ] (0) y B + y Z L+Z R 1/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
22 Energiebetrachtung #5 Streckenverluste Die Streckenverluste lassen sich nach Manning wie folgt beschreiben ( ) Q S f = AR /3 (1) mit S f = Q A R 4/3 R = y(b + yc 4) B + yc 5 () (3) /9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
23 Energiebetrachtung #6 Parameters C 4 = Z L + Z R C 5 = (4) 1 + Z L Z R (5) ( ) y(b + S f = Q (y(b + C 4 y)) yc4 ) 4/3 (6) B + yc 5 S f = Q (By + C 4 y) (By + C 4 y ) 4/3 (B + C 5 y) 4/3 (7) S f = Q (By + C 4 y ) 10/3 (B + C 5 y) 4/3 (8) 3/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
24 Lösung einer nichtlinearen Gleichung #1 f (h) = (h + v ) D (h + v ) g g U + x (S f,u + S f,d ) = 0(9) 4/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
25 Lösung einer nichtlinearen Gleichung # f (h) = (h + v ) D (h + v ) g g U + x (S f,u + S f,d ) (30) f (h) = ) ) (h + Q ga D (h + Q ga Konstruktion eines Newton-Verfahrens U + x (S f,u + S f,d ) (31) h k+1 = h k + f (h k) f (h k ) (3) 5/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
26 Math: Newton-Verfahren #1 Nichtlineare Gleichung A(x) x = b(x) (f (h) = 0) (33) Residuum R(x) = A(x) x b(x) = 0 (34) Taylor-Reihe R k+1 = R k + Umstellen [ ] R x k+1 + 0( x k+1 x ) (35) k x k+1 J 1 k R k (R k+1 = 0) (36) Lösungsvorschrift x k+1 = x k + x k+1 = x k J 1 k R k (37) 6/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
27 Math: Newton-Verfahren # y = R(x) 7/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
28 Numerisches Verfahren #1 Newton-Verfahren: x = h h k+1 = h k + f (h k) f (h k ) = R k J k (38) f (h) = f (y) d (h + v ) = d dh g dh ) (h + Q ga = 1 Q da ga 3 dh (39) da dh = d dh (y(b + C 4y)) = B + C 4 y + yc 4 = B + C 4 y (40) 8/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
29 Numerisches Verfahren # Bleibt noch die Differenzierung der Streckenverluste ds f dh = S f = d ( ) Q dh AR /3 (41) S f = + [Q (By + C 4 y ) 10/3 43 (B + C 5y) 1/3 C 5 ] ] 4/3 10Q [(B + yc 5 ) (By + C 4 y ) 13/3 (B + C 4 y) (4) 3 S f = 4 3 Q C 5 (By + C 4 y ) 10/3 (B + C 5 y) 1/ Q (B + C 4 y)(b + C 5 y) 4/3 (By + C 4 y ) 13/3 (43) 9/9 Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz Hydroinformatik II - SoSe 016
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, 2 f N, f M f n f m dx 0 sin xx x3 3! x 5 5! a n x n n0 N f N x a n x n n0 a,ba * x b x a * y b y a * z b z aa x 2 a y 2 a z 2, * r,tr,td 3 r, * d 3 r * * d 3 r, *, * d 3 r * d 3 r, * d 3 r * * d 3 r
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v 5 v 4 v 3 v 1 x v = y A(x a /y a ) x a y a A = OA = x v = y ( A(x a /y a ) B(x ( b /y b ) x b x a x c = y c = x 2 c + yc
v v v M v v 6 v x v y v Ax a /y a A OA x a y a v x v y AB v v v A v B v v Ax a /y a Bx b /y b AB x b x a x c y b y a y c A / B/ AB + AB x c + yc AB AB + AB xb x a + y b y a AB 9 AB, 9 AB x y m m y x α
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