Rainer Kaenders Reinhard Schmidt (Hrsg.) Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen

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2 Rainer Kaenders Reinhard Schmidt (Hrsg.) Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen

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4 Rainer Kaenders Reinhard Schmidt (Hrsg.) Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn STUDIUM

5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Herausgeber Prof. Dr. Rainer Kaenders Reinhard Schmidt Autoren Horst Bennemann (Kapitel 9) Prof. Dr. Rainer Kaenders (Kapitel 1 und 10) Dr. Oliver Labs (Kapitel 5) Maria Nelles (Kapitel 8) Dr. Wolfgang Riemer (Kapitel 2 und 6) Reinhard Schmidt (Kapitel 1 und 4) Günter Seebach (Kapitel 6 und 7) Prof. Dr. Ysette Weiss-Pidstrygach (Kapitel 3) 1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN

6 Vorwort If you want to go fast, go alone. If you want to go far, go together. (Warren Buffet) Langsam aber sicher wird der Einsatz von Technologie zu einem wesentlichen Bestandteil des Unterrichts. Wegen der zunehmenden Verfügbarkeit von günstigen Computern wurde schon in den 1980er und 90er Jahren vorausgesagt, dass sich diese neuen Technologien schnell im Mathematikunterricht etablieren würden. Doch in der Schulwirklichkeit ging diese Integration sehr viel langsamer vonstatten als angenommen. Als ich vor 10 Jahren das GeoGebra Projekt als Student startete, stand zunächst nur die Idee, dynamische Geometriesoftware und Computeralgebra für typische Anwendungen in der Schule näher zusammen zu bringen, im Vordergrund. An einen verbreiteten Einsatz der Software in Schulen war nicht gedacht, und so war es mehr oder weniger Zufall, dass 2005 mein Kollege Yves Kreis von der Uni Luxemburg vorschlug, den Quellcode von GeoGebra auf eine Open Source Plattform ins Internet zu stellen, damit er einfacher am Projekt mitarbeiten kann. Wegen zahlreicher anfragen habe ich etwa zur selben Zeit auch das GeoGebra Nutzerforum und ein Wiki eingerichtet, wo Lehrer gemeinsam Fragen beantworten und Materialien austauschen konnten. Die letzten Jahre haben gezeigt, dass eine große Zahl von Enthusiasten herkömmliche Entwicklungsmodelle und Vorstellungen von Innovation über den Haufen werfen können. Der Erfolg von Projekten wie Wikipedia, Linux, Firefox und Moodle beweist eindrucksvoll, dass Zusammenarbeit und Austausch wertvolle Resourcen für eine Vielzahl von Lebensbereichen hervorbringen können. Mit GeoGebra scheint derzeit etwas Ähnliches im Bereich mathematischer Software zu passieren. Heute arbeiten bereits mehrere hundert Leute, praktisch alle ehrenamtlich, an diesem Projekt in der Programmierung, Übersetzung und Dokumentation mit, sodass die Software inzwischen in 56 Sprachen auf der ganzen Welt eingesetzt wird. Um solche Technologien auch tatsächlich in die Klassenzimmer zu bringen, genügt es aber nicht, gute Software kostenlos ins Internet zu stellen. Entscheidend ist die Unterstützung angehender Nutzer, insbesondere durch gute Materialien und Anregungen - wie in diesem Buch geschehen - sowie durch entsprechende Fortbildungsangebote für Lehrer. Dem hat sich auch das internationale Netzwerk von GeoGebra Instituten verschrieben, wobei dieses Buch ein konkretes Produkt entsprechender Bemühungen des GeoGebra Instituts von Köln/Bonn darstellt. Gemeinsam kännen wir mehr erreichen, nicht nur in der Weiterentwicklung einer Software, sondern insbesondere auch beim Austausch von Unterrichtsideen und -materialien, so wie es auch die Autoren der verschiedenen Kapitel in diesem Buch tun. Neue Technologien wie GeoGebra bieten uns nicht nur dynamische und interaktive Möglichkeiten zur Behandlung mathematischer Themen, sie machen es uns auch leichter, unsere Ideen auszutauschen und zusammenzuarbeiten. Ich wünsche allen Lesern viel Spaß beim Ausprobieren der hier zu findenden Anregungen im eigenen Unterricht, und hoffe, Sie bald als aktives Mitglied der GeoGebra Nutzergemeinde begrüßen zu dürfen. Markus Hohenwarter Entwickler von GeoGebra

7 VI Dankwort An der Entstehung dieses Buches haben neben den Autoren noch einige andere direkt oder indirekt mitgewirkt. Besonders danken möchten wir hier Stephan Berendonk, Leon van den Broek, Peter Fitting, Aloisius Görg, Gilbert Greefrath, Bärbel Schmidt und Emese Vargyas sowie Ulrike Klein bei der Textgestaltung und Ulrike Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg+Teubner Verlag. Köln, Juli 2011 Rainer Kaenders und Reinhard Schmidt

8 Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke Von Beispielen lernen Erziehen im Mathematikunterricht Probieren versus Konstruieren Konstruktionen beschreiben Erziehen zu sauberem Zeichnen Resümee Umfängliches und Diametrales Konstruktion und algebraische Berechnung Mathematisches Objekt und Problemlösemethode Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Nullstellen quadratischer Funktionen mit GeoGebra Der Kreis von Captain Lill Lills Methode Über Nullstellen hinaus Resümee Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Einleitung Nullstellen von zufälligen quadratischen Polynomen Polynome höheren Grades Resümee und Ausblick Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen Mit Bleistiften würfeln Erst simulieren Erwartungshaltung aufbauen Dann experimentieren Visualisieren in GeoGebra Vertiefende Aufgaben Resümee Anhang Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Tangenten und ihre Steigungen... 85

9 VIII Inhaltsverzeichnis 7.2 Die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 bzw. x = a bei Polynomfunktionen Faktor-, Summen- und Produktregel für Polynome an der Stelle x = Die allgemeine Ableitungsregel für Polynome Die Quotientenregel für Polynomquotienten selbstständig entdecken Verallgemeinerung auf alle Funktionen Die Zahl e wird entdeckt Die allgemeine Exponentialfunktion und ihre Tangentensteigungsfunktion Die Ableitung der Umkehrfunktion Resümee Die Eulersche Zahl Wege der Begriffsgenese mit Geogebra durchschauen Zur Geschichte der Eulerschen Zahl Empirischer Zugang zur Eulerschen Zahl über die stetige Verzinsung Zugang über den Flächeninhalt unter der Hyperbel Graphische Umkehrung der natürlichen Logarithmusfunktion und Ableitung der Umkehrfunktion Vertiefende Einsichten in den Standardweg mit Geogebra Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Relevanz Lineare Iteration Rekursion Verkettung Rückkopplung Quadratische Iteration Hat das Chaos Struktur? Kann man Chaos messen? und was gibt es noch? Anhang: Experimente und Übungen Funktionen kann man nicht sehen Nomogramme Gratwanderung Ausblick Sachverzeichnis 167 Autorenverzeichnis 171

10 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis Rainer Kaenders und Reinhard Schmidt Ein buntes Spielzeugauto mit echten Motor- und Sirenengeräuschen und batteriebetriebenem Antrieb verliert trotz anfänglicher Faszination für Kinder häufig schnell seinen Reiz. Viel mehr für die Entwicklung leistet ein Baukastensystem, wo Kinder mit ganz unperfekten eigenen Fahrzeugkreationen spielen, immer neue Möglichkeiten der Erweiterung entdecken und ihrer Phantasie freien Lauf lassen können. Bei GeoGebra handelt es sich um eine Dynamische Mathematiksoftware, die Geometrie, Tabellenkalkulation und Algebra vereint und dadurch für den Mathematikunterricht reichhaltige Möglichkeiten bietet. Neben den inhaltlichen Vorteilen, die in diesem Buch an Beispielen näher beschrieben werden, bietet das Programm drei wesentliche Vorteile: Es ist für den Mathematikunterricht entwickelt und den spezifischen Anforderungen angepasst worden. Außerdem ist es für den privaten Benutzer (also insbesondere für Schülerinnen und Schüler) kostenlos. 1 Zudem handelt es sich um ein Open-Source-Programm, das von vielen Menschen weltweit weiterentwickelt wird. Für das Mathematiklernen kann GeoGebra sowohl ein buntes fertiges Spielzeugauto als auch ein Baukastensystem mit Raum für eigene Gestaltung und Erforschung sein. In diesem Buch interessieren wir uns für die Möglichkeiten, das Programm zur Vertiefung des Mathematikverständnisses von Schülerinnen, Schülern oder anderen Mathematiklernenden 2 einzusetzen. Geo- Gebra kann zur Visualisierung mathematischer Sachverhalte eingesetzt werden, kann aber auch als Katalysator mathematischen Verständnisses dienen. Genau das streben wir an: GeoGebra kann dazu beitragen, Schüler zur Reflexion über Mathematik anzuregen, verschiedene Perspektiven von bestimmten Standpunkten auf einen mathematischen Gegenstand zu ermöglichen und schließlich auch Perspektivwechsel, wie beispielsweise zwischen Geometrie und Algebra, vorzunehmen und zu veranschaulichen. Aus diesem Anspruch folgt, dass dieses Buch kein Benutzerhandbuch sein möchte. Vielmehr soll an ausgewählten Beispielen deutlich gemacht werden, wie sinnvoller GeoGebra-Einsatz aussehen kann und wie man mit Hilfe von GeoGebra mehr Mathematik im Mathematikunterricht stattfinden lassen kann. Wir wollen zeigen, dass GeoGebra hierfür einen wichtigen Beitrag leisten kann, dass es bei aller Begeisterung für die neuen Möglichkeiten manchmal aber auch sinnvoll sein kann, einfach den Computer auszuschalten und auf althergebrachte Methoden und Hilfsmittel des Unterrichts zurückzugreifen. 1 Download unter [Hoh11], 2 In der Folge sprechen wir kurz von dem Schüler, dem Leser, dem Lernenden und meinen damit auch die jeweils weibliche Form. R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _1, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

11 2 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis 1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke In diesem einleitenden Kapitel wollen wir anhand des Beispiels der Stangenvierecke (d.h. Kongruenzklassen von Vierecken, bei denen vier Seitenlängen vorgegeben, die Winkel zwischen den Seiten aber variabel sind) verschiedene mathematische Perspektiven vorstellen, die teilweise durch GeoGebra vermittelt und zum Teil davon unabhängig sind. An Stangenvierecken gibt es viel zu entdecken (siehe zum Beispiel zu Aspekten der Mathematik [BM56], der Ingenieurwissenschaft [Hal61] und der Mathematikdidaktik [Eng71], [Kae06] und [Kae09]). Zunächst einmal gibt es keinen Grund, hierbei den Computer einzusetzen. Viele bemerkenswerte Phänomene können und sollten an einem realen, aus Holz, Metall oder Pappe gefertigten Stangenviereck erkundet werden. Das Experimentieren mit dem Realmodell hat den Vorteil haptischer und räumlicher Wahrnehmung eines Stangenvierecks und seiner möglichen Bewegungen. Änderung der Längen der Seiten und das Verständnis von Zusammenhängen, die nur bei bestimmten Konstellationen der Längen auftreten können, setzen einen gewissen Vorrat an Seitenlängen und die Möglichkeit der variablen Verschraubung voraus, z.b. wie bei Märklin bzw. Meccano Baukästen, wie sie früher populär waren. Experimentiert man mit verschiedenen Längen, so kann man z.b. feststellen, dass es so genannte durchschlagende Stangenvierecke gibt das sind Stangenvierecke, bei denen man alle Stangen auf eine Linie bringen kann. Wenn nicht eine der Stangen so lang ist, wie die drei restlichen zusammen, dann gibt es von dieser Position aus vier unterschiedliche Richtungen, in die man das Stangenviereck bewegen kann, usw. Und darüber hinaus gibt es Stangenvierecke mit Positionen, die nicht durch eine Bewegung des Stangenvierecks in der Ebene ineinander überführbar sind. Schon hier werden spannende Fragen aufgeworfen. Doch haben diese mechanischen Modelle ihre Begrenzungen. Es ist immer nur möglich, einige wenige Varianten von Stangenvierecken zu untersuchen. Manche Überkreuzbewegungen scheitern an überstehenden Stangen oder an der Frage, ob eine Stange von oben oder von unten mit ihrer Nachbarstange zusammengeschraubt wurde. Dies ist der Zeitpunkt, GeoGebra zur Fortsetzung der experimentellen Untersuchungen von Stangenvierecken zu nutzen. Dies kann durch die Vorgabe eines Applets oder durch die eigenständige, dynamische Konstruktion eines Stangenvierecks durch den Schüler erfolgen. Die selbständige Konstruktion eines Stangenvierecks mit den positiven Längen a, b, c und d erfordert ein Übersetzen der Zusammenhänge des Realmodells in geometrische Zusammenhänge und geschieht schrittweise: Man zeichnet in GeoGebra eine Strecke der Länge a, den so genannten Steg, und zwei Kreise mit Radien d und b, deren Mittelpunkte auf den Endpunkten A und B der Strecke mit Länge a liegen. Auf den Kreis mit Radius d setzt man einen beweglichen Punkt D, um den man einen dritten Kreis mit Radius c schlägt, den man dann mit dem freien Kreis schneidet. Einer der hier entstandenen Schnittpunkte formt mit dem beweglichen Punkt auf dem Kreis und den beiden Endpunkten der Strecke ein Stangenviereck mit den Längen a, b, c und d. Zieht man nun an dem Punkt D, dann bewegt sich das Stangenviereck. Zieht man jedoch zu weit, dann verschwindet die Stange der Länge c, die so genannte Koppelstange, da eine solche Position des Stangenvierecks nicht mehr möglich ist. Die GeoGebra Konstruktion verhält sich also ganz anders als das mechanische Stangenviereck, das man ja nicht auseinanderziehen kann. Die Frage, wie man diese mechanische Situation stabil auch in GeoGebra herstellen kann, führt zu einem tieferen Verständnis von Stangenvierecken zumindest, wenn man eine der geometrischen Situation angepasste natürliche Konstruktion sucht. Dazu muss man sich allgemein Gedanken darüber machen, welche Positionen ein Stangenviereck einzunehmen in der Lage ist.

12 1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke 3 Abbildung 1.1: Kurbelmechanismus für ein Stangenviereck: der Punkt C dreht sich auf dem angegebenen Kreis und so erhalten wir alle möglichen Diagonalen des Stangenvierecks auf jeweils zwei Weisen. Steht die Länge dieser Diagonalen und der Winkel zwischen den Stangen c und d fest, gibt es im allgemeinen immer noch zwei Möglichkeiten für das Stangenviereck. Man kann dann etwa einen Kurbelmechanismus wie in Abb. 1.1 betrachten und erhält eine etwas stabilere Situation. Schon hier stellt sich heraus, dass die Diagonalen eines Stangenvierecks eine wichtige Rolle spielen. Will man die Konstruktion ganz stabil machen, dann müssen verschiedene Fälle unterschieden werden. Tut man dies, so stellt man fest, dass es im Wesentlichen zwei Klassen von Stangenvierecken gibt: Klasse I besteht aus denjenigen Stangenvierecken, bei denen die kürzeste Stange eine ganze Drehung gegenüber allen anderen Stangen vollführen kann. Klasse II sind die Stangenvierecke, in denen sich keine der Stangen bezüglich einer anderen ganz herum dreht. Auf dem Übergang zwischen den beiden Typen befinden sich die durchschlagenden Stangenvierecke. Wenn man einen ersten Zugang zu dem Stangenviereck gefunden hat, werden die mathematischen Fragestellungen, die man an das Stangenviereck stellt, komplexer und weniger offensichtlich. Ein GeoGebra-Applet erweist sich mehr und mehr als hilfreiches Werkzeug, das die Fortsetzung der Untersuchungen erleichtert und fördert. Durch Hinzufügen bestimmter Strecken und Winkel kann leicht auf ganz spezielle Blickwinkel fokussiert werden, durch Variation der Längen der Viereckseiten lassen sich beliebige Stangenvierecke und Spezialfälle problemlos erkunden, und bewegte Punkte lassen sich dadurch gut nachverfolgen, dass man sich ihre Spur oder auch gleich die Ortskurve, auf der sie sich bewegen, anzeigen lässt. Auf diese Weise entstehen Vermutungen, und GeoGebra erweist sich als ausgezeichnetes heuristisches Werkzeug. Eine erschöpfende Untersuchung aller möglichen Merkwürdigkeiten von Stangenvierecken würde den Rahmen dieses Buches bei Weitem sprengen. Aus diesem Grund soll die Aufmerksamkeit auf die Diagonalen des Stangenvierecks und deren Schnittpunkt gelenkt werden, und mit Hilfe von GeoGebra können wir den Winkel zwischen den Diagonalen und die Ortslinie des Schnittpunkts der Diagonalen betrachten. Zunächst betrachten wir die einfachste Variante eines Stangenvierecks: eine Raute.

13 4 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis Abbildung 1.2: Die Spur des Diagonalenschnittpunkts sieht wie eine kreisförmige Linie aus. Stünden die Diagonalen nicht immer senkrecht aufeinander, wäre eine solche Teleskop-Arbeitsbühne gefährlich. Wenn man sich von GeoGebra die Ortslinien des Diagonalenschnittpunktes anzeigen lässt, dann sagt uns unsere Intuition, dass es sich dabei um einen Kreis handeln müsste. Was im ersten Moment erstaunen mag, leuchtet sofort ein, wenn man sich vergegenwärtigt, dass in einer Raute die Diagonalen stets orthogonal zueinander verlaufen, und dass ihr Schnittpunkt daher auf dem Thaleskreis liegen muss. Auch bei einer Teleskop-Hebebühne, wie in Abb. 1.2 sieht man, dass die Diagonalen immer senkrecht zueinander stehen. Dieser bekannte Kontext festigt unseren Eindruck von der Orthogonalität der Diagonalen in einem rautenförmigen Stangenviereck. Sehen wir uns nun Drachenvierecke an: Abbildung 1.3: Hier ist der Kopf schneller als das Applet. Lässt man sich von GeoGebra die Ortslinie anzeigen, dann wird diese als Teil eines Halbkreises angezeigt. Schon das Bild eines Drachenvierecks mit seinen Diagonalen und der entsprechenden Symmetrie lässt uns annehmen, dass die Diagonalen rechtwinklig aufeinander stehen. Schauen wir genauer hin, dann bemerken wir, dass eine der beiden Diagonalen des Drachenvierecks auf der Mittelsenkrechten der anderen Diagonalen liegt. Auch dies bestätigt unsere

14 1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke 5 Intuition, dass es sich hier wohl um eine korrekte Aussage zu handeln scheint. Im nächsten Schritt wollen wir uns an beliebige Vierecke wagen. Die Ortslinie gibt uns einige Rätsel auf. Es ist aber deutlich zu sehen, dass es sich nicht um einen Kreis handelt. Abbildung 1.4: Eine merkwürdige Ortslinie Direkt verallgemeinerbar ist die obige Einsicht also offenbar nicht. Der Umstand, dass bei der Raute und beim Drachenviereck der Winkel zwischen den Diagonalen erhalten bleibt, im beliebigen Viereck aber nicht, führt zu der Frage, unter welchen Bedingungen der Diagonalenwinkel eines Stangenvierecks konstant bleibt. Da diese Frage normalerweise für Schüler nicht durch bloßes Nachdenken zu beantworten ist, bietet sich ein GeoGebra-Experiment an. In dem Experiment soll für verschiedene Stangenvierecke untersucht werden, in welchem Maß sich der Diagonalenwinkel verändert, wenn man die Position der Seiten variiert. Abbildung 1.5: Links ändert sich der Winkel stark, rechts bleibt er nahezu konstant. Die Schüler werden feststellen, dass es für allgemeine Vierecke fast unmöglich ist, den Winkel so einzustellen, dass der Diagonalenwinkel konstant bleibt. Man findet aber Vierecke,

15 6 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis bei denen sich dieser Winkel nur leicht verändert. Ein mögliches Schülerergebnis kann so aussehen: Beobachtung: Je näher der Diagonalenwinkel an 90 o liegt, desto weniger verändert er sich. Bei diesem Schülerergebnis handelt es sich um alles andere als eine mathematische Gewissheit, aber es legt folgende Vermutung (nicht die Gewissheit) nahe: Wenn in einem Stangenviereck der Winkel, unter dem sich die Diagonalen schneiden, in einer bestimmten Position 90 beträgt, dann beträgt er in jeder Position 90. Abbildung 1.6: Einmal orthogonal, immer orthogonal? Dies kann man auf sehr unterschiedliche Weisen zeigen. Zunächst haben wir bei der Konstruktion eines stabileren Applets für ein Stangenviereck schon gesehen, dass es hilfreich ist, wenn wir zunächst eine der Diagonalen kennen und daraus dann das gesamte Stangenviereck konstruieren. Hierauf baut ein für Schüler einfach verständlicher Beweis 3 auf, der lediglich den Satz des Pythagoras benutzt. Wenn sich die Diagonalen senkrecht schneiden, werden vier rechtwinklige Dreieck sichtbar, so dass man aus dem pythagoräischen Lehrsatz vier Gleichungen erhält. Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1.6 gilt offensichtlich: (1) e f 2 1 = b2 (2) f g2 1 = c2 (3) g h2 1 = d2 und (4) h e2 1 = a2. Es soll nun nachgewiesen werden, dass sich die Diagonalen desselben Stangenvierecks in einer beliebigen anderen Position ebenfalls orthogonal schneiden. Hierfür kann man zunächst die Stangen b und c unsichtbar machen und die Lage der Stange d verändern. 4 Eine der beiden Diagonalen ist dann schon festgelegt. Nun kann die Stange c so eingefügt werden, dass die Strecke AC orthogonal zu BD ist. Wenn die Länge von BC mit der Länge der Stange b übereinstimmt, ist der Beweis geführt. Es ist leicht zu sehen, dass mit den Bezeichnungen aus 1.7 (5) d 2 = g h2 2, und erneut hilft der Satz des Pythagoras: 3 Diesen Beweis haben wir von Stephan Berendonk gelernt. 4 Wegen der besseren Lesbarkeit geben wir den Seiten bzw. Stangen und deren Längen denselben Namen.

16 1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke 7 Abbildung 1.7: Einmal orthogonal, immer orthogonal! e f 2 2 =(a 2 h 2 2)+(c 2 g 2 2) (2),(4) = (h e 2 1 h 2 2)+(f g 2 1 g 2 2) = g h 2 1 h 2 2 g e f 2 1 (3) = d 2 h 2 2 g e f 2 1 (5) = g h 2 2 h 2 2 g e f1 2 (5) = e f1 2 (1) = b 2. Sobald die Idee zu diesem Beweis da ist, geht es darum, die Manipulation an den Formeln auf die richtige Weise durchzuführen. Die Überzeugung von der Richtigkeit dieses Sachverhaltes beruht auf der Manipulation. Die Symmetrie im Fall der Drachenvierecke eröffnet uns Zugänge zum Studium allgemeinerer Stangenvierecke, die zu einer orthogonalen Position der Diagonalen verformbar sind. Vergegenwärtigen wir uns zunächst, dass jede Position eines gegebenen Stangenvierecks eindeutig festgelegt ist durch die Längen der Diagonalen. Dabei legt eine Diagonalenlänge die Position schon so fest, dass für die andere Diagonale nur höchstens noch zwei Möglichkeiten bleiben. Wählen wir eine der beiden Diagonalen und falten wir nun das Stangenviereck entlang dieser Diagonalen im Raum auf, dann können wir den Abstand zwischen den beiden Eckpunkten, die nicht auf der Falz liegen, verändern. Im zweiten Schritt falten wir dann das Stangenviereck entlang der anderen Diagonalen, so dass es wieder plan wird. Während des gesamten Prozesses bleiben die Diagonalen (oder besser, deren mögliche Richtungsvektoren) senkrecht zueinander. Diese Idee 5 ist schön einfach und macht deutlich, dass der Winkel zwischen den Diagonalen wohl immer ein rechter bleibt. Sie liefert ein Argument für diesen Sachverhalt, das uns einleuchtet, wenn auch zunächst die Frage offen bleibt: Kann ich je zwei mögliche Positionen eines Stangenvierecks auf diese Weise ineinander überführen? Versucht man den Beweis dieser Beobachtung mit Hilfe der Vektorrechnung zu führen, dann ergibt sich nach umfangreichen Rechnungen ein viel allgemeinerer Sachverhalt, der wohl nur schwerlich noch mit GeoGebra zu entdecken ist: Fassen wir die Diagonalen als Vektoren auf 5 Diese Idee verdanken wir Leon van den Broek.

17 8 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis (wobei wir sie orientieren müssen), dann nimmt das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren in jeder Position des Stangenvierecks denselben Wert an. Insbesondere wenn es für eine Position verschwindet, dann ist es in jeder Position gleich Null. Dazu notieren wir die vier Vektoren als v 1, v 2, v 3 und v 4 so, dass man das Viereck in dieser Reihenfolge durchlaufen kann: v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0. (1.1) Wir möchten nun beweisen, dass < v 1 + v 2, v 3 + v 2 >=< v 1, v 3 > + < v 1, v 2 > + < v 2, v 3 > + v 2 2 konstant ist und tun dies, indem wir bemerken, dass aus (1.1) folgt: v 4 2 = v v v (< v 1, v 2 > + < v 1, v 3 > + < v 2, v 3 >). Neben dem Spezialfall für orthogonale Diagonalen sehen wir also auch, dass wenn die Diagonalen eines Stangenvierecks in einem spitzen / stumpfen Winkel zueinander stehen, dies in jeder möglichen Position des Stangenvierecks der Fall ist. Das heißt, wir können den Sachverhalt, dass das Skalarprodukt der Diagonalen erhalten bleibt, innerhalb einer Theorie mit den in der Theorie geltenden Grundannahmen wie etwa in dem euklidischen Vektorraum ( R 2,<,> ) durch die Regeln der Logik zu einem Beweis führen. Das Skalarprodukt der Diagonalen ist eine Invariante des Stangenvierecks, die dazu beitragen kann, Stangenvierecke zu klassifizieren. Natürlich kann man sich auch fragen, ob eine ähnliche Aussage auch in anderen Theorien, wie etwa in höherdimensionalen euklidischen oder sogar Hilberträumen noch sinnvoll formulierbar ist und gegebenenfalls noch gilt (was wir analog zum obigen Beweis sogar bestätigen können). 1.2 Von Beispielen lernen Das Studium der Stangenvierecke erlaubt uns also viele verschiedene Perspektiven auf die dazugehörige Mathematik, die alle ihren eigenen Reiz und ihre Bedeutung haben. Viele dieser verschiedenen mathematischen Perspektiven können durch GeoGebra unterstützt werden. Bei der Entdeckung der Strukturen eines Stangenvierecks hat uns GeoGebra entscheidend weitergeholfen. Es hat zunächst unsere Experimentiermöglichkeiten erweitert, nachdem wir die Grenzen der Experimente bei den mechanischen Stangenvierecken erfahren haben. Gleichzeitig haben sich durch den Einsatz von GeoGebra neue mathematische Fragen gestellt, wie etwa die Frage nach einer robusten Konstruktion, d.h. einer Konstruktion, die nicht im Zugmodus zerfällt, wenn man eine Stange zu weit dreht. Dadurch wurde unsere Aufmerksamkeit natürlicherweise auf die Rolle der Diagonalen gelenkt. Gerade diese Erfahrung, dass wir ein Stangenviereck über seine Diagonalen konstruieren können, lag dann schließlich dem ersten unserer Beweise der Tatsache zugrunde, dass wenn einmal die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, sie dies in jeder Position tun. In diesem Beweis haben wir zunächst eine Diagonale des Stangenvierecks konstruiert und dann darauf eine Senkrechte errichtet, von der wir dann mit dem Satz des Pythagoras zeigen konnten, dass es sich um die andere Diagonale handelt. Hier sehen wir, wie GeoGebra als Katalysator für tieferes Verständnis wirken und zur mathematischen Entwicklung des Lernenden beitragen kann. Wir haben gesehen, wie die Untersuchung von Stangenvierecken

18 1.2 Von Beispielen lernen 9 mit GeoGebra uns zu höheren Einsichten bringt, für die wir dann schließlich dieses Werkzeug auch nicht mehr benötigen und den Computer wieder ausschalten können. Ein derartiger Lernprozess hängt natürlich stark von der Vorgeschichte des Lernenden, von der individuellen Motivation etc. ab. Unser vorrangiges Ziel ist zunächst die Entfaltung einer größeren Vielfalt von Perspektiven auf einen mathematischen Sachverhalt, die mal tief und mal schlicht und deren Erwerb mal einfach, mal spielerisch und mal mühsam sein kann. Dabei stellt sich die Frage, wie Vielfalt und Tiefe im mathematischen Können und Verstehen formuliert und wahrgenommen werden können. Die mathematische Qualität des jeweiligen Handelns, des Verständnisses und der Intuition muss angemessen beschreiben werden. In diesem Buch versuchen wir viele Beispiele dafür zu geben, wie Mathematik aus unterschiedlichen und ungewohnten Persektiven betrachtet und tiefer verstanden werden kann. Für den interessierten Leser sei in diesem Zusammenhang auf das Begriffssystem der mathematischen Bewusstheit 6 verwiesen (siehe [KK11]). Selbstverständlich kann ein Buch von begrenztem Umfang nicht flächendeckend für den gesamten Schulstoff Einsatzmöglichkeiten von GeoGebra aufzeigen. Die in diesem Buch vorgestellten Beispiele sollen aber zur Erreichung dieses ambitionierten Anspruchs, mit GeoGebra mehr Mathematik zu verstehen, beitragen. Dies kann bedeuten, dass bekannte und bewährte Unterrichtsinhalte neu betrachtet werden, es kann aber auch bedeuten, dass neue oder auch vergessene mathematische Inhalte Ausgangspunkt der Untersuchungen sind. Dahinter steht die Intention, die althergebrachte Auswahl der Unterrichtsinhalte kritisch zu überprüfen und darüber nachzudenken, ob angesichts der neuen Möglichkeiten von mathematischer Software wie GeoGebra nicht auch mathematische Begriffe und Zusammenhänge für den Unterricht geeignet sind, die momentan nicht zu den Standardthemen des Mathematikunterrichts gehören. In diesem Buch werden Wege gesucht, die angesprochenen neuen Möglichkeiten an ausgewählten Beispielen vorzustellen. Im Zentrum jedes der Kapitel steht daher ein Beispiel für einen nachvollziehbar sinnvollen Einsatz von GeoGebra. Mit Einsatz ist dabei nicht nur ein Applet, sondern auch der Rahmen und die Art und Weise dieses Einsatzes gemeint. Es wird ein wirkliches unterrichtliches Problem aufgeworfen, wie es sich den Lehrerinnen und Lehrern stellt oder stellen könnte. Dabei kommt GeoGebra mit seinen reichhaltigen Möglichkeiten zum Einsatz. Die Applets allein werden in der Regel noch nicht die Reflexion über den mathematischen Gegenstand des Applets gewährleisten. Wir fragen uns jeweils, wodurch diese Reflexion erreicht wird (Aufgabenstellung, Hinweise, Phänomene...). In dem Kapitel Erziehen mit GeoGebra erläutert Wolfgang Riemer, wie GeoGebra helfen kann, den Sinn exakter Konstruktionen und des Gebrauchs der Fachsprache für Schülerinnen und Schüler transparent zu machen. Dabei werden mit Hilfe von GeoGebra wieder alte Tugenden, wie das saubere Zeichnen, gefördert und in den Fokus des Mathematikunterrichts gestellt. Im Kapitel Umfängliches und Diametrales geht es um den Einsatz dynamischer Geometrie beim Aufstellen von Vermutungen und Lösen geometrischer Probleme. Ysette Weiss-Pidstrygach untersucht an ausgewählten Beispielen die im Werkzeug GeoGebra implementierten Möglichkeiten der Variation geometrischer Objekte, Positionen und Methoden und damit verbundene Problemlösestrategien. Unter anderem interessiert sie die Frage, inwieweit beim Einsatz von GeoGebra entwickelte Problemlösemethoden wie Variation und Perspektivwechsel in andere Kontexte und auf den Gebrauch anderer Werkzeuge übertragbar sind. 6 Das englische mathematical awareness wurde in [KK11] mit mathematisches Bewusstsein übersetzt.

19 10 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen geht es dann im Artikel von Reinhard Schmidt, der mit Lills Methode auf einen weitgehend unbekannten Zugang zur Lösung polynomialer Gleichungen hinweist und schon im Fall quadratischer Gleichungen interessante Schlüsse für den Unterricht daraus zieht. Stellt man bei GeoGebra ein allgemeines Polynom eines bestimmten Grades ein, so kann man für jeden der Koeffizienten einen Schieberegler verwenden. Falls wir nun die Position der Schieberegler willkürlich wählen, was ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die entsprechende Gleichung etwa zwei Nullstellen hat? Solchen Fragen geht Oliver Labs in seinem Kapitel nach und zeigt uns dabei u.a. ansprechende Visualisierungen von Diskriminante und Nullstellen von Polynomen. Eine kluge und in der Umsetzung sehr praktikable Möglichkeit, durch Experiment und Simulation in die beurteilende Statistik einzuführen, bietet das Kapitel Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen von Wolfgang Riemer und Günter Seebach. Der Einsatz von Geo- Gebra vermag die stochastischen Überlegungen ausgezeichnet zu veranschaulichen. Günter Seebach untersucht in seinem Kapitel Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken - nicht nur für Polynome den Einfluss der Koeffizienten eines Polynoms auf dessen lokales Verhalten um den Nullpunkt, um dann daraus spannende Folgerungen zur Differentialrechnung zunächst bei Polynomen und dann bei beliebigen differenzierbaren Funktionen abzuleiten. Auch Die Eulersche Zahl offenbart mehr von ihren Geheimnissen durch geeigneten Einsatz von Programmen wie GeoGebra, wie uns Maria Nelles eindrucksvoll in ihrem Artikel vormacht. Das Studium der Iteration einer Funktion scheint schon immer auf Software gewartet zu haben, die Algebra und Geometrie miteinander in Beziehung setzt. Hier können imposante Veranschaulichungen betrachtet und spannende Experimente durchgeführt werden. Virtuos setzt Horst Bennemann GeoGebra ein, um das Ausmaß des Chaos in einem Iterationsprozess mit einer einzigen Zahl zu messen. Funktionen kann man nicht sehen findet Rainer Kaenders und überzeugt uns von dieser Behauptung, indem er alternative Bilder bekannter Funktionen durch Nomogramme und Höhenlinien zeigt, die neben der Darstellung mit Hilfe eines Graphen im kartesischen Koordinatensystem verwendet werden können und die Aufmerksamkeit auf ganz andere Eigenschaften und Aspekte von Funktionen lenken, die bei klassischen Darstellungsformen zu kurz kommen. Alle Kapitel sollen dazu beitragen, durch Reflexion zu einem tieferen Verständnis von Mathematik beizutragen. Reflektieren heißt einen Standpunkt einnehmen und aus dieser Position das Geschehen beobachten. Was führt dazu, dass Schüler beginnen zu reflektieren? Zum Beispiel können scheinbare Widersprüche (ein kognitiver Konflikt oder eine kognitive Dissonanz) angesprochen werden oder alte Fragen in neue Kontexte gesetzt werden. Welcher explizite Standpunkt wird eingenommen, welche Rolle spielt GeoGebra? Bietet sich ein Perspektivwechsel an, d.h. unter welchen anderen Perspektiven (mit oder ohne GeoGebra) könnte das Problem betrachtet werden? Selbstverständlich sind die Experimente, Visualisierungen und Entdeckungen, die durch die GeoGebra-Applets ermöglicht werden, von zentraler Bedeutung für die Gedankengänge der einzelnen Kapitel, und der Leser ist herzlich eingeladen, selbst mit den Applets zu experimentieren. Alle in diesem Buch angesprochenen Applets können auf der Internetseite des GeoGebra- Instituts KölnBonn betrachtet, erprobt und heruntergeladen werden:

20 Literatur 11 Literatur [BM56] BLASCHKE, W., MÜLLER, H. R. (1956). Ebene Kinematik. Verlag von R. Oldenbourg, München. [Eng71] ENGEL, A. (1971). Geometrical Activities for the Upper Elementary School. Educational Studies in Mathematics 3, [Hal61] HALL, A. S. (1961). Kinematics an Linkage Design, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.. [Hoh11] HOHENWARTER, M.: Kostenlose Mathematik-Software für Schule, Uni und daheim, Universität Linz, [Kae06] KAENDERS, R. H. (2006). Kräne und Lemniskaten, Beiträge zum Mathematikunterricht, GDM Tagung, Osnabrück. [Kae09] KAENDERS, R. H. (2009). Begeisterung für Mathematik. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5de serie, deel 9, nr.3., [KK11] KAENDERS, R.H.& KVASZ, L. (2011). Mathematisches Bewusstsein. In: Helmerich, M., Lengnink, K., Nickel, G., Rathgeb, M. (Hrsg.) Mathematik verstehen - philosophische und didaktische Perspektiven, Vieweg.

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22 2 Erziehen im Mathematikunterricht Mit GeoGebra zu den klassischen Tugenden der Elementargeometrie: Konstruieren statt Fummeln exakt beschreiben sauber zeichnen Wolfgang Riemer Warum betreiben wir Geometrie? Noch bevor es ab Klasse 8 um Aspekte des Beweisens geht, spielt in den Klassen 6 und 7 die Entwicklung einer positiven Einstellung zu planvollem Vorgehen beim Konstruieren von Zeichnungen eine zentrale Rolle. Dazu kommt bei der Anfertigung von Konstruktionsbeschreibungen die Förderung der Fachsprache und eine bewusste (!) Abgrenzung von der Umgangssprache. Trotz einer gehörigen Portion Enthusiasmus waren wir mit den Ergebnissen unserer klassischen Bemühungen oft nicht zufrieden und begannen mit GeoGebra zu experimentieren Probieren versus Konstruieren Beispiel 2.1 Die 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass ein Kreis mit Radius 3 cm aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3 cm entfernt sind. Nun sollen die Kinder einen Punkt zeichnen ( konstruieren ), der von A(1;3) genau 7 cm und von B(4;1) genau 5 cm entfernt ist. Mustafa kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet er Ihnen voller Stolz in seinem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind in Mustafas Heft weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze. Er hat gefummelt probiert, nicht konstruiert. Sie haben schlechte Karten, wenn Sie Mustafa davon überzeugen wollen, dass sein höchst präzises Zeichenprodukt Ihrem Erwartungshorizont konstruieren nicht entspricht. Aber woher soll Mustafa wissen, was Sie unter konstruieren verstehen? Hätten Sie die Verwendung des Zirkels in der Aufgabenstellung fordern müssen? Aber dann wäre ja schon alles verraten gewesen, Mustafa sollte selber auf die Verwendung des Zirkels kommen, kam er aber nicht, bei ihm ging es durch Fummeln auch so! Der Mathematikdidaktiker Van Hiele hat eine Stufentheorie für die Sprache in der Geometrie entwickelt (siehe [Hie86]). Aus Sicht dieser Van Hiele schen Theorie sind für dieses Kommunikationsproblem zwischen Mustafa und Ihnen verschiedene Stufen der Entwicklung geometrischer Begriffe verantwortlich. Mustafa argumentiert auf der visuell-intuitiven Stufe 0 des anschauungsgebundenen Denkens, die in der Begriffsentwicklung nicht übersprungen werden kann: Er denkt an seine konkrete Figur in seinem Heft, die er mit seinem Stift gezeichnet hat. Sie argumentieren auf der beschreibenden Stufe 1 oder gar auf der informell-deduktiven Stufe 2. Aber anstelle eines Vortrages über das Konstruktionen lassen Sie Mustafa und die anderen Schüler der 6a ihre Zeichnungen mit GeoGebra ausführen (Abb. 2.1a). Wieder präsentiert Mustafa seine Lösung voller Stolz... aber statt selber nachzumessen, erhöhen Sie die Anzahl der Nachkommastellen (Abb. 2.1b) und Mustafa hat mit seiner Probierlösung keine Chance mehr. Das Fummeln wird zu einem Stunden füllenden Programm, und R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _2, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

23 14 2 Erziehen im Mathematikunterricht (a) Einstellung auf eine Nachkommastelle (b) Einstellung auf zwei Nachkommastellen Abbildung 2.1: Gesucht wird ein Punkt C, der von A 7 cm und von B 5 cm entfernt ist. immer, wenn man es mit der Maus geschafft hat, den Abstand d(a,c) auf 7,000 einzustellen, verrutscht der Abstand d(b,c) auf einen Wert, der von 3,000 verschieden ist. Erst die Verwendung zweier Kreise (Abb. 2.2) führt zum Erfolg. Für Schüler ist das Argument, dass man durch Probieren nur ungenaue Zeichnungen erhält, überzeugender als die Tatsache, dass saubere Konstruktionen Ergebnisse liefern, die gegenüber dem Ziehen an den Ausgangspunkten invariant sind. Ziehen an den Ausgangspunkten ist unfair, weil die Ausgangspunkte auf dem Papier ja auch fest sind. Beispiel 2.2 Wenn man nach der Entdeckung des gleichseitigen Dreiecks mit seinen 60 o -Winkeln im Sinne einer offenen Aufgabenstellung die Zeichnung eines regelmäßigen Sechsecks in Auftrag gibt (... und als Lehrer dabei insgeheim auf die Zirkelkonstruktion 2.3c hofft...), sind immer auch Fummelkonstruktionen (Abb. 2.3a und b) dabei. Abbildung 2.2: Eine Konstruktion erfüllt auch bei vier Nachkommastellen die geforderten Vorgaben.

24 2.2 Konstruktionen beschreiben 15 (a) Ein regelmäßiges Sechseck (b)... wird durch Erhöhen der Nachkommastellen als Fummelprodukt entlavt. (c) Zirkelkonstruktion, die wenn man sie auf dem Papier ausführt nach einer Begründung dafür schreit dass man nach 5 Schritten genau beim ersten Punkt landen muss. Abbildung 2.3: Zur Konstruktion von Sechsecken 2.2 Konstruktionen beschreiben Neben der aus der Perspektive eins Schülers beliebig hohen Genauigkeit ist es das während des Zeichnens erstellte Konstruktionsprotokoll, das GeoGebra didaktisch auszeichnet. Durch Analyse des Protokolls lernt man, ausgeführte Konstruktionsschritte formal sauber zu beschreiben, also Umgangs- und Fachsprache voneinander abzugrenzen und Fachsprache bewusst einzusetzen. Wer solche Konstruktionen schon einmal unterrichtet und Klassenarbeiten korrigiert hat, weiß mit welchem Widerwillen Schüler durchgeführte Konstruktionen beschreiben und welche Welten zwischen Schülerprodukten und fachsprachlich akzeptablen Lösungen liegen. Was gemeint ist, soll am Beispiel einer einfachen Dreieckskonstruktion erläutert werden: Beispiel 2.3 Dreieckskonstruktion SSW k (zwei Seiten und der Winkel, der der kürzeren Seite gegenüberliegt.) Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 25, a = 2,5 cm, c = 5 cm Fertige eine Planskizze an. Beschreibe die Konstruktion

25 16 2 Erziehen im Mathematikunterricht Abbildung 2.4: Planskizze Sandras Konstruktionsbeschreibung (Umgangssprache) Ich ziehe einen 6 cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSW k -Konstruktion erfüllen. Musterlösung (Fachsprache) 1. Zeichen eine Strecke c =[A;B] der Länge 6 cm. 2. Zeichne einen beliebigen Punkt B so, dass der Winkel α = (B;A;B ) die Größe 25 hat. 3. Bezeichne den Strahl [A;B ) mit b. 4. Zeichne um B einen Kreis k mit Radius 3,5 cm. 5. k und b haben zwei Schnittpunkte, die mit C 1 und C 2 bezeichnet werden. 6. Die Dreiecke ABC 1 und ABC 2 sind die gewünschten Dreiecke. Abbildung 2.5: Konstrukion mit Protokoll in GeoGebra

26 2.3 Erziehen zu sauberem Zeichnen 17 Der unterrichtspraktische Nutzen automatisch erzeugter Konstruktionsprotokolle lässt sich wie folgt umreißen: 1. Konstruktionsprotokolle sind kurz und normiert: Der Befehlsvorrat ist klar abgegrenzt, übersichtlich und leicht sachgerecht einzusetzen. 2. Formulierungen hängen nicht von stilistischen Präferenzen ab. (Statt an die Strecke [A;B] im Punkt A einen Winkel α mit freiem Schenkel b anzutragen, dreht man B um A... etc.) 3. Probierschritte in Konstruktionen (vgl. Abschnitt 2.1) werden als solche entlarvt, denn sie hinterlassen in der Protokoll-Spalte Befehl keine Spuren. 4. Man erlernt das Beschreiben von Konstruktionen handlungsorientiert durch das Konstruieren und Nachschauen im Protokoll. Eigene Beschreibungen lassen sich selbsttätig kontrollieren. Das ist eine sehr praktikable und effektive Ergänzung zur Korrektur von Protokollbeschreibungen in Plenum, in Partnerarbeit oder durch den Lehrer im Heft. 5. Die präzise Beschreibung von Winkeln durch drei Punkte (z. B. α = (B;A;B ), drehe B um A auf B ) braucht erfahrungsgemäß viel Übung. Der durch den Einsatz von Geogebra erzielte Trainingseffekt ist wertvoll. In der Praxis selbst verfasster Konstruktionsbeschreibungen empfiehlt sich auch in Klassenarbeiten, in denen man aus guten Gründen nach wie vor mit Papier und Bleistift arbeitet eine Beschränkung auf die Protokollspalten Name und Befehl, wobei die Werte bei Streckenlängen und Winkeln ergänzt werden. 2.3 Erziehen zu sauberem Zeichnen Trotz der weiten Verbreitung von Geometrieprogrammen scheint es bis heute nicht wünschenswert, auf Bleistift, Zirkel und Lineal zu verzichten. Das lann man aus Sicht der Van-Hiele schen Stufentheorie begründen: Van-Hiele strebe an, möglichst schnell sogar schon in der Grundschule einen hohen Grad an Abstraktion zu erreichen. Dazu muss man gerade die visuellintuitive und die beschreibende Stufe ernst genommen und durchlebt werden müssen. Auch wenn es paradox erscheinen mag, sind gerade praktische Übungen mit Zeichnen und Beschreiben umso wichtiger, je eher man auch abstrakt mit den Kindern arbeiten möchte. Die Entwicklung einer Sensibilität für Exaktheit beim Zeichnen (ebenso wie für eine saubere Heftführung und eine lesbare Handschrift) gehört daher zu den unverzichtbaren Erziehungszielen im Mathematikunterricht. Mathelehrer mit pädagogischem Ethos heften auch im Smartboard-Zeitalter ein Stückchen Schmirgelpapier an die Seitentafel, um für gut geschärfte Zirkelspitzen (Abb. 2.6b) zu sorgen. In der Tat ist es immer wieder ein Erlebnis zu sehen, wie sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks auf dem Papier in einem kleinen Dreieck schneiden. Das sorgt für viel mehr Aufmerksamkeit (Faszination, Beweisbedürfnis), als wenn sie sich ganz genau in einem Pixel des Computerbildschirmes schneiden! Aber warum sollte man Zeichenprogramme nicht nutzen, um die Präzision händischen Zeichnens zu überprüfen? Wenn man z. B. eine motivierende Schatzsuche als Wettkampfaufgabe formuliert und anschließend dem Computer die Rolle einer Jury zubilligt, sind äußerst motivierende Geometrie-Stunden garantiert, in denen mit hoher Präzision händisch um die Wette

27 18 2 Erziehen im Mathematikunterricht (a) Gezeichnet wird mit Bleistift, dessen Spitze man immer vom Lineal weg führt (links) und nie in das Lineal hineindrückt (rechts). (b) Zirkelminen schärfen Profis mit Schleifpapier (flach angeschrägt, nicht rund) Abbildung 2.6: Sauberes Zeichnen konstruiert wird. Die Schatzsuche aus Abb. 2.7 ist als Anregung gedacht. Hier treten die Schüler als kleine Teams gegeneinander an. Auf Goldsuche im Wilden Westen Vor langer Zeit erbeuteten die Bonitos bei einem Überfall auf eine Postkutsche eine Kiste mit Gold. Nachdem die Bonitos bei einer Schießerei ums Leben kamen, blieb das Gold verschollen. Man fand aber eine Beschreibung und einen Plan, auf der die Bahnlinie von Sweetwater nach Santacroce sowie die Orte Redrock und Blackstone verzeichnet sind. Abbildung 2.7: Schatzkarte GeoGebra kann im Maßstab 1:1 drucken.

28 2.3 Erziehen zu sauberem Zeichnen 19 Ein cm auf der Karte entspricht in der Wirklichkeit einem km (Maßstab 1: ). Zur Kontrolle: Redrock und Blackstone sind 3 Kilometer voneinander entfernt. Wegbeschreibung Zwei Kilometer (irgendwo nördlich) von Blackstone und drei Kilometer von Redrock entfernt steht ein Galgen. Von diesem Galgen aus sieht man am Horizont die Bahnstationen Sweetwater und Santacroce. Peile nun von diesem Galgen aus eine Richtung so an, dass Sweetwater genauso viele Grad links wie Santacroce rechts erscheint. Genau in diese Richtung gehst du 5 Kilometer. Du erreichst die (inzwischen verfallene) Ponderosa-Ranch. Nun gehst du 10,5 Kilometer genau nach Osten. Dort lag früher einmal die Bärenhütte. Berate dich mit deinem Nachbarn, wenn du nicht mehr weißt, wo Osten liegt. Da du vor einem Sumpfgebiet stehst, musst du einen Umweg machen: Gehe 2 Kilometer nach Süden, 3 Kilometer nach Osten, dann 5,4 Kilometer nach Norden. Hier ist die alte Goldmine. Wenn sie mehr als 18,3 Kilometer von Sweetwater entfernt ist, findet man hier noch einzelne Nuggets. Hast du eine Chance? Nun gehe auf kürzestem Wege auf die Bahnlinie Sweetwater-Santacroce zu. Wenn du ganz genau gezeichnet hast, liegt das Gold unter der Bahnschwelle vergraben. Wie weit ist deine Bahnschwelle von Sweetwater entfernt? Nach meiner Zeichnung ist die Entfernung zwischen der Bahnschwelle und Sweetwater Das Team, das dem Schatz nach intensivem Denken und genauem Zeichnen am nächsten kommt, erhält die Schürfrechte. Ihr habt 10 Minuten Zeit. Wer nicht fertig wird, muss schätzen. Los geht s. Die Abbildung 2.8 zeigt die Konstruktion der exakten Lösung mit GeoGebra: der Schatz liegt 15,777 km von Sweetwater entfernt. km. Abbildung 2.8: Exakte Konstruktion mit GeoGebra.

29 20 2 Erziehen im Mathematikunterricht Und in Abb. 2.9 sieht man die händisch konstruierten Lösungen von 11 sauber zeichnenden Mathelehrern. Die Spannweite beträgt 16,03 km 15,56 km = 0,460 km! Immerhin liegt der wahre Wert in der Box des zugehörigen Plots. (a) Grafische Darstellung (b) Tabelle Abbildung 2.9: Untersuchung der Messfehler von 11 Mathelehrern Es ist unschwer nachzuvollziehen, dass die statistische Untersuchung der Ungenauigkeiten bei Lehrern wie bei Schülern auf noch größeres Interesse stößt als die Konstruktion des exakten Ergebnisses mit GeoGebra, weil sie mit subjektiven Gefühlen und Spannung verbunden ist: Wo liege ich mit meinem Ergebnis im Vergleich zu den anderen? 2.4 Resümee Würde man Papier und Bleistift einer Medieneuphorie folgend unreflektiert durch Bildschirm und Maus ersetzen, ginge trotz begeisterter Schülerblicke vieles vom allgemeinbildenden Kern der Schulgeometrie zwischen den Pixeln verloren. Das ist unter Lehrern unbestritten. Wie hier an den drei Beispielen (Zeichenungenauigkeit, Konstruieren und fachsprachliches Beschreiben) ausgeführt wurde, bietet ein Perspektivwechsel, ein frühes digitales Nachdenken über händisches Tun faszinierende Möglichkeiten gedanklicher Vertiefung und bisher noch wenig ausgetretene Pfade zu einer höheren mathematischen Bewusstheit. Literatur [Hie86] VAN HIELE, P. M. (1986). Structure and Insight. Orlando, Academic Press.

30 3 Umfängliches und Diametrales Ysette Weiss-Pidstrygach GeoGebra kann bei verschiedenen mathematischen Tätigkeiten mittels seiner unterschiedlichen Funktionalitäten erfolgreich als Werkzeug genutzt werden. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Einsatz dynamischer Geometrie. Unter anderem gehen wir der Frage nach, inwieweit dabei entwickelte Herangehensweisen und Heuristiken in andere Kontexte und auf den Gebrauch anderer Werkzeuge übertragbar sind. Konstruieren und Lösen geometrischer Probleme mithilfe dynamischer Geometrie unterscheidet sich in vieler Hinsicht vom traditionellen Konstruieren mit Zirkel und Lineal und darauf basierenden Problemlösestrategien Zugmodus und die Erstellung von Schiebereglern erlauben kontinuierliches Variieren der Position, der Größe und der Form mathematischer Objekte. Das Zeichnen von Ortskurven und Spuren ermöglicht die gleichzeitige, vergleichende Betrachtung aller Variationen. Unterschiedliche, voneinander nicht unabhängige Werkzeuge bieten oft mehrere Wege der Erzeugung und Konstruktion geometrischer Objekte (z.b. senkrechte Gerade, Mittelsenkrechte, konstruierte Mittelsenkrechte, Diagonale eines regelmäßigen Vierecks, Parallele zur Koordinatenachse...). Auf verschiedene Weise konstruierte Objekte sind durch unterschiedliche Hilfslinien, also auch unterschiedliche Zeichnungen dargestellt. Der dadurch entstehende größere Vorrat an Mustern und Visualisierungen von Zusammenhängen ermöglicht verschiedene Lösungsansätze, kann aber auch die Wiedererkennung von Grundkonstruktionen erschweren. Variation als Problemlösemethode setzt ein zumindest intuitives Verständnis der gesuchten invarianten Zusammenhänge voraus. Dabei kann exploratives Nachmessen sowohl algebraische Strategien (Aufstellen von Gleichungen, Berechnungen...) als auch konstruktive geometrische Ansätze unterstützen. In den ersten beiden Abschnitten betrachten wir anhand konkreter geometrischer Probleme unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades wie Geogebra Variation von Objekten und Methoden und Variation als Problemlösemethode unterstützt. Im dritten Abschnitt werden einige sich in den Lösungsansätzen wiederholende Strategien, wie Rückwärtsarbeiten und Einzeichnen von Hilfslinien systematisiert. Anhand konkreter geometrischer Probleme vergleichen und analysieren wir verschiedene Tätigkeiten mit dem Werkzeug GeoGebra unter folgenden Aspekten: Motivation und Möglichkeiten des Perspektivwechsels, Entwicklung und Training heuristischer Strategien beim Gebrauch von GeoGebra, Unterstützung des Bedürfnisses zum Vermuten, zu Fragen und zum Verbalisieren der Neugier. R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _3, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

31 22 3 Umfängliches und Diametrales Variation und Erhaltungsgrößen Dynamische Geometrie kann das Aufstellen von Vermutungen unterstützen. In den meisten Lehrbüchern findet man hinreichend Beispiele, in denen Schüler aufgefordert sind, eine Konstruktion nach Anleitung (meist Skizze) auszuführen, Größen bestimmter Objekte nachzumessen, die Objekte dynamisch zu verändern, wieder nachzumessen und zu vergleichen. Kanonische Arbeitsaufträge sind: Verändere die Position! Vergleiche die Werte! Formuliere Deine Beobachtungen! Stelle Vermutungen auf! Beispiel 1 Zeichne eine Strecke AB und einen Kreis, der die Strecke AB als Durchmesser hat, erzeuge dann einen Punkt C auf diesem Kreis. Lasse den Innenwinkel γ des Dreiecks messen und bewege den Punkt C. Was stellst Du fest? Formuliere eine Vermutung und versuche diese zu beweisen. Elemente der Mathematik, Jahrgang 7, S.116, Aufgabe 6 Die Aufforderung des Beweisens der Vermutung beruht nicht wie die ersten Arbeitsaufträge auf einer klaren, schrittweisen Instruktion, wir untersuchen diese Aufforderung im Anschluss. Bezeichnen wir die hier geforderten Tätigkeiten mit Experimentaufbau, Experimentdurchführung, Datenerfassung, Datenanalyse, Datendarstellung, so wird die Nähe zum naturwissenschaftlichen Experiment offensichtlich. Um die Übertragbarkeit der dabei geübten Herangehensweisen und Strategien in andere Kontexte zu erhöhen, bietet sich die Verbindung mit einem realen Kontext an: Beispiel 2 Die Schüler bilden auf dem Schulhof einen Kreis (ein Schüler ist der Mittelpunkt, ein anderer oder zwei aneinandergereihte Schüler bilden mit ausgestreckten Armen den Radius und platzieren die Mitschüler. Einer der Schüler kann sich einen Durchmesserpartner wählen, indem er den Schüler wählt, der aus seiner Sicht vom Mittelpunkt verdeckt wird.

32 23 Um zu verstehen unter welchem Winkel die Schüler die beiden Durchmesserpartner sehen, richten sie die Schuhe nach den beiden Enden des Durchmessers aus: Alle anderen Schüler stehen in Clownsposition. ([Kram08]) Die Verwendung von dynamischer Geometrie kann nun zur Überprüfung der folgenden im Gruppenexperiment gewonnenen Vermutung genutzt werden: Die Schuhe bildeten etwa den gleichen Winkel und dieser scheint ein rechter Winkel zu sein. Dabei werden reale Situationen in die Sprache der Geometrie übertragen, der Aufbau des Experiments in eine Konstruktion übersetzt, die diskrete Messreihe durch die dynamisch erzeugte Messung aller Werte vervollständigt, die beobachteten Gesetzmäßigkeiten und Vermutungen in die Sprache der Geometrie als Zusammenhang geometrischer Objekte übertragen. Dynamische Geometrie kann (wie im ersten Beispiel) als bedeutend bequemeres und genaueres Werkzeug zur Bestätigung einer aus Messreihen offensichtlich hervorgehenden Erhaltungsgröße genutzt werden. Da aber durch diese Art Arbeitsauftrag sowohl die schon idealisierte Situation als auch die Variation (Bewegung des Punktes C entlang einer Kurve) vorgegeben sind, werden Strategien zum übertragen und Verallgemeinern der Gesetzmäßigkeiten kaum entwickelt. Oft ist beim Experiment die Realsituation bzgl. möglicher Verallgemeinerungen inspirierender. In unserem Beispiel führt die gemeinsame Ausrichtung der Schuhe auf zwei zueinander nicht diagonale Mitschüler (Sehnenendpunkte) im Schulhofexperiment zu einer Darstellung des Satzes vom Umfangswinkel. Die im Beispiel 1 in Auftrag gegebene bequeme und genaue dynamische Messung spart Zeit, ist aber auch weniger einprägsam als das Schulhofexperiment. Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal und demzufolge statischer Wahl der Positionen des Umfangswinkels ist auch die Motivation gegeben darüber nachzudenken, ob man mit einer Messung die Größe mehrerer Winkel ermitteln kann. Aus pragmatischen Gründen kann in solchen Situationen Symmetrie als heuristische Strategie entdeckt werden.

33 24 3 Umfängliches und Diametrales Beispiel 3 Ein Fußballspieler läuft auf einer Geraden auf das Tor zu. In welchem Moment muss er schießen, damit er das Tor unter dem größtmöglichen Winkel sieht? In diesem Beispiel wird von einer Realsituation ausgegangen und der dynamisch gesetzte Punkt zum Erzeugen einer Messreihe genutzt. Die Position des maximalen Schusswinkels kann durch die Messung für eine konkrete Gerade gefunden werden, die Variation der dynamischen Geraden in der Ebene gibt jedoch kaum Aufschlüsse über eine allgemeine Gesetzmäßigkeit bzgl. des größten Abschusswinkels für alle Geraden. Auch das (relativ aufwendige) Realexperiment würde in dieser Situation keinen neuen Beitrag zur Lösung des Problems liefern. Wir können nicht unmittelbar eine Bewegung der Geraden finden, bei welcher der größte Winkel erhalten bleibt. Um das Werkzeug Dynamische Geometrie trotzdem zu nutzen, kann die Frage umformuliert werden. Wir suchen nicht nach der Position des größten Winkels, sondern fragen: Aus welchen Positionen hat der Schütze den gleichen Schusswinkel? Das Experiment zeigt, auf jeder Geraden gibt es bis auf die gesuchte Abschussposition zwei Punkte mit gleichem Abschusswinkel. Betrachtet man die Positionen auf dem ganzen Fußballfeld so liegen alle Punkte mit gleichem Schusswinkel auf einem Umkreis des Tors. Letzterer kann auch durch das Experimentieren mit dem Werkzeug Spur gefunden werden. Unser mathematisches Objekt bestehend aus einem Punkt auf einer Geraden und einer Strecke (Tor), wird damit um den Umkreis des von den Eckpunkten des Tors und dem Spieler gebildeten Dreiecks reicher. Die dynamische Bewegung zeigt, dass der Winkel am größten ist, wenn der Umkreis tangential zur Geraden ist. Für die Berechnung oder Konstruktion der gesuchten Abschussposition benötigt man jedoch komplexere geometrische Werkzeuge, z.b. den Sekanten-Tangenten-Satz und den Höhensatz. Um den Punkt zu konstruieren, arbeiten wir rückwärts ([Pol95], S. 45 ). Wir nehmen an, dass wir den Berührungspunkt zwischen der Geraden und dem berührenden Kreis schon gefunden haben. Wir machen eine Skizze der Lösung und analysieren sie nach brauchbaren Werkzeugen.

34 25 Wir legen eine Gerade durch die Endpunkte des Tors und erhalten einen Schnittpunkt S mit der Geraden. Wenn wir den Kreis schon als konstruiert voraussetzen, befinden wir uns in der folgenden geometrischen Situation: Aus einem gegebenen Punkt S sind die Tangente und eine Sekante an einen Kreis gegeben. Damit kann das Werkzeug Sekanten-Tangenten-Satz angewendet werden, danach ist in den Bezeichnungen der Skizze (p + q)p = t. Mit anderen Worten, der gesuchte Abstand von S zum Abschusspunkt T ist durch (p + q)p zu berechnen. Eine Konstruktion von T ohne Verwendung der Berechnung kann mithilfe folgender Mustererkennung erfolgen: Die Identität (p + q)p = t stellt algebraisch auch Zusammenhänge zwischen den Hypotenusenabschnitten und der Kathete im rechtwinkligen Dreieck dar. Mit anderen Worten, (p + q)p = t ist die algebraische Beschreibung des Kathetensatzes. Um das Werkzeug Kathetensatz zu nutzen, müssen wir durch Hilfslinien das entsprechende rechtwinklige Dreieck erzeugen. Die Hilfslinie ist der Thaleskreis mit Radius p+q 2.Die Position mit dem maximalen Abschusswinkel kann man nun auf der Geraden durch Abtragen der gefundenen Länge t finden. Die Verwendung des Sekanten-Tangenten-Satzes für die Konstruktion ist auf den ersten Blick nicht einfach nachzuvollziehen. Ebenso ist es nicht wirklich intuitiv, für die Ermittlung des Abstands den Kathetensatz heranzuziehen, da er aus dem Unterricht eher als eine Aussage über den Zusammenhang von Flächen bekannt ist. Die Argumente werden erst durch das Einzeichnen von Hilfsgeraden, Hilfskreisen und der Nutzung ausgezeichneter Punkte wie Schnitt- und Mittelpunkte, plausibel.

35 26 3 Umfängliches und Diametrales Auch der letzte Arbeitsauftrag des ersten Beispiels versuche die Vermutung zu beweisen, hat das Einzeichnen einer Hilfslinie zum Ziel. Wie die Beispiele zeigen, ist die Nutzung Dynamischer Geometrie zum Entdecken von Zusammenhängen und Erhaltungsgrößen auf sehr unterschiedlichem Niveau möglich- vom instruierten Experiment, über selbstständiges Entwerfen von Experimenten zum Finden von Erhaltungsgrößen und Zusammenhängen bis zum Übertragen und Darstellen von Zusammenhängen mithilfe von Hilfslinien. Oft sind es nachzuzeichnende aber nicht nachvollziehbare Hilfslinien, die dem ungeübten Schüler Geometrieaufgaben als ungewöhnlich schwierig erscheinen lassen. Dynamische Geometrie unterstützt den reflektierten Umgang mit bestimmten ausgezeichneten Punkten, indem diese für den Gebrauch erst zu Schnittpunkten gemacht werden müssen. Die Intuition für das Einzeichnen hilfreicher Linien wird durch das Lösen anderer Problemstellungen und noch wichtiger durch das Reflektieren über die Lösungswege entwickelt. 3.1 Konstruktion und algebraische Berechnung Wie die letzte Aufgabe zeigt, sind Konstruktionsprobleme oft komplex und vielseitig und im Unterschied zu algebraischen Lösungen weniger auf Algorithmen oder Lösungsschemata zurückzuführen. Trotzdem gibt es allgemeine Strategien, die in vielen Situationen Hilfestellungen geben können. Für die erfolgreiche Lösung des dritten Beispiels spielte der Wechsel zwischen konstruierten Darstellungen und algebraischen Beschreibungen durch Gleichungen eine wichtige Rolle. Wir illustrieren dieses Wechselspiel an zwei weiteren geometrischen Problemen. Im ersten Fall ist es nicht schwer, das Objekt zu konstruieren. Für die Berechnung kann man verschiedene Variationen eines mathematischen Werkzeugs- den Satz vom Umfangswinkel- verwenden. Im anderen Fall sind die Berechnungen einfach, die Konstruktion ohne Nutzung der berechneten Größen jedoch nicht offensichtlich. Für die verschiedenen Konstruktionen kommen bei diesem Problem sehr unterschiedliche Werkzeuge zum Einsatz. Wir untersuchen, welche Zugänge naheliegender bzgl. Vorerfahrungen aus der Schulmathematik und Gebrauch von GeoGebra sind. Beispiel 4 Das nebenstehende Bild zeigt zwei sich berührende Halbkreise, deren Durchmesser parallele Sehnen eines Kreises sind. Problemstellung: Stelle Vermutungen auf, welcher Zusammenhang dargestellt sein könnte! Das Bild ist durch zwei Halbkreise und einen Kreis gebildet. Sämtliche Vermutungen werden also mögliche Zusammenhänge zwischen den Radien dieser Kreise oder davon abhängige Größen betreffen.

36 3.1 Konstruktion und algebraische Berechnung 27 Um Vermutungen zum Verhältnis der Radien aufzustellen, kann man versuchen, das Bild mit GeoGebra dynamisch zu konstruieren und die Radien und ihre Verhältnisse zu messen. Konstruktion: Die Konstruktion beginnt mit der Zeichnung eines Kreises K mit dynamischen Radius k und Mittelpunkt O und dem Setzen zweier dynamischer Punkte A und B auf dem Bogen von K. Die Punkte A und B bilden die Eckpunkte der Sehne AB und den Durchmesser eines Kreises M mit Radius m. Wir bezeichnen den zu konstruierenden anderen Kreis (bzw. Halbkreis) mit N, sein Radius sei n. Das konstruierte mathematische Objekt ist spiegelsymmetrisch, daher ist das Einzeichnen der Symmetrieachse als Hilfslinie naheliegend und motiviert. Der Schnittpunkt der Symmetrieachse mit dem Kreisbogen ist ein ausgezeichneter Punkt und sollte deshalb durch das Werkzeug Schnittpunkt handhabbar gemacht werden, wir bezeichnen den Punkt mit C. Offensichtlich ist C auch der Berührungspunkt der beiden Halbkreise. Die verbindenden Hilfslinien AC und BC bilden ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreiecks ABC. Verlängern wir die Strecken AC und BC über C hinaus, schneiden sie den Kreis K in zwei Punkten, die wir mit D und E bezeichnen wollen. Verbinden wir wieder ausgezeichnete Punkte und Schnittpunkte mit den Symmetrieachsen, so erhalten wir ein Dreieck DEC, welches ähnlich zum Dreieck ABC ist. Der Thaleskreis um DEC gibt den gesuchten Halbkreis N. Für die Konstruktion verwendeten wir als Werkzeug Symmetrie. Da wir das Objekt mit GeoGebra konstruiert haben, können wir die Messwerkzeuge des Programms nutzen, um die Zusammenhänge zwischen den drei Radien zu verstehen. Das Nachmessen der Radien führt zu der Vermutung m 2 + n 2 = k 2. Mit anderen Worten: Die Flächeninhalte

37 28 3 Umfängliches und Diametrales der beiden kleineren Halbkreise sind gleich dem Flächeninhalt der Hälfte des großen Kreises. Ein anderer Weg zum Aufstellen einer Vermutung bzgl. der Zusammenhänge der Radien der Kreise wäre die Betrachtung einer besonders einfachen symmetrischen Situation, z.b. n = m. Letzteres kann durch Verwendung des Zugmodus bzgl. der dynamisch gegebenen Sehne AB unterstützt werden. Intuitiv könnte man glauben, dass schon durch die Konstruktion die Verhältnisse der Radien verstanden sind. Der Nachweis der Vermutung ist jedoch nicht so offensichtlich wie die Konstruktion und benutzt mehr als Symmetrieargumente. Die Vermutung m 2 + n 2 = k 2 weist darauf hin, dass es sich um Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck handelt. Nach Konstruktion bilden AC und CDeinen rechten Winkel und erfüllen mit der Hypotenuse AD die Gleichheit AC 2 + CD 2 = AD 2. Außerdem ist nach Pythagoras in den entsprechenden gleichschenkligen Dreiecken AC = 2 m und CD = 2 n Wenn wir nachweisen, dass auch die Radien DO und AO einen rechten Winkel bilden, so folgt k 2 + k 2 = AD 2 = 2m 2 + 2n 2, also k 2 = m 2 + n 2. Im Folgenden skizzieren wir verschiedene Beweise, dass der Winkel AOD ein rechter Winkel ist und damit der Vermutung k 2 = m 2 + n 2. Die bisher verwendeten Werkzeuge sind Symmetrie und der Satz des Pythagoras.

38 3.1 Konstruktion und algebraische Berechnung 29 Eine mögliche Hilfslinie wäre hier der Thaleskreis über AD. Ein Weg des Nachweises wäre dann zu zeigen, dass die Punkte C und O auf dem Thaleskreis über AD liegen. Dieser Ansatz würde wieder auf dem Übertragen und Übersetzen algebraischer Zusammenhänge beruhen und kann durch die Benutzung GeoGebras nur wenig unterstützt werden. Bei der Konstruktion der Pokalfigur nutzen wir kanonische Hilfslinien, was soviel bedeutet wie Hilfslinien an denen man nicht vorbei kommt. In diesem Fall waren es Symmetrieachsen und Verbindungsgeraden zwischen ausgezeichneten Punkten und Schnittpunkten mit den Symmetrieachsen. Die konstruierte Pokalfigur hat sechs ausgezeichnete Punkte A,B,C,O,D,E. Wir verbinden A und D sowie B und E. Dadurch erhält man ein Sehnenviereck mit eingezeichneten Diagonalen. In dieser Konstellation wird der Satz vom Sehnenviereck mit dem Werkzeug Satz vom Umfangswinkel bewiesen. Beweis 1 Der Winkel AOD ist ein Mittelpunktswinkel über der Sehne AD. Der Winkel AED ist ein Umfangswinkel über der Sehne AD. Laut Konstruktion ist AED = 45, nach dem Satz vom Umfangswinkel ist AOD = 90, also ein rechter Winkel.

39 30 3 Umfängliches und Diametrales Beweis 2 Wir gehen wieder von den ausgezeichneten Punkten A,B,C,O,D,E aus und verbinden A und O, B und O, O und D, O und E durch die Radien von K. Das resultierende mathematische Objekt ist spiegelsymmetrisch. Geogebra stellt auch Werkzeuge für abbildungsgeometrisches Experimentieren bereit. Die Spieglesymmetrie bzgl. der Spiegelachse ist offensichtlich, die Untersuchung mit dem Werkzeug Drehung um Punkt mit Drehwinkel zeigt, dass bzgl. der Dreiecke auch eine Drehsymmtrie vorliegt. Das Dreieck AEO kann durch eine 90 - Drehung auf DBO abgebildet werden. Laut Konstruktion stehen die Grundseiten im rechten Winkel aufeinander, folglich ist auch der Winkel zwischen AO und OD ein rechter Winkel. Beweis 3 Unter Verwendung des Zugmodus für den dynamischen Punkt A beobachtet man, dass sich unter der Bewegung des Punktes A auf K die Größe des Winkels AED, die Länge der Sehne AD und die Länge des Bogens AD nicht verändern. Dieser Weg wird auch durch die anfängliche Betrachtung des Spezialfalls m = n zum Aufstellen einer Vermutung unterstützt.

40 3.1 Konstruktion und algebraische Berechnung 31 Die Invarianz dieser Größen entspricht der Umkehrung des Umfangswinkelsatzes. Zieht man A nun in eine besonders schöne Position, ist die Rechtwinkligkeit von AOD offensichtlich. Beispiel 5 Die nebenstehende Zeichnung taucht oft im Kontext gotischer Fenster auf. Gegeben eine Strecke AB. Zwei Kreisbögen k mit Radius AB und Mittelpunkten in A und B bilden die Form eines gotischen Fensters. Problemstellung: Konstruiere einen Kreis, der die beiden Bögen und die Strecke berührt. Mit der Analyse dieser Aufgabe haben sich mehrere Autoren beschäftigt ([Pre&Schn05]). Im Unterschied zum ersten Beispiel ist hier die Berechnung einfach. Versucht man jedoch, den Kreis ohne Nutzung des berechneten Radius zu konstruieren, so ist die Konstruktion recht anspruchsvoll. Wir stellen einige der dort beschriebenen Lösungsansätze und eine alternative Konstruktion kurz vor. Unsere Aufmerksamkeit gilt dabei wieder den verwendeten Werkzeugen und Hilfslinien. Wie Aufgabe 3 und 4 zeigten, gibt es beim Einzeichnen von Hilfslinien verschiedene Aspekte, wie Kanonische Objekte: Setzen von und Verbinden ausgezeichneter Punkte (z.b. aus Symmetriegründen oder als Verbindungsgeraden vorgegebener Punkte), Mustererkennung: Erzeugung gut berechenbarer oder konstruierbarer Objekte (gleichschenklige, rechtwinklige, gleichseitige Dreiecke, Kreise...). Insbesondere interessiert uns, in welcher Darstellung ein mathematischer Satz verwendet wird, um zu verstehen, wie Mustererkennung als Problemlösemethode zum Einsatz kommen kann.

41 32 3 Umfängliches und Diametrales Eine mögliche Berechnung des Radius r des Innenkreises beruht auf auf folgender Überlegung. Wir bezeichnen mit P den Beruehrungspunkt des Kreises k mit dem Bogen k. Dann muss der Strahl von A, durch P durch den Mittelpunkt O von k gehen. Der Radius von k kann dann über den Satz des Pythagoras im Dreieck AMO errechnet werden. Die Rechnung ergibt r = 3 8 R Unter anderem kann man mithife von GeoGebra durch folgende Konstruktionen den Innenkreis näherungsweise bestimmen und die entstandene Skizze zum Rückwärtsarbeiten nutzen: Beide Lösungsvorschläge in [Pre&Schn05] beruhen auf der Konstruktion des Hilfspunktes P, welcher auf der Symmtrieachse des Spitzbogens liegt und von der Grundseite den Abstand AB hat. Von P schlägt man einen Bogen vom Radius AB und erhält dadurch ein Bogendreieck. Die Winkelhalbierende des Bogendreiecks schneidet die Symmetrieachse im Mittelpunkt des Innenkreises

42 3.1 Konstruktion und algebraische Berechnung 33 Verbindet man P mit A und errichtet die Mittelsenkrechte, so bildet der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Symmtrieachse den Scheitelpunkt O eines gleichschenkligen Dreiecks AOP. Der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt des gesuchten Innenkreises. Das Setzen des Hilfspunktes P setzt eigentlich die Kenntnis der Lösung voraus. Das gegebene Bogendreieck ist nicht gleichbögig, die Einsichtigkeit des Lösungswegs kommt erst mit dem Symmetrisieren des Dreiecks. Wie auch in den vergangenen Aufgaben versuchen wir, kanonische, auf Schulroutinen aufbauende und sich aus der Konstruktion ergebende Hilfslinien für die Lösung des Problems zu finden. Fertigt man die Skizze nach einem der experimentellen Verfahren mit GeoGebra an, so zeichnet man anstelle der Bögen Kreise. Dies führt zu anderen kanonischen Hilfslinien. Die Zeichnung ist spiegelsymmetrisch, daher ist es einleuchtend, die beiden Symmetrieachsen als Hilfslinien einzuzeichenen, wir bezeichnen die Schnittpunkte mit D,E,F,G,M Wir arbeiten wieder rückwärts und nehmen an, wir kennen den Berührungspunkt R zwischen K und den Bögen W. Der Punkt R liegt auf dem Thaleskreis über DB. Das Einzeichnen des entsprechenden rechwinkligen Dreiecks sehen wir im Rahmen geometrischer Schulgrundkenntnisse als kanonisch an. Durch das Einzeichnen ergeben sich die Schnittpunkte S und T des angenommenen Innenkreises mit der Kathete des Dreiecks, wobei T auf der Parallelen zu DA durch den Mittelpunkt des Innenkreises zu liegen scheint. Das Einzeichnen der Parallelen verstärkt diese Vermutung. Die Begründung kann dadurch erbracht werden, dass das entstandene Thalesdreieck ähnlich zum Thalesdreieck DBR ist.

43 34 3 Umfängliches und Diametrales Die Konstruktion hat ein weiteres zu DBR ähnliches rechtwinkliges Dreieck erzeugt, dessen Eckpunkt O der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ist. Kennen wir die Länge OM, so können wir den Innenkreis konstruieren. Zeichnen wir die Orthogonale durch T, so finden wir die Länge OS als Seitenlänge AN eines kongruenten Dreiecks, die Länge SM ergibt sich also als die Hälfte der Ausgangsstreckenlänge AB. Bei der Lösung nutzen wir GeoGebra u.a.: Die Konstruktion des Innenkreises, erfolgt durch das Setzen dreier Punkte, die auf dem gesuchten Kreis liegen: R (durch Konstruktion), R (durch Symmetrie) und des Schnittpunktes der Strecke AB mit der Symmtrieachse. zum Anfertigen einer experimentellen Zeichnung, um dadurch eine Vorstellung des gesuchten Objekts zu erhalten, zur Durchführung verschiedener experimenteller Konstruktionen, zum Erkunden von Symmetrien, Zusammenhängen, Abhängigkeiten..., zum Rückwärtsarbeiten, indem durch Hilfslinien neue Zusammenhänge (sowohl algebraisch als auch geometrisch) erzeugt wurden, zur Kontrolle durch Messen und Zugmodus vermuteter Eigenschaften, zur Konstruktion des gesuchten Objekts. Der Wechsel zwischen algebraischen Darstellungen und verschiedenen geometrischen Sachverhalten ist elegant, jedoch oft schwieriger nachzuvollziehen oder experimentell zu initiieren. Oft bietet sich in diesen Fällen auch eine rein geometrische Lösung, für die Fußballaufgabe (Beispiel 2) schlagen wir folgende Variante vor. Das verwendete Werkzeug ist eine zentrische Streckung. Der Leser ist aufgefordert mithilfe der Skizze den Beweis selbst durchzuführen.

44 3.2 Mathematisches Objekt und Problemlösemethode 35 Bei allen diesen Tätigkeiten sind für die erfolgreiche selbständige Nutzung zum Problemlösen Grundkenntnisse von Eigenschaften und Zusammenhängen (zumindest einiger) geometrischer Objekte notwendig. Zwei Berechnungen des Pokalproblems benutzten denselben mathematischen Sachverhalt - den Satz vom Umfangswinkel - jedoch in verschiedenen Darstellungen. Um die entsprechenden Hilfslinien einzeichnen zu können, sollte der Schüler den entsprechenden geometrischen Zusammenhang schon in Darstellungen gesehen haben, die das Wiedererkennen wahrscheinlich machen. Im nächsten Abschnitt betrachten wir u.a. den Satz vom Umfangswinkel anhand verschiedener Herleitungen und dazugehöriger geometrischer Darstellungen als Werkzeug zum Lösen geometrischer Probleme. 3.2 Mathematisches Objekt und Problemlösemethode Hilfslinien und ausgezeichnete Punkte spielen in einer geometrischen Konstruktion eine doppelte Rolle. Sie verändern das geometrische Objekt in einer Art, dass dadurch entstehende Teilkonstruktionen zur Problemlösemethode werden. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein selbständiges mathematisches Objekt, es ist durch Einzeichnen der Höhe in einem beliebigen Dreieck oder nach Einzeichnen des Thaleskreises eine Teilkonstruktion, es ist aber auch z.b. durch den Satz des Pythagoras, Höhen, Katheten- und Winkelsätze Werkzeug zur Berechnung und zur Konstruktion. Die Werkzeuge Mittelpunkt einer Strecke, Schnittpunkt ermitteln sowie die Erstellung eigener Werkzeuge (Makros) und Animationen verändern Konstruktionsroutinen. Durch die verschiedenen Werkzeuge von GeoGebra (Orthogonale Linie, parallele Linie, Kreis durch drei Punkte, Kegelschnitt durch fünf Punkte...) ergeben sich viele interessante Fragestellungen zur Genese mathematischer Objekte. Konstruktion mit Kreis mit Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Schnittpunkt Konstruktion mit Strecke, Kreis mit Mittelpunkt, Senkrechte, Parallele, Schnittpunkt Konstruktion mit Kreis mit Mittelpunkt, Strahl, Mittelsenkrechte, Strecke, Schnittpunkt Konstruktion mit dem Werkzeug regelmäßiges Vieleck Offensichtlich haben schon Routinen bei Grundkonstruktionen Einfluss darauf, inwieweit das konstruierte Objekt als Problemlösemethode in verschiedenen Konstruktionskontexten wiedererkannt werden kann. Auch Fragestellungen nach der Konstruierbarkeit mit nur einem Werkzeug können zu weitreichenden, komplexen Betrachtungen führen, wie in [Rad&Toe33] anhand der Konstruierbarkeit nur mit Lineal und Kreis ohne gegebenen Mittelpunkt gezeigt wird. Im Folgenden widmen wir uns dem in Beispiel 3 (Pokalproblem) verwendeten geometrischen Zusammenhang zwischen der Länge der Sehne, des dazugehörigen Bogens und der Größe des Umfangswinkels (auch Sehnenwinkel) in einem gegebenen Kreis.

45 36 3 Umfängliches und Diametrales Wir erinnern nochmals an die entsprechende Hilfslinien, die die Lösung darstellen. Wir stellen eine Konstruktion mit GeoGebra und die für die Berechnung mithilfe des Umfangswinkelsatzes notwendigen Hilfslinien gegenüber. Es ist notwendig sowohl die Sehne als auch den Mittelpunktswinkel in die Zeichnung einzutragen. In den meisten Lehrbüchern wird der Umfangswinkelsatz als Verallgemeinerung des Satzes des Thales hergeleitet. Dabei können folgende geometrische Darstellungen aufgetreten sein. Die beim Beweis des Umfangswinkelsatzes verwendeten Werkzeuge sind Basiswinkelsatz und der Satz über die Winkelsumme im Dreieck. Die Wiedererkennbarkeit des Basiswinkelsatzes kann durch die farbige Kennzeichnung gleichschenkliger Dreiecke und der entsprechenden Basiswinkel verbessert werden. Vergleicht man die für die Berechnung notwendigen Hilfslinien und die in der Herleitung vorkommenden, sieht man, dass sowohl die Verbindungslinie AC zwischen den Endpunkten der Sehnen, als auch das Einzeichnen der Radien nicht ohne weiteres übertragen werden kann. Das Sehnendreieck, bzw. der Außenkreis eines Dreiecks werden als mathematisches Objekt während der Herleitung meistens nicht thematisiert. Eine Hilfestellung für die Lösung des Pokalproblems, könnte die Herleitung des Satzes vom Sehnenviereck darstellen. Dabei kann der Satz vom Umfangswinkel wie rechts zu sehen, verwendet werden. Weiteres verwendetes Werkzeug ist der Satz von der Winkelsumme im Dreieck.

46 3.2 Mathematisches Objekt und Problemlösemethode 37 Im Kontext dieser Herleitung des Umfangswinkelsatzes kann man die linke ikonische Darstellung ansiedeln. Für die dritte Variante der Berechnung des Pokalproblems ist jedoch die Wiedererkennung seiner Umkehrung (rechts) hilfreich. Eine andere Herangehensweise, welche die Eckpunkte und Mittelpunkt des Sehnenvierecks verbindenden Radien ins Blickfeld rückt, ist die Herleitung des Satzes vom Sehnenviereck über das Sehnendreieck, bzw. den Außenkreis eines Dreiecks. Die Konstruktion des Außenkreises eines Dreiecks erfolgt über den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Offensichtlich müssen sich bei einem Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, die Mittelsenkrechten ebenfalls im Mittelpunkt treffen. Die Radien sind kanonische Hilfslinien, da sie ausgezeichnete Punkte (Mittelpunkt des Kreises und Eckpunkte des Vierecks) miteinander verbinden. Außerdem wird durch sie der gleiche Abstand der Eckpunkte zum Mittelpunkt veranschaulicht. Der Beweis des Satzes vom Sehnenviereck erfolgt wieder über den Basiswinkelsatz und den Satz von der Winkelsumme im Dreieck. α + γ = β + δ = 180 Von hier kann der Umfangswinkelsatz mit einem einfachen Argument geschlossen werden:

47 38 3 Umfängliches und Diametrales Wir halten die Eckpunkte A, B,C des Sehnenvierecks fest und bewegen den vierten Eckpunkt D entlang des Kreisbogens. Dadurch ist der Winkel β fixiert und somit konstant. Folglich (Satz vom Sehnenviereck) ist auch δ konstant. Trägt man noch die Diagonale des Sehnenvierecks als Sehne ein, so hat man den Satz vom Umfangswinkel. Beim letzten Zugang sind sowohl Erhaltungsmerkmale von Zuständen als auch die Variation von Merkmalen wichtig. Er kommt deshalb (wie auch der abbildungsgeometrische zweite Beweis der Pokalaufgabe) funktionalen Denkern besonders entgegen. Näheres zur kognitionspsychologischer Unterscheidung prädikativer und funktionaler Typen findet man in [Schw96], bzgl. der damit verbundenen Begriffsbildung siehe [Lam03]. Selbstverständlich können alle hier eher bildhaft dargestellten Herleitungsschritte explorativ mit dynamischer Geometrie unterstützt werden. Die für die Lösung geometrischer Probleme notwendige Intuition für Hilfslinien bedarf jedoch vielfältiger geübter Darstellungen und Darstellungswechsel. Mit unserem kleinen Exkurs haben wir verschiedene Perspektiven beim Lösen geometrischer Probleme eingenommen. Perspektivwechsel wurde dabei auf verschiedene Weise angeregt: In allen Beispielen nutzen wir die vielfältigen Möglichkeiten des Werkzeugs GeoGebra, z.b. exploratives Nachmessen und Variation von Position und mathematischem Objekt in Beispiel 1 und der Fußballaufgabe (Beispiel 3), Variieren der Konstruktionsmethoden und Hilfslinien wie bei der Konstruktion des gotischen Fensters (Beispiel 5) und den Beweisen des Umfangswinkelsatzes, Wechsel zwischen abbildungsgeometrischen Herangehensweisen und euklidischen Überlegungen wie bei den verschiedenen Beweisen der Pokalaufgabe (Beispiel 4) und den Lösungen der Fußballaufgabe. Wir untersuchten verschiedene durch GeoGebra mehr oder weniger unterstützte Lösungsvarianten, wobei in jedem Fall die Bedeutung eines hinreichenden Vorrats an geometrischen und algebraischen Grundkenntnissen deutlich sichtbar wurde. Reflektieren über den gerade eingeschlagenen Lösungsweg (Konstruktion oder Berechnung, Variation zum Bestimmen von Invarianten), das bewusste Handhaben von Schnittpunkten, die kanonische Konstruktion und Nutzung von Hilfslinien zur Analyse und Synthese offenbarten verschiedene Verläufe der Problemlöseprozesse.

48 Literatur 39 Am Beispiel des Zusammenspiels von Genese und Vernetzung eines mathematischen Begriffs und seiner Rolle als Problemösewerkzeug (verschiedene Herleitungen des Umfangswinkelsatzes) machten wir die Notwendigkeit von Perspektivwechsel und Variation der Herleitungen und Konstruktionen sichtbar. Die Verwendung von Makros und Animationen wurden hier nicht betrachtet, sie spielen jedoch bei der Begriffsentwicklung mithilfe dynamischer Geometrie eine wachsende Rolle. Für einen zusammenfassenden Überblick zur Verwendung Dynamischer Geometrie siehe auch [Wei&Wet02] und [His98]. Einführungen in die Dynamische Geometrie, sowie Beispiele und Applets findet man in großer Anzahl und Vielfalt online, für unterrichtsnahe Beispiele siehe auch [Koe&Tön07]. Dank Ich möchte Emese Vargyas für die inspirierenden und hilfreichen Diskussionen zu den im Kapitel behandelten mathematischen Problemen danken. Literatur [His98] HISCHER, H. (1998). Computer und Geometrie, Suchen, Entdecken, Anwenden. Franzbecker, Hildesheim. [Koe&Tön07] KOEPSELL, A.& TÖNNIES, D. (2007). Dynamische Geometrie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. Aulis Verlag Deubner. [Kram08] KRAMER, M.(2008). Mathematik als Abenteuer. Kap.1, Aulis Verlag Deubner & Co. [Lam03] LAMBERT, A.(2003). Begriffsbildung im Mathematikunterricht. In: BENDER, P.; HERGET, W.,WEIGAND, H.-G., WETH, T.: Lehr- und Lernprogramme für den Mathematikunterricht, S , Franzbecker, Hildesheim. [Pol95] POLYA, G.(1995). Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. 4.Aufl. Francke Verlag, Tübingen. [Pre&Schn05] PREDIGER, S.& SCHNORR, K.(2005). Geometrisches Konstruieren Unterschiedliche Zugänge am Beispiel eines gotischen Kirchenfensters erfahrbar machen. Der mathematisch-naturwissenschaftliche Unterricht 57/ 2, S [Schw96] SCHWANK, I.(1996). Zur Konzeption prädikativer versus funkionaler kognitiver Strukturen und ihrer Anwendung. ZDM 28(6), S [Rad&Toe33] RADEMACHER, H.& TOEPLITZ, O.(1933). Von Zahlen und Figuren, S.150, 21, Springer. [Wei&Wet02] WEIGAND, H.-G. & WETH, T.(2002). Computer im Mathematikunterricht. Neue Wege zu alten Zielen, Spektrum Verlag, Heidelberg.

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50 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Reinhard Schmidt Unter den Themen der Schulmathematik nimmt die Bestimmung der Nullstellen quadratischer Funktionen ganz sicher eine exponierte Stellung ein. Dies hat vielerlei Gründe. Erstens gibt es eine ganze Reihe relevanter Probleme in der Welt außerhalb des Mathematikunterrichts, deren Lösung die Bestimmung von Nullstellen quadratischer Funktionen benutzt. Zweitens hat die Nullstellensuche in der Mathematikgeschichte eine lange Tradition. Schon vor 3700 Jahren entwickelten die Babylonier und später die Griechen Verfahren, mit denen sie Nullstellen finden konnten. 1 Ein auf Euklid zurückgehendes geometrisches Verfahren wird in Kapitel näher beschrieben. Drittens setzen einschlägige Themen der Oberstufenmathematik, insbesondere der Analysis, entsprechende Verfahren voraus. Als Beispiel möge man an die Bestimmung von relativen Extremstellen von ganzrationalen Funktionen denken. Auch wenn die Suche nach Nullstellen ein gewinnbringendes Geschäft sein kann, kann sie zu einer geistlosen Tätigkeit degenerieren. Häufig wird in Schulbüchern nur die algebraische Seite der Verfahren beschrieben, und diese dienen dann als Spielwiese für Äquivalenzumformungen und den korrekten Gebrauch von Äquivalenzzeichen. In diesem Kapitel soll gezeigt werden, dass es mit Hilfe von GeoGebra möglich ist, statt einer einseitigen Betonung der Algebra ein Gleichgewicht aus Algebra und Geometrie herzustellen und den Schülerinnen und Schülern den Zusammenhang zwischen beiden Betrachtungsweisen deutlich zu machen. Besonderen Stellenwert nimmt dabei ein Verfahren ein, das früher einmal sehr populär war, inzwischen aber weitgehend in Vergessenheit geraten ist: Die Methode von Lill. Diese Methode funktioniert in besonders anschaulicher Weise für quadratische Funktionen, kann aber auch auf beliebige ganzrationale Funktionen angewendet werden. In der Darstellung der unterschiedlichen Verfahren wird bewusst auf Sachzusammenhänge verzichtet, weil das primäre Ziel dieses Kapitels in der Rehabilitation geometrischer Herangehensweisen zur Nullstellensuche bei quadratischen (und allgemeiner bei ganzrationalen) Funktionen ist. 4.1 Nullstellen quadratischer Funktionen mit GeoGebra Sinnvoller Einsatz von GeoGebra Der naheliegendste Nutzen von GeoGebra zum Lösen quadratischer Gleichungen ist der Einsatz als Funktionenplotter. Auf diese Weise können die wesentlichen Eigenschaften des Graphen entdeckt und teilweise auch experimentell eingesehen werden. 1 Ein altbabylonischer Text zum Lösen einer quadratischen Gleichung, der aus der Hammurapi-Dynastie (1700 v. Chr.) stammt, wird beispielsweise in [Alt08] vorgestellt. R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _4, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

51 42 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Die erste Entdeckung ist die Analogie zwischen der geometrischen und der algebraischen Bedeutung von Nullstellen, die insbesondere im Zusammenhang der Schulmathematik grundlegend und unverzichtbar ist. Eine zweite offensichtliche Entdeckung betrifft den Umstand, dass alle Graphen quadratischer Funktionen achsensymmetrisch zu einer zur y-achse parallelen Geraden durch den Scheitelpunkt sind. Daher besitzen die beiden Nullstellen einer quadratischen Funktion stets den gleichen Abstand zu dieser Geraden. Etwas verblüffend für Schülerinnen und Schüler ist die Tatsache, dass die Gleichung der Symmetrieachse (und damit, weil diese immer durch den Scheitelpunkt verläuft, die x-koordinate des Scheitelpunktes) unmittelbar aus der Funktionsgleichung abgelesen werden kann. Um dies zu verstehen bedarf es über die geometrischen Entdeckungen hinaus auch etwas Algebra: Wenn die quadratische Funktion die Gleichung f (x)=x 2 + px + q besitzt, dann ist es leicht einzusehen, dass der Schnittpunkt der Parabel mit der y-achse bei R(0 q) liegt. Sein Pendant T erhält man durch Spiegelung von R an der Symmetrieachse der Parabel oder rechnerisch durch die Forderung x 2 + px+q = q, was natürlich gleichbedeutend mit x 2 + px = 0 und also x(x+ p)=0 ist. Daraus erkennt man, dass die x-koordinate von T den Wert p hat. Weil die Symmetrieachse in der Mitte von R und T verläuft (genauer: die Mittelsenkrechte der Strecke RT ist), ist ihre Gleichung x = p 2. Abbildung 4.1: Geometrie und Algebra Aus dieser Einsicht können grundsätzlich schon zu diesem frühen Zeitpunkt die Koordinaten des Scheitelpunktes abgeleitet werden: S ( p ( 2 f ( p 2 )) bzw. S p 2 p2 4 ), + q und aus diesen die Bedingungen für die Existenz von Nullstellen, d. h. es gibt zwei Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-achse liegt, eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-achse liegt und keine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der x-achse liegt. 2 Auf der Grundlage dieser Überlegungen ist es natürlich prinzipiell schon zu einem sehr frühen Zeitpunkt möglich, die Scheitelpunktform einzuführen. Dies birgt jedoch die Gefahr einer frühzeitigen Überbetonung algebraischer Betrachtungsweisen. Die GeoGebra-Applets bieten die Möglichkeit, intensiv am Graphen inhaltlich zu argumentieren, die Verbindung von Geo- 2 Natürlich lassen sich diese Überlegungen später mühelos auf allgemeine quadratische Funktionen mit der Funktionsgleichung f (x)=ax 2 + bx + c übertragen.

52 4.1 Nullstellen quadratischer Funktionen mit GeoGebra 43 metrie und Algebra deutlich zu machen und diese nachhaltig in den Köpfen der Schülerinnen und Schüler zu verankern. Statt sich frühzeitig auf das kalkülhafte Abarbeiten von Standardaufgabenstellungen zu beschränken, lassen sich an der Parabel noch mehr Besonderheiten entdecken und für den weiteren Unterrichtsverlauf nutzbar machen. Zu den wichtigsten Eigenschaften von Parabeln gehört sicherlich, dass sich alle Parabeln nur in der Wahl des Koordinatensystems unterscheiden. Diese erstaunliche Eigenschaft wird im Mathematikunterricht selten thematisiert, obwohl sie viel zum tieferen Verständnis von Parabeln und quadratischen Funktionen beitragen kann. Abbildung 4.2: Es gibt nur eine Parabel. Mit Hilfe von GeoGebra kann man sehr überzeugend zeigen, dass es abgesehen von der Wahl des Koordinatensystems nur eine einzige Parabel gibt: Im Beispiel (vgl. Abb. 4.2) wird der Graph der Funktion f mit f (x)= 1 4 (x 3)2 2 betrachtet. In einem ersten Schritt wird die ursprüngliche unglückliche, ungeschickte Wahl des Koordinatensystems dadurch korrigiert, dass der Koordinatenursprung in den Scheitelpunkt der Parabel verschoben wird. Anschließend zoomt man so lange raus, bis jede Einheit auf ein Viertel ihrer alten Länge geschrumpft ist. Das Ergebnis ist eine formschöne Normalparabel. Eine einfache Anwendung dieser Erkenntnis könnte ausnutzen, dass man die Graphen quadratischer Funktionen immer vom Scheitelpunkt aus denken kann: Vom Scheitelpunkt ausgehend erhält man weitere Parabelpunkte dadurch, dass wenn man x Einheiten nach rechts oder links geht, man ax 2 Einheiten nach oben gehen muss. Kennt man also die Koordinaten des Scheitelpunktes S(x S y S ), dann kann man Nullstellen dadurch suchen, dass man ein x findet, für das ax 2 = y S. Diese Erkenntnis wird im folgenden Kapitel ausgenutzt Die pq-formel geometrisch entdecken Das Lösen quadratischer Gleichungen gilt in den Augen vieler Schülerinnen und Schülern als mühseliges Geschäft. Einen willkommenen Ausweg bietet die sogenannte pq-formel. Sie lässt sich zwar leicht auswendig lernen, aber die Gefahr, dass sie unverstanden angewendet wird, ist sehr groß. Nachhaltiges mathematisches Verständnis kann sicher nicht dadurch aufgebaut werden, dass die Gültigkeit der Formel einmalig durch Nachrechnen bestätigt und sich im Weiteren nicht mehr um ihre inhaltliche Bedeutung gekümmert wird. Wesentlich sinnvoller ist es, die Formel geometrisch herzuleiten. Dieser Ansatz folgt dem Vorschlag von [ES02]. Ein geometrischer Zugang zur pq-formel wird begünstigt, wenn die Schülerinnen und Schüler zunächst untersuchen, wie der Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt ist,

53 44 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Abbildung 4.3: Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt - Scheitelpunkt auf der y-achse wenn der Scheitelpunkt auf der y-achse liegt. Unschwer lässt sich entdecken (und später auch nachrechnen), dass für die Nullstellen gilt: x N1 = y S und x N2 =+ y S. Abbildung 4.4: Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt - allgemeiner Fall Diese Erkenntnis lässt sich auf den allgemeinen Fall übertragen. Hier werden Scheitelpunkt und Nullstellen um x S längs der x-achse verschoben, und für die Nullstellen gilt: x N1 = x S ys und x N2 = x S + y S. Aus den Überlegungen in Kapitel folgt, weil x S = p 2 und y S = p2 4 + q: x N1 = p p q und x N 2 = p p q. Diese beiden Gleichungen haben als (oft unverstandene) pq-formel einige Berühmtheit erlangt und ihren Teil dazu beigetragen, dass viele Schülerinnen und Schüler in der Mathematik lediglich eine rätselhafte Formelwelt sehen Die Geometrie der quadratischen Ergänzung Ebenso wie die pq-formel lässt sich auch das Verfahren der quadratischen Ergänzung mit Hilfe von GeoGebra geometrisch darstellen. Ein geschickt angelegtes Applet kann nicht nur

54 4.1 Nullstellen quadratischer Funktionen mit GeoGebra 45 die Nachhaltigkeit fördern, sondern als Katalysator für mathematische Tätigkeiten dienen. Das Verfahren ist den Ausführungen von al-khwarizmi nachempfunden 3, aber es findet sich, wie eingangs erwähnt, in ganz ähnlicher Form bereits bei Euklid. Abbildung 4.5: Al-Khwarizmis Trick Ausgangspunkt soll die Suche nach den Nullstellen der Funktion f mit f (x) =x 2 + 4x 21 sein, also die Suche nach den Lösungen der Gleichung x 2 + 4x = 21. Aus historischer Perspektive ist es naheliegend, die einzelnen Terme als Flächeninhalte zu deuten, und diese Sichtweise lässt sich mit GeoGebra wunderbar realisieren (Abb. 4.5). Durch die geometrische Brille betrachtet ist die Zielsetzung des Verfahrens klar: Quadrat und Rechteck auf der linken Seite sollen zusammen denselben Flächeninhalt haben wie das große Quadrat auf der rechten Seite. Zwar kann man im vorliegenden Applet x variieren, aber mit bloßem Augenmaß lässt sich die passende Wahl für x nicht ermitteln. Der einzige Ausweg besteht darin, die linke Seite quadratischer zu gestalten: Die Hälfte des Rechtecks wird umgeklappt (Abb. 4.6). Abbildung 4.6: Der erste Schritt zur Quadratur des Rechtecks Auf der linken Seite muss nun nur noch ein kleines Quadrat ergänzt werden, und dessen Flächeninhalt ist nicht mehr von x abhängig. Daher kann man das rechte Quadrat um denselben Flächeninhalt vergrößern (Abb. 4.7). Abbildung 4.7: Zwei ungleiche Quadrate Nun lässt sich das x so einstellen, dass das Quadrat auf der linken Seite ebenso groß ist wie 3 vgl. z. B. [Kas98]

55 46 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen das auf der rechten (Abb. 4.8). Es bleiben aber einige Fragen offen: Abbildung 4.8: Eine Lösung der Gleichung x 2 + 4x = 21 1) Wie genau ist die so gefundene Lösung? 2) Gibt es weitere Lösungen? 3) Wie sieht die algebraische Entsprechung des Verfahrens aus? 4) Wie sieht die geometrische Realisierung aus, wenn die Koeffizienten andere Vorzeichen haben? Alle vier Fragen sind für den Unterricht fruchtbar und regen zu mathematischen Überlegungen und Argumentationen an. 4.2 Der Kreis von Captain Lill Im Kapitel 4.1 wurde gezeigt, wie man GeoGebra so einsetzen kann, dass der Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra für die Schülerinnen und Schüler deutlich und ein tieferes Mathematikverständnis begünstigt wird. In diesem Kapitel soll ein Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen quadratischer Funktionen vorgestellt werden, in welchem Geometrie und Algebra untrennbar miteinander verwoben sind und das Anlässe für vielfältige mathematische Tätigkeiten schafft. Die in der Schule weitgehend unbekannte Methode, die hier beschrieben werden soll, geht auf Captain Lill 4 zurück. Die Methode ermöglicht es, auf geometrischem Weg Näherungslösungen für die Nullstellen von beliebigen ganzrationalen Funktionen zu ermitteln. Bevor die allgemeine Methode, so wie sie von Eduard Lill in [Lil67] dargestellt wurde, in Kapitel 4.3 beschrieben wird, soll in diesem Abschnitt der interessante Spezialfall, die Bestimmung von Nullstellen mit Hilfe des sogenannten Lill-Kreises, näher erläutert werden. 5 Um eine quadratische Funktion mit Hilfe des Kreises von Lill auf Nullstellen zu untersuchen, geht man von einem Polynom der Form ax 2 + bx + c aus und zeichnet die Punkte A(0 a), B(0 0), C( b 0) und D( b c) sowie das Trapez ABCD in ein Koordinatensystem ein. Anschließend zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt der Strecke AD so, dass diese Strecke der Durchmesser des Kreises ist. In der Abbildung 4.9 ist die Situation für die Funktion f (x) =x 2 4x + 3 dargestellt. Das dazugehörige GeoGebra-Applet regt zu Erkundungen und Entdeckungen an der dargestellten 4 Eduard Lill ( ) war ein österreichischer Hauptmann, Bahnbeamter und Ingenieur. Lill stellte seine Entdeckung als Maschine zur Bestimmung reeller Nullstellen von Polynomen auf der Weltausstellung in Paris 1867 vor, vgl. ( ). 5 In der Literatur findet man den Lill-Kreis mitunter auch unter dem Namen Carlyle-Kreis.

56 4.2 Der Kreis von Captain Lill 47 Abbildung 4.9: Captain Lills Kreis Parabel an. Forschungsauftrag: Im GeoGebra-Applet siehst du einen Kreis und eine Parabel. a) Es fällt auf, dass der Kreis und die Parabel die x-achse in denselben Punkten schneiden. Variiere die Parameter a, b und c und untersuche, ob dies immer so ist. Gib ggf. Bedingungen an. b) Vergleiche deine Beobachtungen mit denen deines Nachbarn. Einigt euch auf eine gemeinsame Vermutung. c) Versucht eure Vermutung zu beweisen. Bei der Auseinandersetzung mit dem dargestellten Forschungsauftrag können sehr unterschiedliche Formen mathematischer Bewusstheit entstehen 6, je nachdem ob die Schülerinnen und Schüler bei den Phänomenen stehenbleiben und sie ohne weitere Begründung als allgemeingültig hinnehmen oder ob sie diese auf die eine oder andere Art begründen oder beweisen. In jedem Fall werden die meisten Schülerinnen und Schüler erkennen, dass unabhängig von der Wahl von b und c die Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse mit denen des Kreises zusammenfallen, wenn nur a = 1 ist. Für Schülerinnen und Schüler, die gut geübt im Umgang mit algebraischen Umformungen sind, ist es naheliegend, diese Beobachtung durch schlichtes Nachrechnen nachzuweisen. Dies gelingt, wenn man erkennt, dass (im Falle a = 1) der Punkt ( ) M Lill b c der Mittelpunkt und b rlill = 2 +(c 1) 2 4 der Radius des Lill-Kreises ist. Als Kreisgleichung erhält man: 6 Dies wird in [KS11] genauer dargestellt. ( x + 2) b 2 ( + y c + 1 ) 2 = b2 +(c a)

57 48 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Für die Ermittlung der Schnittstellen mit der x-achse setzt man y = 0, und nach einiger Algebra vereinfacht sich die Gleichung zu x 2 +bx +c = 0. Dieser Weg ist freilich verhältnismäßig lang und mühselig. Eine wesentlich einfachere Erklärung basiert auf der Strategie, alle Verbindungsstrecken zwischen den relevanten Punkte einzuzeichnen. Verbindet man einen der beiden Schnittpunkte des Lill-Kreises mit der x-achse mit den Punkten A bzw. D, so erhält man drei Dreiecke (Abb. 4.10). Abbildung 4.10: Captain Lills Kreis und Vietas Wurzelsatz Der Lill-Kreis entpuppt sich als Thaleskreis, so dass klar wird, dass das dunkle Dreieck rechtwinklig ist. Der rechte Winkel des dunklen Dreiecks gewährleistet, dass die beiden hellen Dreiecke zueinander ähnlich sind. Bezeichnet man nun die beiden Schnittstellen des Kreises mit der x-achse mit x 1 und x 2, dann folgt aus der Ähnlichkeit: a x 1 = x 2 c a c = x 1 x 2. Außerdem gilt, wie man sofort sieht: x 1 + x 2 = b. Mit a = 1 gilt also x 1 + x 2 = b und x 1 x 2 = c, und nach der Umkehrung des Satzes von Vieta sind x 1 und x 2 die Nullstellen der Funktion f mit f (x)=x 2 + bx + c. Auf diese Weise ist nachgewiesen, dass die Nullstellen der quadratischen Funktion mit den Schnittstellen des Lill-Kreises mit der x-achse übereinstimmen. Auch hier regt die Beschäftigung mit dem Applet zu weiterführenden Überlegungen und Fragen an: 1) (Wie) kann man den Lill-Kreis konstruieren, wenn man nur die Nullstellen kennt? 2) Was ändert sich, wenn a 1? 3) Wie argumentiert man, wenn c < 0? 4) Welche Überlegungen lassen sich auf Polynome höheren Grades übertragen?

58 4.3 Lills Methode 49 Lills Kreis bietet auch über den Standardschulstoff hinaus viele Anregungen. Beispielsweise wird in [Bal07] gezeigt, wie man mit Lills Kreis auch komplexe Nullstellen findet. Es wird also deutlich, dass durch den Einsatz von GeoGebra nicht nur neue und nachhaltigere Einsichten möglich sind, sondern auch mehr Mathematik im Mathematikunterricht stattfinden kann. 4.3 Lills Methode Das Hornerschema im neuen Gewand Die eigentliche Tragweite der Methode, die im Kapitel 4.2 erläutert worden ist, wird erst in ihrer allgemeineren Form deutlich, als Lills Methode. 7 Diese Methode erlaubt es, mit Hilfe von GeoGebra-Applets Näherungslösungen für Nullstellen zu finden, und zwar nicht nur für Funktionen zweiter Ordnung, sondern für ganz beliebige ganzrationale Funktionen. Wie schon in den Ausführungen in den vorangegangenen Kapiteln wird deutlich, dass die GeoGebra-Applets zwar als Katalysatoren des Erkenntnisprozesses eine eminent wichtige Rolle spielen können, dass aber gleichwohl die Lehrperson nicht zu ersetzen ist. Um den Ansatz von Lills Methode zu verstehen, ist es nämlich von großer Bedeutung, dass den Schülerinnen und Schülern deutlich wird, dass die wesentliche Idee, die man bei Lills Kreis ausgenutzt hat, die Ähnlichkeit der beiden hell gefärbten Dreiecke war. Diese Idee lässt sich mühelos übertragen, wie im Folgenden deutlich gemacht wird. Bei Lills Methode geht man von einer beliebigen ganzrationalen Funktion aus; zur besseren Illustration soll die Funktion f mit f (x) =x 4 + 6,5x x ,5x + 3 betrachtet werden. Durch die Koeffizienten dieses Polynoms wird nun ein Polygonzug P festgelegt: In unserem Beispiel startet man mit dem Koeffizienten von x 4 und geht 1 Einheit nach rechts. Dann biegt man im 90 o -Winkel nach links ab 8, geht 6,5 Einheiten weiter (6,5 ist der Koeffizient von x 3 ), biegt wiederum im 90 o -Winkel nach links ab und geht 14 Einheiten weiter, biegt wiederum im 90 o -Winkel nach links ab und geht 11,5 Einheiten weiter, biegt ein letztes Mal im 90 o -Winkel nach links ab und geht 3 Einheiten weiter. Die einzelnen Segmente des Polygons sollen der Reihen nach mit p 0, p 1, p 2, p 3 und p 4 bezeichnet werden. Anschließend wird ein zweiter Polygonzug Q gezeichnet. Das erste Segment von Q beginnt beim Anfangspunkt von P und endet irgendwo auf p 1. Der Winkel zwischen dem ersten Segment von Q und p 0 soll mit α bezeichnet werden. Vom Endpunkt des ersten Segments von Q biegt man im 90 o -Winkel nach links ab, bis man auf p 2 trifft. Von dort biegt man im 90 o -Winkel nach links ab, bis man auf p 3 trifft, wiederum biegt man im 90 o -Winkel nach links ab, bis man auf p 4 trifft. Auf diese Weise entstehen zwischen den beiden Polygonzügen insgesamt 4 zueinander ähnliche Dreiecke. Um die Nullstellen von f bestimmen zu können, kann diese Situation nun in einer GeoGebra-Datei realisiert werden, und zwar so, dass der Winkel α variabel ist (Abb. 4.11). Wenn es mit dieser GeoGebra-Datei gelingt, α so einzustellen, dass der Endpunkt von Q mit dem Endpunkt von P übereinstimmt, dann hat man eine Nullstelle von f gefunden: Die Nullstelle ist dann gegeben als x N = tan(α). Durch geschickte Variation von α findet man auf diese Weise schließlich alle Nullstellen von f. 7 Eine hervorragende Darstellung der Methode von Lill findet man in [Kal09]. 8 Wenn im Funktionsterm negative Koeffizienten auftreten, biegt man nach rechts ab. - Man beachte, dass bei Lills Kreis das Polygon nicht nach dieser Vorschrift entstanden ist, dort wurde bei b falsch abgebogen.

59 50 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Abbildung 4.11: Der Winkel muss so eingestellt werden, dass die Endpunkte der Polygone zusammenfallen. Diese erstaunliche Feststellung verlangt nach einem Beweis, der jedoch recht einfach zu führen ist. Hierfür soll eine Funktion f mit f (x)=a 0 x 4 +a 1 x 3 +a 2 x 2 +a 3 x+a 4 betrachtet werden; für die Längen der relevanten Teilstrecken sollen die Bezeichnungen aus Abbildung 4.12 verwendet werden. Der Beweis beinhaltet drei gedankliche Schritte: Erstens die Anwendung der Definition des Tangens in jedem der von P und Q gebildeten rechtwinkligen Dreiecke, zweitens der Umstand, dass a 1 = a 11 + a 12, a 2 = a 21 + a 22 und Abbildung 4.12: Captain Lills Methode a 3 = a 31 + a 32 und drittens die Zusammenführung der ersten beiden Schritte. Wenn man den Wert tan(α) mit x bezeichnet, kann man aus den vier Dreiecken folgende Gleichungen ablesen: tanα = a 11 x = a 11 a 11 = a 0 x a 0 a 0 tanα = a 21 a 12 x = a 11 a 12 a 21 = a 12 x tanα = a 31 a 22 x = a 11 a 22 a 31 = a 22 x tanα = a 4 a 32 x = a 11 a 32 a 4 = a 32 x Der zweite Schritt besteht aus den drei folgenden elementaren Umformungen: a 1 = a 11 + a 12 a 12 = a 1 a 11 a 2 = a 21 + a 22 a 22 = a 2 a 21

60 4.3 Lills Methode 51 a 3 = a 31 + a 32 a 32 = a 3 a 31 Im letzten Schritt werden die Gleichungen durch sukzessives Einsetzen zusammengefügt: Daraus ergibt sich sofort: a 4 = a 32 x = (a 3 a 31 ) x = (a 22 x + a 3 ) x = ((a 2 a 21 ) x + a 3 ) x = ((a 12 x + a 2 ) x + a 3 ) x = (((a 1 a 11 ) x + a 2 ) x + a 3 ) x = (((a 0 x + a 1 ) x + a 2 ) x + a 3 ) x (((a 0 x + a 1 ) x + a 2 )+a 3 ) x + a 4 = 0. Startet man mit dem ersten der vier durch P und Q festgelegten rechtwinkligen Dreiecke, dann gilt zunächst Wegen p 1 = p 11 + p 12 folgt tan(α)= p 11 p 11 = p 0 tan(α)= p 0 x. p 0 p 12 = p 1 p 11 = p 0 x + p 1. Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt tan(α)= p 21 p 12, also p 21 = p 12 tan(α)= p 12 x = (p 0 x + p 1 ) x. Weil nun wieder p 22 = p 2 p 21 ist, folgt p 22 =(p 0 x + p 1 ) x + p 2. Im nächsten Schritt ergibt sich wegen tan(α)= p 31 p 22 analog p 31 = p 22 tan(α)= p 22 x = ((p 0 x + p 1 ) x + p 2 ) x. Mit p 32 = p 3 p 31 folgt und aus tan(α)= p 4 p 32 folgt schließlich p 32 =((p 0 x + p 1 ) x + p 2 )+p 3, p 4 = p 32 tan(α)= p 32 x = (((p 0 x + p 1 ) x + p 2 )+p 3 ) x, also (((p 0 x + p 1 ) x + p 2 )+p 3 ) x + p 4 = 0.

61 52 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Weil links das Hornerschema für das ursprüngliche Polynom steht, ist gezeigt, dass x eine Nullstelle von f ist. Der Zusammenhang zwischen Lills Methode und dem Hornerschema ist sicherlich nicht nur für die Schülerinnen und Schüler erstaunlich, sondern auch für viele Lehrerinnen und Lehrer. Er ergibt sich aber ganz natürlich, wenn das Hornerschema im Vorfeld nicht nur thematisiert, sondern auch geometrisch gedeutet worden ist. Der beschriebene Zusammenhang unterstreicht nachhaltig, dass mathematische Beweise nicht aus Pflichterfüllung geführt werden sollen, sondern einen echten Mehrwert bieten können. Dennoch benötigt man für den Beweis nur ein Mindestmaß an mathematischem Vorwissen und Kenntnissen, so dass auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler in der Lage sein sollten, den Beweis zu führen Mit Lills Methode zur Linearfaktorzerlegung von Polynomen Nachdem gezeigt worden ist, dass sich mit Hilfe der Methode von Lill Nullstellen von ganzrationalen Funktionen auch höheren Grades finden lassen, kann man einen Schritt weiter gehen. Wenn man nämlich eine Nullstelle x N einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades kennt, dann kann man durch Division des Funktionsterms durch (x x N ) zu einer ganzrationalen Funktion (n 1)-ten Grades übergehen und das Verfahren wiederholen. Dabei übernimmt der Polygonzug Q die Rolle des Polygonzugs P und und ein neu zu konstruierender Polygonzug R übernimmt die Rolle des Polygonzugs Q. Dass die auf diese Weise gefundene neue Nullstelle korrekt ist, lässt sich folgendermaßen einsehen: Wenn unsere ursprüngliche ganzrationale Funktion den Funktionsterm f (x)=a 0 x n + a 1 x n a n hat und die im ersten Schritt von Lills Methode gefundene Nullstelle x N ist, dann kann man zeigen, dass die Ankatheten von α in den betrachteten Dreiecken der Reihe nach die Längen a 0, a 0 x N + a 1, (a 0 x N + a 1 )x N + a 2 usw. haben. Dies sind aber genau die Koeffizienten des Polynoms f (x) (x x N ). Bedenkt man nun noch, dass wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke die Längen aller Hypotenusen durch denselben Streckfaktor aus den Längen der entsprechenden Ankatheten hervorgehen, dann ist die Gültigkeit des beschriebenen Verfahrens gezeigt. Auf diese Weise erhält man imposante Bilder von der Linearfaktorzerlegung von Polynomen: Abbildung 4.13: Die Linearfaktorzerlegung eines Polynoms 4. Grades

62 4.4 Über Nullstellen hinaus Über Nullstellen hinaus Die Tragweite der Methode von Lill geht weit über die Suche nach Nullstellen hinaus. Sehr einfach lässt sich beispielsweise das Monotonieverhalten der untersuchten Funktion mit Lills Methode bestimmen, und auch hier kann eine geeignete GeoGebra-Datei sehr aufschlussreich sein und mathematische Denkprozesse anregen. Eine ausführliche Erörterung würde den Rahmen dieses Kapitels sprengen. An einem abschließenden Beispiel soll aber noch gezeigt werden, dass Lills Kreis und Lills Methode nicht nur selber reichhaltige und fruchtbare Untersuchungsgegenstände sind, sondern ihrerseits als mathematisches Werkzeug eingesetzt und zur Lösung vielfältiger Probleme herangezogen werden können Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks Eine auf den ersten Blick erstaunliche Anwendung von Lills Entdeckungen besteht in der Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal. 9 Ein Zusammenspiel von Überlegungen zu komplexen Polynomen und Lills Kreis, der in diesem Zusammenhang als Werkzeug gebraucht wird, ermöglicht es, eine Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks zu verstehen, die manche Schülerin und manch Schüler in der Sekundarstufe I noch unverstanden auswendig gelernt hat. Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Einsicht, dass die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks gleichwertig ist mit der Konstruktion der komplexen Lösungen der Gleichung z 5 1 = 0. Eine Nullstelle, nämlich z 0 = 1, ist trivial. Die übrigen Lösungen lassen sich zwar nicht unmittelbar mit Zirkel und Lineal allein konstruieren, aber man kennt die Lösungen: Die komplexen Nullstellen sind z 1 = e 2πi 5, z 2 = e 4πi 5, z 3 = e 6πi 5 und z 4 = e 8πi 5. Mit Hilfe von GeoGebra kann man sie sich nicht nur anzeigen lassen, sie können von GeoGebra auch als komplexe Zahlen interpretiert werden (Eigenschaften Algebra Komplexe Zahl). Abbildung 4.14: Die komplexen Lösungen von z 5 1 = 0 und die Summen s 1 = z 2 + z 3 bzw. s 2 = z 1 + z 4 Es ist klar, dass die Summen s 1 = z 1 +z 4 und s 2 = z 2 + z 3 reell sind, weil z 4 = z 1 und z 3 = z 2. Durch einfaches Nachrechnen oder mit Hilfe von GeoGebra lassen sich s 1 und s 2 bestimmen und darstellen. 9 Eine schöne Darstellung des hier beschriebenen Verfahrens findet man in [DeT91].

63 54 4 Auf Entdeckungsreise zu den Nullstellen quadratischer Funktionen Im Folgenden wird gezeigt, dass Lills Kreis eine Konstruktion von s 1 und s 2 mit Zirkel und Lineal liefert: Abbildung 4.15: Konstruktion von s 1 und s 2 - danach konstruiert sich das Fünfeck fast von selbst... Es ist leicht zu verifizieren, dass für s 1 und s 2 die Beziehungen s 1 + s 2 = 1 und s 1 s 2 = 1 gelten, so dass aus der Umkehrung des Satzes von Vieta folgt, dass s 1 und s 2 die reellen Lösungen der Gleichung x 2 +x 1 = 0 sind. Daher lassen sich die Punkte S 1 (s 1 0) und S 2 (s 2 0) mit Hilfe des Kreises von Lill konstruieren. Weil z 2 und z 3 bzw. z 1 und z 4 komplex konjugiert sind, sind die Realteile von z 2 und z 3 jeweils halb so groß wie s 1 und die Realteile von z 1 und z 4 halb so groß wie s 2. Aus diesem Grund sind die gesuchten Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks gerade die Schnittpunkte der Geraden g 1 mit x = s 1 2 bzw. g 2 mit x = s 2 2 mit dem Einheitskreis, und eine Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal ist nicht nur gelungen, sondern auch auf besonders elegante Weise verstanden. 4.5 Resümee In diesem Kapitel wurden Möglichkeiten aufgezeigt, geometrische und experimentelle Zugänge zu den Standardverfahren der Nullstellenbestimmung zu entwickeln. Dadurch werden diese Verfahren und ihre Grundideen nicht nur anschaulicher gemacht, sondern es wird vor allem auch ein besseres Verständnis ermöglicht. Auf diese Weise wird unterstützt, dass Mathematik von den Schülerinnen und Schülern als freudvolles Geschäft und nicht als stupide Anwendung unverstandener Algorithmen erlebt wird. Der Kreis von Captain Lill und die Methode von Lill zeigen, dass es neben den Standardverfahren noch weitere Verfahren gibt, die mit großem Gewinn in den Unterricht integriert werden können. Mit Hilfe des Applets zum Lill-Kreis kann ein tieferes Verständnis von quadratischen Funktionen aufgebaut werden - zugleich wird deutlich, wie GeoGebra den Mathematikunterricht bereichern kann. Die mit dem Lill-Kreis und der Methode von Lill verbundenen Fragen fördern das inhaltliche und vernetzende Denken und regen zum mathematischen Argumentieren an. Außerdem wird deutlich, dass der Lill-Kreis einerseits Objekt gewinnbringender Entdeckungen sein kann, dann aber, nachdem man seine Wirkungsweise einmal verstanden hat, als mächtiges Werkzeug eingesetzt werden kann (z. B. zur Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks). Mit diesen Anregungen ist der Wunsch verbunden, dass mehr mathematische Probleme dieser Art Einzug in den Mathematikunterricht halten und dass auf diese Weise den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit gegeben wird, mehr Mathematik zu verstehen.

64 Literatur 55 Literatur [Alt08] ALTEN, H.-W., DJAFARI NAINI, A., FOLKERTS, M., SCHLOSSER, H., SCHLOTE, K.-H. & WUSSING, H. (2008) Jahre Algebra. Springer, 2. Aufl. [Bal07] BALLEW, P. (2007). Solutions to Quadratic Equations. By analytic and graphic methods. Including several methods you probably have never seen. URL: (Zugriff vom ). [DeT91] DETEMPLE, D. W. (1991). Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. In: The American Mathematical Monthly, Volume 98, Issue 2, S [ES02] ELSCHENBROICH, H. J.& SEEBACH, G. (2002). Dynamisch Geometrie entdecken. Elektronische Arbeitsblätter für Euklid DynaGeo. Klasse cotec Verlag. [KS11] KAENDERS, R.& SCHMIDT, R. (2011). Beispiele, Perspektiven und Fragen zur Förderung mathematischer Begriffsentwicklung durch GeoGebra. In: Beiträge zum Mathematikunterricht WTM Verlag. [Kal09] KALMAN, D. (2009). Uncommon Mathematical Excursions: Polynomia and related Realms, The Mathematical Association of America, USA. [Kas98] KASKE, R. (1998). Quadratische Gleichungen bei al-khwarizmi. In: mathematik lehren, Heft 91, Dez. 1998, [Lil67] LILL, M. E. (1867). Résolution Graphique. Des équations numériques de tous les degrés à une seule inconnue, et description d un instrument inventé dans ce but. In: Nouvelles Annales de Mathématique,n o 55, S

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66 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Oliver Labs Das Lösen quadratischer Gleichungen, z.b. mit Hilfe der sogenannten pq-formel, ist hinlänglich bekannt. Für eine gegebene Gleichung x 2 + px+q = 0 ist es damit ein Leichtes, herauszufinden, ob die Gleichung zwei, eine oder keine Lösung besitzt. Doch wie hängt die Anzahl dieser Lösungen von den Koeffizienten p und q ab? Beispielsweise, wenn man die Koeffizienten p und q der Gleichung zufällig aus einem gewissen Bereich wählt, etwa p, q a für ein a > 0? Über einen experimentellen Zugang werden wir sehen, wie bei der Beantwortung dieser Fragen auf natürliche Weise implizite Gleichungen auftauchen und wie die neuen Visualisierungsund Vernetzungsmöglichkeiten der Computerprogramme GeoGebra und Surfer die Untersuchungen erleichtern können. Nach dem ausführlichen Studium des Falles quadratischer Polynome gehen wir kurz auf Polynome vom Grad 3 und 4 ein. 5.1 Einleitung Welchen Einfluss haben die Koeffizienten von Polynomen auf deren Nullstellen? Ausgehend von Experimenten mit der Dynamischen Geometrie Software (DGS) betrachten wir zunächst den Fall der quadratischen Polynome im Detail, bevor wir auf Polynome höheren Grades eingehen. Kenner Dynamischer Geometrie Software denken bei solchen Fragen vermutlich sofort an Schieberegler. Um deren Anzahl zu reduzieren, kann man die allgemeine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 in einer Variablen x mit Koeffizienten a,b,c R zu einer normierten Gleichung mit nur zwei Parametern umformen: x 2 + px + q = 0 mit p = b a und q = c a. Mit Geo- Gebra kann man nun die Nullstellen von f (x) := x 2 + px + q experimentell untersuchen; etwa mit dem GeoGebra-Applet Schieberegler auf der Webseite zu diesem Kapitel (s. auch Abb. 5.1). Für die Schieberegler wurde dabei die Standardeinstellung von GeoGebra beibehalten, d.h. die Parameter p und q können damit jeweils zwischen 5 und 5 verändert werden. Der Einfluss des Parameters q ist recht einfach zu klären: der Graph des Polynoms wird bei Variation von q auf und ab geschoben. Doch was genau passiert bei der Veränderung von p? Und vor allem: Für welche Kombinationen von p und q hat f keine, eine oder zwei Nullstellen? Und außerdem: Wieviele Nullstellen hat das Polynom vermutlich, wenn wir die Schieberegler irgendwie, d.h. zufällig, einstellen? Wieviele Nullstellen hat das Polynom x 2 + px + q also vermutlich, wenn wir die Parameter p und q zufällig im Bereich von 5 bis 5 oder allgemeiner a bis a wählen? Oder genauer: Wie wahrscheinlich sind die einzelnen Möglichkeiten? Neben GeoGebra setzen wir bei der Untersuchung dieser Fragen auch die Software Surfer [Mey08] ein, die vom Autor für die Wanderausstellung Imaginary im Jahr 2008 mitentwickelt wurde. R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _5, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

67 58 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Abbildung 5.1: Per Schieberegler kann man in GeoGebra den Einfluss der Parameter auf das Polynom x 2 + px + q experimentell untersuchen. 5.2 Nullstellen von zufälligen quadratischen Polynomen Um der Beantwortung der Eingangsfragen nach dem Einfluss der Koeffizienten quadratischer Polynome auf deren Nullstellen auf den Grund gehen zu können, wiederholen wir zunächst kurz, wie man Nullstellen quadratischer Gleichungen finden kann. Über Experimente mit Dynamischer Geometrie Software kommen wir schließlich zu Antworten Die Diskriminante normierter quadratischer Polynome Die Nullstellen eines normierten quadratischen Polynoms x 2 + px+q = 0 mit Parametern p,q R können wir mit Hilfe quadratischer Ergänzung finden: ( 0 = x 2 + px + q = x + p ) 2 ( p ) 2 ( + q = x + p ) ( 2 ( p ) ) 2 q Die reellen Lösungen dieser Gleichung sind daher, falls ( p 2 )2 q > 0 ist, die beiden aus der pq-formel bekannten Zahlen x 1,x 2 R, nämlich x 1,2 = p 2 ± ( p 2 ) 2 q, weil sich für diese Werte von x beim Einsetzen in die obige Gleichung 0 ergibt. Man sieht, dass man genau zwei reelle Lösungen erhält, wenn der Term unter der Wurzel positiv ist, d.h. wenn ( p ) 2 D(p q) := q > 0, 2 genau eine (doppelte) Lösung erhält, wenn D(p q)=0, keine reelle Lösung erhält, wenn D(p q) < 0 ist. Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung können wir also an ihren Parametern ablesen, indem wir das Vorzeichen von D(p q) ermitteln. Weil das Vorzeichen des Terms D(p q) über die Anzahl der Lösungen entscheidet, wird D(p q) als Diskriminante (von diskriminare: unterscheiden) des quadratischen Polynoms x 2 + px + q = 0 mit den Parametern p und q bezeichnet.

68 5.2 Nullstellen von zufälligen quadratischen Polynomen Ein GeoGebra-Experiment Um nun eine erste Idee davon zu bekommen, wie viele Nullstellen das Polynom x 2 + px + q bei beliebiger Einstellung der Schieberegler für p und q (s. Abb. 5.1) vermutlich hat, lassen wir GeoGebra zufällig 100 Punkte (p q) mit p,q a für einige Werte a wählen und, falls das zugehörige Polynom f pq (x)=x 2 + px + q zwei Nullstellen hat, den Punkt (p q) rot in die pq- Ebene einzeichnen, bei keiner Nullstelle blau und bei genau einer Nullstelle schwarz. Für a = 6 ergibt sich ein Bild wie jenes in Abb Abbildung 5.2: 100 zufällige Punkte (p q) wurden von GeoGebra in einem Quadrat gewählt und je nach Anzahl der Nullstellen von f pq (x)=x 2 + px + q eingefärbt: blau bei keiner Nullstelle, rot bei zwei Nullstellen, schwarz bei genau einer Nullstelle. Über die Webseite zu diesem Kapitel können Sie das Experiment mit Hilfe des Knopfes Neue Zufallspunkte beliebig oft wiederholen oder den ganzzahligen Parameter a zwischen 0 und 8 über den Schieberegler variieren. Nach einigen Experimenten dieser Art ist eine Vermutung über die Verteilung der Punkte (p q) naheliegend; es gibt zwei zusammenhängende Bereiche: keine Lösung (blaue Punkte), zwei Lösungen (rote Punkte). Der blaue Bereich scheint dabei in etwa das Innere einer Parabel zu sein, die im Verhältnis zum Quadrat schmaler wird, je größer a wird. Insgesamt kommt also der Fall, dass es zwei reelle Lösungen gibt, wesentlich häufiger vor, grob geschätzt im Beispiel a = 6 von oben in etwa 70% der Fälle. Der verbleibende Fall, dass es genau eine Lösung gibt, tritt nahezu gar nicht auf.

69 60 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Im Parameterraum Wie können wir uns das Ergebnis des Experiments erklären? Zur Klärung dieser Frage betrachten wir die bestimmende Größe D(p q)= ( p) 2 2 q, also die Diskriminante des Ausgangspolynoms f pq (x), etwas genauer. Es gilt: ( p ) 2 1 f pq (x) hat genau eine Lösung D(p q)=0 q = 0 q = 2 4 p2. Die Menge der Parameterpunkte (p q), für die die Ausgangsparabel f pq (x)=x 2 + px + q genau eine Nullstelle hat, bildet in der pq-ebene also selbst eine Parabel. Entsprechend können wir die Punkte (p q), die zwei bzw. keine Lösung liefern, charakterisieren: f pq (x) hat zwei Lösungen: D(p q) > 0 q < 1 4 p2, f pq (x) hat keine Lösung: D(p q) < 0 q > 1 4 p2. Tatsächlich liegen die Punkte (p q) [ a,a] 2, die keine Lösung liefern, also innerhalb eines parabelförmigen Gebietes und diejenigen zu zwei Lösungen außerhalb (s. Abb. 5.3). Abbildung 5.3: Innerhalb der Parabel q = 1 4 p2 liegen die Punkte, zu denen die Gleichung x 2 + px + q = 0 keine Lösung hat, außerhalb die zu denen mit zwei Lösungen. Mit Hilfe des GeoGebra-Applets Diskriminante quadratischer Polynome von der Kapitelwebseite (s. auch Abb. 5.4) kann man dies interaktiv nachvollziehen, indem man den Punkt R =(p q) mit der Maus verschiebt, mal auf die Parabel D(p q) =0, mal über und mal unter sie. Zwei Koordinatensysteme werden dabei gleichzeitig angezeigt, nämlich die pq-ebene und die xy-ebene, damit der Zusammenhang der beiden Gleichungen f pq (x)=x 2 + px + q = 0 und D(p q)=0 auf einen Blick betrachtet werden kann.

70 5.2 Nullstellen von zufälligen quadratischen Polynomen 61 Abbildung 5.4: Über den Punkt R =(p q) kann man beim Applet die Parameter der quadratischen Funktion, die links in rot gezeigt ist, verändern und dabei insbesondere deren Nullstellen betrachten Alle Nullstellen auf einen Blick In Abb. 5.3 hatten wir die Punkte (p q) je nach der Anzahl der Nullstellen eingefärbt. Statt dessen können wir auch für jeden Punkt (p q), zu dem es Nullstellen x 1 und x 2 von f pq (x) = x 2 + px+q gibt, auch gleich die beiden Punkte (p q x 1 ) und (p q x 2 ) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem einzeichnen. So erhalten wir ein Bild, das aus allen Punkten (p q x) R 3 besteht, die die Gleichung f pq (x)=x 2 + px + q = 0 erfüllen. Abb. 5.5 zeigt ein solches und zusätzlich die pq-ebene, in der die Diskriminante D(p q) eingezeichnet ist. Die vertikalen Balken sind zwei ausgewählte Geraden, die senkrecht zur pq-ebene stehen. Die grüne Gerade schneidet daher die Oberfläche x 2 + px + q = 0 in den beiden Punkten (p q x 1 ) und (p q x 2 ), für die x 2 i + px i + q = 0 gilt; x 1 und x 2 sind also gerade die Nullstellen des Polynoms x 2 + px + q. Die schwarze Gerade geht durch die Diskriminante (die schwarze Parabel) und berührt daher die Fläche x 2 + px + q = 0 in genau einem Punkt. Jede vertikale Gerade durch das Innere der Parabel schneidet die Fläche nicht, weil sie ja zu Punkten (p q) gehört, so dass das Polynom x 2 + px + q keine Nullstelle hat. Solche Punktmengen können mit Hilfe der Software Surfer, die kostenfrei von [Mey08] heruntergeladen werden kann, visualisiert werden. Die dort ebenfalls kostenfrei verfügbare Java- Version jsurfer hat zwar in der aktuellen Version (Mai 2011) noch weniger Features, dafür kann man diese Software aber ohne Installation direkt im Browser nutzen. Bei beiden Programmen gibt man einfach die Gleichung (allerdings zwingend in den Variablen x,y,z) ein und schon wird die Menge der Punkte angezeigt und man kann sie auch interaktiv drehen und von allen Seiten betrachten Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen Wir haben mit Hilfe der Diskriminante verstanden, warum mehr der zufälligen quadratischen Polynome f pq (x)=x 2 + px + q zwei Nullstellen besitzen als keine Nullstelle. Um genaue Aussagen über die Wahrscheinlichkeit machen zu können, mit der ein solches Polynom zwei Nullstellen besitzt, können wir z.b. den Flächeninhalt innerhalb der Parabel (Abb. 5.3) mit dem Rest

71 62 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Abbildung 5.5: Alle Nullstellen der Gleichung x 2 + px+q in einem Bild, das nämlich die Punkte (p q x) R 3 zeigt, die die Gleichung x 2 + px + q = 0 erfüllen. des Quadrates vergleichen. Dazu unterscheiden wir zwei Fälle, wie sich die Parabel q = 1 4 p2 und das Quadrat mit Seitenlänge 2a schneiden (s. dazu Abb. 5.3): 1. Die Parabel schneidet das Quadrat in der linken und rechten Kante bzw. a a2 4 bzw. a 4. Durch Integration können wir dann den Flächeninhalt innerhalb der Parabel berechnen: P 0 a 4 ( f pq (x) hat keine Nullstelle)= Parabelflächeninhalt Quadratflächeninhalt = 2a2 1 6 a3 4a Die Parabel schneidet das Quadrat in der oberen Kante, d.h. a a2 4 bzw. a 4. P a 4 ( f pq (x) hat keine Nullstelle)= Parabelflächeninhalt Quadratflächeninhalt = 4a2 a a 4a 2. Beispielsweise erhalten wir für a = 6 einen Flächenanteil von etwa 27%, also den im obigen Experiment ungefähr beobachteten Anteil. 5.3 Polynome höheren Grades Bei Gleichungen höheren Grades werden wir das Problem im Allgemeinen nicht auf zwei Parameter reduzieren können. Im Fall von Polynomen vom Grad 3 geht das aber noch, weshalb wir diesen noch etwas detailiierter betrachten, bevor wir für höhere Grade nur einen knappen Ausblick geben.

72 5.3 Polynome höheren Grades Polynome vom Grad 3 Wir beginnen mit einem normierten Polynom x 3 + ax 2 + bx + c in drei Parametern und führen es mit der Transformation x x 1 3a auf eines in zwei Parametern zurück: (x 1 3 a)3 + a(x 1 3 a)2 + b(x 1 3 a)+c = x 3 ax a2 x a3 + ax a2 x a3 + bx 1 3 ab + c = x 3 + px + q für gewisse Koeffizienten p und q, die nur von a,b,c und nicht von x abhängen Bestimmung der Diskriminante Wieviele Nullstellen hat ein zufälliges solches kubisches Polynom? Genauso wie bei quadratischen Polynomen suchen wir zunächst nach einer Bedingung an die Parameter p und q, unter der es nur zwei Nullstellen gibt, d.h. dass mindestens eine Nullstelle eine doppelte ist, also: x 3 + px + q =(x x 1 ) 2 (x x 2 ). Ausmultiplizieren der rechten Seite zu x 3 2x 1 x 2 x 2 x 2 + x 2 1 x + 2x 1x 2 x x 2 1 x 2 und Koeffzientenvergleich liefert dann: 0 = 2x 1 + x 2, p = x x 1 x 2, q = x1x 2 2. Wir erhalten also nach Einsetzen von x 2 = 2x 1 in die beiden letzten Gleichungen: p = 3x 2 1 und q = 2x 3 1. Damit haben wir eine Parametrisierung t ( 3t 2, 2t 3 ) der Menge der Punkte in der pq-ebene gefunden, die wenigstens eine doppelte Nullstelle liefern. Um eine Bedingung an die Parameter p und q zu finden, in der die Nullstelle x 1 nicht mehr vorkommt, stellen wir fest, dass p 3 = 27x1 6 und q2 = 4x1 6 ist, so dass 4p3 = 27q 2 gilt. Das Polynom D(p q)=4p q 2 wird daher wieder als Diskriminante bezeichnet. Tatsächlich beschreiben die Parametrisierung t ( 3t 2, 2t 3 ) und die Bedingung 4p q 2 = 0 die gleiche Menge von Punkten in der pq-ebene; jeder Punkt im Bild der Parametrisierung erfüllt nämlich die Gleichung und die Menge der Punkte, die die Gleichung erfüllen, besteht ebenfalls nur aus zwei Ästen, wie die Umformung q = ± p3 zeigt (s. auch Abb. 5.6).

73 64 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen Abbildung 5.6: Die Punkte (p q), für die die Gleichung x 3 + px + q wenigstens eine doppelte Nullstelle besitzt. Diese werden z.b. durch die Bedingung 4p q 2 = 0 beschrieben, also durch die Punkte, für die die Diskriminante 0 ist Die Diskriminante und die Anzahl der Nullstellen Genau wie im Fall der quadratischen Gleichung können wir auch hier alle Nullstellen des Polynoms x 3 + px+q gleichzeitig in einem Bild im pqx-raum darstellen, indem wir dort alle Punkte (p q x) R 3 einzeichnen, die die Gleichung x 3 + px + q = 0 erfüllen. Wie zuvor ist es hilfreich, die Diskriminante in einer zur pq-ebene parallelen Ebene mit einzuzeichnen, damit wir durch eine vertikale (zur x-achse parallele) Gerade gleichzeitig sehen können, wieviele Nullstellen das Polynom besitzt und wo der Punkt (p q) bzgl. der Diskriminante liegt (Abb. 5.7). Abbildung 5.7: Die Bilder zeigen die Menge aller Punkte (p q x), die die Gleichung x 3 + px + q = 0 erfüllen. Wir sehen in einer Graphik also alle Nullstellen aller solcher Gleichungen. Die zur x-achse parallelen Geraden zeigen, dass zu einem Punkt (p q) außerhalb der schwarz eingezeichneten Diskriminanten in der roten pq-ebene genau eine Nullstelle von x 3 + px + q existiert und zu einem Punkt innerhalb der Diskriminanten drei. Auf der Webseite [BL06, Nr. 4] läuft die vertikale Gerade in einem vom Autor erstellten Film verschiedene Punkte (p q) ab. Daran sieht man deutlich, welche Bereiche der pq-ebene zu Polynomen mit einer, zwei bzw. drei Nullstellen gehören (der Fall keiner Nullstelle existiert bei

74 5.3 Polynome höheren Grades 65 Polynomen von ungeradem Grad ja nicht wegen des Zwischenwertsatzes). Alternativ können Sie wie bei den quadratischen Polynomen zwei Koordinatensysteme gleichzeitig in GeoGebra anzeigen lassen (s. Abb. 5.8 und das zugehörige GeoGebra-Applet auf der Kapitel-Webseite) und dann den Punkt R =(p q) im pq-koordinatensystem verschieben und dabei betrachten, wie sich der Graph und die Nullstellen des Polynoms x 3 + px + q verändern. Besonders interessant ist es z.b., R auf der Diskriminante entlang hin zum Ursprung des pq- Koordinatensystems zu verschieben und dann auf dem anderen Ast der Diskriminante wieder wegzubewegen. Warum passiert dabei das, was man dabei beobachten kann? Abbildung 5.8: Das Bild zeigt die Diskriminante D(p q) =0 und einen Punkt R =(p q) in einem pq- Koordinmatensystem sowie den Graph des Polynoms x 3 + px + q im xy-koordinatensystem. In GeoGebra kann man den Punkt R verschieben und beobachten, wie sich der Graph und die Nullstellen entsprechend verändern Integralrechnung versus Approximation durch ein Vieleck Um nun die Wahrscheinlichkeit für drei Nulltellen bei einer zufälligen Wahl der Parameter p und q in einem Bereich [ a,a] für ein gewisses a > 0 zu bestimmen, können wir wieder ein Integral bestimmen. Wegen der Gleichung q = ± p3 ist die gesuchte Fläche gerade: [ 0 2 F = 2 1 4p ] p=0 p a 3 3 p3 dp= Für a = 4 ergibt sich z.b. ein Flächeninhalt von ungefähr 9,86, also eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von drei verschiedenen Nullstellen von etwa 9, ,4%. Interessieren wir uns aber sowieso nur für eine ungefähre Bestimmung dieses Anteils, können wir das Werkzeug GeoGebra hierfür auch einsetzen, um dies zu erledigen. Allerdings geht es mit Hilfe dieser Software auch ohne Integralrechnung: Beispielsweise können wir, wie in Abb. 5.9 gezeigt, den Inhalt der Kurve durch ein Vieleck approximieren und GeoGebra dessen Fläche p= a

75 66 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen ermitteln lassen; zu Fuß wären hierfür nur Kenntnisse über den Flächeninhalt von Dreiecken nötig. Die Abweichung beträgt im gezeigten Beispiel nur 0,1; wir erhalten nämlich den Wert 9,96 statt den korrekten 9,86. Die Behandlung der Frage ist also erschöpfend auch gänzlich ohne Integralrechnung möglich; analog hätten wir freilich auch den Flächeninhalt im Fall der quadratischen Gleichung bestimmen können. Abbildung 5.9: Eine Approximation des Flächeninhalts der Kurve durch einen Vielecksinhalt. In diesem Beispiel ergeben sich ein Wert von 9,96 statt den korrekten 9, Polynome vom Grad 4 Teilweise können die bisherigen Herangehensweisen auch noch für Grad 4 übernommen werden. Wieder kann man das Studium der allgemeinen Gleichung x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d durch eine geeignete Transformation auf den Fall x 4 + px 2 + qx + r zurückführen, der ein Problem mit einem Parameter weniger darstellt. Die Diskriminante D(p q r), deren Nullstellenmenge aus jenen Punkten (p q r) besteht, für die wenigstens eine doppelte Nullstelle existiert, ist jetzt allerdings ein Polynom in drei Variablen p,q,r und außerdem recht aufwändig zu bestimmen. Mit Computer Algebra Software ist dies zwar ohne größere Probleme realisierbar, jedoch ist es selbst mit einer korrekten Gleichung nicht trivial, auch ein korrektes Bild dazu zu produzieren. Beispielsweise zeigt Surfer nicht den aus der Fläche herausragenden parabelförmigen Ast (s. Abb. 5.10). Das Bild wurde daher mit Hilfe anderer Software (Singular [GPS06] und Surfex [?]) auf Basis umfangreicherer Vorberechnungen hergestellt. Es ist ebenfalls Teil eines Filmes, den der Autor auf [BL06] zur Verfügung stellt. Das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Möglichkeiten würde in diesem Fall allerdings das Bestimmen von Rauminhalten erfordern, die durch die Diskriminante im R 3 abgeteilt werden. Das unterlassen wir hier aber und begnügen uns damit, dass wir aus der Graphik wenigstens Schätzungen der Größenverhältnisse der einzelnen Kammern geben können. In solchen Fällen spielen Visualisierungen also auch für das Finden konkreter Zahlenwerte eine zentrale Rolle. Für Polynome von noch höherem Grad sind Visualisierungen nur noch möglich, wenn man sich auf Mengen von Polynomen beschränkt, die maximal drei Parameter haben. Konkrete Berechnungen sind in diesen Fällen noch wesentlich komplizierter, so dass wir darauf gar nicht eingehen möchten.

76 5.4 Resümee und Ausblick 67 Abbildung 5.10: Das Bild links zeigt die Menge aller Punkte (p q r), für die das Polynom x 4 + px 2 + qx + r wenigstens eine doppelte Nullstelle besitzt. Rechts wird im oberen Bereich zusätzlich der Graph des Polynoms für den Punkt (p q r) gezeigt, der durch eine kleine blaue Kugel markiert ist. In ähnlicher Weise wird auf der Webseite [BL06, Nr. 15], die Geometrie der Fläche und der Zusammenhang zu der Anzahl der Nullstellen des Polynoms knapp erläutert und durch einen vom Autor erstellten Film illustriert. 5.4 Resümee und Ausblick Bei der Untersuchung der Nullstellen von Polynomen haben wir gleichzeitig in zwei verschiedenen Koordinatensystemen gearbeitet und dabei im Parameterraum Kurven betrachtet, die sowohl durch implizite (d.h. nicht nach einer Variablen aufgelöste) Gleichungen als auch durch Parametrisierungen beschrieben werden können. Mit deren Hilfe konnten wir die Eingangsfrage nach der Abhängigkeit der Anzahl der Nullstellen von den Koeffizienten in den Fällen Grad 2 und Grad 3 beantworten. Auch die Wahrscheinlichkeit, mit der zufällige Polynome eine gewisse Anzahl von Nullstellen besitzen, ist für kleine Polynomgrade berechenbar: Steht Integralrechnung zur Verfügung, kann man mit ihrer Hilfe die Flächeninhalte bestimmen, doch auch eine einfache Approximation der Flächen in GeoGebra durch Vielecke liefert recht genaue Ergebnisse. Mehrere Bereiche der Mathematik wurden bei unserer Untersuchung vernetzt: Einerseits Algebra, Geometrie und Stochastik, andererseits aber auch ebene Koordinaten in verschiedenen Koordinaten-Ebenen und auch ebene und räumliche Koordinaten. Durch die dabei augenfällig werdenden Zusammenhänge erhält man ein wesentlich facettenreicheres Verständnis der Frage nach dem Einfluss der Koeffizienten auf die Nullstellen von Polynomen, als es die ausschließliche Behandlung der pq-formel erlaubt. Bei ähnlichen Betrachtungen treten genauso wie in diesem Artikel immer implizite Gleichungen auf. In nicht zu komplizierten Fällen, wie den vorgestellten, ist es möglich, Punktmengen, die durch solche Gleichungen gegeben sind, auch per Hand oder mit Hilfe von wenig Programmierung in GeoGebra zu visualisieren und damit, wie oben geschehen, beispielsweise Größenverhältnisse abschätzen zu können. Für kompliziertere Fälle steht aktuelle Software bereit, die alle Punkte, die solchen impliziten polynomiellen Bedingungen in mehreren Variablen gehorchen, darstellen kann (GeoGebra für ebene Kurven, also bei zwei Variablen; Surfer für Flächen im Dreiraum, also bei drei Variablen). In einem weiteren Schritt könnte man versuchen, die Geometrie der Situationen genauer zu

77 68 5 Diskriminante und Nullstellen von Polynomen untersuchen; dies wird allerdings schnell sehr komplex. Mögliche Fragen sind etwa: Warum sind die gezeigten Diskriminanten symmetrisch zu einer Achse bzw. zu einer Ebene? Warum haben die beiden Äste der Diskriminante des kubischen Polynoms im Ursprung die gleiche Tangente? Warum treffen sich manche der Flächenteile der Diskriminante des Polynoms vom Grad vier tangential und andere nicht? Zu welchen Parameter-Kombinationen gehört bei dieser Diskriminante der aus der Fläche heraus ragende Parabelast und warum? Auf diese und ähnliche Fragen können wir hier freilich nicht eingehen, aber vielleicht schaffen Sie es ja, einige davon zu beantworten oder verwandte Probleme aufzuwerfen und zu lösen. Einige weiterführende Arbeiten zu durch implizite Gleichungen definierten Kurven und Flächen (auch algebraische Kurven bzw. Flächen genannt) finden sich in den Referenzen, einige mit konkretem Schulbezug [Beu14, Wie14, Wol66, SD95, Lab08], eine fachdidaktische [Wet93], aber auch einige fachmathematische [Fis94, Rei88]. Außerdem liefert eine Internet-Recherche einige interessante Texte, die teils sehr konkrete Vorschläge für eine Verwendung solcher Kurven im Unterricht bieten, wie etwa der von Dörte Haftendorns (zu finden auf unter dem Link Kurven ). Literatur [Beu14] BEUTEL, E. (1914). Algebraische Kurven Kurvendiskussion. Fr. Grub Verlag, 2. Aufl. [BL06] V. BOTHMER, H.-C. G. & LABS, O. (2006). Geometrical Animations Advent Calendar URL: [Fis94] FISCHER, G. (1994). Ebene algebraische Kurven. Vieweg. [GPS06] GREUEL, G.-M., PFISTER, G.& SCHÖNEMANN, H. (2006). Singular 3.0. A Computer Algebra System for Polynomial Computations. URL: [HL05] HOLZER, S.& LABS, O. (2005). surfex Interactive Visualization of Real Algebraic Surfaces. URL: [Kle25] KLEIN, F. (1925). Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Berlin: Verlag von Julius Springer. [Lab08] LABS, O. (2008). Weltrekordflächen. URL: [Mey08] MEYER, H., STUSSAK, C., LABS, O.&MATT, A. (2008). surfer Visualization of Real Algebraic Surfaces. URL: [Rei88] REID, M. (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press [SD95] SCHUPP, H.& DABROCK, H. (1995). Höhere Kurven. Mannheim: Wissenschaftsverlag. [Wet93] WETH, T. (1993). Zum Verständnis des Kurvenbegriffs. Hildesheim: Franzbecker. [Wie14] WIELEITNER, H. (1914). Algebraische Kurven I. Sammlung Göschen. [Wol66] WOLFF, G. (1966). Handbuch der Schulmathematik, Band 4. Schroedel.

78 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen Wie zwischen Experimentieren und Simulieren Grundgedanken beurteilender Statistik reifen Wolfgang Riemer und Günter Seebach Abbildung 6.1: Beschriftete Bleistift-Würfel In der beurteilenden Statistik werden Hypothesen mit Hilfe realer Daten auf ihre Gültigkeit überprüft. Dazu untersucht man zunächst durch Simulation, später mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche Daten mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erwarten wären, wenn die fragliche Hypothese gelten würde. Anschließend vergleicht man die Erwartungen mit den realen Daten, den Versuchsergebnissen. Wenn die Abweichungen zu groß sind, bezweifelt man die Gültigkeit der Hypothese, man weist sie zurück. Andernfalls behält man sie bei. Dieser Gedankengang ist schon in der Mittelstufe ab Klasse 7/8 hervorragend zu verstehen, wenn man mit einprägsamen, authentischen (für Schüler relevanten) Problemen arbeitet, nicht zu formal vorgeht und sich zunächst auf Simulationen beschränkt. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie hervorragend sich neben händischen Simulationen auch Simulationen mit GeoGebra nutzen lassen. Wunderbare authentische Fragestellungen ergeben sich aus sensorischen Tests (Cola- oder Schokoladen-Tests mit geraspelten Schokoladensorten [1], [2] oder Hörtests [3] mit CD/MP3- Musik verschiedener Qualitätsstufen). Wer im hektischen Schulalltag den Gang in den Musikraum oder klebrige Finger scheut, der findet mit dem hier vorgestellten Bleistiftexperiment eine höchst lohnende Alternative, die praktisch keiner organisatorischen Vorbereitung bedarf. Arbeitsblatt-Vorlagen und Erläuterungen zu den GeoGebra-Simulationen finden sich in den Abschnitten bis R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _6, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

79 70 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen 6.1 Mit Bleistiften würfeln Wir beschriften die Seiten eines Bleistifts mit den Augenzahlen 1 bis 6. Das Logo bekommt die 6 und wenn es dann mit 5, 4, 1, 2, 3 in einer Richtung weiter geht, haben die Gegenseiten die Augensumme 7, wie bei einem richtigen Würfel (siehe Abb. 6.2). Nun kann man mit den Stiften würfeln, indem man sie über den Tisch rollen lässt. Abbildung 6.2: Seiten-Nummerierung Wer die Versuchsbedingen genauer festlegen möchte, nimmt einen Aktenordner als schiefe Ebene, legt das Logo beim Start nach oben und lässt die Stifte abrollen, bis sie liegen bleiben, vgl. dazu Abb Das Hypothesentesten ist bei normalen Spielwürfeln langweilig, denn niemand bezweifelt ernsthaft, dass die 6 mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 kommt. Bei Bleistiften, die eine oft erheblich unterschätzte Individualität haben, sieht das anders aus. Zwecks Wiedererkennung in verschiedenen Kursen bekommt jeder Bleistift einen Namen oder wenigstens eine Nummer. Für spannende Qualitätsvergleiche empfiehlt es sich, für jeden Schüler zwei Marken bereitzuhalten. Die Stifte heißen dann z. B. Johann Faber, Johann Herlitz, Andrea Faber, Andrea Herlitz. Bei Ikea bekommt man Klassensätze kurzer Bleistifte auch kostenlos. Doch bevor es ans Bleistiftrollen geht, werden Fragestellungen zusammengetragen, eine Erwartungshaltung wird aufgebaut. Nahe liegende Fragen 1. Kommt bei meinem Stift die 6 mit Wahrscheinlichkeit 1/6? Wie viele 6er wären dann bei 120 Rollversuchen normal? 2. Kann ich meinen Bleistift als Laplace-Bleistift bezeichnen, bei dem alle Seiten mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 kommen? 3. Gibt es unter den Bleistiften höchster Qualität (Faber-Castell) mehr Laplace- Bleistifte als unter den preiswerteren ( Herlitz Ikea ) oder No-name- Produkten? 6.2 Erst simulieren Erwartungshaltung aufbauen Es ist für die Entwicklung tragfähiger intuitiver Vorstellungen zur beurteilenden Statistik empfehlenswert, die Entscheidungskriterien für die genannten Fragen zunächst auf intuitiver Grundlage im Klassenverband auszuhandeln und anschließend durch Simulationen abzusichern: Denn

80 6.2 Erst simulieren Erwartungshaltung aufbauen 71 auch die Statistiker haben ihre Entscheidungskriterien (z. B. das Signifikanzniveau) in der scientific community nur ausgehandelt. Man lässt dazu jeden Schüler 120-mal mit einem normalen Würfel würfeln und präsentiert die Häufigkeitsverteilungen auf einer gemeinsamen Folie oder an der Tafel. Es entsteht ein abgesichertes Gefühl dafür, wie sich ein Laplace-Bleistift verhalten müsste und welche Abweichungen vom Normalen nicht vorkommen: Für Frage 2 misst man die Abweichungen zwischen den gewürfelten Augenzahlen n 1,...,n 6 zu der erwarteten Augenzahl 20 durch die Abstandsquadrat- Summe t = (n 1 20) 2 + (n 2 20) (n 6 20) 2, die um so kleiner ist, je näher die Häufigkeiten bei einer Gleichverteilung liegen. Die Simulationen geben dann Auskunft, bis zu welcher Obergrenze dieser Testwert t bei Laplace-Würfeln normalerweise schwankt. (t bezeichnet man als Chi-Quadrat-Testwert; die Verteilung von t hat die Dichte f (t)=0,133 t 1,5 e t/2.) 120-mal Würfeln dauert mit Auszählen und Zusammentragen der Ergebnisse im Kursverband ca. 25 Minuten. Das ist eine gute und durch die anschließende Bewertung nachhaltig wirkende Investition. Die Erwartungshaltung vor dem realen Bleistiftrollen steigt dadurch enorm. Als Ergebnis solcher händischer Simulationen zeigt sich, dass bei Laplace-Würfeln/Bleistiften die Anzahl der Sechser mit ca. 95%-iger Sicherheit zwischen 12 und 28 liegt, der Testwert t mit ca. 95%-iger Wahrscheinlichkeit unter 11 liegt. (a) Häufigkeitsverteilung der Sechser (b) Verteilung der Testwerte t Abbildung 6.3: Computersimulation des Bleistift-Rollens Durch eine Computersimulation (n = 1000 Versuche mit je 120 Laplace-Bleistiften, Abb. 6.3) wird das abgesichert. Stochastisch gesehen ist ein Bleistift um so besser, je gleichverteilter (oder laplacescher ) die Augenzahlen sind. Um die stochastische Qualität verschiedener Marken zu vergleichen,

81 72 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen verwendet man den Vorzeichentest. Man bildet Stiftepaare. Jeder Schüler notiert ein +, wenn der Testwert t bei seinem billigeren Stift kleiner ist, sonst ein -. Wenn 30 Schüler im Kurs sind, entspricht das 30 Münzwürfen und bei gleicher Qualität erwartet man mit 95%-iger Sicherheit zwischen 10 und 20 positive Vorzeichen. (Simulation von Münzwürfen oder Binomialverteilung nutzen). Erst bei mehr als 20-mal + würde man die billigen Stifte, bei weniger als 10-mal + die teuren Stifte als stochastisch hochwertiger bezeichnen. 6.3 Dann experimentieren NACH dem Diskutieren und Simulieren gehört die Stunde, in der die Bleistifte tatsächlich gerollt werden, zu den schönsten und emotional geladensten die man im Mathematikunterricht erleben kann. Ohne Unterlass werden (während des Rollens) neue Hypothesen generiert und sicher geglaubte verworfen. Jubeln und Fluchen, ungeduldiges Warten und überraschende Freude erfüllen den Raum: Beurteilende Statistik lebt. (Vgl. Auswertungsvorlage ) Einen Eindruck von den Ergebnissen vermittelt Abb. 6.4: Abbildung 6.4: Versuchsergebnisse für 11 Bleistiftpaare Signifikante Abweichungen sind unterlegt. + bedeutet: Herlitz-Testwert < Faber-Testwert Wie man erkennt, sind echte Laplace-Bleistifte aller Erwartung zum Trotz selten. Bei 5 von 11 Herlitz-Stiften und bei 7 von 11 Faber-Stiften weist der Chi-Quadrat-Test die Hypothese einer Gleichverteilung ( Laplace-Hypothese ) zurück (rot markierte Zellen in Abb. 6.4). Wenn man sich auf die Bleistiftseite mit der 6 konzentriert, weist der zweiseitige Test bei 3 von 11 Herlitz-Stiften und bei 2 von 11 Faber-Stiften die Hypothese H 0 : p(6) = 1 6 zugunsten von H 1 : p(6) 1 6 zurück. Auch der Vorzeichentest belegt, dass Markenstifte nicht besser abschneiden als preiswerte Stifte. (In der letzten Spalte, wurde ein + notiert, wenn der Anpassungstestwert bei dem Herlitz- Stift kleiner ist als bei dem zugehörigen Faber-Partner.)

82 6.4 Visualisieren in GeoGebra Visualisieren in GeoGebra Testwerte im Punktdiagramm Die realen Testergebnisse lassen sich noch besser beurteilen, wenn man sie in einem Diagramm mit den Ergebnissen vergleicht, die sich ergeben müssten, wenn die fragliche Hypothese stimmen würde. So zeigt Abb. 6.5 die Chi-Quadrat-Testwerte t (aus einer anderen Stichprobe) realer Bleistifte im Vergleich mit den Testwerten 1000 simulierter Laplace-Stifte in einem Punktdiagramm, das Aussagen, wie sie sich aus Abb. 6.4 ergeben, noch plakativer visualisiert. Abbildung 6.5: Chi-Quadrat-Testwerte realer Bleistifte (Mitte) im Vergleich mit 1000 mit simulierten Laplace-Stiften Stochastischer Schwerpunkt Das stochastische Verhalten von Stiften lässt sich auch gut durch die Mittelwerte ( Schwerpunkte ) der Häufigkeitsverteilungen zweidimensional visualisieren: Dazu denken wir uns die relativen Häufigkeiten der Bleistiftseiten als Gewichte (mit Gesamtmasse 1) in den zugehörigen Seitenmitten P 1 (0; 1),P 2 ( sin30 ;cos30 ),...,P 6 (0;1) konzentriert (Abb. 6.6) und berechnen den Schwerpunkt S(x;y) nach der Formel x = (h 2 + h 3 h 4 h 5 ) cos(30 ) y = h 6 h 1 +(h 3 + h 5 h 2 h 4 ) sin(30 ) Für den Herlitz-Stift von Nils ergibt sich z. B.:

83 74 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen Abbildung 6.6: Berechnung des Schwerpunktes x = y = cos(30 ) 0, sin(30 ) 0, Die Seitenmittelpunkte, die besonders häufig auftreten, ziehen den Schwerpunkt zu sich herüber. Bei Nils sind das P 1, P 2 und P 4 mit negativen y-koordinaten. Damit liegt auch der Schwerpunkt unterhalb der x-achse. Wie weit die Schwerpunkte realer Bleistifte oft von denjenigen simulierter Stifte entfernt sind, zeigt das Punktdiagramm aus Abb Boxplots Boxplots werden ab Klasse 6 genutzt, um stetig verteilte Daten zu veranschaulichen. Weil diese Diagramme auch gestatten Zufallsschwankungen zu messen, eignen sie sich hervorragend, um Gedanken beurteilender Statistik vorzubereiten: Man könnte (im Sinne einer Propädeutik) formulieren: Zwei Mittelwerte (Mediane) unterscheiden sich signifikant, wenn sich die zugehörigen 50%-Schwankungsboxen nicht oder kaum überschneiden.

84 6.5 Vertiefende Aufgaben 75 Abbildung 6.7: Die Schwerpunkte realer Bleistifte (Punkt-Markierung) im Vergleich mit denjenigen 1000 simulierter Laplace-Stifte (Kreuz-Markierung). Innerhalb des Kreises liegen 95% der simulierten Schwerpunkte. Auch dazu ein Bleistift-Experiment: t Tobias und Dagmar haben ihren Faber- und ihren Herlitz-Bleistift einen Aktenordner (Abb. 6.8) herunterrollen lassen und dabei die Rollweiten (in cm) gemessen. Die Verteilungen der Rollweiten wurden in Abb. 6.9 als Boxplots visualisiert. Da sich die Boxen (die 50% Schwankungsbereiche) nicht bzw. kaum überlappen, kann man mit Fug und Recht behaupten: Faber-Stifte rollen nicht so weit wie Herlitz- Stifte. Abbildung 6.8: Ordner als schiefe Ebene mit den Bügeln als Startposition 6.5 Vertiefende Aufgaben Wenn man mit der Binomialverteilung und der Sigmaregel (Tabelle 6.1) vertraut ist, wenn man also über die Werkzeugkiste der beurteilenden Statistik verfügt, bieten die Bleistifte ein schönes Übungsfeld zu sinnvollem Hypothesentests und zum Parameterschätzen. Man vergleiche die Aufgabenvorschläge in Abschnitt

85 76 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen (a) Tobias Rollweitenverteilung (b) Dagmars Rollweitenverteilung Abbildung 6.9: Rollweitenverteilung als Boxplots Niveau zweiseitig einseitig Chiquadrat 5df 99% μ ± 2.576σ : [9.5;30.5] μ σ = % μ ± 1.960σ : [12.0;28.0] μ σ = % μ ± 1.645σ : [13.3;26.7] μ σ = % μ ± 1.282σ : [14.7;25.3] μ σ = μ = n p = = 20 σ = n p(1 p)= χ 2 = (n 1 20) (n 6 20) = 4.08 Tabelle 6.1: Werkzeugkiste der beurteilenden Statistik 6.6 Resümee Die Nachhaltigkeit von Mathematikunterricht steigt exponentiell mit der Authentizität der Beispiele. Wer selber einmal gezwungen war, eine Hypothese, von deren Gültigkeit er felsenfest überzeugt war, nach einem Realexperiment zu verwerfen, der wird sich auch viele Jahre nach dem Abitur gerne an Mathematik und an die Philosophie beurteilender Statistik erinnern. Die verständnisfördernde, ja erhellende Rolle händischer und elektronischer Simultationen wurde in diesem Beitrag herausgestellt. Und wer sich durch ein Experimentieren mit den hier vorgestellten Simulationen von dem enormen Potenzial überzeugt hat, dass GeoGebra durch die integrierte Tabellenkalkulation inzwischen auch im Bereich der Statistik besitzt, wird dieses Werkzeug als ernst zu nehmende Alternative zu Excel in Zukunft nicht mehr missen wollen.

86 6.7 Anhang Anhang Aufgaben Zweiseitiges Testen Kommt die 6 bei meinem Stift mit der Wahrscheinlichkeit 1/6? (H 0 : p = 1 6 gegen H 1 : p 1 6 ) Kommen 6 und gegenüberliegende 1 zusammen mit Wahrscheinlichkeit 1/3? (Was einer Seite möglicherweise fehlt, kommt der Gegenseite zugute.) (H 0 : p = 1 3 gegen H 1 : p 1 3 ) Kann ich meinen Bleistift so in zwei Seiten zerlegen, dass Ober- und Unterseite mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 kommen (z. B. Oberseite: 1-4-5, Unterseite 2-3-6)? (H 0 : p = 1 2 gegen H 1 : p 1 2 ) Einseitiges Testen Eine Grundschule sammelt Bleistifte, bei denen die 6 häufig (die 1 selten) kommt. (H 0 : p = 1 6 gegen H 1 : p > 1 6 oder H 1 : p < 1 6 ) Fehlerwahrscheinlichkeiten Eine Grundschule nimmt Bleistifte in Zahlung, bei denen die 6 mindestens mit Wahrscheinlichkeit 1/3 kommt. Entscheidungsregel: Bei 120 Versuchen mindestens 40-mal die 6. Formulieren Sie zwei Alternativ-Hypothesen und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Fehler erster und zweiter Art. Eine Grundschule nimmt Bleistifte in Zahlung, bei denen die 1 höchstens mit Wahrscheinlichkeit 5 % kommt. Formulieren Sie zwei Alternativhypothesen, eine sinnvolle Entscheidungsregel und plotten Sie die zugehörige Operationscharakteristik des Tests. Schätzen Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit der 6 durch ein 80 %, 95 %, 99 % Konfidenzintervall. Anpassungstest t = (n 1 20) (n 2 20) (n 6 20) 2 20 Testen Sie, ob Sie einen Laplace-Bleistift erwischt haben, bei dem ALLE Seiten mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 kommen. Sie brauchen einen Laplace-Bleistift. Der Anpassungstest hat die Hypothese einer Gleichverteilung nicht zurückgewiesen (so sagen die Angloamerikaner treffend!) a) bei Jan für n = 120 auf dem 5 % Niveau b) bei Bianca für n = 1200 auf dem 5 % Niveau c) bei David für n = 120 auf dem 1 % Niveau d) bei Simone für n = 1200 auf dem 1 %-Niveau Welchen der 4 Bleistifte kaufen Sie?

87 78 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen Vorzeichentest Sie haben einen teuren und einen billigen Bleistift je 120-mal gerollt. Wenn die Häufigkeiten des hochwertigen Bleistifts näher an der Gleichverteilung liegen (kleinerer Testwert t) als diejenigen des minderwertigen Stiftes, notieren Sie ein, sonst ein +. Zählen Sie in Ihrem Kurs die + Ergebnisse und prüfen Sie die Hypothese, ob p(+) = 0,5 zurückgewiesen werden muss. Testen Sie einseitig oder zweiseitig?

88 6.7 Anhang Auswertungsvorlage Rollen Sie den Bleistift 120-mal mit ein wenig Schwung über Ihren Holztisch. Notieren Sie die 120 gewürfelten Augenzahlen in der Tabelle. Zählen Sie danach aus, wie oft die einzelnen Augenzahlen kamen und notiere Sie die Häufigkeiten an den entsprechenden Bleistiftseiten der Abbildung. (Sie können Strichlisten parallel zum Ausfüllen der Tabelle auch an den zugehörigen Kanten der Grafik führen, es muss als Summe 120 herauskommen). Bleistiftnummer / Name Marke: t = 1 20 [( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2] = Bleistiftnummer / Name Marke: t = 1 20 [( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2 +( 20) 2] = Mein Versuchsergebnis: Die Anzahl der Sechser liegt näher an 20 Der Testwert t ist kleiner bei dem teuren Stift (+) bei dem teurem Stift (+) bei dem billigen Stift (-) bei dem billigen Stift (-)

89 80 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen Simulieren mit GeoGebra Im Folgenden wird beschrieben, wie man mit GeoGebra die 1000-fache Wiederholung einer Zufallsversuchsreihe simulieren kann, bei der jeweils 120 mal ein perfekter Laplace-Bleistift gerollt wird, und wie man eine solche Simulation unter verschiedenen Gesichtspunkten auswertet (Abb. 6.3, 6.5 und 6.7). Dabei spielt die integrierte Tabellenkalkulation (TK) eine entscheidende Rolle. Die Simulation einer Versuchsreihe Die Eingabe von A2 = Folge[Zufallszahl[1, 6], k, 1, 120] in der Eingabezeile von GeoGebra bewirkt, dass in der Zelle A2 des Kalkulationsblattes eine Liste aus 120 Zufallszahlen aus dem Ganzzahlbereich 1 bis 6 erzeugt wird. Der Parameter k kann dabei als Folgenindex angesehen werden, der von dem Startwert 1 ausgehend bis zum Endwert 120 läuft. Diese Liste kann man sich allerdings nicht komplett anschauen, da sie zu lang ist für die Einspielung in der Algebra-Ansicht. Aber man kann das k-te Element mittels des Befehls Element[A2,k], wobei k eine Zahl zwischen 1 und 120 ist, bestimmen. Die Taste F9 bewirkt eine Neuberechnung der ganzen Liste. Das Auszählen einer Versuchsreihe Nun wird die in A2 stehende Liste ausgezählt. Es werden die Häufigkeiten der Zahlen 1 bis 6 in der Liste bestimmt. Dazu schreibt man die Zahlen 1 bis 6 in die Zellen B1 bis G1. In der Eingabezeile notiert man: B2 = ZähleWenn[x == B$1, A2]. Wichtig sind die zwei Gleichheitszeichen, die den Vergleichsoperator ausmachen. Nach Betätigung der Eingabetaste steht die Zahl der Einser in der Zelle B2. In die Zellen C2 bis G2 schreibt man nun die entsprechend angepassten Befehle: C2 = ZähleWenn[x == C$1, A2],..., G2 = ZähleWenn[x == G$1, A2], am besten wieder, indem man die Eingabezeile nutzt. Das scheint umständlich zu sein: Kundige möchten sicher an dieser Stelle Zellinhalte unter Verwendung relativer und absoluter Bezüge durch Ziehen an Markierungen kopieren. Leider

90 6.7 Anhang 81 gelingt das an dieser Stelle nicht, da der absolute Bezug auf die zufallsbestimmte Liste nicht die Liste sondern deren Definition, also den Zufallsprozess selbst, einsetzt. Die 1000-fache Wiederholung Nachdem in der Zeile 2 der TK 120 Zufallszahlen erzeugt und ausgezählt sind, soll dies 1000 mal wiederholt werden. Das klingt komplizierter als es ist: Man markiert die Zellen A2 bis G2 und zieht nun an dem kleinen Quadrat in der rechten unteren Ecke die Markierung bis zur Zeile mit der Nummer Die Verteilung der 6er im Balkendiagramm und im Boxplot (vgl. Abb. 6.3) Man markiert in der TK die Zellen G2 bis G1001, die die Häufigkeiten der 6-er enthalten, ruft dann mittels rechter Maustaste ein Kontextmenü auf und wählt: Liste erzeugen. In der Algebra-Ansicht stellt man fest, dass eine Liste mit der Bezeichnung L 1 erzeugt wurde, in der sich die Inhalte der markierten Zellen wiederfinden. Mit dieser Liste erzeugt man zunächst ein Balkendiagramm über den Befehl b=balkendiagramm[l_1,1] in der Eingabezeile. Dabei bedeutet der zweite Parameter, hier also die 1, dass jeder Balken des Diagramms die Breite 1 haben soll. Wegen der Proportionen ist es sinnvoll, das Verhältnis der Einheitengrößen auf der x- und y-achse geeignet zu verändern. Das macht man z. B., indem man an einer freien Stelle im Geometriefenster die rechte Maustaste drückt und über die Option xachse:yachse das Verhältnis 1:5 anwählt. Mit dem Mausrädchen kann man außerdem geeignet zoomen und bei gedrückter Shift-Taste und linker Maustaste sind die Inhalte der Geometrie-Ansicht natürlich auch verschiebbar. Den Boxplot erhält man über den Befehl box_6=boxplot[210,10,l_1]. Dabei bedeuten der erste Parameter, hier also 210, die vertikale Verschiebung des Boxplots und der zweite Parameter, hier die 10, gibt die vertikale Breite des Boxplots, beide in y-einheiten, an. Schließlich erzeugt man ein Kontrollkästchen, um Boxplot und Balkendiagramm nach Belieben aus- und einblenden zu können. Wir blenden beide aus. Die Chi-Quadrat-Testwerte t Die Chi-Quadrat-Testwerte (im Folgenden kurz t-werte genannt) sollen in der Spalte H der TK berechnet werden. Das erfordert die Eingabe von H2= (B2-20) 2 /20+(C2-20) 2 /20+(D2-20) 2 /20+(E2-20) 2 /20+(F2-20) 2 /20+(G2-20) 2 /20in der Eingabezeile. Dann markiert man die Zelle H2 und kopiert sie durch Ziehen am kleinen Quadrat in der rechten unteren Ecke in die Zellen H3 bis H1001. Wieder generiert man wie oben eine neue Liste L 2, diesmal aber aus den t-werten (Markieren von H2 bis H1001, rechte Maustaste: Liste erzeugen). Die Befehle t=balkendiagramm[l_2,1] und box_t=boxplot[180,10,l_2] lassen wiederum das zugehörige Balkendiagramm und den Boxplot entstehen. Im Falle der t-werte wählt man aber auch noch als zusätzliche Veranschaulichung eine Punktwolke: Zu diesem Zweck erzeugt man zu jedem t-wert einen Punkt mit einer zufälligen y- Koordinate im Bereich 200 y 100 und dem jeweiligen t-wert als x-koordinate. Jeder dieser Punkte wird normalerweise automatisch in der Geometrie-Ansicht angezeigt, wenn er in einer Zelle der TK steht. Damit aber nicht auch noch der Punktname eingespielt wird, wählt man in der Menüzeile unter Einstellungen Objektname anzeigen die Option: Keine neuen Objekte. Nun erzeugt man die Punkte durch Eingabe von I2 = (H2, 100 random() - 200) gefolgt von einer Kopieraktion nach I3 bis I1001 durch Ziehen am kleinen Quadrat der Zelle I2. Zum Schluss wird nun auch die Anzeige dieses Balkendiagramms, dieses Boxplots und der Punktwolke von einem zweiten Kontrollbutton abhängig gemacht. Im Falle des Balkendiagramms und des Boxplots ist das leicht bei der Erstellung des Kontrollbuttons durch entsprechende Auswahl

91 82 6 Bleistiftrollen - Beurteilende Statistik im Federmäppchen möglich. Im Falle der Punktwolke geht das so: Angenommen, der Kontrollbutton heißt zeige t (den Namen, der nicht mit der im Geometriefenster eingespielten Bezeichnung verwechselt werden darf, findet man über die rechte Maustaste im Menü Eigenschaften beim Klicken auf den Kontrollbutton), dann markiert man die Zelle I2 und ruft auch hier über das Kontextmenü (rechte Maustaste) die Option Eigenschaften auf. Nun zeigen sich verschiedene Registerkarten, von denen man Erweitert auswählt. Unter der Rubrik Bedingung um das Objekt anzuzeigen, gibt man nun zeige t an. Nochmals zieht man I2 anschließend bis nach I1001 hinunter. Nunmehr ist die Einspielung der t-punkte davon abhängig, ob ein Häkchen bei zeige t eingetragen ist oder nicht. Die stochastischen Schwerpunkte Um das Programm nicht zu überlasten, nutzt man für die Anzeige der stochastischen Schwerpunkte eine Datei, in der keine t-werte ermittelt sind, in der also lediglich wie oben beschrieben 1000 Testreihen mit je 120 Zufallsversuchen simuliert und ausgezählt sind. Nun trägt man in der Eingabezeile ein H2= (C2 + D2 - E2 - F2) / 120 cos(30 ), d. h. in der Zelle H2 wird die x- Koordinate des Datenschwerpunktes der ersten Versuchsreihe berechnet. Entsprechend sorgt I2= (G2 - B2) / (D2 + F2 - C2 - E2) / 120 sin(30 ) in der Eingabezeile eingetragen für die Berechnung der entsprechenden y-koordinate in der Zelle I2. Nun sollen die zugehörigen Punkte erzeugt werden. Diese werden, einmal in einer Zelle der TK stehend, auch in der Geometrie- Ansicht eingespielt. Damit aber nicht zusätzlich noch der Punktname eingespielt wird, wählen wir wie auch oben beschrieben in der Menüzeile unter Einstellungen Objektname anzeigen die Option: Keine neuen Objekte. Dann stellt man das Verhältnis xachse:yachse über das Kontextmenü der Geometrie-Ansicht auf 1:1 und zoomt so, dass die Koordinatenbereiche von -0.6 bis 0.6 den Bildschirm füllen. Die Eingabe J2=(H2,I2) in der Eingabezeile erzeugt nun den ersten Datenschwerpunkt. Man markiert die Zelle J2 und kopiert sie durch Ziehen an ihrem kleinen Quadrat in der rechten unteren Ecke bis in die Zelle J1001. Die Abstände vom Nullpunkt und der 95 % Kreis Man erzeugt den Nullpunkt durch Eingabe von N=(0,0) in der Eingabezeile und dann den Abstand des Punktes J2 vom Nullpunkt in der Zelle K2 durch Eingabe von K2=Abstand[J2,N]. Auch die Zelle K2 kopiert man durch

92 Literatur 83 Ziehen bis in die Zelle K1001. Um nun die 95 % Grenze durch einen geeigneten Kreis um den Nullpunkt kenntlich zu machen, geht man folgendermaßen vor: Man sortiert die Abstände aufsteigend und nimmt das Element mit der Nummer 950 als Kreisradius. Dazu markiert man K2 bis K1001 und erzeugt über die rechte Maustaste aus diesen Zellelementen die Liste L1. Wir schreiben in die Eingabezeile L_2=sortiere[L_1] und erhalten so die sortierte Liste L2 der Nullpunktabstände. Den gesuchten Radius legt man durch Eingabe von R=Element[L_2,950] auf die Variable R, so dass man durch Eingabe von k=kreis[n,r] den gewünschten 95 % Kreis um den Nullpunkt N ziehen kann. Selbstverständlich erzeugt jede Betätigung der F9-Taste eine komplett neue Simulation. Literatur [1] RIEMER, W.& PETZOLD, W. (1997). Geschmackstests Spannende und verbindende Experimente. In: mathematiklehren, Sammelband Wege in die Stochastik (2008) und Heft 85. [2] RIEMER, W. (1994). Schmeckt Lindt-Schokolade besser als Alpia? Sensorische Experimente im Mathematikunterricht. In: mathematiklehren, Heft 62. [3] RIEMER, W. (2009). Soundcheck: CD contra MP3. Ein Hörtest als Einstieg in die Stochastik. In: mathematiklehren, Heft 153.

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94 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Günter Seebach Nur wenn Schülerinnen und Schüler ein klares Ziel vor Augen haben und den Sinn neuer Begriffsbildungen und Verfahren verstehen, werden sie auch den vorgeschlagenen Weg gerne verfolgen. Besonders wird es ihnen dann Freude machen, wenn sie aus eigener Initiative heraus selbstständig die Entdeckungen machen können, die zum weiteren Verständnis nötig sind. Im Folgenden werden wir sehen, wie Schülerinnen und Schüler im Anschluss an eine nicht zu kurze Motivationsphase die wichtigsten Ableitungsregeln für Polynome an der Stelle x = 0 sehr schnell selbstständig finden können. Danach erweitern wir die Gültigkeit dieser Regeln über eine induktive Methode auf die Menge der reellen Zahlen. Auch die Quotientenregel können Schülerinnen und Schüler (weitgehend) selbstständig auffinden, wenn wir uns wieder auf die Stelle x = 0 und zunächst auf Polynomquotienten beschränken. Der Gültigkeitsbereich wird anschließend erneut auf den gesamten Definitionsbereich der Funktion erweitert. Im Anschluss daran werden wir sehen, dass sich mit diesen Beweisideen die angesprochenen Ableitungsregeln sogar für beliebige differenzierbare Funktionen begründen lassen. Danach untersuchen wir die allgemeine Exponentialfunktion experimentell und stellen fest, dass sich auch hier ein Blick auf die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 lohnt. Abschließend wird uns eine GeoGebra-Datei unmittelbar die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen vermitteln. Vorweg noch eine Begriffsklärung: Natürlich nutzen wir die Möglichkeit des Programms GeoGebra, Tangenten und ihre Steigungen zu gegebenen Funktionsgraphen und sogar die zugehörigen Ortslinien zu konstruieren. Das hierzu intern notwendige Differenzieren wird als Blackbox angesehen. Letztendlich gilt es, die Funktionsweise dieser Blackbox zu verstehen. Wir sprechen deshalb auch so lange von einer Tangentensteigungsfunktion, bis wir einen Weg gefunden haben, diese Funktion auch analytisch zu bestimmen. Dann erst nennen wir sie Ableitungsfunktion (oder auch einfach Ableitung, in Zeichen: f (x)) und bezeichnen das entsprechende Verfahren entweder als Ableiten oder Differenzieren. 7.1 Tangenten und ihre Steigungen Für jeden Lernprozess ist Motivation eine Grundvoraussetzung. Dabei reicht es natürlich nicht, auf die Wirkung guter DGS-Dateien alleine zu setzen. Ganz wichtig ist nach meiner Erfahrung die Vorbereitung der Lerngruppe vor dem Einsatz des Computers. Hier helfen oft einfache Tafelbilder, anhand derer zielführende Fragen aufgeworfen werden, die im Idealfall zu kontroversen Diskussionen führen. Sind die einen der Meinung, dass eine gewisse Aussage gilt und bezweifeln dies andere, so wird mit Spannung das Experiment anhand einer geeigneten Applikation R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _7, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

95 86 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Abbildung 7.1: Zum ersten Beispiel am Computer durchgeführt und das Ergebnis ausgewertet. Im Anschluss haben die Schülerinnen und Schüler dann ihre eigenen Fragen beantwortet bekommen und nicht die, von denen die Lehrerin bzw. der Lehrer gerne gehabt hätte, dass es ihre Fragen gewesen wären. Das schafft Zufriedenheit mit dem Unterricht sowohl auf Seiten der Schülerinnen und Schüler als auch auf der Lehrerseite. In der Analysis geht es in erster Linie darum, den Kurvenverlauf von Funktionen zu untersuchen. Da stehen die Steigung des Graphen, die Extrema und die Krümmung im Mittelpunkt des Interesses. In einem ersten Beispiel nehmen wir uns eine Aufgabe vor, die hier natürlich nur experimentell gelöst werden kann. Eine rechnerische Lösung muss so lange zurückgestellt werden, bis die Theorie zur Verfügung steht. Gegeben sind der Aufriss eines symmetrischen äußeren Kegels sowie der eines inneren Kegels, der ebenfalls symmetrisch ist aber seine Spitze im Mittelpunkt des Grundkreises des äußeren Kegels hat (siehe Abb. 7.1). Die Frage lautet: Wie wird qualitativ der Graph der Funktion aussehen, die das Volumen in Abhängigkeit von der Lage von P angibt und wo wird das Volumen Extrema haben? Auch diese Aufgabe sollte erst ohne Computer vorbereitet werden. Einfache Tafelskizzen zum erwarteten ungefähren Verlauf der Volumenfunktion können eine Erwartungshaltung bei den Schülerinnen und Schülern erzeugen. Auch eine Tangente kann im Sinne einer lokal gut angepassten linearen Näherung mit ihren im Verlauf verschiedenen Steigungen computerfrei vorbereitet werden. Anschließend erlaubt die Datei-1 (Abb. 7.2) nun nicht nur neben den Aufrissen der Kegel auch den Graphen der Volumenfunktion in den Blick zu nehmen und im Zugmodus zu untersuchen. Es lässt sich auch eine Tangente und sogar die zugehörige Funktion der Tangentensteigungen zeigen. Man wird erkennen, dass das Maximum der Volumenfunktion an der rechten Nullstelle der Tangentensteigungsfunktion liegt und dass diese Funktion an die bekannten Parabeln erinnert. Der Begriff der Tangentensteigungsfunktion soll anhand einer weiteren Datei gefestigt werden (Abb. 7.3).

96 7.1 Tangenten und ihre Steigungen 87 Abbildung 7.2: Datei-1 Abbildung 7.3: Datei-2 Die Aufgabe: Ein rotes Polynom f, dessen Koeffizienten durch Schieberegler eingestellt werden können, sowie Strecken, die an den kleinen grünen Punkten so gedreht werden sollen, dass sie tangential zum Graphen von f verlaufen, sind gegeben. Zu jedem Streckenstück gehört zudem ein blauer Punkt, dessen x-koordinate gleich der des zugehörigen grünen Berührpunktes ist, und dessen y-koordinate die Steigung des zugehörigen Streckenstückes ist. Auch durch die blauen Punkte

97 88 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome verläuft auf Wunsch eine Polynomfunktion. Auch der Einsatz dieser Datei kann computerfrei an der Tafel oder im Heft gut vorbreitet werden: Man gibt den Schülerinnen und Schülern ausgedruckte Graphen mit einem Koordinatenraster und fordert sie auf, anhand eines an den Graphen tangential angelegten Lineals dessen Steigung abzuschätzen. Danach soll ein Punkt konstruiert werden, der die x-koordinate vom jeweiligen Berührpunkt erbt und dessen y-koordinate die Steigung der Geraden ist, die durch das Lineal dargestellt wird. Eine solche Übung ist mühsam, aber sie schafft einen unmittelbaren Zugang zu der Funktionsweise von Datei-2 (Abb. 7.3) und damit zur Tangentensteigungsfunktion. Mit Hilfe einer dritten Datei soll die Rolle der Tangentensteigungsfunktionen nun weiter untersucht werden. Hier können über die F9-Taste durch Zufallszahlen gesteuerte (rote) Graphen ganzrationaler Funktionen f, die von 2., 3. oder 4.Grad sind, automatisch eingespielt werden. Mit verschiebbaren Parallelen zur y-achse sollen nun Bereiche mit unterschiedlichem Steigungsverhalten des Graphen separiert werden. Die anschließend eingespielte (blaue) Tangentensteigungsfunktion g soll dann in ihrem Verlauf zu diesen Bereichen in Beziehung gesetzt werden. Abbildung 7.4: Datei-3 Es ergeben sich dabei naheliegende erste Beobachtungen: Graph f steigend g 0 Graph f fallend g 0 Graph f maximal g-übergang +/-

98 7.2 Die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 bzw. x = a bei Polynomfunktionen 89 Graph f minimal g-übergang -/+ Extremum bei f Nullstelle bei g Und auch die Extrema von g können in den Blick genommen werden: Bei Maxima von g findet man einen Übergang (Linkskurve Rechtskurve) bei f Bei Minima von g findet man einen Übergang (Rechtskurve Linkskurve) bei f Offenbar enthält also die Tangentensteigungsfunktion sehr viel Information über den Graphen der Ausgangsfunktion. Es wird sich somit lohnen, eine Methode zu entwickeln, solche Tangentensteigungsfunktionen aus dem ursprünglichen Funktionsterm zu berechnen Die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 bzw. x = a bei Polynomfunktionen In der folgenden Datei (Abb. 7.5) liegt nun der Schlüssel für den hier vorgestellten Zugang zu den Ableitungsfunktionen. Abbildung 7.5: Datei-4-1 Vordergründig ist nichts Neues erkennbar. Gegeben ist eine (rote) Polynomfunktion 4. Grades, deren Koeffizienten an Schiebereglern einstellbar sind zusammen mit einer Tangente. Verändert man nun die Koeffizienten, so sieht man, dass abgesehen von a 0 alle Veränderungen auch Einfluss auf die Tangentensteigung haben, wenn P nicht gerade auf der y-achse liegt. So kann es sinnvoll sein, die Schülerinnen und Schüler aufzufordern, die Datei ruhen zu lassen. Nun kann eine Erwartungshaltung aufgebaut werden, indem man um eine Einschätzung bittet: Welcher Koeffizient wird die Tangentensteigung an der Stelle x=0 am meisten beeinflussen?

99 90 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Überraschenderweise ergibt die Untersuchung mit Hilfe der Datei-4, dass die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 exakt durch den linearen Koeffizienten der Polynomfunktion, d. h. durch a 1, gegeben ist und die übrigen Koeffizienten gar keinen Einfluss darauf zu haben scheinen. Wir müssen hier natürlich sehr vorsichtig sein, da diese rein experimentelle Beobachtung erst noch einer theoretischen Absicherung bedarf. Aber: Wie beweist man etwas über Tangenten, wenn man Tangenten mathematisch genau eigentlich nur vom Kreis her kennt? Um an dieser Stelle weiter zu kommen, blenden wir in der Datei-4 auch eine Sekante ein, d. h. eine Gerade, die den Graphen von f nicht nur an der Stelle x = 0 schneidet, sondern auch an der Stelle x = h. Lässt man h nun betragsmäßig immer kleiner werden, so erkennt man einerseits, dass sich diese Sekante immer mehr der roten Tangente annähert, aber andererseits verschwindet sie spurlos in dem Augenblick, in dem sie eigentlich in die Tangente übergehen sollte... Abbildung 7.6: Datei-4-2

100 7.2 Die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 bzw. x = a bei Polynomfunktionen 91 Nun ist der Augenblick gekommen, das Beobachtete theoretisch zu verarbeiten und den Computer erst einmal auszuschalten. Die Rechnung ergibt für jeden beliebigen Grad n des Polynoms: Sekantensteigung(0,h) = f (0 + h) f (0) h = a nh n + + a 3 h 3 + a 2 h 2 + a 1 h + a 0 a 0 h = ( a n h n a 3 h 2 + a 2 h + a 1 ) Obwohl der Grenzwertbegriff in der Schule aus Zeitgründen nicht mehr mathematisch exakt entwickelt werden kann, führen wir ihn nun in dem Sinne ein, dass wir uns fragen, welcher Zahl sich der Quotient beliebig nähert, wenn h betragsmäßig immer kleiner wird: Unter der Tangentensteigung f (x) der Funktion f an der Stelle x verstehen wir den Grenzwert der Sekantensteigung: f (x)=lim h 0 f (x + h) f (x) h Und die Rechnung ergibt somit für h 0 als Tangentensteigung eines Polynoms f an der Stelle x = 0: f (0) = lim h 0 f (0 + h) f (0) h = lim h 0 a n h n + + a 3 h 3 + a 2 h 2 + a 1 h + a 0 a 0 h = lim h 0 ( an h n a 3 h 2 + a 2 h + a 1 ) = a1 Also war die Vermutung f (0)=a 1 in der Tat völlig richtig: Die Tangentensteigung eines Polynoms an der Stelle x = 0 ist sein linearer Koeffizient a 1. Aber jetzt werden sich aufmerksame Schülerinnen und Schüler die Frage stellen, welchen Wert denn eine solch (scheinbar) singuläre Feststellung für die große Idee hat, die Tangentensteigungsfunktion für den gesamten Definitionsbereich von f zu bestimmen. Diesem Ziel kommt man mit der folgenden Beobachtung einen entscheidenden Schritt näher:

101 92 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Die Tangentensteigung ändert sich nicht, wenn man einen Graphen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verschiebt. Damit können wir nun die Tangentensteigung des Graphen von f an jeder beliebigen Stelle x = a bestimmen, indem wir den Graphen um ( a) in x-richtung verschieben und dann die Tangentensteigung des verschobenen Graphen, d. h. des Graphen der Funktion f (x + a) an der Stelle x = 0 bestimmen. Bestimmen wir beispielsweise so einmal die Tangentensteigung der Funktion f (x)=x 3 +2x 2 an der Stelle x = a: Das Auflösen der Klammern und Zusammenfassen nach absteigenden x-potenzen ergibt: f (x + a)=(x + a) 3 + 2(x + a) 2 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 + 2x 2 + 4ax + 2a 2 = x 3 +(3a + 2)x 2 +(3a 2 + 4a)x +(a 3 + 2a 2 ) Sieht man sich nun den linearen Koeffizienten dieser Funktion an, d. h. die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 des um ( a) verschobenen Graphen von f, so erkennt man: f (a)=3a 2 +4a und geht man nun noch zu der üblichen Variablen x über, so ergibt sich: f (x)=x 3 + 2x 2 f (x)=3x 2 + 4x Nebenbei bemerkt: In der Datei-4 kann man mit solchen Beispielen experimentieren, wenn man die Option Verschobene Funktion zeigen anwählt und P auf der x-achse verschiebt. Die ursprüngliche Beobachtung ist also bei weitem nicht so singulär, wie es zunächst erscheint. Diese Schlussweise verdient noch eine genauere Analyse: Hier wird mathematisch induktiv argumentiert, eine Methode, die auch in der Schulmathematik durchaus üblich ist, die man aber selten als Beweismethode thematisiert: Man beweist zunächst einen Spezialfall und verallgemeinert anhand einer geeigneten Invarianz. Beispielsweise kann die Bestimmung des Flächeninhalts von Parallelogrammen wegen der Scherungsinvarianz auf die Bestimmung des Flächeninhalts von Rechtecken zurückgeführt werden, oder die zentrische Streckung von einem beliebigen Punkt aus in Kombination mit zwei Verschiebungen auf die zentrische Streckung vom Nullpunkt aus, oder man denke nur an das Verfahren der Vollständigen Induktion, bei dem sich die Gültigkeit einer Aussage von n auf n + 1 vererbt, d. h. invariant bleibt. Streng genommen haben wir an dieser Stelle nun bereits unser erstes Ziel komplett erreicht, zu jeder Polynomfunktion die zugehörige Tangentensteigungsfunktion oder wie wir nach dem oben ausgeführten Beweis auch sagen können: die Ableitungsfunktion zu bestimmen. Allerdings ist in jedem Einzelfall eine Rechnung erforderlich wie im obigen Beispiel. Vielleicht gibt es ja noch eine einfachere Alternative zu diesem Verfahren...

102 7.3 Faktor-, Summen- und Produktregel für Polynome an der Stelle x = Faktor-, Summen- und Produktregel für Polynome an der Stelle x = 0 An dieser Stelle des Unterrichts ist wieder zunächst eine computerfreie Phase sinnvoll. Die Frage, die jetzt gestellt werden sollte, ist die folgende: Gegeben sind: Ein Faktor c sowie zwei Polynomfunktionen f (x)=a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 und g(x)=b m x m + + b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0 Gesucht ist jeweils die Tangentensteigung (oder die Ableitung) der folgenden Funktionen an x = 0zu 1. h 1 (x) := c f (x) 2. h 2 (x) := f (x)+g(x) 3. h 3 (x) := f (x) g(x) 4. h 4 (x) := f (x) g(x) Mit Blick auf die linearen Koeffizienten sind die Lösungen in allen vier Fällen auch für die Schülerinnen und Schüler sehr leicht zu finden: Zu (1): h 1 (x) := c f (x)=c(a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 )=ca n x n + + ca 2 x 2 + ca 1 x 1 + ca 0, d. h.: h 1(0)=c a 1 = c f (0), die Faktorregel an der Stelle x = 0; Zu (2) und (3): h 2/3 (x) = f (x) ± g(x)=(a n x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 ) ± (b m x m b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0 ) =...+(a 2 ± b 2 )x 2 +(a 1 ± b 1 )x +(a 0 ± b 0 ), d. h.: h 2/3 (0)=a 1 ± b 1 = f (0) ± g (0), die Summen- und Differenzregel an der Stelle x = 0. Zu (4): h 4 (x) := f (x) g(x)=(a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 ) (b m x m + + b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0 ) = (...)x 2 +(a 1 b 0 )x +(a 0 b 1 )x +(a 0 b 0 )=(...)x 2 +(a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + a 0 b 0,

103 94 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome d. h. h 4(0)=a 1 b 0 + a 0 b 1 = f (0) g(0)+ f (0) g (0), die Produktregel an der Stelle x = 0. Dabei reicht es auch, wenn man zunächst nur von Polynomen etwa vom Grad 4 ausgeht. Dann kann man leicht alle Summanden aufschreiben. Und was lässt sich diesmal über die Gültigkeitsbereiche sagen? Selbstverständlich können wir alle vier Regeln auch an einer beliebigen Stelle x = a untersuchen, wenn wir nur wieder die beteiligten Funktionen um ( a) in x-richtung verschieben. Dann haben wir die uns interessierenden Tangentensteigungen nach x = 0 verlagert, wo ja alle vier Regeln nachgewiesenermaßen gelten. Die induktive Methode erlaubt also auch an dieser Stelle die Verallgemeinerung. So haben wir nun für alle x R nachgewiesen: (I) Für jedes Polynom f (x) und jede reelle Zahl c gilt: (c f ) (x) =c f (x), die Faktorregel (II) Für je zwei Polynome f (x) und g(x) gilt: ( f + g) (x)= f (x)+g (x), die Summenregel (III) Für je zwei Polynome f (x) und g(x) gilt: ( f g) (x)= f (x) g (x), die Differenzregel (IV) Für je zwei Polynome f (x) und g(x) gilt: ( f g) (x)= f (x) g(x)+ f (x) g (x), die Produktregel Alle 4 Regeln lassen sich experimentell mit Hilfe der GeoGebra-Dateien Datei-5, Datei-6 und Datei-7 auch für beliebige Stellen x = a verifizieren. Selbstverständlich kann man die Reihenfolge des Vorgehens auch umkehren: Lassen Sie Ihre Schüler doch erst anhand der genannten Dateien die jeweiligen Ableitungsregeln entdecken und beweisen Sie diese im Anschluss so, wie es oben ausgeführt wurde. Jede Lehrerin, jeder Lehrer kann am besten selbst abschätzen, welcher Weg zu seiner Lerngruppe am besten passt. 7.4 Die allgemeine Ableitungsregel für Polynome In einem weiteren Schritt untersuchen wir nun die Ableitung der Funktion f (x)=x n an einer beliebigen Stelle x = a, d. h. wir betrachten den linearen Koeffizienten der Funktion g(x) := f (x + a), also die Tangentensteigung der um ( a) verschobenen Funktion f an x = 0: Es gilt: g(x)=(x + a) n = ( ) ( ) n n x n + ax n n n 1 ( ) n a n 1 x + 1 ( ) n a n, 0 und damit ergibt sich: f (a)=(x n ) (a)=g (0)= ( n 1) a n 1 = na n 1, d. h. es folgt (V) f (x)=x n f (x)=nx n 1

104 7.5 Die Quotientenregel für Polynomquotienten selbstständig entdecken 95 Insgesamt können wir jetzt jedes Polynom überall ableiten: Die Summanden von f (x)=a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 können mit Hilfe von (I) und (V) so abgeleitet werden: (a k x k ) (x)=k a k x (k 1) und wiederholte Anwendung der Summenregel führt schließlich zu: (VI) f (x)=a n x n + +a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 f (x)=n a n x n a 2 x 1 +a 1, die allgemeine Ableitungsregel für Polynome. Im Anschluss an dieses Ergebnis können nun in gewohnter Weise Extremwertaufgaben behandelt und die üblichen Kriterien hierfür unter Einbeziehung von 2. und 3. Ableitung erarbeitet werden. Auf entsprechende Ausführungen verzichten wir hier. 7.5 Die Quotientenregel für Polynomquotienten selbstständig entdecken Wir zeigen nun, wie Schülerinnen und Schüler selbstständig auch die Quotientenregel entdecken können, zumindest für Polynome im Zähler und Nenner und an der Stelle x = 0. Gehen wir also aus von f (x)=a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 und g(x)=b m x m + + b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0 und von g(0)=b 0 0. Dann ergibt sich die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 für die Quotientenfunktion zu: f g lim (h) f g (0) h 0 h a n h n + +a 2 h 2 +a 1 h 1 +a 0 a b = lim m h m + +b 2 h 2 +b 1 h 1 0 +b 0 b 0 h 0 h (a n h n + + a = lim 2 h 2 + a 1 h 1 + a 0 )b 0 a 0 (b m h m + + b 2 h 2 + b 1 h 1 + b 0 ) h 0 (b m h m + + b 2 h 2 + b 1 h 1 + b 0 )b 0 h = lim h 0((a n h n a 2 h 1 )b 0 + b 0 a 1 a 0 (b m h m b 2 h 1 ) a 0 b 1 ) lim h 0 (b m h m + + b 2 h 2 + b 1 h 1 + b 0 )b 0 = b 0a 1 a 0 b 1 b 2 0 = g(0) f (0) f (0)g (0) g(0) 2 = NAZ ZAN N 2 Über den Ausdruck NAZ ZAN kann man sich wundern. Er stellt eine (bayerische) Eselsbrücke N 2 dar: NAZ steht hier für Nenner mal Ableitung des Zählers und gleichzeitig als Kurzform für den Namen IGNAZIUS und ZAN steht für Zähler mal Ableitung des Nenners und erinnert an das Wort ZAHN: Ein Ignazius ohne Zahn ist nun einmal besser vorstellbar als ein Zahn ohne Ignazius... Natürlich sind hier auch Grenzwertsätze für Funktionen benutzt worden, für deren ausführliche Behandlung in der Schule allerdings meist die Zeit nicht reicht. Deswegen wird ihre Gültigkeit an dieser Stelle vorausgesetzt. Das macht Lehrerunterstützung sicher nötig. Mit mathematischer Induktion lässt sich nun erneut der Gültigkeitsbereich auf den gesamten Definitionsbereich der Quotientenfunktion ausweiten, d. h. es gilt die

105 96 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Abbildung 7.7: Datei-8 (VII) Quotientenregel: Für Polynome f und g und für alle x mit g(x) 0 gilt ( ) f (x)= g(x) f (x) f (x)g (x) g g(x) 2 Mit Hilfe der Datei-8 (Abb. 7.7) kann diese Regel ebenfalls für Zähler- und Nennerpolynome von maximal 3.Grad verifiziert werden. 7.6 Verallgemeinerung auf alle Funktionen Nachdem wir jetzt die wichtigsten Ableitungsregeln für Polynome und Polynomquotienten gefunden haben, stellt sich natürlich die Frage, ob diese Regeln auch für weitere Funktionen gelten und ob sie sich vielleicht sogar entsprechend beweisen lassen. Gehen wir doch noch einmal zurück zur Sekantensteigungsfunktion an der Stelle x = 0: f (x) f (0) s 0 (x)= x Der Grenzwert dieser Funktion lim x 0 s 0 (x)=: f (0) ist die Tangentensteigung an der Stelle x = 0. Bei Polynomfunktionen ist dies immer der lineare Koeffizient a 1, womit für diese Funktionen auch die Existenzfrage geklärt ist. Wenn wir aber jetzt den Bereich der Polynomfunktionen verlassen wollen, müssen wir unser Vorgehen etwas modifizieren. Wir beginnen mit der folgenden Definition: Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle a genau dann, wenn f (x) f (a) lim x a s a (x) := lim x a x a =: f (a) existiert, und wir nennen dann f (a) die Ableitung von f an der Stelle a. Auch diesmal konzentrieren wir uns auf die Stelle x = 0, da wir wieder mit Hilfe mathematischer Induktion unsere Ergebnisse verallgemeinern wollen. Wir formen unsere Definition also äquivalent so um, dass sie speziell auf x = 0 zugeschnitten ist:

106 7.6 Verallgemeinerung auf alle Funktionen 97 Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x = 0 genau dann, wenn es eine an der Stelle x = 0 stetig ergänzbare Funktion s 0 (x) und eine Umgebung U(0) gibt, so dass für alle x U(0) gilt: f (x)= f (0)+x s 0 (x). Dann ist f (0)=s 0 (0)=lim x 0 s 0 (x). Gehen wir nun also davon aus, dass c R eine reelle Zahl ist, und dass die Funktionen f und g an der Stelle x = 0 differenzierbar sind, dass es also an x = 0 stetig ergänzbare Funktionen s 0 und t 0 gibt, so dass f (x) = f (0)+x s 0 (x) und g(x) =g(0)+x t 0 (x) für alle x aus einer Umgebung der 0 gilt, und dass f (0)=s 0 (0) sowie g (0)=t 0 (0) gilt. Damit ergeben sich die Ableitungsregeln folgendermaßen: I. (c f )(x)=c f (0)+x (c s 0 )(x) und auch (c s 0 )(x) ist stetig ergänzbar an x = 0 mit dem Wert (c f ) (0)=c s 0 (0)=c f (0), die Faktorregel. II. ( f ± g)(x)=(f (0)+x s 0 (x)) ± (g(0)+x t 0 (x))=(f (0) ± g(0)) + x (s 0 (x) ±t 0 (x)) und auch s 0 (x) ± t 0 (x) ist stetig ergänzbar an x = 0 mit dem Wert ( f ± g) (0)=s 0 (0) ± t 0 (0), die Summen- bzw. Differenzregel. III. ( f g)(x)=(f (0)+x s 0 (x)) (g(0)+x t 0 (x)) =(f (0) g(0)) + x ( f (0) t 0 (x)+s 0 (x) g(0)+x s 0 (x) t 0 (x)) und auch f (0) t 0 (x)+s 0 (x) g(0)+x s 0 (x) t 0 (x) ist stetig ergänzbar an x = 0 mit dem Wert ( f g) (0)= f (0) t 0 (0)+s 0 (0) g(0)= f (0) g (0)+ f (0) g(0), die Produktregel. IV. Zur Herleitung der Quotientenregel setzen wir zusätzlich voraus, dass die Nennerfunktion keine Nullstelle an x = 0 hat und betrachten die Differenzenquotientenfunktion ( 1 f x g (x) f ) g (0) = 1 x ( f (0)+x s0 (x) g(0)+x t 0 (x) f (0) ) g(0) = g(0) ( f (0)+x s 0(x)) f (0)(g(0)+x t 0 (x)) x(g(0)+x t 0 (x)) g(0) = g(0) s 0(x) f (0) t 0 (x) (g(0)+x t 0 (x)) g(0). Die Grenzwertbildung liefert: ( ) f g(0)s 0 (x) f (0) t 0 (x) (0)=lim g x 0 (g(0)+x t 0 (x)) g(0) = g(0) f (0) f (0) g (0) (g(0)) 2, die Quotientenregel. Jetzt steht nur noch der Hinweis aus, dass die soeben bewiesenen Regeln auch an jeder von Null verschiedenen Stelle des Koordinatensystems gelten, an denen die entsprechenden Voraussetzungen gegeben sind: Wenn beispielsweise die Funktionen f und g an der Stelle x = a differenzierbar sind, dann sind auch f 1 (x) := f (x + a) und g 1 (x) := g(x + a) an der Stelle x = 0 differenzierbar mit den Ableitungswerten f 1 (0) := f (a) und g 1 (0) := g (a) und die Gültigkeit der Ableitungsregeln überträgt sich so von der Stelle x = 0 auf die Stelle x = a.

107 98 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome 7.7 Die Zahl e wird entdeckt Wenden wir uns nun noch den Exponentialfunktionen zu. Offenbar haben die Graphen der Tangentensteigungsfunktionen hier große Ähnlichkeit mit den Graphen der Ausgangsfunktionen. Sehr einfach gelingt die Entdeckung der Euler schen Zahl e mit Hilfe der Datei-9 (Abb. 7.8), wenn man e als die Basis definiert, bei der die Tangentensteigungsfunktion sogar mit der Ausgangsfunktion zusammen fällt: Mit einem Schieberegler kann man die Basis a der (roten) Funktion f (x) =a x verändern, während auch ihre (blaue) Tangentensteigungsfunktion eingespielt wird. Für a = e = findet eine Überdeckung beider Graphen statt! Experimentell haben wir also gefunden: f (x)=e x f (x)=e x = f (x) Abbildung 7.8: Datei-9 Natürlich ist es nun spannend, die eigentliche Bedeutung dieses Zusammenhangs näher zu untersuchen, d. h. Wachstumsfunktionen als solche zu erkennen. Das aber gehört nicht zum Thema dieses Kapitels. 7.8 Die allgemeine Exponentialfunktion und ihre Tangentensteigungsfunktion Offenbar gibt es eine recht unmittelbare Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und ihrer Tangentensteigungsfunktion, die im besonderen Fall sogar zur Gleichheit führt. Das ermutigt, einen Versuch zu starten, in dem in Datei-10 (Abb. 7.9) die (blaue) Tangentensteigungsfunktion mit einer Vielfachen der ursprünglichen Funktion (hier lila dargestellt) verglichen wird. Mit Hilfe der Zoomfunktion und der Cursor-Tasten bei der Einstellung des Schiebereglers Faktor können wir sehr genau die lila Funktion mit der blauen Tangentensteigungsfunktion zur

108 7.8 Die allgemeine Exponentialfunktion und ihre Tangentensteigungsfunktion 99 Deckung bringen. Nun bleibt die im Aufgabentext enthaltene Frage nach der Beziehung zwischen diesem jetzt passenden Faktor und der Tangentensteigung der Ausgangsfunktion f. Sucht man durch Ziehen an P die Stelle, an der die Tangentensteigung die Größe des passenden Faktors hat, so ergibt sich wieder eine Überraschung: Die passende Tangentensteigung findet sich offensichtlich an der Stelle x = 0. Abbildung 7.9: Datei-10 D. h. experimentell begründet vermuten wir nun die folgende Beziehung: f (x)=a x f (x)= f (0) f (x)= f (0) a x für a > 0. Das lässt sich nun natürlich auch rechnerisch unmittelbar erkennen: a x+h a x lim = a x a h a 0 lim = a x f (0), h 0 h h 0 h allerdings wieder unter Verwendung der Grenzwertsätze. Insbesondere ergibt sich so natürlich auch: (e x ) (0)=e 0 = 1. Es bleibt noch die Frage, was die Tangentensteigung an der Stelle x = 0 der Funktion f (x)= a x, d. h. was also f (0) mit der Zahl a zu tun hat. Um diese Frage zu untersuchen, nutzen wir die Datei-11 (Abb. 7.10).

109 100 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome Abbildung 7.10: Datei-11 Offenbar ergibt das Experiment: f (x)=a x a = e f (0) f (0)=ln(a) und somit folgt: f (x)=a x f (x)=ln(a) a x 7.9 Die Ableitung der Umkehrfunktion Den Graph der Umkehrung f 1 einer umkehrbaren Funktion f erhält man durch Spiegelung des Graphen von f an der 1. Winkelhalbierenden. Ein Punkt P(x, f (x)) des Graphen, der zusammen mit seiner Tangente t an den Graph von f gespiegelt wird, geht dabei über in einen Punkt P ( f (x),x) des Graphen von f 1 und die Tangente in eine Tangente t an den Graph von f 1 im Punkt P (vgl. Abb. 7.11). Aus den beiden Dreiecken in der Umgebung des Nullpunktes entnimmt man leicht die Steigungen der Tangenten: m(t )= b c = 1 b = 1 m(t) und damit folgt: ( f 1 ) ( f (x)) = 1 f (x). c Setzt man nun noch x anstelle von f (x) und dann entsprechend f 1 (x) anstelle von x, so folgt die Ableitungsregel der Umkehrfunktion unmittelbar: ( f 1 ) (x)= 1 f ( f 1 (x)) Speziell ergibt sich damit die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion: log a (x)= 1 (a x ) (log a (x)) = 1 ln(a)x

110 7.10 Resümee 101 Abbildung 7.11: Datei-12 Analog lässt sich die Regel (IX) natürlich auch zur Ableitung der Wurzelfunktionen verwenden Resümee Wie wir gesehen haben, eröffnet die Fokussierung auf die Stelle x = 0 zunächst im Falle der einfachsten Funktionen, der Polynome, einen sehr unmittelbaren Weg hin zu den meisten Ableitungsregeln. Lediglich die Kettenregel wird hier so nicht erreicht. Interessant ist dabei aber nicht nur, dass die Schülerinnen und Schüler diesen einmal eingeschlagenen Weg weitgehend selbstständig beschreiten können. Interessant ist auch die induktive Schlussweise, mit der die allgemeine Gültigkeit dieser Regeln überraschend einfach und zugleich überzeugend verallgemeinert werden kann. Diese Schlussweise, deren Bedeutung weit über die hier aufgeführten Beispiele hinausragt, als Beweismethode zu entdecken, hat nach meiner Einschätzung einen ganz besonderen Wert. Die GeoGebra-Dateien dienen zunächst der Ideenfindung. Erst die dynamische Untersuchung der Tangentensteigungsfunktion in der Zusammenschau mit dem Graphen der Ausgangfunktion lässt die Bestimmung der Tangentensteigungsfunktion als lohnendes Ziel erkennen. Dann gibt das besondere Verhalten der Tangentensteigung bei Polynomen an der Stelle x = 0, das

111 102 7 Ableitungsregeln mit GeoGebra selbst entdecken nicht nur für Polynome wiederum anhand einer Datei entdeckt wird, Anlass, unabhängig vom Computereinsatz über diese Beobachtung nachzudenken und dabei die wichtigsten Ableitungsregeln zu entdecken. Alle Regeln, die so durch mathematische Überlegungen erschlossen wurden, können dann aber auch wieder mit geeigneten GeoGebra-Dateien verifiziert werden. Streng genommen ist diese Überprüfung zwar in Naturwissenschaften unbedingt erforderlich, nicht aber im Rahmen der Mathematik. Allerdings ist im Unterricht die experimentelle Bestätigung eines theoretischen Ergebnisses immer wertvoll. Während im Falle der Polynome und auch der gebrochen-rationalen Funktionen alle Ergebnisse auch bewiesen wurden, haben wir bei den Exponentialfunktionen nur gesehen, wie man schnell experimentell zu interessanten Beobachtungen und Ableitungsregeln finden kann. Hier bedarf es in Leistungskursen sicher noch weiterer Begründungen. Die letzte Datei schließlich zur Ableitung der Umkehrfunktion kann gleichzeitig sowohl als Ideengeber für die zu entdeckende Regel als auch für deren Beweis angesehen werden. Insgesamt sind hier mathematische Überlegungen und experimenteller Computereinsatz so miteinander verschränkt, dass weitgehend selbstständiges Entdecken, Begründen und Verifizieren der wichtigsten Ableitungsregeln für Schülerinnen und Schüler in kurzer Zeit möglich wird. Dank: Die Idee, Polynomfunktionen an der Stelle x = 0 zu untersuchen, verdanke ich dem langjährigen Fachmoderator und Studiendirektor i. R. Herrn Dr. Jürgen von den Steinen, Solingen. Literatur [Dud10] Bossek, H. & Heinrich, R. (Hrsg.). (2010). Lehrbuch Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Einführungsphase NRW, Berlin: Duden-Paetec.

112 8 Die Eulersche Zahl Unterrichtsbausteine zur Unterstützung genetischer Lernprozesse mit GeoGebra Maria Nelles Euler war als Mathematiker ein großer Experimentator. Er spielte mit Formeln so, wie ein Kind mit seinem Spielzeug und führte alle möglichen Substitutionen durch, bis er etwas Interessantes erhielt. [...] Euler hatte genug Vertrauen in seine eigenen Formeln und verlieh ihnen eine inhaltliche Bedeutung [...] Obgleich Euler viele seiner Ergebnisse nicht auf strenge Weise herleitete, hat jede der hier erwähnten Formeln den Strengetest bestanden Wege der Begriffsgenese mit Geogebra durchschauen Die obigen Worte Eli Maors ermutigen zu einer Unterrichtskultur, die neben der Vorbereitung zentraler Prüfungen Raum lässt für Lust am Denken und Erfinden von Mathematik. Der Weg zum Verständnis von Mathematik nach der genetischen Methode geht auf die Suche nach dem Prozess des Entstehens von Mathematik. Die Lernenden gewinnen so einen Einblick in die Genese von Mathematik. Zentrale Merkmale eines genetischen Unterrichts sind: Anschluss an das Vorverständnis des Lernenden, Einbettung in historische Problemkontexte, Zulässigkeit der informellen Einführung von Begriffen aus dem Kontext heraus, Hinführung zu strengeren Überlegungen über intuitive und heuristische Ansätze, allmähliche Präzisierung und Erweiterung des Gesichtskreises durch Standpunktverlagerung. Folgt man bei der Begriffsdefinition der Eulerschen Zahl dem historischen Weg, so kann Geo- Gebra bei den verschiedenen Zugängen zur Eulerschen Zahl die Begriffsbildung durch Visualisierung unterstützen. Durch Nutzung und Vernetzung von Tabellenkalkulation, Algebratool und Geometrietool kann die numerische Approximation von e bereits in der Klasse 9 einen ersten Zugang zu e ermöglichen und einen reflektierten Umgang mit dem Grenzwertbegriff vorbereiten. Im Rahmen der Integralrechnung eröffnet das Problem der Quadratur der Hyperbel eine überraschend einfache vertiefende Anwendung der Ober- und Untersummen. Die vorgestellten Geogebra Applets sind in der Funktion einer White Box schnell durchschaubar, so dass die Lernenden beim eigenständigen Erstellen der Geogebra Dateien über den reflektierten Konstruktionsprozess Mathematik verstehen. 8.2 Zur Geschichte der Eulerschen Zahl Die Eulersche Zahl e weist im Gegensatz zur Kreiszahl π eine erst 400 jährige Geschichte auf. Sie wurde bereits in der 1618 von Edward Wright ( ) veröffentlichten englischen Übersetzung der Arbeit von John Napier ( ) über Logarithmen erwähnt. Darüber hinaus gibt es eine Spekulation, wie man die konvergente Folge a n = ( n) n, deren Grenzwert 1 [Mao96], S R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _8, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

113 104 8 Die Eulersche Zahl für n die Zahl e ist, entdeckte. Die Zahl e war den Mathematikern wenigstens ein halbes Jahrhundert vor der Entdeckung der Integral- und Differentialrechnung bekannt. Wahrscheinlich eher durch empirische Beobachtung als durch eine strenge mathematische Herleitung. Nach der Erfindung der Integral- und Differentialrechnung führte das Problem der Fläche unter der Hyperbel y = 1 x zur natürlichen Logarithmusfunktion und dann über deren Umkehrfunktion in anderer Weise zur selben Zahl e. Euler ( ) benutzte bereits 1727 (Euler war zu diesem Zeitpunkt 20 Jahre alt) in einem Manuskript den Buchstaben e für die Eulersche Zahl. Er stellte die Exponentialfunktion gleichberechtigt neben die Logarithmusfunktion, indem er beide unabhängig voneinander definierte bewies Euler die Irrationalität von e. Charles Hermite bewies 1873, dass e transzendent ist. Noch heute gibt es viele nicht bewiesene Vermutungen im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl. Es ist beispielsweise bis heute nicht bekannt, ob die Zahl e + π 5,8958 algebraisch oder transzendent ist Empirischer Zugang zur Eulerschen Zahl über die stetige Verzinsung Vermutlich trat die Zahl e erstmals im Zusammenhang mit der Zinseszinsformel auf. Dieser Zugang kann bereits in der Klasse 9 im Zusammenhang mit der Zinseszinsrechnung genutzt werden. Ein Kapital von 1 C wird mit einem (unrealistischen) Zinssatz von 100 % verzinst. Dabei wird das Kapital n mal im Jahr zum Zinssatz von jeweils 1 n verzinst. Berechnet wird die Höhe des Kapitals am Ende des 1. Jahres bei jährlicher, monatlicher, täglicher, stündlicher, minütlicher, sekündlicher Verzinsung. Abbildung 8.1: Stetige Verzinsung Bei einmaliger Verzinsung verdoppelt sich das Kapital (100 %=1): a 1 =(1 + 1) Halbjährliche Verzinsung (50 %=0,5): a 2 = ( )( ) = 2,25 ) n n-malige Verzinsung: a n = ( n Mit der Tabellenkalkulation von Geogebra können die Lernenden die Kapitalentwicklungen auf verschiedenen Wegen berechnen. Mit Hilfe einer Liste lassen sich die in der Tabellenkalkulation von Geogebra berechneten Werte als Punkte speichern und so in der Verbindung mit der 2 [Mao96]

114 8.4 Zugang über den Flächeninhalt unter der Hyperbel 105 Grafikansicht die Monotonie und Beschränktheit der Folge a n in elementarer Weise veranschaulichen. GeoGebra kann diesen Zugang also durch Experimente und Rechnungen unterstützen, die in diesem Umfang weder mit der Hand noch Hilfe eines Taschenrechners möglich wären. Dabei können die Ausgangsbedingungen immer wieder verändert werden, so dass die Struktur dieser Problemstellung erfahren werden kann. 8.4 Zugang über den Flächeninhalt unter der Hyperbel Ausgehend von der Frage, warum der Flächeninhalt unter der (krummlinigen) Hyperbel im Intervall [1; e] genau 1 ist, bietet sich in Anlehnung an den historischen Kontext die unterrichtliche Möglichkeit nochmals auf die Definition des Riemann Integrals und damit zu den Obersummen bzw. Untersummen zurückzukehren. Dabei ist zu bemerken, dass die Riemann-Summen nicht erfunden worden sind, um Integrale auszurechnen, das konnte man entweder durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung oder durch Simpson-Integrale viel effektiver. Riemann hat diese Integration eingeführt um uneigentliche Integrale eindeutig definieren zu können, d. h. Grenzwerte endlicher Integrale, deren Integrationsgrenzen sich simultan bestimmten Werten oder Unendlich annähern. Auch hier wird das Riemann-Integral zum konzeptuellen Verständnis benutzt und nicht mit der Intention eingeführt, den numerischen Wert von Integralen zu approximieren, was auch dem genetischen Prinzip widerspräche. Offensichtlich hat die Obersumme bei äquidistanter Intervalleinteilung den Nachteil, dass die Rechtecke wegen der betraglich großen Steigung von f im vorderen Teil des Intervalls stark vom zu bestimmenden Flächeninhalt abweichen. Abbildung 8.2: Flächeninhalt unter der Hyperbel Quadratur der Hyperbel nach einer Idee von Fermat und St. Vincent Fermat ( ) hatte nun die Idee, dass zur besseren Anpassung der Rechtecke an f deren Breiten so verändert werden müssen, dass in den Bereichen mit betraglich großer Steigung auch eine feinere Intervalleinteilung vorliegt. Der belgische Jesuit St. Vincent ( ) veröffentlichte schon einen überraschenden Zusammenhang zwischen der natürlichen Lo- 3 [Edw79]

115 106 8 Die Eulersche Zahl garithmusfunktion und der rechtwinkligen Hyperbel. Er entdeckte, dass die Rechtecke gleiche Flächeninhalte haben, wenn die x-werte im Intervall [1; b] so gewählt werden, dass sie eine geometrische Folge bilden. Das bedeutet, dass der Gesamtflächeninhalt der Rechtecke (Obersumme) mit geometrisch wachsendem Abstand von 1 um feste Beträge zunimmt. Die Folge der Obersummen ist also arithmetisch. Das gilt auch, wenn man für n zum Grenzwert übergeht. Also ist der Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter der Hyperbel und dem Abstand von 1 bis zur variablen Stelle b logarithmisch. Damit gestaltet sich die Integration der Hyperbelfunktion überraschend einfach: 4 Abbildung 8.3: Integration nach Fermat Mit x 1 = 1; x 2 = q; x 3 = q 2 ; x n+1 = q n = b ergibt sich die folgende Darstellung des Integrationsintervalls: [1;b]=[1;q] [q;q 2 ] [q 2 ;q 3 ]... [q n 1 ;q n ] Wie man leicht sieht, haben alle Rechtecke den gleichen Flächeninhalt: A 1 = 1 1 (q 1); A 2 = 1 q (q2 q); A 3 = 1 q 2 (q 3 q 2 );... A n = 1 q n 1 (q n q n 1 ) wobei gilt: q = n b 4 [Edw79], S

116 8.4 Zugang über den Flächeninhalt unter der Hyperbel 107 b 1 1 x dx = lim O n q n = lim i q i 1 n n q i=1 i 1 = lim n n i=1 (q 1) = lim n n (q 1) = lim n n ( n b 1) = lim n n (b 1 n 1) Mit der Substitution h = 1 n folgt5 : b = lim h 1 h 0 h = ln(b) Die Eulersche Zahl wird dann durch ln(e) =1 definiert. Bekanntlich führt der in den aktuellen Schulbüchern ausführlich beschriebene Standardweg ausgehend von der Frage Was ist die Ableitung von a x? über den Grenzwert des Differenzenquotienten zum gleichen Term. Der beschriebene Perspektivwechsel Flächeninhalt unter der Hyperbel verleiht diesem eine neue vertiefende mathematische Bedeutung. Ein Rechteck der Höhe 1 a bzw. 1 b und der Breite b a für 0 < a < b hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Rechteck der Höhe ca 1 bzw. 1 cb und der Breite cb ca. Felix Klein ( ) hatte die Idee, dies zu benutzen um für 0 < a < b bei dem Integral L(a,b)= b a 1 x dx zu bemerken:6 L(ca, cb)=l(a, b), falls c > 0 Diese Identität gilt, da sie für jede Riemannsche Ober- und Untersumme gilt. Also gilt sie auch auch im Grenzwert, d.h. für das Integral. Sollte a > b sein, setzen wir L(a,b)=L(b,a) und es gilt dann genauso L(ca,cb)=L(a,b) für c > 0. Offensichtlich gilt auch L(a,b)=L(a,c)+L(c,b) für a < c < b oder b < c < a. Nun kann mit diesen Regeln ein solcher Ausdruck L(a,b) normiert werden, d.h. L(a,b) = L(1, b a ) und es reicht, die Funktion L(1,x) für x > 0 zu betrachten. Die Additivität des Integrals wird dann zu L(1,x)+L(1,y) =L(1,x)+L(x,x y) =L(1,x y), also: L(1,x y) =L(1,x)+ L(1, y). Diese Funktion L(1, x) nennen wir auch Logarithmus naturalis und schreiben ln(x) = L(1,x). 7 Geogebra bietet nun die Möglichkeit vertiefende mathematische Erkenntnisse durch Abstraktion eines beispielgebundenen Vorgehens zu gewinnen. Die Lernenden können durch Vernetzung von Tabellenkalkulation und Grafikansicht Intervalleinteilungen für verschiedene q konstruieren, sowie konkrete Flächeninhaltsberechnungen durchführen. Eine breite induktive Erfahrungsbasis kann durch händisches Vorgehen nicht erworben werden. Nebenbei sichert die konkrete Konstruktion der Obersummen das grundlegende Verständnis und Behalten des Verfahrens in ganz erstaunlicher Weise, da Konstruktionsfehler fast immer zum Nachdenken über mathematische Inhalte führen. 5 [Mey10] 6 Die Idee geht zurück auf St. Vincent (1647) 7 [Fre73], S

117 108 8 Die Eulersche Zahl 8.5 Graphische Umkehrung der natürlichen Logarithmusfunktion und Ableitung der Umkehrfunktion Numerische Annäherung an die natürliche Exponentialfunktion und deren Ableitung und geometrische Interpretation der Inversenregel Folgt man weiter der historischen Genese, so steht die Definition der Exponentialfunktion als eigenständige Funktion erst am Ende der historischen Entwicklung. Die Definition des Logarithmus über den Flächeninhalt unter der Hyperbel führte zunächst auf die Exponentialfunktion als Umkehrfunktion der so definierten Logarithmusfunktion. Elementargeometrische Betrachtungen führen dann zur Inversenregel. Abbildung 8.4: Graphische Umkehrung Für hinreichend kleines h wird die Funktion f (x)= xh 1 h definiert. Die Umkehrfunktion wird durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden erzeugt. Die von h abhängige Umkehrfunktion wird als die natürliche h-exponentialfunktion exp h (x) definiert. Mit Hilfe der Tangente und dem passenden Steigungsdreieck im beweglichen Punkt A können konkrete Ableitungswerte der Umkehrfunktion exp h (x) berechnet werden und in der Tabellenansicht mit den Funktionswerten der wirklichen Exponentialfunktion e x verglichen werden. Fast nebenbei wird eine analytische Präzisierung mit Hilfe der Inversenregel (Regel der Ableitung der Umkehrfunktion bei bekannter Ableitung der Ausgangsfunktion) vorbereitet. Die graphische Darstellung liefert darüber hinaus eine geometrische Begründung der Inversenregel ohne begriffliche Strenge, da die Differenzierbarkeit vorausgesetzt wird, so dass die Inversenregel bei geeigneten Bezeichnungen aus den Steigungsdreiecken abgelesen werden kann, z. B. m(x)= f (x) und m (y)= f (y). Der Vorteil des Geogebra Einsatzes liegt hier u.a. darin, dass durch die Konstruktion der

118 8.6 Vertiefende Einsichten in den Standardweg mit Geogebra 109 h-exponentialfunktion der historische Weg konsequent nachvollzogen wird. Dies ist ohne Geogebra nicht in dieser Weise möglich. Die Konstruktion der Steigungsdreiecke bringt Übersicht in die komplexe Notation der Inversenregel, die durch die geometrische Interpretation sicher auch nachhaltiger in vorhandene Begriffsstrukturen der Lernenden eingeordnet werden kann. Numerische Näherungen für die Ableitungswerte der h-exponentialfunktion können durch Bewegung von A aus dem Steigungsdreieck der h-exponentialfunktion berechnet werden und so den Standardweg vorbereiten. 8.6 Vertiefende Einsichten in den Standardweg mit Geogebra Durch Rückgriff auf den Differentialquotienten gelangt man zu den folgenden Erkenntnissen: f a x+h a x a x (a h 1) (x)=lim = lim = a x a h 1 lim h 0 h h 0 h h 0 h Der Term lim h lässt sich nicht weiter vereinfachen. Mathematisches Anschauen der erhaltenen Terme liefern folgende Einsichten: h 0 a h 1 1. Für lim h = 1 hat man eine Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt. h 0 a h 1 a 2. lim h 1 a h 0 h = lim 0+h a 0 h 0 h = f (0) Abbildung 8.5: Exponentialfunktionen und ihre Ableitungen Beide Einsichten lassen sich durch Geogebra experimentell gewinnen. Mit Hilfe eines Schiebereglers lassen sich Graphen von Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen a dynamisch

119 110 8 Die Eulersche Zahl erzeugen, so dass die Lernenden den gesuchten Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f selbst entdecken können. Dies kann dann eine nachhaltige Motivation für die oben beschriebene analytische Herangehensweise erzeugen. Der Schieberegler ermöglicht in einem weiteren Applet die dynamische Variation der Tangentensteigungen für verschiedene Basen a an der Stelle 0 und bereitet so die unter 2. beschriebene Erkenntnis vor. Ausblicke und weiterführende Aspekte Mit der Folge a n = ( n n) lässt sich zeigen, dass naives Umgehen mit Grenzwerten zu falschen Ergebnissen führen kann. Man könnte der Versuchung unterliegen, dass der Ausdruck ( ) n n für große n gegen 1 strebt, da 1 n für große n gegen Null strebt und jede Potenz von 1 bekanntlich 1 ist. Andererseits könnte man argumentieren, dass der eben genannte Ausdruck gegen strebt, da 1+ 1 n stets größer als 1 ist und die Potenz einer Zahl, die größer als 1 ist für unbeschränktes n gegen strebt. Je nach Argumentation erhält man unterschiedliche Ergebnisse. Die gewonnene Vermutung, dass die Folge a n = ( n n) tatsächlich konvergiert kann mit Hilfe des Satzes über die Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen unter Verwendung der bernoullischen Ungleichung für besonders begabte und interessierte Schülerinnen und Schüler angeboten werden. Mit der allgemeinen binomischen Formel kann aus a n = ( n n) die Reihendarstellung von e, also e = 1 n! i=1 gewonnen werden und die Konvergenzgeschwindigkeit beider Folgen untersucht werden. Der Standardweg führt auf die Differentialgleichung f = f und kann die Behandlung einfacher Differentialgleichung in der Schule einleiten. Literatur [Edw79] EDWARDS, C. H. (1979). The Historical Development of the Calculus. Springer, Heidelberg. [Fre73] FREUDENTHAL, H.(1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd.1, Klett, Stuttgart. [Mao96] MAOR, E.(1996). Die Zahl e: Geschichte und Geschichten. Birkhäuser, Berlin. [Mey10] (Zugriffsdatum: ) [SKL11] SCHMIDT, G., KÖRNER, H., LERGENMÜLLER, A.(2011). Mathematik: Neue Wege Analysis II. Schroedel, Braunschweig. [TKW00] TIETZE, U. P., KLIKA, M. WOLPERS, H.(2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd.I. Vieweg, 2. Auflage, Braunschweig.

120 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Horst Bennemann Ich sitze an meinem Schreibtisch, rechts neben mir mein Taschenrechner ein altes Exemplar mit Leuchtziffern, die nie erlöschen, weil der Rechner, seit die Akkus defekt sind, am Netz hängt. Auf ihm steht noch die letzte Zahl irgendeiner vorangegangenen Rechnung. Ich tippe auf die cos-taste nochmals, immer wieder und beobachte, was passiert. Die Zahlen springen auf und ab, scheinen sich aber einer bestimmten Zahl zu nähern. Welche Zahl ist das? Ist es egal, mit welcher Zahl ich starte? Was wäre, wenn ich eine andere Funktionstaste benutzt hätte (sin, tan, Wurzel,...)? Warum passiert das, was ich gerade beobachte kann ich mir ein Bild davon machen? In diesem Kapitel werden wir die mathematische Basis dieser Spielerei experimentell erforschen. Dabei werden unerwartete Dinge passieren. Selbst unter einfachsten Rahmenbedingungen wir werden in erster Linie lineare und quadratische Funktionen betrachten wird sich eine überraschende Komplexität im Kontext dieser Mathematik entfalten und eine unglaublich tiefe Struktur sichtbar werden. Die hier vorgestellten Gedanken sind nicht ganz neu gehören aber zur modernen Mathematik. Sie wurden Ende der 1980er Jahre populär, als PCs in der Lage waren, die Muster, die bei Iterationen entstehen, sichtbar zu machen. Während es damals aber noch recht mühsam war, diese Rechnungen durchzuführen (man musste dafür programmieren können und viel Rechenzeit einplanen), ist es mit moderner Hardware und dynamischer Geometriesoftware mit wenigen Mausklicks möglich, ein wie oben beschriebenes System durchzurechnen, Rechenschritte und Ergebnisse zu veranschaulichen und dabei Parameter dynamisch zu ändern. Der hier aufgezeigte Weg liefert ein Grundgerüst an Ideen, an dem noch viel ergänzt und ausgearbeitet werden kann. Auf einige dieser Stellen wird hinweisen, andere müssen selbst entdeckt werden. 9.1 Relevanz Moderner Mathematikunterricht ist u. a. dadurch gekennzeichnet, dass er den Schülerinnen und Schülern Gelegenheiten zum selbstständigen Entdecken gibt, ihnen individuelle Lernwege ermöglicht, sie fördert und fordert, zum sinnstiftenden Kommunizieren anregt und dabei digitale Medien lernwirksam und unterstützend einsetzt. Aus neurowissenschaftlicher Sicht wird formuliert 1 : Zu Lernendes muss bedeutsam sein. Lernen ist das Weben von Netzen und Knüpfen von Zusammenhängen. Vorwissen ist von großer Bedeutung. Lernen braucht Aktivierung, z. B. emotionale Beteiligung. 1 Neurowissenschaftliche Binsenweisheiten, Vortrag von Frau Dr. Hille, Transferzentrum für Neurowissenschaften und Lernen, Universität Ulm, in Bonn, Oktober 2009 R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _9, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

121 112 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Das Gehirn lernt besonders gut, wenn etwas besser ist als erwartet. Erfolgserlebnisse führen zu schnellem und nachhaltigem Lernen. In dem hier vorgestellten Kapitel werden viele dieser Aspekte berücksichtigt. Ein exemplarisches Beispiel jeweils zu Beginn eines neuen Abschnitts bietet einen Anknüpfungspunkt, der später im Rahmen der Interpretation wieder aufgegriffen werden kann. Es werden Möglichkeiten aufgezeigt, an das Vorwissen anzuknüpfen, durch entsprechende analoge wie digitale Arbeitsblätter selbstständig experimentell Mathematik zu treiben, überraschende Ergebnisse zu diskutieren und eigenen Fragestellungen nachzugehen. Durch die bereitgestellte Software wird die erfolgreiche Bearbeitung der Fragen unterstützt. Obwohl die Grundideen leicht zu verstehen sind, ergibt sich bei weiterer Beschäftigung mit der Thematik eine fast beliebige Tiefe. Wie weit die Schülerinnen und Schülern gehen, können sie selbst bestimmen, indem sie den Anregungen nachgehen, die zur Verfügung stehende Software experimentell weiter nutzen, abwandeln oder für vollkommen neue Fragestellungen adaptieren (z. B. für komplexe Zahlen). Zentrale mathematische Gegenstände dieses Kapitels finden sich sowohl in der SI als auch in der SII, so dass sich sowohl eine geschlossene Behandlung der hier vorgestellten Fragen zu Beginn der Oberstufe anbietet, als auch eine wiederholte Einflechtung in gerade aktuelle Themen. Insbesondere werden folgende inhaltsbezogene Kompetenzbereiche angesprochen: Lineare und quadratische Funktionen Graphen von Funktionen Verkettung von Funktionen Abbildung Steigung Rekursion Iteration Grenzwert Konvergenz Fixpunkt Zufall Betrag Folgen und Reihen Durch die Verknüpfung von Rekursion und Iteration mit Funktionen erscheinen diese Gegenstände in einem neuen Licht. Sind Iterationen den Schülerinnen und Schülern im Zusammenhang mit irrationalen Zahlen (Näherung von 2 durch Intervallschachtelung oder Heron- Verfahren) bekannt oder begegnen ihnen später beim Newton-Verfahren oder im Rahmen der Matrizenrechnung, so ergibt sich hier ein neuer, ergiebiger Zusammenhang: Der Funktionsbegriff wird um einen bedeutsamen Aspekt bereichert. Für das Erlernen, Verstehen und kreative Anwenden von Mathematik ist es wie oben erwähnt wichtig, dass verschiedene Themenbereiche der Mathematik nicht isoliert betrachtet werden, sondern durch Querbezüge vernetzt werden. Dabei ermöglicht die Software, stets den Funktionsterm, Tabellenwerte und die grafische Darstellung im Blick zu behalten. Die hier mit Hilfe von GeoGebra erzeugten bildlichen Darstellungen von Prozessen und Zuständen haben neben dem informativen Gehalt auch einen besonderen ästhetischen Reiz. Die Möglichkeit, mathematische Zusammenhänge unter diesen verschiedenen Blickwinkeln grafisch sichtbar zu machen, ist ein zentraler Aspekt dieses Kapitels. Die Rolle, die die neuen

122 9.2 Lineare Iteration Rekursion Verkettung Rückkopplung 113 Veranschaulichungsmöglichkeiten durch PC-Software beim Erkenntnisprozess spielen können, drückt Mitchell Feigenbaum (der Namensgeber des Feigenbaum-Diagramms) wie folgt aus: Ende Sommer 1976 war die Theorie fertiggestellt. Das ganze Bild war vollständig entwickelt, doch es fehlte der Beweis. [...] Dem Beweis zu folgen ist extrem mühsam, obwohl er noch nicht das ganze Bild abdeckt. Sicherlich wäre er niemals entstanden, hätte man nicht gewußt, daß des dort etwas zu beweisen gibt, und was man beweisen muß. [Pei92] In diesem Kapitel werden die aus den Beobachtungen gewonnenen Erkenntnisse jedoch nicht im strengen Sinne bewiesen. Die Argumentationsketten liefern aber eine nachvollziehbare und im Rahmen von Schulunterricht hinreichende Begründung für das beobachtete Verhalten der Iterationen. 9.2 Lineare Iteration Rekursion Verkettung Rückkopplung Die zu Beginn des Kapitels erzählte Spielerei das wiederholte Drücken der cos-taste zeigt die typischen Merkmale einer Iteration. Mit diesem Begriff wollen wir zunächst im Rahmen eines mathematischen Experiments erste Erfahrungen sammeln. Allerdings wählen wir zum Einstieg ein einfacheres Beispiel: Im Experiment 1 ist x 0 eine beliebige Startzahl. Diese wird mit einer ebenfalls beliebigen Zahl m multipliziert. Als Ergebnis erhalten wir x 1. Diese Zahl wird wieder mit m multipliziert. Das Ergebnis ist x 2. Das kann man immer so fortsetzen: Ist die Zahl x n erreicht, wendet man die Funktion f (x) =m x auf x n an und erhält x n+1 = f (x n )=m x n. Bildlich kann man den Prozess wie in Abb. 9.1 darstellen. Abbildung 9.1: Iteration Rückkopplung Rekursion Verkettung Diesen fortgeführten Prozess mit dem zuletzt erhaltenen Ergebnis wird wieder weitergerechnet nennt man Iteration (von lateinisch iterare: wiederholen), die zugehörige Gleichung x n+1 = f (x n ) nennt man Rekursionsformel (Rekursion bedeutet Selbstbezüglichkeit, von lat. recurrere: zurücklaufen). Ein Beispiel für ein typisches physikalisches rekursives System erhält man, wenn man ein Mikrofon, das an einen Verstärker mit Lautsprecher angeschlossen ist, vor

123 114 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos diesen Lautsprecher hält (eine Situation die man in jedem Konzert vermeiden sollte, da ein lauter, schriller Ton entsteht, der im Extremfall zur Zerstörung der Anlage führen kann). Oder man filmt mit einer Videokamera das von ihr erzeugte Bild vom Monitor ab. Diese Beispiele machen deutlich, warum man in diesem Zusammenhang auch von rückgekoppelten Systemen redet. Stellt man für einen Folgenwert den Bezug zum Startwert dar, so ergibt sich: x n = f ( f ( f (...( f (x 0 ))...))) = ( f f f... f )(x 0 ) }{{}}{{} n mal n mal Ich verkette also die Funktion fn-mal hintereinander mit sich selbst, wende sie auf x 0 an und erhalte so x n. Die Begriffe Iteration, Rekursion und Verkettung stellen hier also drei verschiedene Blickrichtungen auf einen Vorgang, einen rückgekoppelten Prozess, dar. Zum ersten Experiment: In den letzten Monaten ist der Goldpreis durchschnittlich in jedem Monat um 1 % gestiegen. Wenn das so weiter geht, entwickelt sich ein Anfangskapital x 0 aus Gold wie folgt: x 0 1,01 x 0 = x 1 1,01 x 1 = x 2 1,01 x 2 = x 3 oder allgemein: x n+1 = m x n ; n N Im ersten Experiment wird diese Iteration auch unabhängig vom Kontext untersucht. Die Daten werden in Form einer Zeitreihe dargestellt. Experiment 1: lineare Iteration (Abb. 9.2) Datei: Experiment1.ggb (Ansicht: Grafik, Tabelle Spalte A-B) Abbildung 9.2: Lineare Iteration

124 9.2 Lineare Iteration Rekursion Verkettung Rückkopplung 115 Untersucht wird hier, wie das Verhalten der Iteration vom Parameter m abhängt, das langfristige Verhalten aussieht, sich das Verhalten im Kontext interpretieren lässt. Durch dieses Experiment lernen die Schülerinnen und Schüler systematisches Arbeiten mit Fallunterscheidungen, den Betrag sinnvoll einzusetzen, werden auf den Grenzwertbegriff vorbereitet und üben das Interpretieren von Diagrammen im Sachkontext. Das erste Experiment zeigt, dass eine lineare Iteration zu exponentiellem Wachstum/Zerfall führt, also ein Verhalten, das durch Konvergenz gegen 0, Divergenz oder gleich bleibende Werte gekennzeichnet ist, je nach dem, ob 0 < m < 1, m > 1 oder m = 0 ist. Der Startwert spielt für das langfristige Verhalten keine Rolle. Zunächst überraschend ist vielleicht, dass m < 0 zu alternierenden Folgenwerten führt. Für die Iteration entscheidend war der lineare Term x n+1 = f (x n )=m x n. Wie ändert sich das Verhalten, wenn eine Konstante c hinzutritt? Ein Immobilienbesitzer plant wie folgt: Von dem vorhandenen Kapital x 0 (z. B.: Startwert x 0 = 2) wird er im Laufe eines Jahres 75 % investieren müssen (Unterhaltungsaufwand, Renovierung, Modernisierung, Neuinvestition,...). Am Jahresende hat er also ein Viertel des Vorjahreskapitals (0,25 x 0 ) und die neuen Einnahmen (z. B.: c = 3): x 1 = 0,25 x Wie entwickelt sich sein Kapital, wenn diese Bedingungen über Jahre stabil bleiben? Experiment 2 (Abb. 9.3) Datei: Experiment2.ggb (Ansicht: Grafik) Abbildung 9.3: Affine Iteration

125 116 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos In diesem Experiment wird untersucht, wie das Verhalten der Iteration von den Parametern m und c abhängt, das langfristige Verhalten aussieht, sich das Verhalten im Kontext interpretieren lässt. Die im ersten Experiment erarbeiteten Begriffe und Darstellungsformen werden hier geübt und vertieft. Die Erklärung des Grenzwertes erfordert jedoch einen argumentativ deutlich höheren Aufwand und vertiefte Einsichten. Für einige Schülerinnen und Schüler wird es zunächst völlig unklar sein, warum die Folge im Falle der Konvergenz auf den y-wert des Schnittpunktes der Geraden mit der Winkelhalbierenden zuläuft. Um dieser Frage nachzugehen, hat sich eine andere Darstellung des Iterationsprozesses als besonders hilfreich herausgestellt die graphische Iteration. Sie berücksichtigt, dass die x-achse und die y-achse durch den Rückkopplungsprozess vollkommen gleichwertig sind: Der y-wert f (x n ) ist ja der nächste x-wert x n+1. Graphisch kann man den Iterationsprozess daher wie in Abb. 9.4 darstellen. Abbildung 9.4: Das Spinnwebdiagramm graphisches Iterieren Der Startwert x 0 wird auf der x-achse markiert und mit dem Punkt P 1 (x 0, f (x 0 )) auf dem Graphen von f verbunden. Nun muss der Wert y 0 = f (x 0 )=x 1 auf die x-achse übertragen werden. Dies geschieht durch eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Entscheidend dabei ist der Punkt Q 1 (y 0,y 0 )=Q 1 (x 1,x 1 ) auf der Winkelhalbierenden, der durch die zur x-achse parallelen Strecke P 1 Q 1 erreicht wird. Von dort geht es weiter zum Punkt P 2 (x 1, f (x 1 )) auf dem Funkktionsgraphen. Durch fortgesetztes Einzeichnen dieser Strecken kann die Iteration auch ohne Rechnung aus dem Funktionsgraphen und der Geraden y = x konstruiert werden. Graphische Iteration ist eine sehr informative Methode, um die Dynamik des Iterationsprozesses bildlich darzustellen. Das entstehende Diagramm des Iterationspfades wird als Spinnwebdiagramm bezeichnet. Da diese Darstellungsform ungewohnt ist, sollte sie zunächst unabhängig vom PC erprobt werden. In Übung 1 sind einige Funktionsgraphen und Startwerte für Iterationen vorgegeben.

126 9.2 Lineare Iteration Rekursion Verkettung Rückkopplung 117 Durch graphisches Iterieren mit Lineal und Bleistift kann die Folge zügig erzeugt, eine Wertetabelle erstellt und die zugehörige Zeitreihe skizziert werden. Die gemeinsame Darstellung als Spinnwebdiagramm, Tabelle und Zeitreihe erleichtert das Verständnis für die Zusammenhänge. Im Anschluss sollen die Ergebnisse wieder geordnet und mit Hilfe der Begriffe Einwärtstreppe Auswärtstreppe Einwärtsspirale Auswärtsspirale charakterisiert werden. Das folgende Experiment ermöglicht es, die Vermutungen zu überprüfen. Durch das Anzeigen der Iterationsfolge werden in dem Diagramm zwei Darstellungen überlagert und damit die Beziehungen dieser Darstellungsformen wie in Übung 1 beobachtbar. Zusätzlich kann das Tabellenfenster eingeblendet werden. Experiment 3: (Abb. 9.5) Datei: Experiment3.ggb (Ansicht: Grafik) Abbildung 9.5: Einwärtsspirale Analyse des Iterationsverhalten Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit dem Funktionsgraph ist Fixpunkt der Iteration: ( x n+1 = f )(x n )=x n. Aus x n+1 = m x n + c = x n ergibt sich der Schnittpunkt zu S = c c 1 m 1 m Exemplarisch wird hier hier das Verhalten für die letzte der in Tabelle 9.1 beschriebenen Situationen berechnet. Die anderen Nachweise können ähnlich erfolgen. c Sei m > 1; x s = 1 m ; x n = x s + ε, ε > 0 x n liegt also rechts von x s. c x n+1 = m x n + c = m 1 m + m ε + c = m c 1 m + m ε + c (1 m) 1 m = m c+c c m 1 m + m ε = c 1 m + m ε > c 1 m + ε = x n. Der Abstand zum Fixpunkt wächst also in jedem Schritt mit dem Faktor m, somit lim n x n =+. Für ε < 0 ergibt sich entsprechend: x n+1 < x n und lim n x n =.

127 118 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Übersicht über die bisherigen Ergebnisse der Iteration Tabelle 9.1: Übersicht über affine Iterationen Steigung m Fixpunkte Beschreibung des Graphen Typischer Graph m < 1 Repeller Auswärtsspirale m = 1 Fixpunkt-Paar 2er-Periode 1 < m < 0 Attraktor Einwärtsspirale m = 0 Super-Attraktor Eine Stufe 0 < m < 1 Attraktor Einwärtstreppe m = 1 c < 0 kein Fixpunkt c = 0 für jeden Startwert x 0 ist F(x 0 x 0 ) ein Fixpunktghjgh c > 0 kein Fixpunkt gleichmäßige Abwärtstreppe konstante Folgefdf fd fdf gdg fsd grggg trew htewh htwh htrhrw hthwrt htrehj ghj gleichmäßige Aufwärtstreppe m > 1 Repeller Auswärtstreppe Weitere Beobachtung: Je flacher der Graph der zugehörigen Funktion verläuft, desto schneller konvergiert die Iteration. Wenn der Graph die Winkelhalbierende schneidet, ist die Steigung allein entscheidend für das Iterationsverhalten.

128 9.3 Quadratische Iteration Quadratische Iteration Für den Einstieg in dieses Kapitel soll zunächst wieder eine konkrete Situation vorgestellt werden, die dann modelliert wird. Im weiteren Verlauf werden wir immer mal wieder auf diesen Kontext zurück kommen, aber auch rein innermathematischen Fragestellungen nachgehen. In einer Käserei werden Pilze in Petrischalen gezüchtet, mit denen dann ein Rohkäse geimpft wird, um aus ihm die gewünschte Käsesorte zu entwickeln. Ziel ist es, optimale Wachstumsbedingungen für den Pilz in der Petrischale herzustellen. Wir wollen uns das Wachstum der Pilze in der Petrischale genauer ansehen. Anfangs steht dem Pilz in der Schale reichlich Platz zur Verfügung der Rand, die Begrenzung seines Lebensraums, hat keinen Einfluss, so dass man von einem exponentiellen Wachstum ausgehen kann. Wie weiter oben gesehen, entspricht dies einer linearen Iteration: Die Pilzgröße zum jeweils nächsten Zeitpunkt und damit der von ihm benötigte Platz x n+1 ist proportional zum vorher eingenommenen Platz: x n+1 = m x n Exponentielles Wachstum ist jedoch unbegrenzt. Um realitätsnah zu sein, muss der endliche Lebensraum einer Petrischale in das Modell einfließen. Gehen wir davon aus, dass die Größe der nächsten Pilzgeneration proportional zum noch zur Verfügung stehenden Platz ist (je weniger Platz zur Verfügung steht, desto weniger kann der Pilz noch wachsen) und normieren den gesamten zur Verfügung stehenden Platz auf 1 (= 100 %), so ist der noch verbleibende Platz für die (n + 1)-te Generation 1 x n. Damit ergibt sich: x n+1 ist proportional zu 1 x n oder x n+1 = c (1 x n ). Werden beide Proportionalitäten berücksichtigt, so erhalten wir: x n+1 = a x n (1 x n ). x n kann dabei nur Werte aus dem Intervall [0;1] annehmen, d. h. der Pilz füllt einen bestimmten Bruchteil des zur Verfügung stehenden Platzes aus. Mehr als die Petrischale steht ihm ja nicht zur Verfügung. Der Faktor a berücksichtiget dabei alle Rahmenbedingungen, die das Wachstum des Pilzes beeinflussen können (Nährboden, Temperatur, Licht, verfügbarer Platz, ). Wir stellen uns nun zur Aufgabe, mit Hilfe des Faktors a das Pilzwachstum zu steuern und zu optimieren.

129 120 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment 4: (Abb. 9.6) Datei: Experiment4.ggb (Ansicht: Grafik, Grafik 2) Der Bildschirm besteht hier aus zwei Grafik-Fenstern, die am besten wie in Abb. 9.6 angezeigt anordnet werden. Das linke Fenster zeigt die graphische Iteration, das rechte Fenster die Zeitreihe der Bedeckung. Zu Beginn sollte a = 0, 5 sein. Die Tabellenansicht kann gegebenenfalls eingeblendet werden. (a) (b) Abbildung 9.6: Graphische Iteration und Zeitreihe mit 0 < a < 1 Wir können erkennen, dass die Rahmenbedingungen für unseren Pilz offensichtlich schlecht gewählt sind: Die von ihm eingenommene Fläche schrumpft gegen Null unabhängig vom Ausgangswert x 0 stirbt der Pilz aus der Ursprung ist ein Attraktor der Iteration. Unser Ziel ist es nun, den Parameter a so zu ändern, dass unser Pilz möglichst schnell und zuverlässig die größtmögliche Fläche einnimmt. Dazu soll in dem Experiment der Parameter a zunächst im Bereich 0 a 3 verändert, das Verhalten beschrieben und möglichst überzeugend begründet werden. In diesem Parameterbereich tritt ein zur linearen Iteration vergleichbares Verhalten auf, so dass ein Transfer der entsprechenden Ergebnisse grundsätzlich möglich ist. Da in allen vorangegangenen Argumentationen die Steigung eine zentrale Rolle spielte, ist es naheliegend, in diesem Rahmen für Argumentationen mit der Steigung die Ableitung der Funktion heranzuziehen. Eine der zentralen Ideen der Analysis, den Funktionsgraph lokal durch seine Tangente zu approximieren, spielt hier eine entscheidende Rolle.

130 9.3 Quadratische Iteration 121 Beobachtungen und Begründungen Für das Verständnis der beobachteten Vorgänge wird es nützlich sein, charakteristische Größen zu erfassen. Iteration: x n+1 = a x n (1 x n ) Funktion: f (x)=a x (1 x) Ableitung der Funktion: f (x)=a 2ax Schnittstellen mit der Winkelhalbierenden: f (x)=x ax ax 2 = x ax 2 ax + x = 0 also ax 2 +(1 a)x = 0 x = 0 x = a 1 O(0;0); S ( a 1 a ; a 1 a ) a = 1 1 a Damit die zweite Schnittstelle im Intervall [0;1] liegt, muss gelten: a 1 a 1 1 a 2. a 1 a 1 ist für a > 0 immer erfüllt. Steigung im Ursprung: f (0)=a Steigung im zweiten Schnittpunkt: f ( a 1 a ) = a 2a a 1 a = a 2a+2 = 2 a. Für die Argumentationen werden wir uns gelegentlich auf die Einsichten bei linearen Funktionen stützen, da der Graph von f lokal durch seine Tangenten angenähert werden kann. Bereich 0 < a < 1: In diesem Parameterbereich schneidet der Graph von f die Gerade y = x im Intervall [0;1] nur im Punkt O(0;0). Daher gibt es keinen weiteren Fixpunkt der Iteration. Der Ursprung ist ein Attraktor und die Iterationsfolge eine Einwärtstreppe, da für die Steigung im Schnittpunkt gilt: f (0) < 1 (vgl. Argumentation bei Geraden). Wie bei den linearen Funktionen ist zu beobachten: Je kleiner a ist, desto schneller konvergiert die Folge gegen Null (vgl. Spalte A der Tabellenansicht). Abbildung 9.7: Graphische Iteration mit 0 < a < 1

131 122 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Bereich 1 < a < 2: Für a > 1 gibt es einen weiteren Fixpunkt: S ( a 1 a ; a 1 ) a. Die Steigung in diesem Punkt ist stets positiv: f ( ) a 1 a = 2 a > 0. Aus der Behandlung der linearen Funktionen wissen wir, dass S damit ein Attraktor ist und die Iterationsfolge eine Einwärtstreppe. Abbildung 9.8: Graphische Iteration mit 1 < a < 2 Bereich 2 < a < 3: In diesem Parameterbereich ist die Steigung im Schnittpunkt negativ, sie liegt zwischen 0 und 1: 0 < f ( ) a 1 a = 2 a < 1. Der Schnittpunkt ist also weiterhin ein Attraktor, die Iterationsfolge allerdings eine Einwärtsspirale in der Zeitreihe sehen wir die Werte abwechselnd von oben und von unten gegen den Grenzwert streben. Abbildung 9.9: Graphische Iteration mit 2 < a < 3 In allen bisher beobachteten Fällen ist zu erkennen, dass das langfristige Verhalten der Iteration weitgehend unabhängig vom Ausgangswert x 0 ist. Das folgende Experiment liefert komplexere Ergebnisse als alle vorherigen. Die Vielfalt an Strukturen die scheinbare Strukturlosigkeit lässt Raum für echte Entdeckungen. Diese lassen sich leichter, spontaner mitteilen, wenn die Schülerinnen und Schüler zu zweit am PC sitzen. Bereich 3 < a < 4: In diesem Bereich gilt: f ( ) a 1 a = 2 a < 1. Bei Geraden hatten wir hier den Schnittpunkt als Repeller erkannt, die Iteration verlief als Auswärtsspirale und für die Folgenglieder galt: lim n x n =+. Auch hier wird eine Auswärtsspirale sichtbar, die allerdings nicht beliebig anwächst, sondern zunächst in eine 2er-Periode übergeht. Für weiter wachsendes a werden dann neue Phänomene dominant. Dies ist nachvollziehbar, da die x n -Werte ja in dem Intervall [0;1] gefangen sind, die Spirale sich nicht wie bei Geraden unendlich ausdehnen kann mehr Platz als die ganze Petrischale kann der Pilz ja nicht einnehmen. Abbildung 9.10: Graphische Iteration mit 3 < a < 4

132 9.3 Quadratische Iteration 123 Während man a langsam erhöht, erreicht man markante Stellen: Bis ca. a = 3,449 ergibt die Zeitreihe wie oben beschrieben einen periodischen Wechsel zwischen zwei Werten. Danach spaltet sich diese Periode auf in eine Doppelperiode : groß klein mittelgroß mittelklein... Dieses Phänomen nennt man naheliegend Periodenverdopplung. Bei a = 3, 54 hat wieder eine Periodenverdopplung stattgefunden, so dass jetzt eine 8er-Periode zu erkennen ist. Danach wird es schwierig Muster zu erkennen. Bei a = 3,63 tritt plötzlich eine 6er-Periode auf etwas völlig Neues! Bei a = 3,74 eine 5er-Periode und bei a = 3,832 ist wieder umgeben von chaotischen Verhalten eine 3er-Periode erkennbar. Abbildung 9.11: Periodisches Verhalten Im restlichen Bereich bis a = 4 dominiert chaotisches Verhalten. Dabei wächst das Intervall, in dem x n -Werte auftreten, ständig. Bei a = 4 verteilen sich die Folgenglieder über das ganze Intervall [0;1] und springen völlig unvorhersehbar hin und her. Diese Unvorhersehbarkeit wird deutlich, wenn man den Anfangswert leicht verändert: Man sieht, dass kleine Änderungen des Anfangswertes im Gegensatz zum nicht-chaotischen Bereich langfristig zu völlig unterschiedlichen Werten führen. Dieses Phänomen ist unter dem Namen Schmetterlingseffekt in die Literatur eingegangen: Die Bezeichnung stammt von einer bildhaften Veranschaulichung dieses Effekts von Edward N. Lorenz am Beispiel des Wetters. Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?, so der Titel seines Vortrags im Jahr 1972 während der Jahrestagung der American Association for the Advancement of Science. [Lor72]. Abbildung 9.12: Chaotisches Verhalten Um diese sensible Abhängigkeit der Werte voneinander erfahrbar zu machen, dient Übung 2. Alle Schülerinnen und Schüler erhalten identische Arbeitsblätter, die mit Bleistift und Lineal so exakt wie möglich bearbeitet werden sollen. Dennoch werden sich nach wenigen Iterationsschritten deutliche Unterschieden bemerkbar machen. Noch ein paar Schritte weiter ist gar kein Zusammenhang mehr sichtbar.

133 124 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment 5 (Abb.9.13) Datei: Experiment5a.ggb (Ansicht: Grafik2) (a) Zeitreihe zur Sensitivität langfristig entwickeln sich benachbarte Startwerte völlig unterschiedlich. (b) Spinnwebendiagramm zur Sensitivität Abbildung 9.13: Zu Experiment 5 In diesem Experiment wird dieser Effekt weiter untersucht. Insbesondere wird hier gezeigt, dass der Effekt für chaotisches Verhalten typisch ist. Als Darstellung wird die Zeitreihe gewählt, in der das Iterationsverhalten benachbarter Startwerte x 0 und x 0 + ε, ε < 0,1 verfolgt und zusätzlich die Differenzfolge eingeblendet werden kann. Es zeigt sich, dass für Werte a < 3,5 die Differenzfolge (in der Regel) eine Nullfolge ist. Für Werte a > 3, 6 tauchen (in der Regel) in der Differenzfolge immer wieder große Werte auf. Ausnahmen bilden die a-werte mit periodischem Verhalten der Folge. Zur weiteren Veranschaulichung der Divergenz benachbarter Startwerte dient eine Version des Spinnwebdiagramms (Datei: Experiment5b.ggb). Hier wird das Intervall zwischen zwei benachbarten Werten iteriert, so dass die Ausweitung dieses Intervalls beobachtet werden kann. 9.4 Hat das Chaos Struktur? Wir konnten beobachten, dass das langfristige Verhalten unserer Iteration nur in einem Teilbereich leicht vorhersehbar ist. Im Bereich 0 < a < 1 konvergiert die Folge offensichtlich gegen 0 Folgenglieder mit n > 100 lassen sich am Bildschirm nicht mehr von 0 unterscheiden. Für die folgenden Parameterwerte steigen die Grenzwerte mit wachsendem a, und ab a = 3 gibt es einen periodischen Wechsel zwischen 2, später 4 und 8 Werten. Dann beginnt der chaotische Bereich. Wir wollen versuchen, uns mit GeoGebra ein genaueres Bild davon machen als in Experiment 4b. Dort wurde ein Diagramm skizziert, aus dem für jedes a zwischen 0 und 3,5 die Grenzwerte der Iteration ablesbar sind.

134 9.4 Hat das Chaos Struktur? 125 Experiment 6: (Abb. 9.14) Datei: Experiment6.ggb (Ansicht: Grafik, Grafik2, Tabelle) Um das langfristige Verhalten der Iteration zu studieren genügt es, für jedes a zwischen 0 und 4 zunächst 500 Folgenglieder auszurechnen, die nicht im Diagramm erscheinen (hier soll sich die Iteration erstmal auf ihr langfristiges Verhalten einpendeln ). Die nächsten 100 Folgenwerte werden in dem a-x n -Diagramm festgehalten. Das entstehende Diagramm geht auf Mitchell Feigenbaum zurück und wird entsprechend Feigenbaum-Diagramm (siehe Abb. 9.14) genannt. Abbildung 9.14: Feigenbaum-Diagramm der Iteration x n+1 = a x n (1 x n ) Die Datei Experiment6.ggb erzeugt eine animierte Grafik, in der a automatisch die Werte 0 bis 4 (und zurück) durchläuft. Dabei wird ständig der Startwert x 0 gewechselt, um die Unabhängigkeit des Grenzverhaltens von den Anfangswerten zu demonstrieren. Im Grafikfenster 2 entsteht eine vergrößerte Kopie des Diagramms für den besonders interessanten Bereich zwischen a = 3 und a = 4. Deutlich werden in diesem Diagramm die Periodenverdopplungen durch Bifurkationen des Graphen sichtbar. Im intermittierend chaotischen Bereich treten die Inseln der Ordnung hervor. Auch die mit wachsendem a > 3 beobachtete Zunahme des Bereichs, in dem sich die Iterationsfolge bewegt, wird deutlich. Erstaunlich auch die Selbstähnlichkeit innerhalb des Diagramms das Muster der Periodenverdopplung z. B. ist an vielen Stellen sichtbar. In weiteren Experimenten können die Schülerinnen und Schüler untersuchen, ob in den Abständen der Periodenverdopplung ein Muster erkennbar ist. Dazu ist in dem zweiten Grafikfenster eine verschiebbare Gerade eingebaut, um Werte leichter ablesen zu können. Feigenbaum hat bei diesen Untersuchungen eine universelle Konstante (ähnlich π) entdeckt, die Feigenbaumkonstante.

135 126 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos 9.5 Kann man Chaos messen? Chaotische Iterationen zeigen eine starke sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten (Schmetterlingseffekt vgl. Experiment 5). Das heißt, dass jeder Fehler bei der Bestimmung der Anfangswerte mag er noch so klein sein langfristig zu völlig anderen Ergebnissen führt als der korrekte Startwert. Da man aber in Realsituationen Werte nie 100 % genau bestimmen kann (z. B.: Wie groß war in unserem Eingangsbeispiel die vom Pilz bedeckte Fläche zu Beginn der Beobachtung?) sind in chaotischen Systemen keine zuverlässigen Aussagen über viele Iterationsschritte möglich. Es ist also wichtig zu wissen, ob ein System in einem chaotischen Bereich arbeitet oder nicht. Ziel dieses Teils ist, ein zuverlässiges Maß, eine Zahl zu finden, die angibt, ob sich das System/die Iteration im chaotischen Bereich befindet oder nicht. Das, was das Feigenbaum-Diagramm bildlich darstellt, soll durch eine charakterisierende Zahl beschrieben werden. Erstrebenswert ist natürlich, dass die Zahl nicht nur Chaos von Ordnung unterscheidet, sondern auch einen Grad von Chaos und Ordnung liefert. Da die Verhältnisse bei der quadratischen Iteration schon recht unübersichtlich sind, kehren wir zunächst zurück zur linearen Iteration und versuchen, dort eine Idee zu entwickeln. Wir betrachten also: x n+1 = m x n unsere Goldpreis-Iteration. Ziel ist es, zu erfassen, wie sich der Abstand eines richtigen Wertes von einem benachbarten falschen Wert x 0 im Laufe der Iteration entwickelt. Ist der Fehler zu Beginn ε (eine gegenüber den Werten x i kleine Zahl), also x 0 x 0 = ε, so gelten die Aussagen in Tabelle 9.2. Tabelle 9.2: Entwicklung benachbarter Startwerte bei der linearen Iteration Iteration mit Startwert Iteration mit fehlerhaftem Startwert x 0 = x 0 + ε Fehler ε 0 = ε x 0 x 1 = m x 0 x 1 = m x 0 = m (x 0 + ε)=x 1 + m ε ε 1 = m ε x 2 = m x 1 = m 2 x 0 x 2 = m x 1 = m (x 1 + m ε)=m x 1 + m 2 ε ε 2 = m 2 ε = x 2 + m 2 ε x 3 = m x 2 = m 3 x 0 x 3 = m x 2 = m (x 2 + m 2 ε)=m x 2 + m 3 ε ε 3 = m 3 ε = x 3 + m 3 ε x n = m n x 0 x n = x n + m n ε ε n = m n ε Das Verhältnis von Anfangsfehler und Fehler nach n Iterationen ist: ε n = ε n εn 1 ε1 ε n 1 ε n 2 = ε n ε n 1 ε 1 = m m m = m n ε 0 ε 0 ε n 1 ε n 2 Da es auf die Vorzeichen der Faktoren m nicht ankommt, schreibt man den Term m üblicherweise in der Form m = e λ. m war im Rahmen der linearen Iteration charakteristisch für das langfristige Verhalten der Iteration. Diese Rolle soll jetzt im allgemeinen Fall λ übernehmen. Beispielsweise kann man die bisherigen Beobachtungen so übersetzen: λ > 0 heißt m > 1: Die lineare Iteration zeigte hier eine unbeschränkt wachsende Auswärtsspirale oder Auswärtstreppe. Bei quadratischen Iterationen ist hier ein chaotisches Verhalten zu erwarten, da die Iterationswerte ja im Intervall [0;1] gefangen sind. Sie müssen in jeden Schritt wieder auf dieses Intervall zurückgefaltet werden. ε 0

136 9.5 Kann man Chaos messen? 127 λ < 0 heißt 0 < m < 1: Hier war bei der linearen Iteration ein konvergentes Verhalten zu beobachten, also ist auch im allgemeinen Fall kein Chaos zu erwarten. λ = 0 kennzeichnet demnach die Grenze zwischen Chaos und Ordnung. Für das Verhältnis von Anfangsfehler und Fehler nach n Iterationen schreiben wir also: ε n = ε n ε n 1 ε 1 = eλn ε 0 ε n 1 ε n 2 Anschaulich entspricht der Term ε i+1 ε i dem Streckungsfaktor des Fehlers. Bei linearen Iterationen ist dies die Steigung der Funktion an der Stelle x i (vgl. Abb. 9.15). ε 0 Abbildung 9.15: Iteration Fehlerintervallen von Während sich bei linearer Iteration die Steigung nicht ändert, ist sie im allgemeinen Fall an jeder Stelle anders. Wir können aber die Idee von oben übertragen, indem wir für jeden Iterationsschritt die entsprechende Steigung der Funktion an dieser Stelle einsetzen 2 : ε i+1 ε i f (x i ) 2. Damit erhalten wir: ε n ε 0 = ε n ε n 1 Logarithmieren ergibt: ln ε n ε 0 ε n 1 ε n 2 ε 1 = f (x n 1 ) f (x n 2 ) f (x 0 ) = e λn ε 0 = ln f (x n 1 ) f (x n 2 ) f (x 0 ) = n 1 ln f (x i ) = λn i=0 Auflösen nach λ ergibt: n 1 1 n i=0 ln f (x i ) = λ. Bemerkung: Der oben angegebene Term erfasst das Verhalten einer Iteration am besten, wenn 2 Genauer gilt: lim ε 0 ε i+1 ε i = f (x i )

137 128 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos möglichst viele Iterationswerte am besten alle zur Berechnung von λ herangezogen werden. Dann ergibt sich für λ: n 1 1 λ = lim n n i=0 ln f (x i ) (Lyapunov-Exponent). Diese Zahl wird nach Alexander Michaelowitsch Lyapunov ( ) benannt. Der Einfachheit halber werde ich auch den Näherungswert mit endlich vielen n Lyapunov-Exponent nennen. Um ein Gefühl für den Exponenten zu erhalten, sollten Schülerinnen und Schüler die folgende Übung machen. Da hier nur 10 Iterationsschritte ausgewertet werden, ist die Aussagekraft des berechneten Exponenten natürlich eingeschränkt. Für eine erste Orientierung reicht es aber. Übung 3 (Abb. 9.16) Datei: Übung3.ggb (Ansicht: Tabelle) n 1 1 n i=0 ln f (x i ) = λ Abbildung 9.16: GeoGebra-Tabelle zur Bestimmung des Lyapunov-Exponenten Hier ist n = 10, i durchläuft die Werte 0 bis 9. In B3 steht ein beliebiger Startwert x 0 aus dem Intervall [0;1], hier x 0 = 0,1. Die weiteren Werte B4 bis B12 sind die Werte der Iteration x n+1 = a x n (1 x n ). In Spalte C stehen die entsprechenden Werte der Ableitung f (x)=a 2ax. Die Spalte D wird aus der Spalte C wie in D1 angegeben berechnet. Unten steht die Summe. Teilt man D14 durch 10, so ergibt sich der Lyapunov-Exponent für n = 10. Durch das Austesten verschiedener Parameterwerte a können die Schülerinnen und Schüler hier vertrauen in diese Berechnung gewinnen. Für a zwischen 0 und 3 ergeben sich erwartungsgemäß negative Exponenten also Ordnung, für Werte nahe bei 4 entsprechend positive Exponenten ein Indiz für Chaos. Natürlich wollen wir uns jetzt einen Überblick darüber verschaffen, wie der Lyapunov-Exponent bei genauerer Berechnung für beliebige a aussieht. Die entsprechende Datei Experiment7.ggb

138 9.5 Kann man Chaos messen? 129 Abbildung 9.17: Lyapunov-Exponent ist im Wesentlichen so aufgebaut, wie die Tabelle in Abb Sie berücksichtigt allerdings deutlich mehr Iterationsschritte und zeigt automatisch den Wert des Lyapunov-Exponenten in einem a-λ-diagramm an. Als Ergebnis erhalten wir das Bild In einem abschließenden Experiment 7 soll dieses Diagramm nun interpretiert und auf seine Aussagekraft hin getestet werden. Ein Vergleich mit dem Feigenbaum-Diagramm insbesondere im interessanten Bereich zwischen a = 3 und a = 4 zeigt, dass der Lyapunov-Exponent sehr genau die Bereiche der Ordnung von denen mit chaotischem Verhalten trennt. Abbildung 9.18: Lyapunov-Exponent und Feigenbaum-Diagramm

139 130 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos und was gibt es noch? Mit der Datei Chaos-Iteration-Ausblick 1.ggb können weitere Funktionen untersucht werden. Die Auswahl der in der GeoGebra-Tabelle abgelegten Funktionen erfolgt bequem mit Hilfe eines Schiebereglers. Insbesondere kann nun den eingangs im Rahmen der Taschenrechnerspielerei gestellten Fragen nachgegangen werden: Die Funktionen cos(x) und x sind aus der Tabelle wählbar. Mit der Datei Chaos-Iteration-Ausblick2.ggb kann der Frage nachgegangen werden, wie sich die Iterationswerte im Intervall [0; 1] verteilen. Das Feigenbaum-Diagramm zeigt zwar die Orte an, wo die Werte liegen, verrät aber nichts über die Häufigkeit, mit der einzelne Werte auftreten. Ein Histogramm kann hier Aufschluss geben. Literatur [Pei92] PEITGEN, H.-O. (1992). Chaos: Iteration, Sensitivität, Mandelbrotmenge. Ein Arbeitsbuch. Springer-Verlag. [PJSa92] PEITGEN, H.-O.; JÜRGENS, H.; SAUPE, D. (1992). Bausteine des Chaos Fraktale. Klett-Cotta/Spinger-Verlag. [PJSb92] PEITGEN, H.-O.; JÜRGENS, H.; SAUPE, D. (1992). Chaos Bausteine der Ordnung. Klett-Cotta/Spinger-Verlag. [Lor72] Wikipedia: Abgerufen am

140 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Anhang: Experimente und Übungen Experiment 1 Datei: Experiment1.ggb (Ansicht: Grafik, Tabelle Spalte A-B) In den letzten Monaten ist der Goldpreis durchschnittlich in jedem Monat um 1 % gestiegen. Wenn das so weiter geht, entwickelt sich ein Anfangskapital x 0 aus Gold wie folgt: x 0 1,01 x 0 1,01 x 1 = x 2 1,01 x 2 = x 3 oder allgemein: x n+1 = m x n ; n R Abbildung 9.19: Lineare Iteration Öffnen Sie diese Datei so, dass das Grafikfenster und das Tabellenfenster sichtbar sind. Im Grafikfenster wird die Zeitreihe der Iteration dargestellt. Sie können den Startwert durch Anklicken und Verschieben direkt ändern und den Faktor m mit dem Schieberegler im Grafikfenster. Stellen Sie x 0 = 5 und m wie im Text angegeben ein und interpretieren Sie den Verlauf der Zeitreihe. Untersuchen Sie das Verhalten der Iterationswerte systematisch: Welches Verhalten kann unterschieden werden? Listen Sie das unterschiedliche Verhalten durch Fallunterscheidung vollständig auf. Fertigen Sie dazu eine Tabelle an, in der für einen Zahlenbereich von m das typische Verhalten in Worten beschrieben und der typische Verlauf der Zeitreihe als Graph skizziert werden. Wie hängt das (langfristige) Verhalten mit dem Startwert und dem Parameter m zusammen? Begründen Sie das Verhalten. Für welche Parameterwerte m lässt sich das Experiment im obigen Kontext interpretieren?

141 132 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment 2 Datei: Experiment2.ggb (Ansicht: Grafik) Ein Immobilienbesitzer plant wie folgt: Von dem vorhandenen Kapital x 0 (z. B.: Startwert x 0 = 2) wird er im Laufe eines Jahres 75 % investieren müssen (Unterhaltungsaufwand, Renovierung, Modernisierung, Neuinvestition,...). Am Jahresende hat er also ein Viertel des Vorjahreskapitals (0,25 x 0 ) und die neuen Einnahmen (z. B.: c = 3) zur Verfügung: x 1 = 0,25 x Abbildung 9.20: Affine Iteration Wie entwickelt sich sein Kapital, wenn diese Bedingungen über Jahre stabil bleiben? Stellen Sie zunächst die Anfangsbedingungen wie oben angegeben ein. Beschreiben Sie die Beobachtungen im Kontext. Verändern Sie nun die Anfangsbedingungen, die Investitionen, die Einnahmen. Was ändert sich? Studieren Sie das Verhalten der Iteration unabhängig von der Interpretation. Für welche Einstellungen ist die Simulation im Kontext nicht sinnvoll interpretierbar? Fertigen Sie eine Tabelle entsprechend Experiment 1 an. Erklären Sie, warum sich die Iteration wie beobachtet verhält. Um das Verhalten der Iteration besser verstehen zu können, kann die zugehörige Funktion f (x)=m x + c, die Winkelhalbierende y = x und die Asymptote eingeblendet werden.

142 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Übung 1a: Iteration x n+1 = m x n + c Zeichnen Sie oben den Iterationspfad zu dem gegebenen Anfangswert ein. In die vorbereitete Tabelle können Sie nun die Iterationswerte übertragen. Im Diagramm unten erzeugen Sie aus den Tabellenwerten die Zeitreihe. Tabellenwerte x 0 x 1 x x x x x x x x Zeitreihe

143 134 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Übung 1b: Iteration x n+1 = m x n + c Zeichnen Sie oben den Iterationspfad zu dem gegebenen Anfangswert ein. In die vorbereitete Tabelle können Sie nun die Iterationswerte übertragen. Im Diagramm unten erzeugen Sie aus den Tabellenwerten die Zeitreihe. Tabellenwerte x 0 x 1 x x x x x x x x Zeitreihe

144 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Übung 1c: Iteration x n+1 = m x n + c Zeichnen Sie oben den Iterationspfad zu dem gegebenen Anfangswert ein. In die vorbereitete Tabelle können Sie nun die Iterationswerte übertragen. Im Diagramm unten erzeugen Sie aus den Tabellenwerten die Zeitreihe. Tabellenwerte x 0 x 1 x x x x x x x x Zeitreihe

145 136 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Übung 1d: Iteration x n+1 = m x n + c Zeichnen Sie oben den Iterationspfad zu dem gegebenen Anfangswert ein. In die vorbereitete Tabelle können Sie nun die Iterationswerte übertragen. Im Diagramm unten erzeugen Sie aus den Tabellenwerten die Zeitreihe. Tabellenwerte x 0 x 1 x x x x x x x x Zeitreihe

146 9.7 Anhang: Experimente und Übungen 137 Zusammenfassung der Ergebnisse aus Übung 1a 1d In Übung 1 und Übung 1 ergeben sich Iterationstreppen. bla In Übung 1 und Übung 1 ergeben sich Iterationsspiralen. bla In Übung 1 und Übung 1 ist der Schnittpunkt der Geraden ein anziehender Fixpunkt (Attraktor). bla In Übung 1 und Übung 1 ist der Schnittpunkt der Geraden ein abstoßender Fixpunkt (Repeller). Ordnen Sie die Begriffe den vier Iterationspfaden zu: Einwärtstreppe Auswärtstreppe Einwärtsspirale Auswärtsspirale Äußern Sie Vermutungen: Für welche Funktionsterme ergeben sich welche Iterationspfade?

147 138 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment 3 Datei: Experiment3.ggb (Ansicht: Grafik) Das folgende Experiment ermöglicht es, die Vermutungen aus Übung 1 zu überprüfen. Die Funktion kann durch Verschieben des Schnittpunktes P mit der y-achse und eines weiteren freien Punktes verändert werden. Untersuchen Sie auch die Spezialfälle m = 0, m = 1 und m = 1. Durch das Einblenden der Iterationsfolge werden in dem Diagramm zwei Darstellungen überlagert und damit die Beziehungen dieser Darstellungsformen beobachtbar: Die Punkte (x n x n+1 ) der graphischen Iteration (Spinnweb-Diagramm) und die Punkte (n x n ) der Iterationsfolge (Zeitreihe). Abbildung 9.21: Einwärtsspirale Begründen Sie das Verhalten der Iteration mit entsprechender Fallunterscheidung.

148 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Experiment 4 Datei: Experiment4.ggb (Ansicht: Grafik, Grafik2) (a) Abbildung 9.22: Graphische Iteration und Zeitreihe mit 0 < a < 1 Der Bildschirm besteht hier aus zwei Grafik-Fenstern, die am besten wie angezeigt anordnet werden. Das linke Fenster zeigt die graphische Iteration, das rechte Fenster die Zeitreihe der Bedeckung. Zu Beginn sollte a = 0,5 sein. Wir können erkennen, dass die Rahmenbedingungen für unseren Pilz offensichtlich schlecht gewählt sind: Die von ihm eingenommene Fläche schrumpft gegen Null unabhängig vom Ausgangswert x 0 stirbt der Pilz aus der Ursprung O(0 0) ist ein Attraktor der Iteration. Unser Ziel ist es nun, den Parameter a so zu ändern, dass unser Pilz möglichst schnell und zuverlässig die größtmögliche Fläche einnimmt. Untersuchen Sie folgende Fragen, die Sie jeweils im Kontext interpretieren: Erster Teil: Variieren Sie a nur zwischen den Werten 0 und 3! Wie hängt die Iterationsfolge jeweils vom Anfangswert ab? Für welche a ist O(0 0) ein Attraktor/Repeller? Argumentieren Sie mit der Steigung von f im Ursprung. Für welche a ergibt sich neben O(0 0) ein weiterer Schnittpunkt S mit der Winkelhalbierenden? Welchen Einfluss hat die Steigung von f im Schnittpunkt S? Bestimmen Sie einen Term für die Steigung von f in S. Charakterisieren Sie die Situationen für verschiedene Werte von a mit den Begriffen Einwärtstreppe Auswärtstreppe Einwärtsspirale Auswärtsspirale Wie kann man sich das beobachtete Verhalten erklären? Wie ist der Zusammenhang mit linearen Funktionen? Warum macht es Sinn, den Parameterbereich für a auf das Intervall [0;4] zu beschränken? (b)

149 140 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment4 Fortsetzung Zweiter Teil: Variieren Sie nun a zwischen den Werten 3 und 4 Versuchen Sie, das langfristige Verhalten der Iteration möglichst genau zu beschreiben. Variieren Sie den Parameter a dazu sehr kleinschrittig. Gibt es Bereiche mit einheitlichem Verhalten? Neben nichtperiodischen Bereichen gibt es vereinzelt a-werte mit periodischem Verhalten. Welche Perioden treten bei welchen a-werten auf? Wie lässt sich periodisches Verhalten für das Wachstum des Pilzes interpretieren? Welchen Wertebereich nehmen die Iterationswerte in nichtperiodischen Bereichen an? Wie hängt das langfristige Verhalten mit dem Anfangswert zusammen? Erstellen Sie zur Übersicht ein Diagramm, in dem zu jedem a-wert die letzten 10 Werte aus der Tabellen-Ansicht der Iteration eingetragen sind. Tipp: Sie können a sehr fein am Schieberegler steuern, indem Sie den Punkt auf dem Schieberegler von a kurz anklicken und dann mit den Pfeiltasten links/rechts den Wert von a ändern. (a) Langfristig periodisches Verhalten (b) Chaotisches Verhalten Abbildung 9.23: Graphische Iteration mit a = 3,6 und a = 4

150 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Übung 2 Zeichnen Sie oben den Iterationspfad zu dem Anfangswert x 0 = 0,1 ein. In die vorbereitete Tabelle können Sie nun die Iterationswerte übertragen. Im Diagramm unten erzeugen Sie aus den Tabellenwerten die Zeitreihe. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen Ihrer Mitschüler. Tabellenwerte x 0 x 1 x x x x x x x x Zeitreihe

151 142 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Experiment 5 Datei: Experiment5a.ggb (Ansicht: Grafik2) Übung 2 hat gezeigt, dass sich im Gegensatz zu Übung 1 kleinste Fehler so fortpflanzen, dass es zu erheblichen Abweichungen vom richtigen Wert kommt. Führen Sie die Übung 2 nun mit dem PC durch (vgl. Abb. 9.24a). Stellen Sie den Regler für a auf 4 ein, fügen Sie das Häkchen bei Sensitivität ein und verändern Sie ε (die Differenz zum Startwert x 0 ). Beobachten Sie das Verhalten der Iterationen (blau: Startwert x 0, rot: Startwert x 0 + ε, grün: Differenz der Folgenwerte). Sie erkennen, dass die Glieder der Differenz-Folge nach wenigen Schritten von derselben Größenordnung sind wie die Folgenglieder selbst! Variieren Sie jetzt a. Deutlich ist zu erkennen, dass die Iteration im Bereich a < 3 ein völlig anderes Verhalten zeigt, als nahe bei 4. Wo beginnt das Chaos? Kann man eine Grenze angeben? Was ist an den besonderen Stellen (periodisches Verhalten) aus Experiment 4b zu beobachten? Kann man den vom Rechner bestimmten Werten trauen? Diskutieren Sie in Ihrer Tischgruppe. (a) Sensitivität 1 (b) Sensitivität 2 Abbildung 9.24: Sensitivität Eine alternative Darstellung der Iteration benachbarter Startwerte veranschaulicht die Datei Experiment5b.ggb. Hier können Sie die Folge eng benachbarter Werte im Spinnwebdiagramm verfolgen (vgl. Abb. 9.24b).

152 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Experiment 6 Datei: Experiment6.ggb (Ansicht: Grafik, Grafik 2, Tabelle) Öffnen Sie die Datei und wechseln Sie auf das erste Grafikfenster. Die Datei erzeugt eine animierte Grafik, in der a automatisch die Werte 0 bis 4 (und zurück) durchläuft. Zu jedem Wert von a werden 600 Folgenglieder ausgerechnet. Die ersten 500 Folgenglieder erscheinen jedoch nicht im Diagramm, da sich die Folge erst auf ihr langfristiges Verhalten einpendeln soll. Um die Unabhängigkeit des Grenzverhaltens von den Anfangswerten zu demonstrieren, wird ständig der Startwert x 0 gewechselt das entstehende Bild ist trotz Sensitivität bereits nach endlich vielen Iterationswerten weitgehend stabil. Im Grafikfenster 2 entsteht eine vergrößerte Kopie des Diagramms für den besonders interessanten Bereich zwischen a = 3 und a = 4. Nachdem der Parameterbereich einmal vollständig durchlaufen wurde, können Sie die Animation stoppen. Vergleichen Sie das Diagramm mit Ihrem selbst erstellten Diagramm. Benennen Sie die verschiedenen Bereiche (konvergent, periodisch 2er-, 4er-,... 3er- Periode, chaotisch) Wo finden Periodenverdopplungen statt? Im chaotischen Bereich treten Inseln der Ordnung hervor. Beschreiben Sie die Iteration in diesen Bereichen. Überprüfen Sie Ihre Aussagen mit dem Programm Experiment 5a.ggb. Für a = 4 treten scheinbar zufällig Zahlen aus dem Intervall [0;1] in der Iterationsfolge auf. Wie unterscheidet sich die Iterationsfolge von einer echten Zufallsfolge? Tipp: Skizzieren Sie die Folgenglieder (ohne Verbindungsstrecken) jeweils in einem Spinnweb- Diagramm. Viele Teile des Diagramms sehen ähnlich aus wie das gesamte Diagramm man spricht auch von Selbstähnlichkeit. Identifizieren Sie solche Bereiche. Abbildung 9.25: Feigenbaum-Diagramm In weiteren Experimenten können Sie untersuchen, ob in den Abständen der Periodenverdopplung ein Muster erkennbar ist. Dazu ist in dem zweiten Grafikfenster eine verschiebbare Gerade eingebaut, um Werte leichter ablesen zu können. Feigenbaum hat bei diesen Untersuchungen eine universelle Konstante (ähnlich π) entdeckt, die Feigenbaumkonstante.

153 144 9 Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos Übung 3 Erzeugen Sie in GeoGebra eine Tabelle wie in Abb (oder öffnen Sie die Datei Übung 3.ggb, Ansicht: Tabelle). n 1 1 n i=0 ln f (x i ) = λ Abbildung 9.26: GeoGebra-Tabelle zur Bestimmung des Lyapunov- Exponenten Hier ist n = 10, i durchläuft die Werte 0 bis 9. In B3 steht ein beliebiger Startwert x 0 aus dem Intervall [0;1], hier x 0 = 0,1. Die weiteren Werte B4 bis B12 sind die Iterationswerte x n+1 = a x n (1 x n ). In Spalte C stehen die entsprechenden Werte der Ableitung f (x i )=a 2ax i. Spalte D wird zeilenweise aus der Spalte C berechnet. Unten steht die Summe. Teilt man D14 durch 10, so ergibt sich der Lyapunov-Exponent für n = 10. Der Lyapunov-Exponent wurde so konstruiert, dass sich mit ihm Aussagen über das Verhalten von Iterationen gewinnen lassen: Fassen Sie diesen Zusammenhang noch einmal in eigenen Worten zusammen. Variieren Sie a in E2 und beobachten Sie den Exponenten insbesondere sein Vorzeichen. Suchen Sie Parameterwerte a, so dass λ positiv, Null, negativ ist. Beschreiben Sie die Iteration für diese Parameterwerte. Führen Sie die Untersuchungen mit einem anderen Startwert durch.

154 9.7 Anhang: Experimente und Übungen Experiment 7 Datei: Experiment7.ggb (Ansicht: Grafik) Öffnen Sie die Datei Experiment7.ggb im Grafikfenster, so dass es das gesamte Fenster einnimmt. Erwartungsgemäß startet der Graph im negativen Bereich, zeigt aber für wachsende Werte eine erstaunliche Fülle an Details. Diese sollen jetzt untersucht werden. Die ersten drei Nullstellen des Graphen sind klar erkennbar. Was kennzeichnet diese Stellen im Feigenbaum-Diagramm und im Iterationsverhalten? Wechseln Sie in das zweite Grafikfenster. Hier ist der rechte Bereich des Graphen vergrößert dargestellt, so dass weitere Nullstellen sichtbar werden. Überprüfen Sie, ob die oben gefundenen Aussagen auch hier gelten. Auch im Bereich a > 3,5 nimmt der Lyapunov-Exponent negative Werte an, die für Ordnung stehen. Überprüfen Sie dies, indem Sie a-werte mit negativem Lyapunov-Exponenten aus diesem Bereich in die Datei Experiment 5a.ggb einsetzen. Im Bild 9.27 sind das Feigenbaum-Diagramm und der Graph des Lyapunov-Exponenten überlagert. Interpretieren Sie Zusammenhänge. Abbildung 9.27: Lyapunov-Exponent und Feigenbaum-Diagramm

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156 10 Funktionen kann man nicht sehen Rainer Kaenders Mathematik kann man nicht sehen. Auch Funktionen kann man nicht sehen aber man kann versuchen sie darzustellen. Im Mathematikunterricht permanent anwesend ist die Darstellung von Funktionsgraphen in kartesischen Koordinaten. Doch viele andere Arten der graphischen Repräsentation sind möglich und haben ihren eigenen Reiz. Verschiedene Darstellungen eröffnen häufig einen Blick auf Funktionen, den die jeweils anderen Sichtweisen nicht gewähren. So ist das kartesische Koordinatensystem etwa durch den Schnitt zweier Kurven gut in der Lage, Stellen zu finden, an denen zwei Funktionen denselben Wert annehmen. Auch die Summe zweier Funktionen ist darzustellen. Es ermöglicht den Graphen quadratischer oder reziproker (d.h. Kehrwertfunktionen wie wie x c x für eine Konstante c) Funktionen mit klassischen Kurven, der Parabel und der Hyperbel, in Verbindung zu bringen. Auch kann man die Zuordnung einer Stelle x 0 zu ihrer lokalen linearen Approximation selbst wieder als Funktion als Ableitung auffassen. Die Hintereinanderausführung oder das Produkt zweier Funktionen hingegen, werden im Allgemeinen nur schwer so darstellbar, dass die einzelnen Komponenten noch erkennbar sind zumindest, wenn es über lineare Substitutionen hinausgeht. Das kartesische Koordinatensystem suggeriert viele spezielle Vorstellungen von Funktionen und ihren Eigenschaften, wie etwa von ihren Symmetrien oder ihrer Ableitung etc., die mehr zu dieser Darstellungsform gehören als zu der Funktion selbst. Eine Variation der Darstellungsformen und der Wechsel zwischen ihnen ist daher didaktisch wertvoll und wichtig. Die speziellen Eigenschaften mancher Funktionen, wie zum Beispiel linearer, quadratischer, reziproker, trigonometrischer oder exponentieller Funktionen erhalten jeweils ein anderes Gesicht und offenbaren durch diese vielen Ansichten erst wirklich ihr tieferes Wesen. Zu jeder Darstellungsweise gibt es spezielle Funktionen, die in dieser Darstellungweise ihre besonderen Eigenschaften besonders schön geometrisch offenbaren, wie etwa die Exponentialfunktionen bei den Spiralen und die Kehrwertfunktionen bei den Nomogrammen. Für spezielle Funktionen gibt es oft ganz spezielle geometrische Weisen, graphische Bilder zu erzeugen, wie beispielsweise die Darstellung der trigonometrischeen Funktionen am Einheitskreis oder die Erzeugung mancher Kurven durch mechanische Geräte. Was hierbei jeweils als Funktion aufgefasst wird, hängt oft mehr von den gewählten Koordinaten als von der Konstruktion ab. Hier werden wir auf solche Darstellungen, die stark an bestimmte Funktionentypen gebunden sind, nicht eingehen. Auch weitere Funktionsrepräsentationen wie Tabellen, Pfeilketten Abbildung 10.1: Nomogramm der Exponentialfunktion x e x R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI / _10, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

157 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.2: Nomogramm der Funktion x x 3 Abbildung 10.3: Nomogramm der Funktion x tan(x) Abbildung 10.4: Nomogramm der Funktion x sin(x)+ 1 2 x. oder Maschinchen bleiben hier unbesprochen. In diesem Kapitel interessieren wir uns vielmehr für Darstellungsweisen, die für alle oder zumindest für eine große Klasse von Funktionen, wie etwa die mit nicht-negativen Werten funktionieren. War es früher eine mühsame Geduldsarbeit, verschiedene Darstellungen von Funktionen zu erstellen, so ist es heute mit Programmen wie GeoGebra leicht möglich, virtuos mit den verschiedensten geometrischen Repräsentationen von Funktionen umzugehen. Dabei eröffnet sich eine Vielzahl mathematisch spannender Fragen, wie die Nomogramme und Höhenliniendarstellungen zeigen. Ein Programm wie GeoGebra eröffnet hier eine fruchtbare Quelle für überraschende Vernetzungen. Solche alternativen Funktionsdarstellungen geben daher Gelegenheiten, die Inhalte aus verschiedenen Bereichen des Mathematikunterrichts, z.b. aus Geometrie, Algebra und Analysis, sinnvoll miteinander zu verbinden und den Transfer dieser Inhalte in andere Kontexte zu üben. Und nicht zuletzt können auch geometrische Standardargumentationen und algebraische Standardumformungen anhand alternativer Funktionsdarstellungen geübt werden. Mit der Einführung des Funktionsbegriffs können parallel verschiedene Darstellungen schon in der Mittelstufe den Schülern nahegebracht werden. Hilfreich sind zunächst Zeichungen mit der Hand und schließlich Konstruktionen mit Werkzeugen wie GeoGebra, wodurch die Möglichkeiten natürlich beträchtlich erweitert werden. Durch alternative Funktionsdarstellungen kann die Interpretation mancher Begrifflichkeiten zu Funktionen losgelöst werden von der Darstellung im kartesischen Koordinatensystem. So wird ein abstrakter Funktionsbegriff vorbereitet, der von Kontexten losgelöst und mit Bedeutung versehen ist. Für die Lektüre dieses Kapitels empfiehlt sich eine aktive Haltung. Generell empfehle ich, sich die Sachverhalte zunächst ohne den Einsatz von Software vorzustellen, sie dann mit einem Programm wie GeoGebra zu konstruieren und dann mit dem Verstand zu analysieren und die einzelnen Schritte zu rekapitulieren. Oder anders gesagt: Am besten liest man dieses Kapitel, indem man sich die Ideen nur grob anschaut, sie durch GeoGebra experimentell mit Leben

158 10.1 Nomogramme 149 erfüllt und dann abschließend durch die genaue Lektüre gegebenenfalls bestätigt oder widerlegt findet, was man selbst schon zuvor herausbekommen hat. Am Ende der Abschnitte finden sich Aufgaben, deren Bearbeitung das Studium des Kapitels vertiefen kann, aber zum Verständnis nicht zwingend notwendig ist Nomogramme Der Begriff Nomogramm steht für eine Reihe von Darstellungen funktionaler Zusammenhänge mit Hilfe von Liniendiagrammen, die früher vor allem zur graphischen Lösung verschiedener Typen von Gleichungen eingesetzt wurden (siehe [Dor77], S ). Im Allgemeinen tragen die Linien die unterschiedlichsten Skalen der Art der Gleichung entsprechend. Wir stellen hier die einfachste solche graphische Darstellung mit gleichgroßen äquidistanten Skalen vor, die in der Mathematikdidaktik zwar bekannt 1, doch auch in Vergessenheit geraten ist. Der Einfachheit halber nennen wir die auf die unten dargelegte Weise erzeugten Funktionsgraphen schlicht Nomogramme. Wir zeigen hier, dass diese Nomogramme nicht nur die Funktionen selbst sondern auch manche ihrer Eigenschaften zur Schau stellen. Das Prinzip dieser Nomogramme ist denkbar einfach. Wir zeichnen zwei parallele Zahlenstrahlen in einem positven Abstand 2a voneinander mit gleichen Maßstäben, so dass sich die beiden Ursprünge, d. h. jeweils die Zahl 0, direkt gegenüber liegen. Der Abstand 2a ist dabei zunächst beliebig gewählt. Den unteren Zahlenstrahl wollen wir Definitionsgerade nennen und den oberen Wertegerade. Zu einer Zahl x auf der Definitionsgeraden bezeichne U(x) den zugehörigen Punkt in der Ebene und analog gehört zu y auf der Wertegeraden der Punkt W(y) in der Ebene. Nun verbinden wir einen Punkt U(x) auf der Definitionsgerade, der einer Zahl x auf der Skala entspricht, durch einen Pfeil mit dem Punkt W( f (x)) auf der Wertegeraden, welchem die Zahl f (x) auf diesem Zahlenstrahl entspricht. Wir betrachten hier auch Funktionen, die aufgrund ihrer Funktionsvorschrift nur auf einem Teil der Definitionsgeraden der Definitionsmenge definiert sind, ohne dass wir dies im Einzelnen immer spezifizieren. In den Abbildungen 10.1 bis 10.4 sehen wir eine Reihe solcher Graphen von bekannten Funktionen, die einen mehr oder weniger guten Eindruck dieser Funktionen vermitteln. Manchmal entstehen ästhetisch ansprechende Bilder und manchmal erinnern die Bilder an Mikado. Eine einfache Eigenschaft sehen wir gleich: Möchten wir herausfinden, an welchen Stellen zwei Funktionen f und g den gleichen Wert annehmen, d.h. in kartesischen Koordinaten den Schnitt der beiden Graphen ermitteln, dann müssen wir hier nach zwei identischen Pfeilen Ausschau halten, wenn wir die Nomogramme von f und g übereinander legen. Dies ist offensichtlich viel schwieriger zu sehen als ein Schnittpunkt zweier kartesischer Funktionsgraphen Komposition Bei diesen Diagrammen bekommen wir einen Eindruck davon, dass es sich bei Funktionen um Abbildungen von Mengen handelt. Wir sehen sofort, ob wir es mit einer injektiven, surjektiven und gegebenenfalls bijektiven Abbildung zu tun haben. Die Bilder verallgemeinern die graphischen Darstellungen von Abbildungen endlicher Mengen durch Venn-Diagramme und Pfeile, 1 Z. B. findet man die Idee der Nomogramme bei Van Doormolen [Doo78] oder später bei Malle (z.b. in [Mal93], S. 265 oder [Mal00]). Auch Spivak ([Spi67], S. 79) benutzt Nomogramme in seinem Buch Calculus. Auf findet man ähnliche Applets zur Kovariation von Hans-Jürgen Elschenbroich.

159 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.5: Konvergenz gegen den goldenen Schnitt durch Iteration der Funktion g(x)=1 + 1 x. mit denen allgemeine Zuordnungen angegeben werden. Hierdurch bereiten sie einen allgemeineneren Abbildungsbegriff vor. Besser als einige andere Darstellungsformen bieten die Nomogramme die Möglichkeit, die Komposition zweier Funktionen f und g, d. h. die Hintereinanderausführung f g, geometrisch zu sehen. Ein Nomogramm der Hintereinanderausführung zweier Funktionen f und g kann man erhalten, indem man das Nomogramm von f auf das Nomogramm von g setzt und die Pfeile wie Vektoren addiert. Hieraus können wir eine Reihe von Folgerungen ziehen: Die Funktion x x mit einem Nomogramm von ausschließlich senkrechten Pfeilen stellt die identische Funktion dar. Zu einer invertierbaren Funktion f erhält man das Nomogramm der inversen Funktion f 1, indem wir das Numogramm von f horizontal an der Mittelgeraden, der Geraden in der Mitte parallel zwischen Definitions- und Wertegerade, spiegeln. Involutionen, d. h. zu sich selbst inverse Funktionen, sind genau die Funktionen, deren Nomogramme spiegelsymmetrisch an der horizontalen Geraden in der Mitte zwischen Definitions- und Wertegeraden sind. Zum Beispiel haben die Funktionen x x oder x 1 x solche Nomogramme. Projektionen, d. h. Funktionen π(x) mit der Eigenschaft π π = π, sind ebenfalls leicht zu erkennen. Beschränkt auf die Bildpunkte der Funktion π handelt es sich um die identische Abbildung. So sind etwa konstante Funktionen oder die Betragsfunktion x x solche Projektionen. Auch die Gauß-Klammer Funktion x x oder die Funktion x Frac(x)=x x sind Beispiele von Projektionen.

160 10.1 Nomogramme 151 Man kann auch eine dritte Zahlengerade parallel zwischen die beiden Zahlengeraden einziehen und die Funktion in die Komposition zweier Funktionen zerlegen. Wir werden später sehen, dass das obere Nomogramm dann nicht notwendigerweise eine Funktion darstellen muss. Auch ist es möglich, die dritte parallele Gerade außerhalb der beiden Zahlenstrahlen zu wählen und die Abbildung durch den Umweg über diese Gerade zu zerlegen. Iterationen von Funktionen werden sichtbar. In Abbildung 10.5 sehen wir die Iteration einer Abbbildung. Allgemein erkennen wir die Bereiche, in denen die Iteration konvergiert oder divergiert. In kartesischen Koordinaten entspricht dies den Web-Graphen oder Netzgraphen, aus denen die Konvergenz einer Iteration weniger gut sichtbar wird. Aufgabe Geben Sie zwei reellwertige Funktionen f und g mit zugehörigen Definitionsmengen D f und D g an (und erzeugen Sie deren Nomogramme in GeoGebra), für die gilt: f g = id Dg aber g f id D f. Zeigen Sie, dass allgemein für alle Funktionen f und g mit dieser Eigenschaft gilt: g ist injektiv und g f ist eine Projektion Lineare Funktionen Interessant sind in dieser Sichtweise schon die linearen Funktionen, die wir hier nun untersuchen wollen. Zunächst zeichnen wir statt der Pfeile des Nomogramms solche Geraden, auf denen die Pfeile liegen, und erkennen dabei zwei Fälle: alle Geraden dieser Familie sind parallel oder alle diese Geraden schneiden sich in einem Punkt. Mit entsprechenden Applets in GeoGebra kommt man schnell zu der Vermutung, dass die Nomogramme von linearen Funktionen alle wie folgt aus einer Familie von Geraden erhalten werden: Wir betrachten entweder einen festen Punkt in der Ebene und das Geradenbüschel aller Geraden, die durch diesen Punkt verlaufen oder wir betrachten die Familie aller zu einer festen Geraden parallelen Geraden. Nun zeichnen wir beliebig die beiden Zahlengeraden in die Ebene, so dass durch jeden Punkt der Definitionsgeraden genau eine Gerade aus der Familie von Geraden verläuft und diesen Punkt mit einem Punkt der Wertegeraden verbindet, was wir auch durch einen Pfeil angeben können. Insgesamt erkennen wir fünf Fälle: (a) Die Geraden der Familie sind parallel. Hier handelt es sich jeweils um Translationen, d. h. Funktionen der Form x x + c für ein c R. In allen anderen Fällen schneiden die Geraden sich in einem Punkt S, den wir das Zentrum der linearen Funktion nennen wollen. (b) S liegt auf der Wertegeraden. Hier handelt es sich um eine konstante Funktion. (c) S liegt zwischen den Zahlenstrahlen. Hier handelt es sich um eine lineare Funktion mit negativer Steigung, d.h. y = mx + b mit m < 0. (d) S liegt unterhalb der Definitionsgeraden. Das ist der Fall, wenn die Steigung der linearen Funktion größer als 1 ist. (e) S liegt oberhalb oder auf der Wertegeraden. Hier sehen wir eine lineare Funktion, deren Steigung kleiner als 1 oder gleich 1 ist.

161 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.6: Nomogramme zweier linearer Funktionen Abbildung 10.7: Nomogramm der Betragsfunktion x x. Es wird deutlich, dass eine lineare Funktion y = mx + b nichts als eine zentrische Streckung von einem Punkt außerhalb der Definitionsgeraden ist. Genauer gesagt: eine zentrische Streckung mit Zentrum S außerhalb der Definitionsgeraden und Streckungsfaktor m, die auf die Punkte der Definitionsgeraden angewandt wird. Bei linearen Funktionen des Typs l(x) =mx sehen wir mit Hilfe von Ähnlichkeit von Dreiecken die Linearität im algebraischen Sinne: l(x 1 + x 2 )=l(x 1 )+l(x 2 ) für x 1, x 2 R. Wir sehen nun auch, dass wenn wir etwa bei einem solchen Nomogramm eine der beiden Zahlengeraden parallel verschieben, so schalten wir vor oder hinter die Abbildung noch eine weitere lineare Abbildung, wodurch wir lineare Funktionen auf unendliche viele Weisen als Komposition linearer Funktionen darstellen können. Die Nullstellen einer linearen Funktion finden wir leicht, wenn wir diejenigen Pfeile, die auf der Wertegeraden in 0 enden, zu ihrem Fußpunkt auf der Definitionsgeraden zurückverfolgen. Dies ist ein einfaches Beispiel dessen, was man eine zeichnerische Lösung einer linearen Gleichung nennen kann. In werden wir ein allgemeines Verfahren der zeichnerischen Lösung quadratischer Gleichungen mit Hilfe von Nomogrammen vorstellen. Aufgabe Gegeben sind eine Definitions- und Wertegerade im Abstand von 2a in einem kartesischen Koordinatensystem, so dass die Definitionsgerade samt Maßstab mit der x-achse des Koordinatensystems zusammenfällt. Weiter sei eine lineare Funktion mit der Vorschrift y = mx+b für reelle Zahlen m und b gegeben. Sei W =(b, 2a) der Bildpunkt der Null auf der Wertegeraden. 1. Zeigen Sie, dass das Zentrum S der linearen Abbildung ein Punkt S auf der Ursprungsgeraden durch W ist, für den gilt: SW SO = m. 2. Berechnen Sie, abhängig von m und b, die Koordinaten des Zentrums S, in dem sich alle verlängerten Geraden des Nomogramms dieser linearen Abbildung schneiden. 3. Seien zwei lineare Abbildungen mit Zentrum S und S gegeben, deren Komposition wir darstellen, indem wir die zughörigen Nomogramme übereinander zeichnen und dann Beginn- und Endpunkte verbinden. Zeigen Sie, dass das Zentrum dieser neuen linearen Abbildung auf der Geraden durch S und S verläuft.

162 10.1 Nomogramme 153 Abbildung 10.8: Funktion mit Vorschrift f (x)=x 4a2 2x und einer Parabel als Ableitungskurve Lineare Approximation Die Betrachtung von linearen Funktionen legt auch nahe, zu einer Funktion f die lineare Approximation in der Umgebung eines Punktes x 0 zu betrachten. Es stellt sich also die Frage, wie das Differenzieren in Nomogrammen aussieht. Dazu bezeichnen wir für eine Stelle x auf der Definitionsgeraden mit g x die Gerade, welche die Definitionsgerade in U(x) und die Wertegerade in W( f (x)) schneidet, d.h. die Gerade, die entsteht, wenn man den entsprechenden Pfeil an der Stelle x verlängert. Wir betrachten nun eine Stelle x 0 und für eine kleine Zahl h R eine benachbarte Stelle x 0 + h auf der Definitionsgeraden. Auf der Wertegeraden finden wir dann die entsprechenden Werte f (x 0 ) und f (x 0 + h). Sei nun S(x 0,h) der Schnittpunkt der Geraden g x0 und g x0 +h. Hier sehen wir nun, dass die Funktion f lokal durch die lineare Funktion approximiert wird, deren Zentrum man als Grenzwert des Schnittes der Geraden g x0 und g x0 +h findet. In der folgenden Zeichnung für die Funktion x x 2 sehen wir dies sogleich intuitiv ein und es ist eine gute Übung, diesen Sachverhalt in diesem Beispiel auch explizit nachzuweisen. Ähnlich wie in der Aufgabe am Ende von kann man beweisen, dass gilt:

163 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.9: Nomogramm der Funktion x a2 x, wobei der Abstand zwischen den Zahlengeraden 2a beträgt. Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f :U R auf einer offenen Menge U R. Die lineare Approximation der Funktion f in x 0 oder Tangentialfunktion von f in x 0 wird nun durch die lineare Funktion mit Zentrum S(x 0 ) := lim h 0 S(x 0,h) mit gleicher Definitions- und Wertegeraden wie bei f gegeben. S(x 0 ) ist so bestimmt, dass W( f (x 0 )) das Bild des Punktes U(x 0 ) unter der zentrischen Streckung in S(x 0 ) mit Faktor f (x 0 ) ist, d.h. W( f (x 0 ))S(x 0 ) U(x 0 )S(x 0 ) = f (x 0 ), wobei S(x 0 ) genau dann zwischen U(x 0 ) und W( f (x 0 )) liegt, falls f (x 0 ) 0. In der Darstellung der Nomogramme können wir also jeder Stelle x auf der Definitionsgeraden das Zentrum der linearen Approximation der Funktion f in x zuordnen. Damit erhalten wir nicht, wie bei den kartesischen Koordinaten, eine Ableitungsfunktion sondern eine durch die Definitionsgerade parametrisierte Ableitungskurve S( f ) : x S(x). Dies ist die Hüllkurve aller Geraden g x = U(x)W( f (x)). Die Ableitungskurve von linearen Funktionen mit einer von 1 verschiedenen Steigung ist ein einzelner Punkt. Nun gibt es viele klassische Kurven, die als Ableitungskurve einer Funktion entstehen. Häufig kann man entsprechende Funktionen suchen, deren Nomogramme diese Hüllkurven als Ableitungskurve haben. Als Beispiel hierzu betrachten wir das Nomogramm einer reziproken Funktion q : x a2 x für eine positive reelle Zahl a (siehe Abb. 10.9). Das Nomogramm dieser Funktion entsteht wie folgt: Man zeichne alle Tangenten an einen festen Kreis K mit Radius a und Mittelpunkt M. Definitions- und Wertegerade seien zwei sich gegenüberliegende Tangenten, so dass jeweils die Nullen der Zahlengeraden den Kreis berühren. Eine solche Tangente verbindet jeweils eine Stelle x 0 auf der Definitionsgeraden mit einem q(x) auf der Wertegeraden. Neben dieser Tangenten, die den Kreis in einem Punkt B berührt, haben wir mit der Definitions- und der Wertegeraden noch zwei weitere Tangenten an den Kreis. Es ist nun leicht einzusehen, dass das Dreeick U(x 0 )MW(q(x 0 )) rechtwinklig ist. Daraus folgt, dass auch die Dreiecke U(0)U(x 0 )M und W(0)MW(q(x 0 )) zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke sind, was zur Folge hat: x 0 a = a q(x 0 ). Nebenbei sehen wir auch die Ableitungskurve dieser Funktion, nämlich den Kreis K. Als zweites Beispiel betrachten wir die Funktion mit Vorschrift f (x)=x 4a2 2x, die eine Parabel als Ableitungskurve hat (siehe Aufgabe). Ein weiteres schönes aber auch exotisches Beispiel wird durch die Ableitungskurven der

164 10.1 Nomogramme 155 folgenden beiden Funktionen gegeben: ( ) ( 2d 2d f 1 (x)=x 1 ( ) 2 und f 2 (x)=x 1 ( ) 2 ), d + x + d x d + x d x wobei d = 2a den Abstand zwischen Definitions- und Wertegerade bezeichnet. Die Nomogramme dieser beiden Funktionen besitzen eine Deltoide als Ableitungskurve. Der Nachweis dieser Tatsache würde hier jedoch zu weit führen. 2 Wir betten nun die Situation in ein kartesisches Koordinatensystem ein und leiten eine Formel her für die Koordinaten des Zentrum S(x) der lokalen linearen Approximation von f in x. Dazu seien die Definitions- und Wertegerade im Abstand von 2a in einem kartesischen Koordinatensystem eingezeichnet, so dass die Definitionsgerade samt Maßstab mit der x-achse des Koordinatensystems zusammenfällt. Das Zentrum an der Stelle x habe nun die Koordinaten S(x)=(p(x),q(x)) = (p,q). In dieser Zeichnung sehen wir durch Ähnlichkeitsbetrachtungen, dass gilt: f (x) p x p = f (x) und 2a q q = f (x). Dies können wir umstellen und erhalten: p(x)= f (x)x f (x) f (x) 1 = x x f (x) 1 f (x) und q(x)= 2a 1 f (x). Falls wir die Hilfsfunktion h definieren durch h(x)=x f (x), dann verkürzt sich die Formel zu: p(x)=x h(x) 2a h und q(x)= (x) h. Ist also eine differenzierbare Funktion f gegeben, können wir (x) die parametrisierte Ableitungskurve berechnen. Umgekehrt sehen wir, dass wir nicht zu jeder beliebigen (stückweise differenzierbaren) Kurve x (p(x), q(x)) eine Funktion f mit dieser Ableitungskurve finden können: p, q und f müssen den obigen Bedingungen genügen, d.h. f muss Lösung einer Differentialgleichung sein. Falls es gelingt, zu einer Kurve x (p(x), q(x)) eine Funktion f zu finden, die diesen Bedingungen genügt, dann können wir also auf diese Weise die Ableitungskurve integrieren. 2 Eine mögliche Herangehensweise zur Herleitung dieser Funktionsvorschriften benutzt, dass die Deltoide die Hüllkur-

165 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.10: Die Ableitungskurven der Funktionen f 1 und f 2 formen gemeinsam eine Deltoide. Wenn man über höhere Ableitungen sprechen möchte, bedarf es eines größeren Aufwandes die Ableitungskurve wieder selbst als Funktion zu sehen. Hier ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten sicher überlegen. Eine einfache Frage wie etwa, was es bedeutet, dass für die Ableitung der Exponentialfunktion exp(x)=e x gilt: exp (x)=exp(x), fällt hier schwer zu interpretieren. Aufgabe 1. Auf einer Geraden durch U(x 0 ) unf W( f (x 0 )) gibt es genau zwei Punkte mit W( f (x 0))S(x 0 ) U(x 0 )S(x 0 ) = f (x 0 ). Zeigen Sie, dass es sich hierbei jeweils um das Zentrum der linearen Approximation der Funktion f in x 0 und der Funktion f in x 0 handelt. 2. Zeigen Sie, dass die Funktion mit der Vorschrift f (x)=x 4a2 2x einer Parabel verläuft. eine Ableitungskurve hat, die auf 3. Zeigen Sie, dass eine Funktion f, deren Ableitungskurve ganz auf der senkrechten Gerade durch die Nullpunkte von Definitions- und Wertegerade liegt, von der Form f (x)=cx oder f (x)=c x für eine Konstante C R ist Verschieben der Definitions- und Wertegeraden Im kartesischen Koordinatensystem kennen wir Verwandschaften zwischen Funktionen, indem wir die Koordinatensysteme verändern. So sehen wir zum Beispiel, dass es trotz vieler unterschiedlicher Graphen quadratischer Funktionen im Grunde nur eine Parabel gibt. Entsprechende ve aller Simsongeraden eines Dreiecks ist. In dem Beispiel hier oben habe ich ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck gewählt, dessen Hypotenuse auf der Defintionsgeraden und dessen rechter Winkel auf der Wertegeraden liegt.

166 10.1 Nomogramme 157 Abbildung 10.11: Zerlegung einer linearen Funktion in die Komposition dreier linearer Funktionen Fragen kann man sich auch bei den Nomogrammen stellen. Wie verändert sich etwa die Funktionsvorschrift einer Funktion, wenn wir die Werte- oder die Defintionsgerade verschieben und die Geradenfamilie des Nomogramms beibehalten? Bei den linearen Funktionen haben wir gesehen, dass wenn wir die Definitions- oder die Wertegerade nach oben oder nach unten verschieben, wir uns das Ergebnis auch als Hintereinanderausführung dreier linearer Funktionen vorstellen können. Falls wir ein Nomogramm einer Funktion f mit einem Abstand von 2a zwischen Definitionsund Wertegerade gegeben haben, dann können wir die Wertegerade um den Betrag 2b für ein b R anheben (bzw. auch absenken, bei negativem b). Welche Funktion g gehört dann zu dem Nomogramm mit der ursprünglichen Familie von Geraden und um 2b verschobener Wertegerade? Mit Ähnlichkeit von Dreiecken leitet man schnell her, dass gilt: Verschieben der Wertegeraden um 2b: Sei eine Funktion f mit einem Nomogramm der Breite 2a gegeben. Wir betrachten g(x)=λ f (x)+μx mit λ = 1 + b a sowie μ = b a und insbesondere λ + μ = 1. Dann entsteht das Nomogramm der Funktion g aus dem Nomogramm von f, wenn man die Definitionsgerade um 2b nach oben verschiebt. Verschieben wir nun die Definitionsgerade, dann kann es sein, dass das Resultat keine Funktion mehr ist. Denken Sie zum Beispiel an eine lineare Funktion mit negativer Steigung, bei der wir die Definitionsgerade so anheben, dass sie durch das Zentrum verläuft. Sei g nun die Funktion, die durch das Nomogramm von f beschrieben wird, bei dem die Definitionsgerade um 2c nach unten verschoben wurde. Wir stellen uns nun vor, dass wir dem Ausgangsnomogramm der Funktion f mit einer Breite von 2a ein Nomogramm der Breite 2c mit derselben Familie von Geraden vorschalten, dass durch eine zugehörige Funktion h gegeben wird. Falls eine solche Funktion h existiert, dann gilt: f h = g und g(t) =λh(t)+μt mit diesmal λ = 1 + a c sowie μ = a c. Dies können wir nun umschreiben zu f h(t)=λh(t)+μt, bzw. μ 1 f h(t) λ μ h(t)=t. Damit sehen wir:

167 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.12: Falls man bei einem Nomogramm der Funktion f (x)= x 3 + 2x die Definitionsgerade nach unten verschiebt, erhält man ein Nomogramm der Funktion g(t)= t t. Verschieben der Definitionsgeraden um 2c nach unten: Falls es eine Funktion h gibt, für die gilt: α f h(t) βh(t)=t mit α = c a und β = ( 1 + c a), d.h. für F(x)=α f (x) β x gibt es eine Funktion h, so dass F h = id. Dann hat die Funktion g = f h das Nomogramm mit derselben Wertegeraden, derselben Familie von Geraden wie f und einer um 2c nach unten verschobenen Definitionsgeraden. Zum Beispiel können wir das Nomogramm der Breite 1 der konstanten Funktion f (x) =0 betrachten und dann die Wertegerade um 1 anheben und erhalten dann: g(x)=2 0 1 x = x, was natürlich auch zu erwarten war. Wenn wir die Definitionsgerade nach unten verschieben wollen, ist es viel schwieriger, ein Beispiel zu finden, da man ja die Definitionsgerade auf eine Höhe schieben muss, wo sich keine zwei Geraden der Geradenfamilie schneiden, da sonst kein Nomogramm einer Funktion entsteht. Will man doch ein Beispiel für eine solche Verschiebung finden, fängt man am besten mit der Funktion h und der dazu inversen Funktion F an. Wir betrachten ein Nomogramm einer noch zu spezifizierenden Funktion f der Breite 1. Nehmen wir nun h(t) = 3 t, dann ist die Funktion F(x) =x 3 invers hierzu. Angenommen, wir verschieben die Funktion f, die wir ja noch ermitteln wollen, um 1 nach unten. Dann sind α = 1 und β = 2. Also x 3 = f (x) 2x, woraus wir ableiten: f (x)= x 3 + 2x und g(t)= f h(t)= t t. Das heißt (siehe Abb ), wenn wir bei einem Nomogramm der Funktion f (x)=x 3 + 2x der Breite 1 die Definitionsgerade um 1 nach unten verschieben, dann erhalten wir ein Nomogramm der Funktion g(t) =t t. Auf diese Weise werden eigenartige geometrische Ver-

168 10.1 Nomogramme 159 Abbildung 10.13: Nomogramm zur graphischen Lösung aller quadratischen Gleichungen. D der Gaphik abgebildet. wandschaften zwischen Funktionen sichtbar, die algebraisch nicht zu sehen sind. Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die Funktion, deren Nomogramm aus den Tangenten eines Kreises besteht, der die Definitions- und die Wertegerade jeweils in einem Punkt berührt, gegeben wir durch die Funktionsvorschrift x a2 x. 2. Zeigen Sie, dass die Ableitungskurve von x a2 x auf dem oben angesprochenen Kreis verläuft. 3. Gegeben sei ein Nomogramm der Breite 1 der Funktion f (x)= ln(x) 2x. Zeigen Sie, dass sie durch Verschieben der Definitionsgeraden nach unten ein Nomogramm der Funktion g(t)= t 2e t erhalten Gleichungen lösen Schließlich können wir Nomogramme auch als Abbildungen des gesamten R 2 auf einen Zahlenstrahl auffassen. Damit kann man Gleichungen lösen, was wir am Beispiel der allgemeinen quadratischen Gleichung erläutern werden. Dies ist eine klassische Anwendung von Nomogrammen, die früher zum Werkzeug von Ingenieuren gehörte (siehe [Dor77], S. 381 ff.). Wir

169 Funktionen kann man nicht sehen zeigen, wie man die Lösungen jeder quadratischen Gleichung an einem einzigen Nomogramm ablesen kann. Dazu betrachten wir die allgemeine Form der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 und stellen diese um: q = xp x 2. Für ein festes x 0 gilt für alle (p,q) R 2 mit q = x 0 p x0 2, dass die jeweilige Gleichung q = xp x 2 die Zahl x 0 als eine Lösung hat. Damit können also alle quadratischen Gleichungen, die x 0 als Lösung haben, durch die Punkte (p,q) auf der Geraden q = x 0 p x0 2 wiedergegeben werden. Für jedes x 0 R erhalten wir eine solche Gerade und können diese Geraden alle in die Ebene zeichnen. Durch jeden Punkt der Ebene verlaufen zwei, eine oder keine von diesen Geraden je nachdem, ob die entsprechende quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung hat. Bilden wir den Punkt (p,q) nun auf die Schnittpunkte (a,0) bzw. (a 1,0), (a 2,0) der möglichen Geraden durch diesen Punkt mit der x-achse ab, so wissen wir, dass die Gleichungen x 2 +ax = 0 bzw. x 2 + a 1 x = 0 und x 2 + a 2 x = 0 dieselben Lösungen haben wie x 2 + px + q = 0. Wir sehen also, dass die Abbildung (p,q) a bzw. (p,q) a 1 und (p,q) a 2 eine quadratische Gleichung auf ihre Lösungen abbildet, so sie denn existieren. Im Nomogramm kann man diese Lösungen gleich ablesen oder mit dem Lineal abmessen. Zum Beispiel finden wir die Lösung der Gleichung x 2 + 3x 5 = 0, indem wir den Punkt mit den Koordiaten (3, 5) aufsuchen. Verfolgen wir nun die beiden Geraden durch diesen Punkt bis zu ihrem Schnittpunkt mit der x-achse, so sind die x-koordiaten der Schnittpunkte die Lösungen der Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen. Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die Lösung einer allgemeinen Gleichung dritten Grades z 3 +az 2 +bz+c = 0 durch eine lineare Substitution auf eine Gleichung der Form x 3 + px 2 +q = 0 zurückgeführt werden kann. 2. Konstruieren Sie mit GeoGebra ein allgemeines Nomogramm zur Lösung von Gleichungen der Form x 3 + px 2 + q = Gratwanderung In diesem Abschnitt des Kapitels möchten wir auf eine weitere Darstellung von Funktionen eingehen: die Darstellung durch Höhenlinien. In der Didaktik ist diese Funktionsdarstellung schon vor Jahrzehnten wiederholt vorgeschlagen worden, wie etwa durch Hans Freudenthal (in [Freu73], Bd. II S. 484 oder in [Freu83], S. 554). Freudenthal bezieht sich dabei jedoch gleich auf Funktionen zweier Veränderlicher, die ja auf natürliche und direkte Weise durch Höhenlinien repräsentiert werden können. Gleichwohl kann man sich fragen, wie man sich ein Bild einer einzigen Funktion durch Höhenlinien machen kann. Erscheinen bei der kartesischen Darstellung eindimensionaler Funktionen besondere Stellen, wie Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte, der Funktion immer isoliert voneinander, so gewähren die Höhenlinien einen Blick auf die relative Lage dieser Punkte zueinander. Daher entsteht durch Höhenlinien eine globalere Perspektive auf Funktionen als es die kartesische Darstellung vermag. Zudem können Programme wie GeoGebra in Windeseile die kompliziertesten Darstellungen erzeugen und werden in Zukunft immer noch leistungsfähiger hierin. Da man in GeoGebra den Graphen einer Funktion mit einer Geraden so schneiden kann, dass das Programm die Schnittpunkte alphabetisch durchnummeriert, ist es zum Beispiel möglich, ein Kreisdiagramm zu einer Funktion anzufertigen, wie es in Abb zu sehen ist. Die

170 10.2 Gratwanderung 161 Abbildung 10.14: Höhendiagramm mit Kreisen: Der Verlauf von h entspricht dem Profil entlang der Geraden, die durch die Mittelpunkte aller Kreise verläuft. Sprünge, die man hier bei den Radien der Kreise beobachtet, machen diese Darstellung noch nicht sehr ansprechend. Instruktiver und einer Funktion natürlich zuzuordnen sind Höhenliniendiagramme wie in Abb Aufgrund ihrer Gestalt wollen wir diese Diagramme Toblerone-Diagramme nennen. Dabei gehen wir zunächst von einer Fläche aus, die die Gestalt eines Satteldachs hat mit 100 % Gefälle an den Dachflächen, d.h. der Winkel zwischen Dachschrägen dieses Satteldachs und der Horizontalen beträgt 45. Die zugehörige Funktion in zwei Variablen wird dann gegeben durch: D(x,y) =M y, wobei M := max x f (x). Ein Toblerone-Diagramm entsteht dann durch die Höhenlinien der Funktion F(x,y)=min( f (x),d(x,y)). Reizvoll ist dabei, dass man den Graphen der Funktion in kartesischen Koordinaten und sein Spiegelbild ebenfalls in diesen Toblerone-Diagrammen wiedererkennen kann. Die oben angesprochene globalere Sichtweise auf eindimensionale Funktionen lässt sich sehr schön entwickeln, wenn man Schüler in einem Linienpapier, wie dem oben vorgegebenen, selbst ein solches Toblerone-Diagramm mit der Hand erstellen lässt. Man sieht dann die relative Lage der lokalen Maxima und Minima zueinander. In kartesischen Koordinaten betrachtet man Extrema lokal. So werden lokale Extreme gleicher Höhe, zwischen denen noch eventuell andere Extrema liegen, unabhängig voneinander wahrgenommen. In den Toblerone-Diagrammen werden verschiedene lokale Extrema direkt miteinander durch Höhenlinien in Beziehung gesetzt Produkt und Summe zweier Funktionen Höhenlinien eignen sich auch mitunter dazu, den Aufbau von Funktionen als Produkt oder Summe besser zu beleuchten.

171 Funktionen kann man nicht sehen Abbildung 10.15: Links ein Toblerone-Diagramm einer Funktion mit einer Zeichenvorlage rechts. Zum Beispiel kann man eine Funktion h(x) = f (x) g(x), die als Produkt zweier Funktionen H(x,y) = f (x) g(y) darstellbar ist, mit Hilfe der beiden Faktoren f (x) und g(x) durch Höhenlinien darstellen, indem wir sie als Funktionen zweier Veränderlicher f (x) g(y) auffassen. Dadurch ensteht eine Fläche {(x,y,z) z = f (x,y)}, wobei die Funktion h(x)= f (x) g(x) als das Profil über der Diagonalen entsteht. Auf diese Weise kann man etwa den Beweis des wichtigsten Schrittes der Produktregel veranschaulichen: 1 h ( f (x 0 + h) g(x 0 + h) f (x 0 ) g(x 0 )) = 1 ( f (x0 + h) g(x 0 + h) f (x 0 + h) g(x 0 ) ) 1 h h ( f (x0 + h) g(x 0 ) f (x 0 ) g(x 0 ) ). In der Abbildung sehen wir, wo wir Terme wie f (x 0 +h) g(x 0 ) außerhalb der Diagonalen verorten können. Hierdurch erscheint die Addition und anschließende Subtraktion von f (x 0 + h) g(x 0 ) viel natürlicher als in der rein algebraischen Darstellung: Der Ab- oder Aufstieg von f (x 0 + h) g(x 0 + h) zu f (x 0 ) g(x 0 ) geschieht über die Zwischenstation f (x 0 + h) g(x 0 ).Von f (x 0 + h) g(x 0 + h) zu f (x 0 + h) g(x 0 ) bleibt f (x 0 + h) konstant und von f (x 0 + h) g(x 0 ) zu f (x 0 ) g(x 0 ) verändert sich g(x 0 ) nicht. Auch die Summe zweier Funktionen f (x)+g(x) ist darstellbar durch Höhenlinien, indem wir zunächst die folgende Funktion zweier Veränderlicher betrachten: H(x,y)=yf(x)+(1 y)g(x), wobei y [0, 1]. Die Summe der beiden Funktionen findet sich nun als das Höhenprofil auf der horizontalen mittleren Linie zwischen den Geraden y = 0 und y = 1.

172 10.3 Ausblick 163 Abbildung 10.16: Höhenlinien zum Produkt zweier Funktionen f (x) g(y) in zwei Veränderlichen. Abbildung 10.17: Die Summe zweier Funktionen als das Höhenprofil auf der horizontalen mittleren Linie Ausblick Mit den Darstellungen durch Nomogramme und Höhenlinien haben wir hier nur zwei Alternativen zur Darstellung von Funktionen in kartesischen Koordinaren ausführlicher dargestellt.