Heidrun Claus / Jochen Peter, Finger, Bilder, Rechnen

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4 Heidrun Claus / Jochen Peter Finger, Bilder, Rechnen Förderung des Zahlverständnisses im Zahlraum bis 10 Unter Mitarbeit von Albrecht Gründler, Anita Rudolph und Sabine Schulz Vandenhoeck & Ruprecht

5 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN , Vandenhoeck & Ruprecht GmbH & Co. KG, Göttingen. Internet: Alle Rechte vorbehalten. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne vorherige schriftliche Einwilligung des Verlages öffentlich zugänglich gemacht werden. Dies gilt auch bei einer entsprechenden Nutzung für Lehr- und Unterrichtszwecke. Herstellung: SchwabScantechnik, Göttingen

6 Inhalt 5 Vorwort Die Autoren A. Theoretische Grundlagen I. Vom Rechnenlernen und seinen Schwierigkeiten Die Bedeutung des Zahlraums bis Die Entwicklung des Zahl- und Operationsverständnisses im Zahlraum bis Störungen im Erwerb mathematischer Konzepte Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten II. Der Hamburger Zahlbegriffs- und Rechenaufbau (HamZaRA) Zielsetzung, Zielgruppe und Anwendungsbereich Allgemeine Leitorientierungen Die Arbeitsmittel: Finger und Zehnerfeld Die Fördermethoden Zum praktischen Vorgehen Literatur B. Der Hamburger Zahlbegriffs- und Rechenaufbau Praxisteil I. Das Verständnis der Kardinalzahl Lernziele Lernschritte II. Das Verständnis der Zahlzerlegungen Lernziele Lernschritte III. Das Verständnis der Addition und Subtraktion Lernziele Lernschritte C. Anhänge Die Arbeitsmaterialien Die Fingerbilder der Zahlen von 0 bis

7 6 Inhalt 3. Die Darstellung der Zahlen von 0 bis 10 im Zehnerfeld Die Darstellung der Zerlegungen der Zahlen von 2 bis 10 durch Fingerbilder Die Darstellung der Zerlegungen der Zahlen von 2 bis 10 im Zehnerfeld Facheinrichtungen

8 Vorwort 7 Das Rechnen mit Hilfe der Finger steht in keinem guten Ruf. Vielfach gilt es gar als Inbegriff des Scheiterns der Lernbemühungen im mathematischen Bereich. Das ist so paradox es klingen mag zutreffend und ungerecht zugleich. Denn einerseits lässt sich tatsächlich beobachten, dass Kinder, Jugendliche und Erwachsene, die»noch«mit den Fingern rechnen, wesentliche Lernschritte nur sehr langsam, unvollständig oder gar nicht bewältigen: Sie haben meist große Schwierigkeiten, die Grundaufgaben des kleinen Einspluseins und des kleinen Einsminuseins zu erwerben, den Stellenaufbau unserer Zahlen zu verstehen und sinnvolle Strategien des Kopfrechnens im erweiterten Zahlraum zu entwickeln. Auf der anderen Seite ist es jedoch ungerecht, diese Schwierigkeiten und Misserfolge den Fingern anzulasten. Vielmehr ist es die zugrunde liegende Rechenstrategie das zählende Rechnen und das mit ihr verbundene einseitige Zahlverständnis, die dem weitergehenden Lernfortschritt im Wege stehen. Das bemerken Lehrer und Eltern immer dann, wenn sie ihre Kinder auffordern, nun endlich einmal die Finger wegzulassen nur um festzustellen, dass sich dadurch die Schwierigkeiten im Rechnen eher verstärken als abmildern. Werden die Finger dagegen als Lern- und Arbeitsmittel im Zusammenhang eines mengenorientierten Zahl- und Rechenverständnisses benutzt, so legen sie eine bemerkenswerte Produktivkraft an den Tag. Tatsächlich gehören sie zu den ältesten Rechenwerkzeugen des Menschen (Ifrah 1991). Sie sind stets verfügbar und leicht handhabbar. Eine zentrale Bedeutung kommt ihnen deswegen zu, weil sie durch ihre Anordnung den Aufbau anschaulicher Vorstellungsbilder für Mengen in ihrer Gesamtheit außerordentlich erleichtern, ohne dass diese jeweils einzeln zählend ermittelt werden müssen. Es liegt daher nahe, die Finger als Arbeits- und Lernmittel für den Erwerb grundlegender mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten innerhalb des Zahlraumes bis 10 heranzuziehen. Beim Rechnen und Rechnenlernen mit Hilfe der Finger ist also darauf zu achten, dass sie nicht als Hilfsmittel eines zählenden Rechnens benutzt werden. Stattdessen ist der Erwerb eines mengenorientierten Rechenverständnisses zu fördern: Fingerrechnen aber richtig. Der Hamburger Zahlbegriffs- und Rechenaufbau (HamZaRA) ist ein systematisches Programm zur Förderung des Zahl- und Rechenverständnisses im Zahlraum bis 10. Es besteht allerdings nicht der Anspruch, den gesamten Schulstoff der ersten Klasse abzudecken. Der Lernende soll zunächst die Zahl als Anzahl (kardinaler Zahlaspekt) sowie die Zahlzerlegungen verstehen und beherrschen lernen. Auf dieser Grundlage wird der Erwerb geeigneter Strategien eines teilmengenorientierten Rechnens unterstützt, der schließlich in die sichere Beherrschung der Ergebnisse der Grundaufgaben in diesem Zahlraum mündet. Die eigenen Finger werden dabei als ein Lernmittel eingesetzt, das Zahleigenschaften, Zahlbeziehungen und Rechenoperationen erfahrbar macht. Sie werden ergänzt durch ein zweites Arbeits- und Lernmittel: das Zehnerfeld. In ihren Gemeinsamkeiten und Unterschieden ergänzen sich diese beiden Darstellungsmedien in optimaler Weise. Das Förderprogramm ist im Verlaufe einer über zwölfjährigen lerntherapeutischen Arbeit im Rahmen des Institutes für Mathematisches Lernen Praxis für Dyskalkulietherapie Hamburg entwickelt worden. Dabei wurden wichtige sonderpädagogische Konzepte (Kutzer und Probst) ebenso aufgegriffen und verarbeitet wie neuere mathematikdidaktische Untersuchungsergebnisse (Gerster und Schulz). Wesentliche Anregungen ergaben sich auch durch den Erfahrungsaustausch mit anderen lerntherapeutischen Einrichtungen. Der mehrjährige praktische Einsatz des Programms in der lerntherapeutischen Arbeit unseres Institutes hat gezeigt, dass es eine hohe Wirksamkeit in der Erreichung der eigenen Ziele besitzt. Eine empirische Evaluation ist in Vorbereitung. Das Programm richtet sich an Lehrer, Sonderpädagogen und andere Fachkräfte (im Praxisteil

9 8 Vorwort»Anwender«genannt) die mit der Förderung mathematischer Grundlagenkenntnisse befasst sind. Es kann zum einen im Rahmen des Förderunterrichtes eingesetzt werden. Zum anderen können Lehrer ihm auch Anregungen für die Gestaltung des Regelunterrichtes entnehmen. Allerdings nehmen innerhalb des Programms die individuelle Rückmeldung und das gemeinsame Gespräch über die einzelnen Lernschritte einen breiten Raum ein. Damit sind der Gruppengröße enge Grenzen gesetzt es wird empfohlen, nicht mehr als zwei Teilnehmer pro Fördergruppe vorzusehen. Kinder erwerben das Verständnis der Zahlzerlegungen und eines mengenorientierten Rechnens in der Regel im Verlaufe des ersten Schuljahres. Damit ist eine untere Altersgrenze für die Zielgruppe des Förderprogramms gesetzt. Nach oben hin ergibt sich keine eindeutige Altersgrenze. Insofern Schwierigkeiten beim Rechnen auf die mangelhafte Beherrschung des Zahlraums bis zehn zurückzuführen sind, was bis ins Erwachsenenalter hinein der Fall sein kann, bietet sich die Arbeit mit den Fingerbildern an. Zwar zeigen ältere Kinder, Jugendliche und Erwachsene manchmal eine anfängliche Abwehr dagegen, mit Fingern und Zehnerfeld zu arbeiten. Wenn es jedoch gelingt, sie von der Nützlichkeit dieses Vorgehens zu überzeugen, erweist es sich auch in diesen Altersgruppen als ausgesprochen wirkungsvoll. Kein Förderprogramm ist jedoch so vollkommen, dass es nicht noch verbessert werden kann. Daher sind wir, die Autoren des Hamburger Zahl- und Rechenaufbaus, sehr daran interessiert, Rückmeldungen und Erfahrungsberichte von den unterschiedlichen Anwendern zu erhalten. Als Kontaktmöglichkeit möchten wir dazu auf die Web-Site aufmerksam machen. Hier finden Interessierte auch die Adressen von Einrichtungen im deutschsprachigen Raum, die bei Lernschwierigkeiten im mathematischen Bereich durch Angebote der Diagnose, Beratung und der Therapie weiterhelfen können. Für fachübergreifende allgemeindidaktische Beratung danken wir Prof. Gerhard Henke-Bockschatz, Universität Frankfurt. Die Autoren Heidrun Claus, Pädagogin, ist bereits seit vielen Jahren als Lerntherapeutin mit dem Schwerpunkt mathematische Lernstörungen tätig. Seit 1992 ist sie Mitglied des Leitungsteams des Institutes für Mathematisches Lernen Praxis für Dyskalkulietherapie Hamburg. Dr. Jochen Peter ist als Diplom-Psychologe seit 1983 mit den Schwerpunkten Lernstörungen im schriftsprachlichen und im mathematischen Bereich tätig. Seit 1992 ist er Mitglied des Leitungsteams des Instituts für Mathematisches Lernen Praxis für Dyskalkulietherapie Hamburg. Kontakt: Institut für Mathematisches Lernen Praxis für Dyskalkulietherapie Grindelberg 45 D Hamburg Telefon: (040) Fax: (040) Internet:

10 A. Theoretische Grundlagen 9 I. Vom Rechnenlernen und seinen Schwierigkeiten Die Bewältigung des Alltagslebens in unserer modernen Gesellschaft verlangt auf Schritt und Tritt den sicheren Umgang mit Mengen, Zahlen und Größen. Er gehört neben der Beherrschung der Schriftsprache zu den zentralen Grundkompetenzen, die der Heranwachsende erwerben muss. So wird Mathematik bereits in der Grundschule zu den wichtigsten Hauptfächern gerechnet. Die Leistungen in diesem Fach entscheiden mit über den schulischen Werdegang und über die berufliche Zukunft. Diese Zusammenhänge werden von den Kindern in den ersten Schuljahren nicht immer in ihrer vollen Tragweite durchschaut. Doch auch für sie hat das Erlernen mathematischer Kenntnisse in der Regel eine hohe subjektive Bedeutung: Sie wollen endlich die Uhrzeit verstehen oder mit Geld umgehen können. Vor allem aber wollen sie»gute Schüler«sein und dazu gehören auch nach ihrer Auffassung gute Leistungen im Fach Mathematik. Rechenoperationen herausgebildet. Gelingt es dem Heranwachsenden, in diesen Teilbereichen zutreffende Kenntnisse und Fertigkeiten zu erwerben, so verfügt er über gute Voraussetzungen, um auch die weitergehenden Lernanforderungen erfolgreich zu bewältigen. Gelingt ihm dies hingegen nicht, so sind aufbauende Lernbemühungen bereits im Ansatz gestört. So verwundert es nicht, dass es einen Bedarf nach geeigneten Hilfestellungen gibt, um sich die Kenntnisse und Fertigkeiten, die diesem Zahlraum zugeordnet sind, erfolgreich anzueignen. Mit der vorliegenden Veröffentlichung legen wir ein im Laufe langjähriger Fördertätigkeit entwickeltes systematisches Konzept vor. Dieses Förderkonzept stützt sich auf die Analyse der Grundprozesse, die die Entwicklung mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten in diesem elementaren Zahlbereich auszeichnen und ist in seinem Aufbau diesen gemäß strukturiert. 1. Die Bedeutung des Zahlraums bis 10 Einer Reihe von Schülern gelingt es nicht, sich mathematische Sachverhalte und Vorgehensweisen in zutreffender Weise anzueignen. Sie entwickeln fehlerhafte Rechenstrategien, kommen über ein rein schematisches Verständnis für Zahlbeziehungen und Rechenoperationen nicht hinaus oder haben Schwierigkeiten, sich neue Kenntnisse und Rechenstrategien anzueignen. Hier zeigt die Praxis der Lernförderung, dass die Bewältigung der Lernanforderungen, die sich innerhalb des Zahlraumes bis 10 stellen, eine Vorentscheidung für den weiteren Entwicklungsweg im mathematischen Bereich beinhaltet. In diesem grundlegenden Bereich werden die Weichen für den weiteren Lernprozess gestellt, wird das individuelle Verständnis für Zahlaspekte, Zahlbeziehungen und 2. Die Entwicklung des Zahl- und Operationsverständnisses im Zahlraum bis Primat des mathematischen Verständnisses Im Bereich der mathematischen Kompetenz lassen sich individuelle Konzepte also zum Beispiel Vorstellungen über die Eigenschaften von Zahlen und Rechenoperationen und stärker praktisch ausgerichtete Fertigkeiten wie die Fertigkeiten des Zählens oder die des Ausrechnens von Additionsaufgaben mit einem Zehnerübergang in mehreren Schritten unterscheiden. Beide Bereiche bedürfen im Verlauf des Erwerbs der mathematischen Kompetenz einer zufrieden stellenden Entwicklung. Allerdings besteht hier die Gefahr, dass Rechenfertig-

11 10 Theoretische Grundlagen keiten in rein schematischer Form also ohne ein zugrunde liegendes angemessenes Verständnis der Rechenoperation bzw. der dabei involvierten Zahlbeziehungen erlernt werden. Die auf diese Weise erworbenen Fertigkeiten erweisen sich jedoch als wenig nützlich: Sie werden schnell vergessen, können nicht aus einem Verständnis der Sache heraus»rekonstruiert«werden. Außerdem bereitet es Schwierigkeiten, sie bei einem Wechsel der Aufgabenstellung sinngemäß abzuwandeln. Schematische Vorstellungen und Lösungsstrategien stellen daher häufig ein Kernproblem im Zusammenhang mathematischer Lernschwierigkeiten dar (Lorenz 2004; s. a. Gerster u. Schulz 2000, S. 40). Der Erwerb sinnvoller mathematischer Kompetenzen setzt daher voraus, dass Fertigkeiten auf der Grundlage eines angemessenen inhaltlichen Verständnisses der beteiligten Zahlen und Rechenoperationen angeeignet werden. Erst wenn Zahlen und Rechenoperationen in ihren charakteristischen Eigenschaften verstanden sind, können Rechen-, Zählund andere Fertigkeiten in einer Weise erworben werden, die ihren sinnvollen Einsatz und ihre dauerhafte Beherrschung gewährleistet Mengen-, Zahl- und Operationsverständnis im Zahlraum bis 10 Die Grundlegung der mathematischen Kompetenz erfolgt im Aufbau eines angemessenen Verständnisses für wesentliche Grundeigenschaften von Mengen, Zahlen und Rechenoperationen. Im Einzelnen handelt es sich um die folgenden Einsichten und Fertigkeiten. Pränumerischer Mengenbegriff Das Verständnis für die Eigenschaften von Mengen umfasst mehrere Teilkompetenzen: Zunächst ist die Fähigkeit zur Bildung von Mengen zu entwickeln. Dazu gehört die Fähigkeit, Objekte im Hinblick auf gleiche oder unterschiedliche Eigenschaften in Gruppen und Untergruppen einzuteilen (Abstraktion auf Qualität). Repräsentanz und Invarianz. Hierbei ist ein Verständnis dafür zu entwickeln, dass die Elemente einer Menge ungeachtet ihrer Beschaffenheit nur die Anzahl repräsentieren und dass die Anzahleigenschaft einer Menge weder durch die Beschaffenheit noch durch die Anordnung ihrer Elemente affiziert wird (Abstraktion auf Quantität). Stück-für-Stück-Zuordnung als Verfahren des Mächtigkeitsvergleichs von Mengen. Jedem Element der einen Menge wird genau ein Element der anderen Menge zugeordnet. Das Ergebnis der Zuordnung ist im Hinblick auf die Gleichmächtigkeit oder Ungleichmächtigkeit zu beurteilen. Klassifikation und Seriation von Mengen in Bezug auf ihre Mächtigkeit. Unterschiedliche Objektmengen lassen sich im Hinblick auf ihre Mächtigkeit ungeachtet der qualitativen Beschaffenheit ihrer Elemente einer Klasse zuordnen. Jede mächtigere Menge enthält dabei die Mengen geringerer Mächtigkeit (Klasseninklusion). Diese Klassen lassen sich unter dem Gesichtspunkt größerer oder geringerer Mächtigkeit anordnen (Seriation). Zahlwort und Zahlsymbol Der Erwerb von Zahlworten und Zahlsymbolen begründet zum einen die Fähigkeit, die einzelnen Worte und Zeichen zu identifizieren und voneinander zu unterscheiden, sie aber zum anderen auch selber aktiv und regelgerecht zu bilden. Ordinaler Zahlaspekt Dieser Zahlaspekt richtet sich auf die Zahl als Teil einer Zahlenreihe. Sein Verständnis verlangt zunächst den Erwerb und die praktische Beherrschung einer Zahlen- oder Zahlwortreihe, innerhalb derer jede Zahl einen bestimmten Platz einnimmt, die durch Vorgänger- und Nachfolgerbeziehungen eindeutig festgelegt ist. Über das Zählen hinaus geht das Abzählen, bei dem jedem Element einer Objektmenge ein Zahlwort zugeordnet wird, um die Mächtigkeit der Menge zu ermitteln. Als Ordnungszahl im eigentlichen Sinne des Wortes ermöglicht die Zahl es schließlich, einem Objekt in einer geordneten Reihe von Objekten eine bestimmte Position zuzuordnen.