Tutorium 3. 1 Nilpotente Endomorphismen. Definition. Sei Φ End(V ). Φ heißt nilpotent: n N : Φ n = 0

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1 Tutorium 3 1 Nilpotente Endomorphismen Definition. Sei Φ End(V ). Φ heißt nilpotent: n N : Φ n = Bemerkung. Sei V {}. Dann ist λ = einziger EW. Und wegen H(Φ, ) = Kern((Φ id) k ) Kern(Φ n ) = Kern() = V k= gilt nach dem Satz von letztem Mal H(Φ, ) = V und CP Φ (X) = X dim V. Sei nun X d das Minimalpolynom von Φ, und u V mit Φ d 1 (u). Betrachte U := u, Φ(u),..., Φ d 1 (u) }{{} :=B Es ist klar, dass dim U d. Andererseits ist Φ U auch nilpotent, und es gilt dim U = Grad CP Φ U (X) Grad MP Φ U (X) d da Φ d 1 (u). Bezüglich B hat Φ U dann die Abbildungsmatrix: 1 J d () := 1 Diese Matrix heißt Jordankästchen der Länge d zum EW. Lemma aus der Vorlesung sagt: Es gibt ein Φ-invariantes Komplement zu U vollständige Induktion liefert den folgenden Satz: Satz. Sei A K n n eine nilpotente Matrix. Dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen k und d 1... d k 1 sodass A ähnlich ist zu folgender Matrix: Ã := J d1 () Jdk () Diese Matrix heißt Jordansche Normalform (JNF) von A. Bemerkung. Für die Anzahl der Jordankästchen gilt: k = dim Eig(Φ, ) = dim Kern(Φ) wie man durch Betrachten der JNF erkennt. 1

2 Aufgabe 1. Sei Φ End(V ), dim V = und Bild(Φ) Kern(Φ). Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Minimalpolynom und Jordansche Normalform. Lösung. Nach Voraussetzung gilt für alle x V : Φ(Φ(x)) = Φ = Also ist Φ nilpotent, und also CP Φ (X) = X. Außerdem ist X annullierendes Polynom, folglich MP Φ (X) {X, X }. Es gilt aber: MP Φ (X) = X Φ = Rang(Φ) = Also treffen wir eine Fallunterscheidung nach r := Rang(Φ). 1. Fall: r = k =, und die Jordansche Normalform ist:. Fall: r = 1 k = 3, und es folgt zwingend: 1 (denn = ist ohne Beachtung der Reihenfolge die einzige Zerlegung der in 3 Summanden) 3. Fall: r = k =, wir haben zwei mögliche Zerlegungen = = + in Summanden. Aber wegen 1 1 = 1 kann es kein Jordankästchen der Länge 3 geben, wir erhalten also als JNF: 1 1. Fall: r = 3 k = 1, aber dann hätten wir ein Jordankästchen der Länge, was ja nicht möglich ist.

3 Die Jordansche Normalform Definition. Die Matrix λ 1 λ J d (λ) := 1 λ heißt Jordankästchen der Länge d zum EW λ. Bemerkung. Sei nun Φ End(V ) und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren. Wir wissen: V = λ H(Φ, λ), H(Φ, λ) = Kern((Φ λ id) µa(φ,λ) ) Also ist (Φ λ id) H(Φ,λ) nilpotent, es gibt also eine Darstellung als JNF bestehend aus Jordankästchen J di (). Aber es gilt ja: Φ H(Φ,λ) = λ id H(Φ,λ) + (Φ λ id) H(Φ,λ) Folglich gibt es für Φ H(Φ,λ) eine Darstellung als sogenanntem Jordanblock, bestehend aus Jordankästchen der Form J di (λ). Macht man das für jeden EW λ, so erhält man den folgenden Satz: Satz. Sei Φ End(V ), und das charakteristische Polynom von Φ zerfalle in Linearfaktoren. Weiterhin seien Spec(Φ) = {λ 1,... λ l } die l EWe von Φ. Dann gibt es für jeden EW λ i eindeutig bestimmte natürliche Zahlen k i und d 1,i... d ki,i 1 sodass Φ bezüglich einer geeigenetes Basis B die Abbildungsmatrix in Jordanscher Normalform (JNF) D BB (Φ) = D 1 D l hat, wobei J d1,i (λ i ) D i := Jdki,i (λi) der Jordanblock zum i-ten EW ist. 3

4 Bemerkung. Es gelten: (i) Die JNF ist eindeutig bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke/Eigenwerte. (ii) Länge des Blocks zum EW λ = dim H(Φ, λ) = µ a (Φ, λ) (iii) Anzahl Kästchen zum EW λ = k i = dim Eig(Φ, λ) = µ g (Φ, λ) (iv) Länge des größtes Kästchens zum EW λ = Exponent von (X λ) im Minimalpolynom! (v) Für die Anzahl der Jordankästchen der Länge d zum EW λ gilt: m d (λ) = Rang((Φ λ id) d 1 ) Rang((Φ λ id) d ) + Rang((Φ λ id) d+1 ) Aufgabe. Berechnen Sie die Jordansche Normalform der Matrix A := R sowie eine Matrix S GL (R) sodass S 1 AS in Jordanscher Normalform ist. Lösung. X X X CP A (X) = det( 3 X 3 1 X 1 ) = det( 1 X 1 X X 1 ) X + X X X X X X = det( 1 X 1 X ) = X det( 1 X 1 1 ) X X X 1 X ) = X det( X X ) = X X X det(( ) X X = X ( 3X + X + 3X) = X Folglich gibt es genau einen Jordanblock, und zwar zum EW. Es gilt A =, also gilt MP A (X) = X und das größte Jordankästchen hat Länge. Wir berechnen nun Eig(A, ) = Kern(A), denn dessen Dimension liefert uns ja die Anzahl Jordankästchen: Kern(A) = 1, 1 Es gibt also Jordankästchen, wir erhalten folgende Jordansche Normalform: Ã := 1 1

5 Wir finden wir die Jordanbasis? Wir suchen Vektoren b 1, b 3 in Kern(A ) \ Kern(A), so dass b := Ab 1, b := Ab 3 linear unabhängig sind! Wir setzen an: 1 3 b 1 :=, b 3 := 1 b := Ab 1 = 3, b := Ab 3 = und scheinen erfolgreich gewesen zu sein! Also: S = ( ) b 1 b b 3 b = 3 1 S 1 = und tatsächlich gilt S 1 AS = Ã. Aufgabe 3. Sei Φ End(V ), dim V = 5, dim Kern(Φ) = 1 und CP Φ (X) = X 5 9X 3. Berechnen Sie die Jordansche Normalform von Φ. Lösung. Wir berechnen zunächst die Jordansche Normalform von Φ. Wegen CP Φ (X) = X 3 (X 3)(X + 3) interessiert uns nur noch die Anzahl Jordankästchen zum Eigenwert, und die ist ja gerade gleich dim Kern(Φ) = 1. Also ist die JNF von Φ: 1 J := und J := ist eine Abbildungsmatrix von Φ! Also gilt CP J (X) = X 3 (X 9), und uns interessiert wieder nur die Anzahl Jordankästchen zum Eigenwert, also dim Kern(Φ ) = dim Kern(J ) = (denn es gibt offenbar genau 3 l.u. Zeilen). Folglich ist die JNF von Φ :