JNF Rezept. 21. Juli 2006

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1 JNF Rezept Simon Wood Juli 6 Was ist die Jordan Normalform? Die Jordan Normalform (JNF) ist die eifachst mögliche Darstellung einer Matrix bezüglich einer geeigneten Basis. Matrizen in der JNF sind sehr einfach zu klassifizieren, da die Eigenwerte direkt aus den Diagonalelementen ablesbar sind und die Determinante das Produkt der Diagonalelemente ist. In dieser Anleitung nehmen wir an, unsere zu untersuchende n n Matrix heisse A, ihre JNF J und die Eigenwerte seinen λ,...,λ n. Wie findet man die Jordan Normalform? Zunächst einmal brauchen wir die Eigenwerte. Dafür müssen wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der zu untersuchenden Matrix finden (det(a λ i ½) = ). Als nächstes bestimmen wir die Grösse der Jordankästchen. Die Grösse der Kästchen hängt stark von der Vielfachheit der Eigenwerte ab. Hat ein Eigenwert Vielfachheit eins, so ist die Grösse seines Kästchens auch eins. Ist die Vielfachheit grösser, müssen wir folgendes Verfahren verwenden.. (A λ i ½) solange mit sich selbst multiplizieren bis sich der Rang zwischen rang(a λ i ) j und rang(a λ i ) j+ nicht mehr verändert.. Die Anzahl Kästchen der Grösse j zum Eigenwert λ i ergibt sich dann aus der Formel # Kj = rang(a λ i ½) j rang(a λ i ½) j + rang(a λ i ½) j+ Jetzt haben wir alles was wir brauchen um die JNF aufschreiben zu können. Die Kästchen werden diagonal aneinander gereiht wobei ein

2 Jordan-Kästchen der Grösse j folgende Form hat λ i... λ i λ i } {{... λ i } j Haben wir also beispielsweise die Eigenwerte und und sei das Kästchen zum Eigenwert von der Grösse zwei, habe weiter der Eigenwert ein Kästchen der Grösse eins und eines der Grösse drei, erhalten wir z.b. folgende JNF: Das Minimalpolynom können wir jetzt auch bilden. Sei k i die Grösse des grössten Kästchens für den Eigenvektor λ i. Dann ist das Minimalpolynom i (x λ i) k i Als letztes gilt es noch die Jordanbasis zu finden. Wir brauchen für jeden Eigenwert gleich viele Basisvektoren wie die Vielfachheit des Eigenwerts. Sei m die Potenz bei der der Rang von (A λ½) m nicht mehr abnimmt. Als erstes, müssen wir eine Basis von ker(a λ½) j für alle j m finden. Jetzt notieren wir uns das folgende von rechts nach links.. Die Basisvektoren von ker(a λ½). Die Basisvektoren von ker(a λ½) die nicht in ker(a λ½) vorkommen.. (A λ½) angewandt auf die neuen Basisvektoren. 4. Vektoren aus ker(a λ½) die nicht in ker(a λ½) sind. 5. ker(a λ½) angewandt auf Vektoren aus Schritt ker(a λ½) angewandt auf Vektoren aus Schritt 4.

3 7. Setze dies fort bis du zu ker(a λ½) m+ kommst, wo du nichts mehr machen musst. Wiederhole dies für alle Eigenwerte λ i mit Vielfachheit >. Es ist Egal, wie man die Reihenfolge der λ i wählt. Schliesslich haben wir also:...,(a λ i ½) B, (A λ i ½)B,B, (A λ i ½)B,B,B Wobei B j der Teil der Basis von ker(a λ i ½) j ist, der nicht in den Basen der Kerne tieferer Ordnung auftaucht. Allgemein haben wir also bei der Potenz j: (A λ½) j B,...,(A λ½)b,b. Wichtig ist, es müssen immer so viele linear unabhängige Vektoren aus dem Kern wie möglich genommen werden und sie dürfen nicht in einem Kern geringerer Ordnung enthalten sein. Nun werden von rechts her alle Vektoren weggestrichen die linear von den anderen Vektoren abhängen. Die Vekoren die übrig bleiben sind unsere Jordan basis. Als Spalten einer Matrix aufgefasst, ergeben sie unsere Transformationsmatrix T, so dass T AT = J ist. Die Reihenfolge der Kästchen ist nicht eindeutig, sondern hängt von der Reihenfolge der Jordanbasisvektoren ab. Rechenbeispiel Sei dann ist A = det(a λ½) = ( λ) 4 λ i = i. Also ist ist der vierfache Eigenwert der Matrix. Berechen wir jetzt (A λ½)) j : (A λ½) =

4 (A λ½) = (A λ½) = Der Kern verändert sich nach der. Potenz offensichtlich nicht mehr. So erhalten wir: rang(a λ½) = 4 rang(a λ½) = rang(a λ½) = rang(a λ½),4,... =. Damit können wir also die Kästchen grössen berechnen: # = 4 + = # = + = # = + = Wir haben also ein Kästchen der Grösse und eins der Grösse. Somit haben wir unsere JNF bestimmt: B = Jetzt bleiben uns nur noch die Jordanbasen. Bestimmen wir zunächst die Kerne und wählen dann geeignete Vektoren davon aus. ker(a λ½) = span, ker(a λ½) = span 4,,

5 ker(a λ½) = span,,, Jetzt schreiben wir die Vektoren auf wie vorhin beschrieben: }{{} = R4 7 = (A λ½) ker(a λ½) 5 = ker(a λ½) = (A λ½) ker(a λ½) 6 = ker(a λ½) = ker(a λ½) 7 = ker(a λ½) 4 = (A λ½) ker(a λ½) Jetzt entfernen wir alle Vektoren die linear von Vektoren abhängen, die weiter links sind: Also ist unsere Transformationsmatrix T = }{{} 6 und T AT = J = 5