Beispiele. mit. Beispiel 2.3. Suche einen Weg von nach. Tiefensuche bzw. Breitensuche.

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Fritz Weiss
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1 2. Suchverfahren Uninformierte Suchverfahren Beispiel 2.4. Ein Weinhändler hat drei Krüge, einen von 9 Liter, einen von 7 Liter und einen von 4 Liter Inhalt. Auf den Krügen sind keine Litermarkierungen angebracht. Der 9-Liter-Krug ist gefüllt, die anderen sind leer. Die Krüge sollen so umgefüllt werden, daß der 9- Liter-Krug sechs Liter und der 4-Liter-Krug drei Liter enthält. Tafel. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/ Suchverfahren Uninformierte Suchverfahren Beispiele Beispiel 2.3. Suche einen Weg von nach Tiefensuche bzw. Breitensuche. mit i d j m b e k f a g l n c h Tafel. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3

2 2. Suchverfahren Uninformierte Suchverfahren Eigenschaften von Suchverfahren Definition 2.1. Ein Suchverfahren heißt vollständig, wenn für jeden Suchbaum jeder Knoten expandiert werden könnte, solange noch kein Zielknoten gefunden wurde. Ein vollständiges Suchverfahren ist fair in dem Sinne, daß jeder Knoten die Chance hat, expandiert zu werden. Ein vollständiges Sucherfahren findet auch bei unendlichen Suchbäumen stets eine Lösung, falls eine existiert. Breitensuche ist vollständig. Tiefensuche ist nur bei endlichen Suchbäumen vollständig. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/ Suchverfahren Uninformierte Suchverfahren Eigenschaften von Suchverfahren (2) Definition 2.2. Für ein uninformiertes Suchverfahren heißt eine Lösung optimal, wenn sie unter allen Lösungen die geringste Tiefe im Suchbaum aufweist. Breitensuche findet eine optimale Lösung (falls existent), Tiefensuche nicht. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 41

3 2. Suchverfahren Uninformierte Suchverfahren Eigenschaften von Suchverfahren (3) Komplexitäten: Für Breiten- und Tiefensuche ist der ungünstigste Fall, daß die Lösung in der äußersten rechten Ecke des Suchbaums liegt. Zeitkomplexität, mit des Zielknotens. Verzweigungsrate und Tiefe Bei der Tiefensuche enthält die Agenda die Knoten des aktuellen Suchpfades sowie deren Nachfolger Platzkomplexität. Bei der Breitensuche kann die Agenda eine komplette Ebene des Suchbaums enthalten Platzkomplexität. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 42 Informierte Suchverfahren Für größere Suchbäume sind Breiten- und Tiefesuche nicht effizient genug. Vielversprechender sind Ansätze, bei denen Problemwissen zur Steuerung des Suchprozesses eingesetzt wird. Dies kann dadurch geschehen, daß die Zustände (Knoten) danach bewertet werden, wie erfolgversprechend sie sind. Man schätzt beispielsweise für jeden Knoten, wie nahe er an einem Zielknoten liegt. Solch eine Bewertung nennt man heuristische Funktion. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 43

4 (' " Heuristische Funktion Definition 2.3. Eine Funktion, die jedem Zustand (Knoten) eines Zustandsraums (Suchbaums) eine nichtnegative Zahl zuordnet, heißt heuristische Funktion. Für einen Zielzustand gilt dabei. Ein Suchverfahren, das eine heuristische Funktion zur Auswahl der zu expandierenden Zustände einsetzt, heißt informiertes Suchverfahren oder auch heuristisches Suchverfahren. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 44 Heuristische Funktion (2) Beispiel 2.5. [Schiebepuzzle] Startzustand Endzustand Mögliche heuristische Funktionen: Anzahl der Plättchen, die nicht an der richtigen Stelle liegen.. Hier: Summe der Entfernungen aller Plättchen von der Zielposition.!. &# "# %# "# $# $# "#! Hier: Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 45

5 4 / / 4 / 3 Heuristische Funktion (3) Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 46 Heuristische Funktion (3) Die heuristische Funktion differenziert stärker als, d.h. kann Zustände unterscheiden, die von 7) gleich bewertet werden. Eine heuristische Funktion ist um so brauchbarer, je mehr Zustände sie unterschiedlich bewertet. Eine heuristische Funktion, die alle Zustände gleich bewertet, ist unbrauchbar. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 47

6 Bestensuche Bei der Bestensuche erfolgt die Expansion eines Knotens auf Basis der heuristischen Funktion. Hierzu werden in der Agenda die Knoten zusammen mit ihrer Bewertung abgelegt. Es wird nun jeweils der Knoten der Agenda expandiert, der die geringste Bewertung aufweist. Die Agenda hat also die Form einer Prioritätswarteschlange (priority queue). Ansonsten ist die Bestensuche analog zur Tiefen- und Breitensuche. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 4 Bestensuche (2) A:9 C:5 D:6 B:4 I: G:0 H:2 E:7 F: K: 9 Schritt Agenda 1 A:9 A 2 B:4, C:5, D:6 B 3 C:5, D:6, E:7, F: C 4 G:0, H:2, D:6, E:7, F: G Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 49

7 A Algorithmus zur Bestensuche Algorithmus 2.3. [Bestensuche] ÏH DKJ A*N?BA PO ML QSRUTWVYX <Z=[?BA CKD]\ Ï_^[` F badc e-f J <>=@?BA*CKD O g Entferne badc aus der Agenda; Tih BaBc ist Zielknoten j RkXil badc <>=@?BA*CKDmF ist Lösung; STOP;? f A e-n?o=[?ba <Z=[?BA CKDqpsr]DEt e Nvu9=[?BJ MPO badc Xwl ^ Problem hat keine Lösung; STOP; Beispiel 2.6. Suchbaum für Beispiel 2.5 mit Bestensuche. Tafel Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 50 Eigenschaften der Bestensuche Definition 2.4. Eine heuristische Funktion heißt fair gdw. es zu jedem Ayx {z nur endlich viele Knoten gibt mit. Fairness entspricht der Vollständigkeit bei uninformierten Suchverfahren. Ist eine heuristische Funktion fair, so wird ein Zielknoten gefunden, falls ein solcher existiert. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 51

8 L p L p p Bestensuche und Optimalität Die Bestensuche vernachlässigt die Kosten bei der Anwendnung der Operatoren. Wird die Güte einer Lösung charakterisiert durch diese Operatorkosten, so findet die Bestensuche allgemein keine optimale Lösung. Beispiel 2.7. Routenproblem: Man finde einen kürzesten Weg von A nach B. Die heuristische Funktion sei als die Luftlinienentfernung zum Zielknoten definiert. B A Start Ziel D C Bestensuche wählt A,B,D, obwohl A,C,D kürzer ist. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 52 Bewertung von Lösungen Definition 2.5. Es sei pd~d~d~gp b} W) B eine Folge von Zuständen und B ƒ) sei durch Anwendung eines Zustandsübergangsoperators auf b erreichbar. Beim Übergang von b nach b 9 ƒ) fallen Kosten in Höhe von L an. Die Kosten L der Zustandsfolge seien definiert durch: b b 9 ƒ) F g ) } b B ƒ) Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 53

9 L L L L Für einen Zustand sei: =- F ˆŠ Œ P F ˆŠ Œ P BŽ ist Weg vom Startzustand nach BŽ ist Weg von zu einem Zielzustand = Problem: Finde (falls möglich) eine Zustandsfolge vom Startzustand b} in einen Zielzustand, die minimale Kosten aufweist, d.h. b} bzw. P dž ist Zielzustand. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 54 Zulässiger Schätzer heißt Definition 2.6. Eine heuristische Funktion zulässiger Schätzer bzw. zulässig gdw. für alle Zustände des Zustandsraums. Beispiel 2.. Zulässige Schätzer sind: die heuristischen Funktionen aus Beispiel 2.3 für das Schiebepuzzle und die Luftlinienentfernung beim Routenproblem. Bei kombinatorischen Optimierungsproblemen werden als zulässige Schätzer häufig effizient lösbare Relaxationen des Problems verwendet. Beispiel: minimaler Spannbaum als Relaxation für die Berechnung eines minimalen Hamiltonschen Weges. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 55

10 Der A*-Algorithmus Der A*-Algorithmus basiert auf: 1. einer Bewertung für die Zustände, wobei die bisher geringsten Kosten zur Erreichung des Zustands angibt, 2. einer (üblicherweise zulässigen) heuristischen Funktion zur Schätzung der Restkosten und, die # 3. einer Bewertungsfunktion zur Auswahl des zu expandierenden Zustandes dient. Steuerung der Suche bei A*: Es wird der Knoten der Agenda expandiert, der die geringste Bewertung aufweist. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 56 Der A*-Algorithmus (2) Folgende Punkte sind beim A*-Algorithmus zu berücksichtigen: Durch eine Verringerung von = Verringerung von auftreten. für einen Zustand kann auch eine Dies kann im allgemeinen auch für schon expandierte Knoten der Fall sein! Deshalb werden schon expandierte Knoten in einer speziellen Liste Closed verwaltet. Bewertungen sind dementsprechend anzupassen. Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 57

11 œ œ Ÿ œ ª «ž ³ ª Der A*-Algorithmus (3) Algorithmus 2.4. [A*] Ÿ ž š & Ÿ ž š ž š Ÿ «œ 9 Entferne aus der Agenda; Füge in Closed ein; ist Zielknoten 9 ist Lösung; STOP; ª œ ² ± ž µ ± µ ± Ÿ ¹ Š # Š Ÿ ein; in die Agenda mit Bewertung Füge ½¼» 9 # 9 º Ÿ 9 # Ÿ ž ± aus Closed; Entferne Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 5 Füge in die Agenda ein; Problem hat keine Lösung; STOP; Wissensverarbeitung und Data Mining FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 59

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