Wolfgang Goethe-Universität

Transkript

1 G Johann Wolfgang Goethe-Universität Geheimschriften, Online-Banking und was Mathematik damit zu tun hat R. J. W. G. Universität Frankfurt Tag der Naturwissenschaften 2007

2 Was dieser Vortrag darstellen möchte: 1 Was Kryptographie ist; 2 eine neue Art Mathematik 3 Wie Kryptographie gemacht wird (Beispiel); 4 Wer Kryptographen sind.

3 Was ist Kryptographie?

4 Bedürfnis nach Geheimhaltung private Nachrichten: s Online-Banking abhörsicheres Telefonieren Identifikation

5 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) KLARTEXT offener Kanal KLARTEXT Alice Bob Eva XZ%-3&E symmetrische Kryptographie (A, B haben gemeinsamen Schlüssel)

6 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Geheimtext BBEIMC... Schlüssel Problem: Schlüsselaustausch

7 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er): verschiedene Schlüssel für A, B Nachricht öff. Schlüssel Geheimtext geheimer Schlüssel schweres math. Problem

8 Asymmetrische Verschlüsselung (II) Vereinfachte Darstellung: Briefkasten Nachricht

9 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur Weitere Anwendungen: gemeinsames Randomisieren elektronische Wahlen...

10 Schlüssselaustausch Erste Annäherung (an asymm. Verfahren): Schlüsselaustausch über offenen Kanal? Ergebnis: gemeinsamer Schlüssel

11 Etwas Mathematik

12 Eine neue Art zu rechnen Manchmal kann = = 0 sein. modulares Rechnen

13 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100, = 1 mod 100, = 0 mod 100.

14 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = 83 mod 100, Insbesondere ist 1 = 99 mod 100, 50 = 50 mod 100.

15 Andere Moduln Andere Moduln: = 2 mod 7, = 0 mod 2, = 19 mod 101, 3 20 = 84 mod 101.

16 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100. Solche Eigenarten ( Nullteiler ) entstehen durch die (Prim-)Teiler von 100 (!) Primzahlen als Moduln.

17 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101, = 99 mod 101, (Mod einer Primzahl kann man wie gewohnt durch alle Zahlen außer 0 dividieren)

18 Rechnen und Kryptographie kryptographischen Protokollen liegt oft modulares Rechnen zugrunde der Modul ist hier meist eine große Primzahl, z.b

19 Potenzen Allgemein: Potenzgesetz: 2 n = }{{} n-mal g n = g g... g }{{} n-mal (g n ) m = g n m z.b. (2 2 ) 3 = 4 3 = 64 (2 2 3 = 2 6 = 64

20 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod = = = 220 = 18 mod 101

21 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101), Zahl g (z.b. 11) wählt a g a g b wählt b ( g b ) a = (g a ) b A, B haben ein Geheimnis vereinbart: g a b

22 Angriff? g a g b ( g b ) a = (g a ) b Eva sieht nur g a, g b braucht aber g a b

23 Sicherheit des D.H.-Schemas Sicherheit des D.H.-Schemas liegt also am DH-Problem: ist vermutlich schwierig g a, g b g a b Hinweise auf die Schwierigkeit, aber auch leichte Einzelfälle

24 Wer sind die Kryptographen?

25 Wo Kryptographie gemacht wird Forschung Realisierung Anwendung

26 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt) Spezialisierung auf Kryptographie: im Studium möglich Abschlussarbeiten: Beteiligung an der Forschung Verbindung zwischen reiner Mathematik und Praxis gute Arbeitschancen

27 Fragen?