Digitale Klangsynthese mit Hilfe Genetischer Algorithmen

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1 Digitale Klangsynthese mit Hilfe Genetischer Algorithmen Diplomarbeit im Fachbereich Informatik und Mathematik der Hochschule fü r Technik und Wirtschaft Dresden von Jörg Hentschel Dresden, November 2002 Betreuer: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Iwe

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 3 Vorwort Einleitung Motivation Verwandte Arbeiten Ansatz Genetische Algorithmen Grundlagen der Evolution und Genetik Informatik und Evolution Abstraktion der Evolution Repräsentation Evaluation und Fitneß Reproduktion Selektion Kreuzung Mutation Ersetzung Generationswechsel Elitismus Digitale Klangsynthese Synthesizer und Sampler Töne, Klänge und Geräusche Syntheseverfahren Subtraktive Synthese Wavetable Synthese Additive Synthese FM-Synthese Weitere Syntheseverfahren Synthesekomponenten Oszillator Hü llkurve Verstärker Filter Effekte

4 4 Digitale Klangsynthese mit Hilfe Genetischer Algorithmen Implementation der Klassenbibliotheken Genetische Algorithmen FM-Synthesizer Klanganalyse Realisierung des Genetischen Algorithmus Aufbau eines Chromosoms Erzeugung und Bewertung eines Individuums Realisierung des Evolutionsprozesses Genetische Operatoren Die Applikation Revival Konfigurationsphase Analysephase Evolutionsphase Präsentationsphase Experimente Standardkonfiguration Parameter des Genetischen Algorithmus Parameter der Klanganalyse Parameter der Klangsynthese Optimierte Standardkonfiguration Experiment 455 (Banjo) Experiment 451 (Trommel) Ergebnisse Zusammenfassung Thesen Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis Glossar

5 Vorwort Selbständigkeitserklärung: Ich erkläre hiermit, daß ich diese Arbeit selbständig und ohne unzulässige Hilfe Dritter verfaß t habe. Ich versichere zudem, daß ich nur die Quellen verwendet habe, die im Literaturverzeichnis dieser Arbeit angegeben sind und dieses vollständig ist. Weiterhin ist diese Diplomarbeit und ihre Bestandteile keine Kopie anderer Quellen oder Arbeiten. Danksagung: Ich möchte mich auch bei allen bedanken, die zum Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen haben, insbesondere aber meinem Betreuer Professor Dr. rer. nat. habil. H. Iwe für seine wertvollen Ratschläge zu Inhalt und Form meiner Arbeit. 5

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7 1 Einleitung 1.1 Motivation Die meisten Klänge, die wir kennen sind natü rlicher Art oder stammen von Musikinstrumenten, die der Mensch erfunden hat. Doch in den letzten Jahrzehnten werden künstliche Töne und Klänge, basierend auf mathematischen und physikalischen Prinzipien, auch mit sogenannten Synthesizern hergestellt. Das Potential der verschiedenen Syntheseprinzipien ist sehr groß, eine schier unerschöpfliche Quelle für immer neue Klänge, die es zu finden gilt. Man könnte sogar sagen, die Suche nach schönen Klängen ist in vollem Gange, denn noch nie zuvor konnte ein Klangbastler auf so viele Syntheseprinzipien zurü ckgreifen. Der Prozeß der Klangsynthese ist trotzdem sehr langwierig und artet oft in Tü ftelarbeit aus, denn bis ein wohlklingender Ton entsteht, muß eine Vielzahl von Parametern eingestellt werden. Die Herstellung eines Klanges ist damit bis heute meist eine mü hsame, zeitaufwendige Suche, bei der immer wieder verschiedene Parameterwerte getestet werden und anschließ end das Ergebnis vom Nutzer für gut oder schlecht befunden wird. Selbst bei weitreichenden Kenntnissen der Zusammenhänge und Funktionalitäten einzelner Syntheseverfahren, kann die Veränderung eines einzigen Parameters zu einem unerwarteten Chaos im erzeugten Klang führen. Das Synthetisieren eines schönen Klanges kann auf diese Weise durchaus einen ganzen Tag in Anspruch nehmen. Doch immer wieder finden sich Menschen, die mit viel Geduld den Synthesizern fantastische Klänge entlocken. Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Suche nach einem Genetischen Algorithmus, der dem Nutzer die Einstellung der Parameter bei der Klangsynthese ganz oder wenigstens teilweise abnimmt. Der Nutzer soll sich voll und ganz auf den Klang konzentrieren können und nicht schon scheitern, wenn er versucht Oszillatoren, Filter oder Hüllkurven einzustellen. Ein solches Verfahren würde damit auch Nutzern helfen, die keine oder nur wenige Kenntnisse von der Klangsynthese besitzen. Es wurden die Genetischen Algorithmen ausgewählt, weil diese ein sehr 7

8 wirkungsvolles Optimierungsverfahren darstellen, welches schon erfolgreich bei verschiedenen komplexen Problemen aus der Realität eingesetzt wurde. Ein zu lösendes Problem wird immer durch eine Reihe von Parametern beschrieben. Man könnte sich hier die Beschreibung der Struktur einer Klangsynthese und deren Parameter vorstellen. Der Genetische Algorithmus versucht dann die im Chromosom verschlü sselten Parameter der Klangsynthese durch Selektion und Rekombination einzustellen, bis ein schön klingender Ton entsteht. 1.2 Verwandte Arbeiten Horner, Beauchamp und Haken präsentieren in ihrer Arbeit "FM Matching Synthesis with Genetic Algorithms" [HOR-93] einen Ansatz, bei dem ein vorhandener Klang durch FM-Synthese und Genetische Algorithmen resynthetisiert werden soll. Im einzelnen werden dabei optimierte Parameter fü r den Prozeß der FM-Synthese durch einen Genetischen Algorithmus ermittelt. Der Algorithmus der Synthesetechnik (1 Modulator zu n Trägern) ist von Anfang an festgelegt. Die Parameter sind auf die statischen Frequenzen der Oszillatoren (Sinus) und die Modulationsindizes beschränkt. Die Bewertung der Gü te eines synthetisierten Klanges wird durch einen Abstandsvergleich ausgewählter Abschnitte der Frequenzspektren von Quell- und Zielklang bestimmt. Die Anzahl der Träger beeinfluß t maß geblich das Ergebnis der Prozedur und damit die Ä hnlichkeit des synthetisierten Klanges zum originalen Klang. Wehn stellt in seiner Arbeit "Using Ideas from Natural Selection to Evolve Synthesized Sounds" [WEH-98] eine Methode vor, Klänge mit Hilfe von Genetischen Algorithmen zu synthetisieren. Auch er versucht einen schon existierenden Quellklang durch einen evolutionär gestü tzten Syntheseprozeß automatisch zu rekonstruieren. Das von ihm verwendete Schema für die Klangerzeugung ist als Modulare Synthese bekannt. Wehn versucht nicht nur feste Parameter zu finden, sondern auch einen geeigneten Algorithmus, der aus einzelnen untereinander verbundenen Elementen wie Oszillatoren, Filter, additiven Verknü pfungen und Rauschgeneratoren besteht. Mit Hilfe der Genetischen Algorithmen werden bessere Algorithmen mit besseren Parametern gezü chtet. Die 8

9 Fitneß der einzelnen Lösungen wird durch einen Abstandsvergleich der Frequenzspektren von Quell- und Zielklang ermittelt. Das Ergebnis dieser Prozedur ist ein synthetisierter Klang, welcher dem Quellklang ähnelt. Garcia stellt in seiner Arbeit "Automatic Generation of Sound Synthesis Techniques" [GAR-01] ein Verfahren vor, welches Synthesealgorithmen mit Hilfe evolutionärer Methoden herstellt. Bevor der automatisierte Prozeß beginnen kann, muß ein Nutzer einen Klang bereitstellen, aus dem durch freie Kombination der Elemente klassischer Prinzipien der Klangsynthese ein ähnlicher Klang erzeugt wird. Sein Verfahren ist in der Lage bekannte Syntheseformen wie FM-Synthese, Subtraktive Synthese und Additive Synthese nachzuahmen und sogar neue Formen von Syntheseverfahren zu erschaffen. Die Aufgabe einen passenden Synthesealgorithmus zu finden, der einen bestimmten Quellklang nachbilden soll, verwirklicht Garcia mit Hilfe der Genetischen Programmierung. Die Elemente eines Synthesealgorithmus werden in einer Baumstruktur abgelegt, die dann später in einen Graphen umgewandelt wird. Ein solcher Graph repräsentiert eine konkrete Lösung. Mit Hilfe dieser wird der Klang synthetisiert und anschließ end einer Bewertung unterzogen. Die Fitneß eines gezü chteten Synthesizers wird, wie in den Werken von Wehn und Horner schon beschrieben, durch eine Abstandsmessung zwischen den Frequenzbereichen von Original- und Syntheseklang ermittelt. Die Arbeit "Exploring the sound-space of synthesis algorithms using interactive genetic algorithms" [JOH-99] von Johnson beinhaltet einen Ansatz, der sich mit der interaktiven Synthese von Klängen, unterstü tzt durch Evolutionäre Algorithmen, befaß t. Im Gegensatz zu den vorhergehenden Arbeiten wird hier der Mensch in den Mittelpunkt der Klangsynthese gestellt. Die Klänge werden durch Granularsynthese hergestellt und dessen Parameter durch einen Genetischen Algorithmus angepaß t. Am Anfang bekommt der Nutzer eine Menge von Klängen vorgegeben, die zufällig erzeugt werden. Eine interaktive Schnittstelle ermöglicht es dem Nutzer in den Evolutionsprozeß einzugreifen, indem er sich die synthetisierten Klänge einer Generation anhört und bewertet. Danach ü bergibt er wieder dem System die Kontrolle, welches eine neue Generation von Klängen produziert. Diese Prozedur wird wiederholt, solange kein zufriedenstellendes Ergebnis ermittelt wurde. 9

10 Ausgangspunkt dieser Arbeit bilden hauptsächlich die Werke von Garcia und Horner. Beide versuchen einen Klang automatisiert nachzubilden, beschreiten aber unterschiedliche Lösungswege. Mit dieser Arbeit versuche ich einen Mittelweg zwischen diesen Lösungen zu finden. 1.3 Ansatz Diese Arbeit beschreibt ein Verfahren, welches, basierend auf einem gegebenen Originalklang, die Struktur und Parameter fü r das Syntheseverfahren der Frequenzoder Phasenmodulation mit Hilfe von Genetischen Algorithmen ermittelt. Der daraus resultierende Syntheseklang soll dem Original in seinen Grundzü gen ähneln, wird aber keinesfalls eine identische Kopie darstellen. Dabei wird mein Verfahren in 4 Schritten vollzogen: Im ersten Schritt muß der Nutzer einen Originalklang und verschiedene Parameter für den Genetischen Algorithmus (Populationsgröß e, Mutations-, Kreuzungstyp, Selektion), die Frequenzanalyse (Anzahl, Größ e und Verteilung der Analysefenster) sowie fü r das Verfahren der Klangsynthese (Anzahl der Operatoren, Modulationsart) bestimmen. Im zweiten Schritt wird das Frequenzspektrum des Originalklangs durch eine Fourieranalyse (FFT) ermittelt. Im dritten Schritt ü bernimmt der Genetische Algorithmus die Entwicklung eines passenden FM-Synthesizers. Der evolutionäre Prozeß beginnt mit der Erschaffung einer Ausgangspopulation von FM-Synthesizern, die durch Zufall erzeugt werden. Anschließ end werden in jeder Generation neue Individuen durch Kreuzung und Mutation gebildet, analysiert und mit dem Original verglichen. Diejenigen Synthesizer, die den Originalklang am besten nachahmen können, werden in die nächste Generation ü berfü hrt, in der Hoffnung, dort aus den eigenen guten Eigenschaften neue, bessere Synthesizer hervorzubringen. Im vierten Schritt werden dem Nutzer die ermittelten Ergebnisse präsentiert. Wie schon erwähnt, beschreite ich einen Weg, der sich zwischen den Werken von Horner und Garcia befindet. Horner legt in seiner Arbeit den Schwerpunkt auf die Optimierung von Parametern für das Syntheseverfahren der Frequenzmodulation (genau gesehen verwendet er eigentlich die Phasenmodulation). Er nutzt dafü r einen festen Algorithmus. Ich bin allerdings der Meinung, daß auch der Algorithmus (also 10

11 die Struktur) nicht statisch sein sollte, da die Algorithmen so gesehen selbst einen Parameter für das Verfahren darstellen. Garcia dagegen hat die Entwicklung einer geeigneten Struktur eines beliebigen Syntheseverfahrens in den Vordergrund seiner Arbeit gestellt. Ein sehr lohnenswerter Ansatz. Da die Eigenschaften verschiedener Syntheseverfahren meist auch weit auseinander liegen, möchte ich mich in dieser Arbeit auf ein einziges Syntheseverfahren konzentrieren. Meinen Nachforschungen zufolge erscheint auch hier wieder die FM-Synthese als sehr mächtiges Verfahren, welches, im Gegensatz zu anderen Syntheseverfahren, mit bescheidenen Mitteln (Oszillatoren und Hü llkurven) sehr komplexe Klänge erzeugen kann. Die Auswahl eines geeigneten Evolutionären Algorithmus war schnell vollzogen. Wie Horner habe ich mich fü r die Genetischen Algorithmen entschieden, weil sie das am grü ndlichsten erforschte Gebiet der Evolutionären Algorithmen darstellen. Der fü r mich wichtigste Vorteil dieser liegt bei den Genetischen Operatoren, die das Chromosom verändern können, ohne ü ber die Regeln für die zugrunde liegende Struktur etwas wissen zu müssen. Die Genetischen Algorithmen stellen zudem mehrere Kreuzungs- und Mutationsverfahren bereit, die sich bereits bewährt haben. Bei der Genetischen Programmierung, die Garcia verwendet hat, ist dies nicht der Fall. Hier müssen ü blicherweise für jedes Optimierungsproblem neue Kreuzungsund Mutationsoperatoren geschrieben werden, die besondere Anforderungen des strukturierten Chromosoms beachten. Da die Struktur des Chromosoms meistens baumartig ist, sind die Operationen oft sehr langwierig und die Größ e der Chromosomen (Anzahl der Knoten) muß begrenzt werden. 11

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13 2 Genetische Algorithmen 2.1 Grundlagen der Evolution und Genetik In der Natur durchlaufen alle Arten von Lebewesen einen andauernden Entwicklungsprozeß, der vom Drang zum Ü berleben geprägt ist. Dieser Vorgang erstreckt sich ü ber einen sehr langen Zeitraum und kann als ein Lernprozeß angesehen werden, in dem sich alle Lebewesen an die gegebenen Umwelteinflü sse anpassen müssen. An dieser Stelle setzen die zwei wichtigsten Prinzipien der Evolution an. Die Selektion und die Vererbung. Die Individuen, die sich besonders erfolgreich ihrer Umwelt anpassen, werden verstärkt ihre Eigenschaften und Merkmale durch Fortpflanzung an die nächsten Generationen weitergeben. Schwache Individuen dagegen werden aussterben. Die Ergebnisse sprechen fü r sich, denn die Evolution hat erfolgreich aus ganz einfachen Strukturen im Laufe von Millionen von Jahren unglaublich komplexe Strukturen und effektive Mechanismen in allen möglichen Formen und Variationen hervorgebracht. Die Erbinformationen bestimmen sowohl Aufbau als auch Aussehen eines Lebewesens und befinden sich in dessen Zellen. Dort sind sie als ein Satz von Chromosomen im Genom zusammengefaß t. Die Informationen werden hier in einer chemischen Struktur abgespeichert, der sogenannten DNS (Desoxyribonukleinsäure). Die DNS ist aus zwei Einzelsträngen (Phosphat-Zucker-Ketten) aufgebaut, welche durch Basenpaare miteinander verbunden sind. Die Basenpaare werden durch die Kombination der Basen Adenin, Thymin, Cytosin und Guanin gebildet. Aufgrund der chemischen Struktur der Basen passen jeweils nur Adenin mit Thymin und Cytosin mit Guanin zusammen. Diese Basen bilden die Grundlage fü r die gesamten genetischen Informationen eines Lebewesens. Reiht man die Basenpaare aneinander spricht man vom sogenannten Genetischen Code, der sich wie folgt strukturiert: Eine Gruppe von drei nebeneinander liegenden Basenpaaren bilden eine Aminosäure. Betrachtet man nun eine Folge von aneinander gereihten Aminosäuren, erhält man ein Protein (Eiweiß ). Eine Kette von Proteinen wird als Gen bezeichnet. Vereinfacht kann man also sagen, daß die Chromosomen die Träger der Gene sind, die alle 13

14 genetischen Informationen eines Lebewesens beinhalten. Jedes Gen ist durch seine feste Position innerhalb des Chromosoms bestimmt und legt auf diese Weise ganz bestimmte Eigenschaften und Merkmale fü r ein Individuum fest. Die Gesamtheit der Gene bezeichnet man als Genotyp. Man kann sich die Funktionalität des Genotyps als eine Art Schablone für eine Art von Lebewesen vorstellen. Die einzelnen Individuen mit den jeweiligen Ausprägungen der Eigenschaften und Merkmale nennt man Phänotypen. Das Prinzip der Vererbung von Eigenschaften und Merkmalen wird bei fast allen Lebewesen durch Paarung erreicht. Finden sich zwei starke Exemplare einer Art pflanzen sie sich fort, d.h. die Gene der zwei Individuen werden zufällig miteinander vermischt. Damit erhalten die Nachkommen einen Teil der Eigenschaften und Merkmale vom Vater, den anderen Teil von der Mutter. Die Rekombination der Gene verschiedener Organismen der gleichen Art sorgt für eine ständige Durchmischung des Erbmaterials einer ganzen Art. Bei der Rekombination von Individuen können gelegentlich auch Mutationen auftreten. Eine Mutation ist ein Fehler bei der Replikation des DNS-Stranges. Es kann dabei vorkommen, daß eine falsche Base in den aufgeteilten DNS-Strang eingefü gt oder eine beliebige Base daraus entfernt wird. Manchmal treten auch sogenannte spontane Mutationen auf, die durch ganz unterschiedliche Ursachen wie zum Beispiel Radioaktivität, Klimafaktoren oder Stoffwechselstörungen hervorgerufen werden. Eine Mutation kann sich positiv, negativ oder neutral auf ein Individuum auswirken und somit auch auf dessen Ü berlebens- und Fortpflanzungschancen. Auch wenn die Auswirkungen der Mutation ungewiß sind, spielt sie doch eine bedeutende Rolle. Sie sorgt zum einen für neues Erbmaterial und bringt zum anderen Variabilität in den Evolutionsprozeß ein, die durch Rekombination allein nicht erreicht werden kann. Das Prinzip der Selektion (natü rliche Auslese) bevorzugt stärkere und vernachlässigt schwächere Individuen bei der Fortpflanzung. Die Fitneß eines Individuums wird durch die Einwirkung von oft sehr vielen Selektionsfaktoren (Umweltbedingungen) bestimmt, die direkt auf die Eigenschaften eines Phänotyps Einfluß nehmen. Diese Faktoren stellen im Zusammenhang ein sehr komplexes Wirkungsgefü ge dar und steuern auf diese Weise die Evolution in ihrer Richtung und Geschwindigkeit. Durch 14

15 die Bevorzugung stärkerer Individuen wird deren durchschnittliche Zahl an Nachkommen auch deutlich höher sein. Auf diesem Weg wird zum größ ten Teil nur das gute genetische Material in die jeweils nächsten Generationen weitergegeben und damit der Fortbestand der eigenen Art gesichert. 2.2 Informatik und Evolution Theoretisch gesehen, kann man fast jede Aufgabe als Optimierungsproblem auffassen. Das Ziel besteht darin, möglichst schnell ein gutes Ergebnis zu ermitteln. Das hängt allerdings von der Anzahl der Parameter ab, die das Problem beschreiben. Mit einer steigenden Anzahl von Parametern eines Problems werden auch der Grad der Komplexität und die Menge der möglichen Lösungen steigen. Sind die Lösungsräume von Aufgaben relativ klein, dann reicht oft schon ein einfaches Verfahren aus, um die gesuchte Lösung zu finden. Eine mögliche Methode wäre zum Beispiel die Brute-Force-Methode, bei der alle möglichen Lösungen eines Problems berechnet werden und anschließ end aus dieser Menge die beste Lösung herausgesucht wird. Ist ein Problem zu komplex und damit der Lösungsraum zu groß, dann versagt diese Methode aufgrund der fehlenden Rechenleistung. An dieser Stelle setzen oft heuristische Verfahren an, die in das Gebiet des sogenannten Soft Computing einzuordnen sind. Eine Gruppe dieser Verfahren sind die Evolutionären Algorithmen (EA). Diese versuchen im Computer den Prozeß der natü rlichen Evolution zu simulieren. Das Konzept ist vielversprechend, denn der Evolutionsprozeß funktioniert in der Natur schon seit Anbeginn des Lebens und das mit groß em Erfolg. Es ist also nicht verwunderlich, daß dieser Prozeß in die Informatik ü bertragen wurde. Es gibt vier wesentliche Strategien, die auf den Grundlagen der natü rlichen Evolution basieren und unter dem Begriff der Evolutionären Algorithmen zusammengefaß t wurden: Die Genetischen Algorithmen (GA), die Genetische Programmierung (GP), die Evolutionären Strategien (ES) und die Evolutionäre Programmierung (EP). In den folgenden Abschnitten meiner Arbeit werde ich allerdings nur noch auf das Gebiet der Genetischen Algorithmen eingehen, weil es das meist genutzte und erforschte Verfahren der Evolutionären Algorithmen darstellt und ich es aus diesem Grund verwende. Die Grundlagen dafü r wurden schon 15

16 im Jahre 1962 von John Holland entwickelt. Im Gegensatz zu den konventionellen Verfahren (Aufzählung, Zufallssuche und analytische Suche), zeichnen sich die Genetischen Algorithmen vor allem durch ihre höhere Robustheit aus. Diese resultiert aus der Kombination einer mehrfach gerichteten Suche und stochastischen, nicht deterministischen Regeln (Selektion). Sie sind in der Lage eine Menge von Lösungen (Population) parallel zu verarbeiten und nicht nur eine einzige, wie es beim Hillclimbing oder dem Simulated Annealing der Fall ist. Aufgrund dieser Eigenschaften sind die Genetischen Algorithmen für eine Vielzahl von Optimierungsaufgaben geeignet. Trotz der oft sehr komplexen Lösungsräume vieler Probleme finden sie immer wieder Lösungen in erstaunlicher Qualität. 2.3 Abstraktion der Evolution Wie schon erwähnt, dient die natü rliche Evolution als Vorbild. Daher wird auch bei den Genetischen Algorithmen eine Population von Individuen einem künstlichen Evolutionsprozeß ausgesetzt. Die Individuen müssen sich in einer spezifizierten Umgebung behaupten. Um ein Maß fü r den Erfolg eines Individuums zu erhalten, wird dessen Fitneß durch eine Bewertungsfunktion bestimmt. Die erfolgreichen Exemplare werden sich verstärkt fortpflanzen und auf diese Weise ihr genetisches Material weitergeben. Die Wahrscheinlichkeit auf Selektion eines Individuums für den Fortpflanzungsprozeß wird durch ganz unterschiedliche Methoden bestimmt. Die Reproduktion erfolgt, wie auch in der Natur, durch Kreuzung von zwei Elternindividuen. Auch die Mutation von Individuen wurde nachgebildet und soll die Variabilität einer Population erhalten. Diese Prozedur wird so oft wiederholt, bis eine annehmbare Lösung fü r ein Problem gefunden wurde oder die vorgegebene Anzahl an Generationen erschöpft ist. Dieses Verfahren arbeitet, im Gegensatz zu herkömmlichen Suchmethoden, nicht in nur einem Zustandsraum (Lösungsraum), sondern in zwei voneinander getrennten Zustandsräumen (Abb. 1): Suchraum und Lö sungsraum. Der Suchraum enthält die kodierten Lösungen eines Problems, die auch als Genotypen bezeichneten werden. Der Lösungsraum enthält die eigentlichen Lösungen, die Phänotypen, mit den konkreten Parameterwerten eines Problems. Zu jedem Genotyp im Suchraum gibt es 16

17 auch einen entsprechenden Phänotyp im Lösungsraum. Eine Dekodierungsfunktion, die beide Zustandsräume miteinander verbindet, ü berträgt die genotypischen Lösungen in den phänotypischen Raum. Suchraum Lö sungsraum [ ] [ ] Dekodierung [ ] [ ] [ ] [ ] Genotypen (Kreuzung, Mutation) Phänotypen (Bewertung, Selektion) Abbildung 1: Zustandsrä ume Genetischer Algorithmen Bewertung und Selektion von Lösungen finden ausschließ lich im phänotypischen Raum statt, denn nur dort können und mü ssen die konkret ausgebildeten Lösungen in einer rauhen Umwelt um ihr Ü berleben kämpfen. Kreuzung und Mutation werden im Suchraum auf die Genotypen angewendet. Soll eine bestimmte Aufgabe gelöst werden, müssen als erstes die Parameter bestimmt werden, die das Problem beschreiben. Diese könnten zum Beispiel die Parameter a und b einer Funktion f(a, b) sein. Wenn alle Parameter festgelegt wurden, ist die Spezifikation des phänotypischen Raums abgeschlossen und es liegt eine Sammlung von Parametern vor. Danach gilt es eine Form der Kodierung zu finden, um auch den genotypischen Raum zu repräsentieren. Die Art der Kodierung hängt ganz von der Implementation des Algorithmus ab. In den meisten Fällen werden binäre Zeichenketten verwendet. Ein kodierter Parameter wird als Gen bezeichnet. Intern werden die Gene miteinander verkettet und als Chromosom in einem Individuum abgelegt. Neben dem Chromosom wird auch die Rohfitneß einer Lösung im Individuum hinterlegt. Sie wird später benötigt, um die Selektionswahrscheinlichkeit (relative Fitneß ) einer Lösung zu bestimmen. Da der durch den Genetischen Algorithmus simulierte Evolutionsprozeß immer auf eine Population von Individuen wirkt, entspricht dieser 17

18 damit einer parallelen Suche nach potentiellen Lösungen im genotypischen Raum. Laut Michalewicz [MIC-96] ist ein ausgeglichenes Verhältnis zwischen der Erkundung des gesamten Suchraums und der Ausbeutung der bereits gefundenen besten Lösungen entscheidend fü r den Erfolg des Algorithmus. Der einfache Genetische Algorithmus unterliegt einer grundlegenden Prozedur (Abb. 2). Er wurde schon oft realisiert und selbst bei einer schlechten Implementation können meist noch respektable Ergebnisse erzielt werden. Die fortgeschrittenen Genetischen Algorithmen erweitern dieses Verfahren mit einigen zusätzlichen Theorien, ändern aber nichts an der grundsätzlichen Funktionsweise. Den Ablauf der Prozedur kann man sich wie folgt vorstellen: Bevor der Prozeß beginnen kann, mü ssen einige Parameter wie die Populationsgröß e, die Selektionsmethode, ein geeignetes Ersetzungsverfahren sowie die Wahrscheinlichkeiten für Mutation und Kreuzung spezifiziert werden. Danach wird eine Ausgangspopulation der entsprechenden Größ e gebildet. Die Gene der Chromosomen aller Individuen (Genotypen) werden dann mit zufälligen Werten belegt. Anschließ end werden die Phänotypen der Startpopulation bewertet, um eine Maß fü r ihre Fitneßzu erhalten. Jetzt beginnt der iterative Teil des Algorithmus, in welchem der natü rliche Evolutionsprozeß nachgeahmt wird. Am Anfang jeder Generation steht eine Population von Elternindividuen zur Verfü gung, die oft auch als Eltern-Pool bezeichnet wird. Aus diesem werden immer zwei Individuen selektiert. Die Wahrscheinlichkeit auf Selektion zur Fortpflanzung wird durch die Berechnung der Fitneß eines Individuums ermittelt. Stehen die Elternindividuen fest, werden von beiden zwei identische Kopien erzeugt. Mit der vorher festgelegten Kreuzungswahrscheinlichkeit (ca. 60% 90%), findet nun die Reproduktion der Nachkomment statt. Genauer gesagt, werden die Genotypen der Klone an einem zufälligen Punkt des Chromosoms miteinander gekreuzt. Das Ergebnis sind zwei neue Kinder. Findet keine Kreuzung statt, sind die geklonten Individuen selbst die Nachkommen. Bevor die neuen Individuen in den Kinder-Pool gesteckt werden, mü ssen sie sich noch einer Mutation unterziehen, die aber nur mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit Ä nderungen am Genotyp vornimmt. Dieser Prozeß der Selektion und Reproduktion wird so oft wiederholt, bis der Kinder-Pool die gleiche Größ e aufweist wie der Eltern-Pool. Am Ende einer Generation werden die 18

19 Individuen aus dem Eltern-Pool mit denen aus dem Kinder-Pool ersetzt (Ersetzung). Die neue Population von Elternindividuen für die nächste Generation steht bereit. Der Algorithmus wird erst beendet, wenn eine bestimmte Terminierungsbedingung vorliegt. Dies kann zum Beispiel das Erreichen einer maximalen Anzahl von Generationen sein oder das Auffinden einer zufriedenstellenden Lösung. 1 Einstellung verschiedener Eigenschaften des Genetischen Algorithmus 2 Initialisierung der Ausgangspopulation 3 Wiederhole, solange Terminierungsbedingung nicht wahr ist 4 Evaluation der aktuellen Population 5 Wiederhole, solange nicht genügend Nachkommen gebildet wurden 6 Selektion zweier Eltern in Abhängigkeit ihrer Fitneß 7 Erzeugung von Nachkommen durch Kreuzung beider Eltern 8 Mutation der erzeugten Nachkommen 9 Ersetzung der alten Generation Abbildung 2: Struktur Genetischer Algorithmen Bei der Anwendung der fortgeschrittenen Genetischen Algorithmen können noch bessere Ergebnisse erzielt werden. Im Folgenden sind hier nur drei wesentliche Maß nahmen aufgefü hrt, die verdeutlichen sollen, an welchen Stellen der einfache Genetische Algorithmus noch verbessert werden kann. Als erstes ist es möglich dem Algorithmus eine größ ere Ausgangspopulation zur Verfü gung zu stellen. Dabei ist eine bessere durchschnittliche Fitneß zu erwarten. In einigen Fällen lohnt es sich sogar, die Individuen der Startpopulation mit konkreten Werten zu belegen. Dadurch kann man schon zu Beginn des Algorithmus sicherstellen, daß der gesamte Suchraum abgedeckt wird. Die zweite Möglichkeit setzt bei den Genetischen Operatoren für die Reproduktion an. Hier können neben der Ein-Punkt-Kreuzung auch andere Kreuzungsoperatoren ausgewählt werden. Die bekanntesten sind die Zwei-Punkt-Kreuzung, die Zwei-Punkt-Kreuzung mit Translokation und die gleichmäßige Kreuzung. Diese Operatoren sollen für eine bessere Durchmischung der genetischen Information zweier Individuen sorgen. Weiterhin gibt es neben 19

20 Kreuzung und Mutation auch noch die Inversion und Translokation. Beide Genetische Operatoren wirken, genau wie die Mutation, auf nur ein Individuum. Im Gegensatz zur Mutation, sind sie in der Lage ganze Abschnitte eines Individuums zu verändern, haben aber einen geringeren Einfluß auf die Variabilität in einer Population. Die dritte Möglichkeit befaß t sich mit den Ersetzungsschemata. Durch die Verwendung von Elitismus oder Dynamischen Elitismus wird in der Regel eine durchschnittlich bessere Fitneß erreicht, da nicht alle Individuen der Elternpopulation verworfen, sondern einige mit in die neue Generation mitgefü hrt werden. Die Qualität eines Genetischen Algorithmus wird im Wesentlichen von sieben Faktoren, mit unterschiedlich starker Wirkung, beeinfluß t. Dabei handelt es sich um die folgenden Elemente: Modellierung von Phänotyp und Genotyp (Kodierung), einschließ lich der Ü bertragungsfunktion, die fü r die Dekodierung notwendig ist. Bereitstellung der Möglichkeit eine Ausgangspopulation zu erschaffen. Entwurf einer Bewertungsfunktion, die in der Lage ist Umwelteinflü sse zu simulieren und damit die einzelnen Individuen qualitativ zu bewerten. Einen Mechanismus, der die Selektionswahrscheinlichkeiten der Individuen berechnet und mit Hilfe dieser Individuen selektiert. Ein Ersetzungsverfahren, das aus den Eltern und ihren Nachkommen eine neue Population fü r die nächste Generation bildet. Genetische Operatoren wie Kreuzung und Mutation, die Ä nderungen im genotypischen Raum vornehmen. Einstellung von Parametern wie Populationsgröß e und Wahrscheinlichkeiten fü r Kreuzung und Mutation. Zu den wichtigsten Faktoren gehören die Modellierung von Phänotyp und Genotyp und der Entwurf einer geeigneten Fitneß funktion. Aber auch die Genetischen Operatoren, die Wahl des Ersetzungsverfahrens und der Selektionsmechanismus sollten mit Sorgfalt gewählt werden. Wenn ein Genetischer Algorithmus keine zufriedenstellende Lösung finden sollte, dann ist mit groß er Wahrscheinlichkeit einer 20

21 dieser Faktoren dafü r verantwortlich. Im schlimmsten Fall ist es sogar die Art des Problems, die für den Miß erfolg schuld ist. Trotz der meist sehr guten Ergebnisse muß man sich immer vor Augen halten, daß die Genetischen Algorithmen kein Allheilmittel fü r jedes Problem sind und nach wie vor ein junges Forschungsgebiet darstellen. Die natü rliche Evolution vereint eine Vielzahl von Strategien, die aber nicht alle naturgetreu ü bernommen wurden. Die wichtigsten von ihnen wurden in vereinfachter Form auf die Genetischen Algorithmen ü bertragen und einige andere wurden sogar ganz weggelassen. Die auffälligste Ä nderung betrifft den Aufbau des Genoms. Es besteht aus einem einzigen Chromosom und ist damit haploid. Dagegen besitzen fast alle Lebewesen mehrere Chromosomen, die als doppelter Satz in der Zelle vorliegen. Eine weitere Ä nderung betrifft die Art und Weise der Kodierung der genetischen Informationen im Chromosom, die auf der Grundlage eines anderen Alphabetes (meistens binär) vollzogen wird. Hinzu kommt, daß die Individuen theoretisch unendlich alt werden können und dadurch immer wieder für die Reproduktion bereitstehen, d.h. der Prozeß schließ t zwar die Geburt und das Leben von Individuen ein, aber nicht deren Tod. In Bezug auf das Alter gibt es schon erste Ansätze, die eine Lebenszeit fü r Individuen simuliert und dadurch auch Superindividuen sterblich macht. Neben dem Lebenszyklus wurde auch der Fortpflanzungsprozeß vereinfacht. Individuen sind grundsätzlich geschlechtslos, aber trotzdem werden noch zwei von ihnen zur Reproduktion herangezogen. Auß erdem fehlt jede Form von Familienverhältnissen. Dies kann zur Inzucht führen, wenn sehr wenige gute Individuen die Population beherrschen. Wie bekannt ist, bedeutet ein erhöhtes Maß an Inzucht die Abnahme der Variabilität in einer Population, da die Kombinationsmöglichkeiten der genetischen Informationen der sich ähnelnden Individuen sehr gering sind. Abhilfe soll hier ein Verfahren bieten, das gleich mehrere Populationen parallel entwickelt. In bestimmten Abständen findet dann ein Austausch von Individuen der Populationen statt und soll dadurch die Variabilität des genetischen Materials erhalten. Als letztes möchte ich die in einer Population fehlenden sozialen Strukturen ansprechen. In der Natur ermöglichen diese durch Arbeitsteilung und Zusammenarbeit das Lösen von Problemen. Ein Beispiel dafü r ist eine Ameisenkolonie. Dieser Ansatz wird verstärkt im Forschungsgebiet des 21

22 Kü nstlichen Lebens (Artificial Life) erforscht und wird den Genetischen Algorithmen wohl auch weiterhin verwehrt bleiben. Trotz der starken Abstraktion der Evolutionsstrategien funktionieren die Genetischen Algorithmen erstaunlich effektiv, wenn auch nicht immer hundertprozentig treffsicher. 2.4 Repräsentation Ein Chromosom besteht grundsätzlich aus einer linearen Zeichenkette. Diese wird häufig auch als String oder Array bezeichnet. Ein Alphabet legt den Wertevorrat der Zeichen fest, die zum Kodieren der Parameter des Optimierungsproblems verwendet werden. Am häufigsten wird das binäre Alphabet eingesetzt. Die Zeichenkette besteht aus n sequentiell aneinander gereihten Teilzeichenketten, die jeweils ein Gen des Chromosoms darstellen. Jeder Parameter wird durch genau ein Gen repräsentiert. Jedes Gen hat eine bestimmte Länge, die von dem zu kodierenden Parameter abhängt. Addiert man die Länge aller Gene, erhält man die Länge des Chromosoms. In der folgenden Abbildung ist der schematische Aufbau kurz dargestellt: Phänotyp (Individuum) Parameter 1 Parameter 2... Parameter n Interpretation Modellierung l = 11 l = 8 l = Gen 1 Gen 2... Gen n Genotyp (Chromosom) Abbildung 3: Modellierung und Interpretation des Chromosoms Die Interpretation eines Gens hängt von den Werten ab, die der repräsentierte Parameter annehmen kann. Die Menge aller zulässigen Werte wird durch den Definitionsbereich bestimmt, der vier unterschiedliche Informationsniveaus besitzen 22

23 kann. Das erste und geringste Niveau wird durch die Nominalskala beschrieben. Die einzigen zur Verfü gung stehenden Operatoren sind Gleichheit und Ungleichheit. Mögliche Ausprägungen eines Parameters wären z.b. männlich (0) und weiblich (1) fü r das Geschlecht oder Auto (00), Bus (10), Bahn (01) und Flugzeug (11) fü r ein Fortbewegungsmittel. Das zweite Niveau ist die Rangskala (auch Ordinalskala), auf der die Werte hinsichtlich ihres Ranges angeordnet sind. Neben Gleichheit und Ungleichheit kann zusätzlich geprü ft werden, ob ein Wert kleiner oder größ er als ein anderer ist. Ein Paradebeispiel sind die Schulnoten 1 (000), 2 (001), 3 (010), 4 (100), 5 (101) und 6 (110). Fü r einen ordinalen oder nominalen Parameter kann die Länge eines Gens (L G ) mit Hilfe der folgenden Beziehung berechnet werden: [1] L G ( XMax 1) ˆ log( 2) Ê log + = AufrundungÁ Ë Alle möglichen Werte eines Parameters sind im Intervall [0; X Max ] festgeschrieben. Die zuvor genannten Beispiele wü rden somit Genlängen von 1 fü r das Geschlecht, 2 fü r die Fortbewegungsmittel und 3 fü r die Schulnoten ergeben. Als nächstes ist die Intervallskala zu nennen, die, ergänzend zur Rangskala, die Differenz von zwei Werten zuläßt. Als Beispiele soll hier die Celsius-Temperaturskala genannt sein. Das höchste Informationsniveau stellt die Verhältnisskala bereit. Neben den Eigenschaften der Intervallskala besitzt sie zusätzlich noch einen absoluten Nullpunkt. Diese Eigenschaften werden von der Kelvin-Temperaturskala, der Gewichtsskala oder der Längenskala verwendet. Die Berechnung der Genlänge fü r eine Intervall- oder Verhältnisskala ist ähnlich wie bei einer Nominal- und Ordinalskala. Bei Parameterwerten im ganzzahligen Bereich kann anstelle von X Max die Differenz der Grenzen des Intervalls [X Min ; X Max ] in die Beziehung [1] eingesetzt werden: [2] L G (( XMax - XMin ) 1) ˆ log( 2) Ê log + = AufrundungÁ Ë Beispielsweise wü rde das Intervall [-8; 22] mit einer Differenz von 30 eine Genlänge von 5 ergeben. Sind die Parameterwerte aus dem Bereich der reellen Zahlen, dann spielt die Genauigkeit der Werte eine Rolle und muß bei der Berechnung der Genlänge beachtet werden. Demnach wird ein reellwertiges Intervall in kleine 23

24 Abschnitte unterteilt. Die Größ e der Teilintervalle wird durch die Genauigkeit, d.h. die Anzahl der Nachkommastellen (n) vorgegeben. Dazu ist noch eine geringfü gige Ä nderung der Beziehung [2] notwendig: [3] L G n ( X ) ) ˆ Max - XMin 10 1 log( 2) Ê log + = AufrundungÁ Ë Eine Verhältnisskala fü r das Intervall [ 0.5; 1.2] wü rde somit eine Differenz von 1.7 ergeben. Verrechnet man dies mit der Genauigkeit von 3 Nachkommastellen, erhält man 1701 Teilintervalle, was zu einer Genlänge von 11 fü hrt. 2.5 Evaluation und Fitneß Die Fitneß der Individuen ist die treibende Kraft in den Genetischen Algorithmen. Sie entscheidet, welche Richtung die simulierte Evolution bei der Lösungssuche einschlägt, oder anders ausgedrü ckt, welche Regionen des Suchraums stärker erkundet werden. Mit ihrer Hilfe kann eine Aussage getroffen werden, wie fähig ein Individuum ist, das in diesem Sinne eine konkrete Lösung des Problems im Suchraum darstellt. In der Natur wird dies als Grad der Anpassung eines Individuums an seine spezifische Umwelt betrachtet. Bei den Genetischen Algorithmen dagegen spiegelt die Fitneß den Grad der Optimierung der Parameter der zu lösenden Aufgabe wider, d.h. wie nahe diese Lösung einer optimalen Lösung ist. Ist ein Individuum erfolgreich, wird es auch mit einer hohen Wahrscheinlichkeit sein genetisches Material mit den guten Eigenschaften durch Fortpflanzung an die nächste Generation weitergeben. Weniger erfolgreiche Individuen können sich zwar auch fortpflanzen, aber die Chance, daß sie fü r den Reproduktionsprozeß ausgewählt werden, ist sehr gering. Eine bisher unbeantwortete Frage ist, wann ein Fitneß wert gut und wann er schlecht ist. Bisher wurde die beste Lösung einer Aufgabe als Optimum beschrieben. Diesen Sachverhalt kann man auch als Suche nach einem Maximum definieren. Sollte einmal ein Minimum gesucht sein, dann wird durch Negation der Fitneß werte auch diese zur Suche nach einem Maximum. Damit gilt, daß ein hoher Fitneß wert gut ist, ein niedriger dagegen schlecht. Doch wie erhält man nun den Wert für die Fitneß eines Individuums? Dies geschieht in zwei Schritten. Im ersten Schritt wird das Chromosom eines Individuums entschlü sselt. 24

25 Dadurch erhält man die Werte fü r die Parameter des Optimierungsproblems, welches ich hier als Zielfunktion definiere. Die soeben dekodierten Parameter setzt man nun in die Zielfunktion ein. Diese gibt die Bewertung eines Individuums, als Maß für den Abstand zum gesuchten Optimum, zurü ck. Die Bewertung von Lösungen wird aufgrund des Problems immer wieder neu spezifiziert. Dennoch werden in den meisten Fällen altbekannte Kriterien wie Belohnungen, Bestrafungen, Gewinn, Verlust, Kosten, Punkte, Leistungen und Preise für die Bewertung von Lösungen herangezogen. Im zweiten Schritt kann die zuvor ermittelte Bewertung noch standardisiert, angepaß t oder gar normalisiert werden. Dies kann notwendig sein, wenn z.b. ein kleiner Wert als gut gilt und damit eine Minimumsuche darstellt. Die Bewertungen müssen dann durch Negation korrigiert werden, um einer Maximumsuche gerecht zu werden. Der zweite Schritt ist nicht in jedem Fall notwendig, denn oft wird das Ergebnis der Zielfunktion selbst als Fitneß wert verwendet. Die Prozedur der Fitneß berechnung wird für alle Individuen einer Population durchgefü hrt. Stehen alle Werte zur Verfü gung, können die Selektionswahrscheinlichkeiten der Individuen, bezogen auf die ganze Population, berechnet werden. Die verschiedenen Methoden dafü r werde ich in den folgenden Abschnitten noch ansprechen. 2.6 Reproduktion Die Erzeugung von Nachkommen ist, neben der natü rlichen Auslese, eine der wichtigsten Strategien der Evolution. Auf diese Weise wird der Fortbestand einer Rasse gesichert. Ist eine Population nicht mehr in der Lage bessere Individuen hervorzubringen, wird sie aussterben. Bei den Genetischen Algorithmen wird die Nachkommensbildung durch die Kombination von Selektion, Kreuzung und Mutation verwirklicht (Abb. 4). Diese Mechanismen wirken auf eine Population von Individuen einer Generation. Grundsätzlich nehmen alle Individuen an diesem Prozeß teil. Es hängt von der Fitneß der Individuen ab, ob und wie oft sie zur Fortpflanzung ausgewählt werden. Die Reproduktion wird in 3 Schritten vollzogen. Als erstes werden zwei Individuen selektiert und geklont. Anschließ end werden die beiden Klone miteinander gekreuzt. Die daraus resultierenden Nachkommen werden zum Schluß noch mutiert und vorläufig in den Kinder-Pool gelegt. Die Bildung von 25

26 Nachkommen wird fortgesetzt, solange nicht genü gend Nachkommen im Kinder- Pool vorhanden sind, um die nächste Generation anzutreten. Eltern-Pool Selektion 2 Elternindividuen Kreuzung 2 Nachkommen Mutation Kinder-Pool Abbildung 4: Bildung von Nachkommen Der Selektionsoperator kann verschiedene Verfahren nutzen, die von Problem zu Problem gewählt werden. Die Kreuzungswahrscheinlichkeit beeinfluß t den Grad der Vermischung der genetischen Information von Individuen. Wenn diese Rate kleiner wird, dann steigt die Anzahl von Individuen aus der vorangegangenen Generation und die Zahl der Nachkommen mit neuen genetischen Variationen sinkt. Deshalb ist eine Kreuzungsrate von 60 bis 90 Prozent ü blich. Die Mutationswahrscheinlichkeit dagegen ist sehr gering, bei Raten von 1 bis 3 Prozent, und sorgt für mehr Variabilität in einer Population. Der allgemeine Prozeß zur Reproduktion wird standardmäßig in den meisten Genetischen Algorithmen implementiert. Andere Strategien fü r die Bildung von Nachkommen sind natü rlich auch möglich Selektion Bevor Individuen für die Fortpflanzung selektiert werden können, muß erst die gesamte Population für diesen Prozeß vorbereitet werden, d.h. es müssen für alle Individuen in Abhängigkeit ihrer Fitneß Selektionswahrscheinlichkeiten berechnet werden. Für diesen Zweck stehen verschiedene Methoden bereit, die sich in ihrer Funktionsweise unterscheiden. Auf der einen Seite gibt es die fitneß proportionalen 26

27 Methoden. Die Normierung zählt hier zu der einfachsten Methode, bei der die Fitneß eines Individuums durch die Summe der Fitneß aller Individuen geteilt wird, um die Selektionswahrscheinlichkeit zu erhalten. Schon etwas aufwendiger ist die Skalierte Selektion. Sie wird eingesetzt, wenn die Fitneß auch negative Werte annehmen kann oder die Differenz zwischen maximaler und minimaler Fitneß einer Population zu klein wird. Auf der anderen Seite sind die rangbasierenden Verfahren zu nennen. Diese sortieren die Individuen absteigend bezü glich ihrer Fitneß, d.h. das Individuum mit der höchsten Fitneß erhält den ersten Rang, das mit der niedrigsten Fitneß den letzten Rang. Alle weiteren Berechnungen beziehen sich dann nur noch auf die Rangordnung der Individuen einer Population. Mögliche Verfahren sind die lineare und nichtlineare Rangselektion. Neben den fitneß proportionalen und rangbasierten Selektionsmethoden gibt es noch zwei andere Verfahren. Die erste Methode ist die Wettkampfselektion, bei der in einem Selektionsschritt eine bestimmte Anzahl Individuen gleichverteilt aus der Population ausgewählt werden. Das Individuum mit der besten Fitneß der teilnehmenden Wettkämpfer gewinnt und gilt damit als selektiert. Die zweite Methode ist die sogenannte (N, m)-selektion, die nur die m besten Individuen ihrer Generation für eine Auswahl in Betracht zieht. Alle anderen Individuen werden nicht beachtet. Jedes der m Individuen wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt. Selektionsmethode Index Fitneß Proportion Skalierung Rang Wettkampf (N,m) 0 9 0,33 0,38 0,30 0,36 0, ,30 0,33 0,25 0,28 0, ,19 0,18 0,20 0,20 0, ,11 0,08 0,15 0,12 0, ,07 0,03 0,10 0,04 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Abbildung 5: Vergleich verschiedener Selektionsmethoden Wurden alle Wahrscheinlichkeiten ermittelt, kommt das Russische Roulette zum Einsatz, daß nun ein Individuum aus der Population auswählt. Damit das Russische Roulette fü r alle Selektionsmethoden gleichermaß en eingesetzt werden kann, mü ssen die berechneten Werte den Eigenschaften der Normierung genü gen. Ist diese Voraussetzung erfü llt, werden die Wahrscheinlichkeiten proportional auf ein 27

28 virtuelles Roulette-Rad aufgeteilt. Hier ein Beispiel für die Aufteilung der Selektionswahrscheinlichkeiten einer Population mit fü nf Individuen: Index Wahrscheinlichkeit Roulette-Rad Zeiger 4 Σ Abbildung 6: Beispiel für Russisches Roulette Alle Individuen einer Population bekommen so einen bestimmten Abschnitt auf diesem Rad zugeteilt. Ein Individuum mit einer hohen Selektionswahrscheinlichkeit repräsentiert so einen groß en Teil des Rades und umgekehrt. Ist die Aufteilung des Rades abgeschlossen, kann die Selektion beginnen. Dazu wird das virtuelle Rad gedreht, bis es bei einem Abschnitt stehen bleibt, daß einem Individuum zugeteilt wurde. Dieses ist damit selektiert und das Russische Roulette kann wiederholt werden, um das nächste Individuum zu selektieren Kreuzung Die natü rliche Evolution verändert mit Hilfe der Paarung (Kreuzung) die genetischen Informationen der Elternindividuen. Dies geschieht durch Vermischung der elterlichen Eigenschaften, so daß ein Nachkomme eine Kombination aus den Eigenschaften von Mutter und Vater erhält. Die Genetischen Algorithmen setzen dieses Verfahren in den Kreuzungsoperatoren um. Voraussetzung dafü r sind die in Abb. 7 dargestellten Kreuzungspunkte (P X ), mit dessen Hilfe ein auszutauschender Bereich festgelegt wird (auch mehrere Bereiche sind möglich). Ein Chromosom mit L C Zeichen besitzt die gleiche Anzahl an Kreuzungspunkten. Der Kreuzungspunkt des ersten Zeichens trägt den Index 0 und der des letzten Zeichens L C 1. 28

29 Abbildung 7: Kreuzungspunkte Es gibt nun vier wesentliche Strategien der Kreuzung. Die erste Variante, die auch standardmäßig in den meisten Genetischen Algorithmen verwendet wird, ist die Ein- Punkt-Kreuzung (Abb. 8). Hier wird ein Kreuzungspunkt innerhalb des Chromosoms zufällig ausgewählt. Damit ü berhaupt eine Vermischung stattfindet, sollte der zufällige Kreuzungspunkt P X in folgendem Intervall liegen. [4] 0 < P X < LC Der Kreuzungsbereich wird durch den zufällig gewählten und den letzten möglichen Kreuzungspunkt markiert. Alle Zeichen, die in diesem Bereich liegen, werden zwischen beiden Individuen ausgetauscht. Eltern Nachkommen Abbildung 8: Beispiel Ein-Punkt-Kreuzung Das nächste Verfahren ist die Zwei-Punkt-Kreuzung (Abb. 9), bei der zwei zufällig ausgewählte Punkte den Kreuzungsbereich beider Elternindividuen festlegen. Die beiden Punkte dürfen nicht gleich sein. Der kleinere Punkt stellt den Beginn des Kreuzungsbereichs dar und der größ ere Punkt das Ende. Alle Zeichen, die zwischen den beiden Punkten liegen, werden ausgetauscht. Auch hier sollten die Punkte der in [4] genannten Forderung genü gen. 29

30 Eltern Nachkommen Abbildung 9: Beispiel Zwei-Punkt-Kreuzung Die Zwei-Punkt-Kreuzung kann zu einer Zwei-Punkt-Kreuzung mit Translokation (Abb. 10) erweitert werden, indem zusätzlich bei einem der beiden Individuen der Kreuzungsbereich verschoben wird. Die Kreuzungspunkte für das eine Individuum werden wie bei der Zwei-Punkt-Kreuzung ermittelt und spezifizieren einen Bereich der Länge L K. Der Startpunkt fü r den Kreuzungsbereich des anderen Individuums, wird durch eine Zufallszahl ermittelt, die die folgenden Voraussetzungen erfü llen muß : [5] 0 P ( L - L ) Offset C K Stehen beide Bereiche fest, können die betroffenen Zeichen zwischen diesen ausgetauscht werden. Um eine einfache Zwei-Punkt-Kreuzung zu vermeiden, sollten der erste Kreuzungspunkt und der Translokationspunkt verschieden sein. Eltern Nachkommen Abbildung 10: Beispiel Zwei-Punkt-Kreuzung mit Translokation 30

31 Die vierte Strategie ist die gleichmäßige Kreuzung (Abb. 11), bei der die Kreuzungspunkte durch einen binären Vektor der Länge L C gewonnen werden. Die Werte fü r den Vektor werden durch gleichverteilte Zufallszahlen ermittelt. So wü rde der Vektor , mit einer Länge von 15, die Kreuzungsbereiche 1 4 (1111), 7 8 (11) und (111) hervorbringen. In diesen Bereichen werden die Zeichen der Chromosomen der Eltern vertauscht. Die mit 0 markierten Bereiche bleiben unverändert. Eltern Schablone Nachkommen Abbildung 11: Beispiel gleichmä ßige Kreuzung Die Funktionsweise dieser Verfahren ändert sich auch dann nicht, wenn die Chromosomen aus anderen Alphabeten aufgebaut sind. Jedoch können sie aus bestimmten Grü nden auch eine abweichende Funktionalität aufweisen (z.b. Einzigartigkeit der Gene beim Problem des Handlungsreisenden) Mutation Bei der Fortpflanzung schleichen sich gelegentlich Fehler in die Genotypen der Nachkommen ein. In der Natur geschieht dies im Zuge der Zellteilung, bei der dann einzelne oder mehrere Basen im Chromosom verändert, eingesetzt oder entfernt werden. Dieser Prozeß wird bei Evolutionären Algorithmen durch einen Mutationsoperator nachgebildet. Mutationen wirken sich positiv auf die Variabilität 31