Mathematik. Zentrale schriftliche Abiturprüfung Leistungskurs Aufgabenvorschlag. Aufgabenstellung 1. Aufgabenstellung 2. Aufgabenstellung 3

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewer zur Rechtschreibung der deutschen Sprache Formelsammlung, die an der Schule eingeführt ist bzw. für Berlin von der zuständigen Senatsverwaltung für die Verwendung im Abitur zugelassen ist. Taschenrechner, die nicht programmierbar und nicht grafifähig sind und nicht über Möglicheiten der numerischen Differenziation oder Integration oder des automatisierten Lösens von Gleichungen verfügen. 70 Minuten inl. Lese- und Auswahlzeit Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Analysis Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Analytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Stochasti Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Seite von

2 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Kelchglas In der Abbildung ist ein Tringlas in Kelchform ohne Stiel und Fuß dargestellt. Die seitliche Profillinie eines solchen Glases lässt sich mathematisch mithilfe einer Exponentialfuntion f der Form bx f ( x) = a e modellieren, a, b IR, a > 0, b > 0. Das Koordinatensystem wird gemäß der Abbildung festgelegt, für die Achseneinheiten gilt: LE = cm. Die Profillinie des Glases ändert ihr Krümmungsverhalten bei x = und bei x =. Außerdem ist ein Tiefpunt T ( 0 ) erennbar. a) Untersuchen Sie die Graphen aller möglichen Funtionen f in Abhängigeit von a und b auf relative Extrempunte und deren Art sowie auf Wendepunte. Für die Berechnung der Wendestellen genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung. Abbildung bx f x = (ab 4ab x ) e ] [Kontrollergebnis für die Berechnung der zweiten Ableitung: ( ) b) Geben Sie alle Bedingungen an, die von der Funtion f erfüllt werden müssen, damit der Graph von f die Profillinie des Glases darstellen ann. Berechnen Sie für die Profillinie des Glases die Parameter a und b. 0,5x [Kontrollergebnis: fglas ( x) = e ] Das Kelchglas hat eine Höhe von 0 cm. Berechnen Sie den Umfang und die Größe der Kreisfläche der Öffnung. c) Für x 0 ist der Graph von f Glas in der Anlage eingezeichnet. Für x 0 besitzt f Glas eine Umehrfuntion Zeichnen Sie als Spiegelachse die Gerade zu * den Graphen der Umehrfuntion f Glas. * f Glas. * Bestimmen Sie eine Gleichung der Umehrfuntion f Glas. * [Kontrollergebnis: ( x) = 8 ln() ln( x) mit x < 0 ] f Glas y = x in die Anlage ein und zeichnen Sie * Glas d) Der Graph von f rotiert für x um die x-achse. Dabei entsteht als Rotationsörper das Kelchglas in waagerechter Lage (siehe Abbildung ). Berechnen Sie das Volumen des Glases. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass für x < 0 gilt: ln( x ) dx = x + x ln( x) + C. Abbildung Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE Anlage Seite von

3 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Anlage zu Aufgabe.: Kelchglas Seite von

4 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Designersessel Gegeben ist die Funtionenschar f a mit f a ( x) = ax 4ax +, 4x ; a IR, a > 0. Drei Graphen der Schar sind in der Abbildung dargestellt. a) Weisen Sie nach, dass alle Graphen der Schar bei x n = 0 dieselbe Steigung haben. Einer der Graphen der Schar hat außer x n = 0 genau eine weitere Nullstelle. Berechnen Sie den Parameterwert dieser Funtion gerundet auf zwei Nachommastellen. b) Jeder Graph der Schar hat genau einen Wendepunt. Bestimmen Sie seine Koordinaten und weisen Sie damit nach, dass alle Wendepunte auf einer Parallelen zur y-achse liegen. Geben Sie die Gleichung dieser Geraden an. Einer der Graphen der Schar hat an der Stelle x e = einen Hochpunt. Bestimmen Sie für die zu diesem Graphen gehörende Funtion f a die Funtionsgleichung. 5 cm Der abgebildete Designersessel hat Seitenflächen, die für 0 x 9 aus der Fläche unter dem Graphen von f 0, 0 der gegebenen Funtionenschar (oberster Graph in der oberen Abbildung) und für 9 < x 9, 5 aus einem angesetzten Rechtec von 5 cm Breite bestehen ( LE = 0 cm). c) Bestimmen Sie die Gesamthöhe des Sessels und ermitteln Sie, wie hoch der Sessel an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ist (Angaben in cm). d) Berechnen Sie die Größe der in der Abbildung sichtbaren Seitenfläche (Angabe in m ). Diese Seitenfläche enthält auch die 5 cm breite Rechtecfläche am hinteren Rand. Die Seitenfläche soll grafisch neu gestaltet werden. Für die Grafi wird ein achsenparalleles Rechtec der Größe 85 cm x 0 cm benötigt. Untersuchen Sie, ob ein solches Rechtec auf die Seitenfläche passt. e) Für jede Stelle x im Fußbereich ( x < ) gibt es eine Stelle x im Lehnenbereich ( x >, ) mit gleicher Steigung. Weisen Sie für f 0, 0 nach, dass für je zwei x-werte x und x, bei denen die Steigung 8 gleich ist, gilt: x + x =. y x Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Seite 4 von

5 Seite 5 von

6 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Campingzelt Im Bild ist ein Campingzelt mit fünfeciger Grundfläche dargestellt, von dem die Punte A ( 4 0), B ( 4,5 0), C ( 5 4 0), D ( 5,5 0) und E ( 4 4,5 ) gegeben sind (Sizze nicht maßstabsgerecht, LE = m). Die Punte E und F sind Anfangs- und Endpunt der zum Erdboden parallel verlaufenden oberen Zeltante. Das Zelt hat eine Höhe von,50 Metern und ist symmetrisch zur Ebene durch die Punte E, B und F. A B E L* C F D a) Die fünfecige Grundfläche dieses Zeltes wird von dem gleichschenligen Dreiec ABC und dem Rechtec mit den Seitenlängen AC und CD gebildet. Ermitteln Sie die Größe der Grundfläche. b) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene H, in der die Zeltfläche BCE dieses Zeltes liegt. [Kontrollergebnis für H : x + y z = 9 ] c) Im Punt ( 7,5 0,5 9,75) L ist ein puntförmig gedachter Lautsprecher installiert, der auf der Zeltfläche BCE den Schattenpunt L* erzeugt. Die einfallenden Sonnenstrahlen werden vereinfacht als parallel angenommen und verlaufen in Richtung des Vetors. Bestimmen Sie die Koordinaten des Puntes L* sowie die Größe des Winels, unter dem die Sonnenstrahlen auf die Zeltfläche BCE treffen. d) Die obere Kante der Eingangsöffnung des Zeltes liegt in der Ebene CDFE und verläuft im Abstand von 50 Zentimetern parallel zur Zeltante EF. Prüfen Sie, ob ein Kind mit,5 m Körpergröße aufrecht, also ohne sich bücen zu müssen, durch diesen Eingang gehen ann. e) Im Inneren des Zeltes haben die Camper eine leine Lampe aufgehängt. Diese befindet sich genau 5 cm unter dem Mittelpunt der Zeltante EF mit F ( 4,5,5 ). Prüfen Sie, ob der Sicherheitsabstand von 0, m zur Zeltfläche CDFE eingehalten wird. Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Seite von

7 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Berliner Gaslaterne In Berlin gibt es so genannte Schinellaternen, die zum Teil noch mit Gas betrieben werden (siehe Foto ). Der verglaste Laternenopf ist ein (umgedrehter) regelmäßiger, sechsseitiger Pyramidenstumpf mit pyramidenförmiger Abdecung. Die Zierelemente werden nicht beachtet. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass der Laternenfuß im Punt O(0 0 0) liegt. Die Gehwegfläche entspricht der x-y-ebene. Von folgenden Ecpunten des Pyramidenstumpfes (siehe Foto ) sind die Koordinaten beannt: A ( 7 7 0), B (4 0 0), C (7 7 0), D (4 0 0). LE = cm. (Foto ) (Foto ) a) Die Geraden, auf denen die schrägen Kanten des verglasten Laternenopfes liegen, schneiden sich in einem Punt auf der z-achse. Berechnen Sie dessen Koordinaten. b) Die Glasscheibe mit den Ecpunten A, B und D liegt in einer Ebene E. Die Glasscheibe mit den Ecpunten B, C und D liegt in der Ebene E : 4 x 4 y + z = 4. Berechnen Sie den Schnittwinel der Ebenen E und E und geben Sie den Winel an, den zwei benachbarte Glasscheiben miteinander bilden. c) Im Punt L (0 0 0) befindet sich die puntförmig gedachte Lichtquelle. Berechnen Sie den Abstand der Ebene E von der Lichtquelle. In der x-y-ebene entsteht eine Schattenfläche der von L aus beleuchteten, sechsecigen Grundfläche des Laternenopfes. Berechnen Sie die Koordinaten des zu A gehörenden Schattenpuntes A. d) Zur Kontrolle der Lichtintensität werden Messungen im Abstand von m zur Lichtquelle vorgenommen. Geben Sie eine Gleichung der Kugel K an, auf der die Messpunte liegen. e) In den anfangs beschriebenen regelmäßigen sechsseitigen Pyramidenstumpf wird eine Kugel mit maximalem Radius einbeschrieben. Der Mittelpunt dieser Kugel soll bestimmt werden. Erläutern Sie, welche Bedingungen dieser Punt erfüllen muss und stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Lage des Mittelpunts berechnet werden ann. (Die Gleichung sollen Sie nicht lösen.) Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Seite 7 von

8 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Glücsrad Marc und Janni haben sich folgendes Glücsspiel blau rot mit dem nebenstehend sizzierten Glücsrad ausgedacht: Sie drehen abwechselnd je zweimal das Glücsrad. - Marc gewinnt (und Janni verliert), wenn insgesamt zweimal rot erscheint und die anderen beiden Male blau. - Janni gewinnt (und Marc verliert), wenn genau dreimal rot erscheint und nur einmal blau oder umgeehrt genau dreimal blau erscheint und nur einmal rot. - In den übrigen Fällen endet das Spiel unentschieden. a) Bestimmen Sie die Gewinnwahrscheinlicheit für Marc und die für Janni. [Zur Kontrolle Ihrer Rechnung: P ( M) 0, 75; P( J ) = 0, 5 =.] b) Am ersten Ferientag spielen die beiden um Geld. Janni setzt pro Spiel und Marc 80 Cent. Der Gewinner erhält beide Einsätze, im unentschiedenen Fall erhält jeder seinen Einsatz zurüc. Berechnen Sie Jannis mittleren Gewinn pro Spiel. c) Nun wird das Ereignis G untersucht. G: Die beiden ersten Drehungen zeigen die gleiche Farbe ( rot-rot oder blau-blau ). Janni schlägt vor, das Spiel nur dann zu Ende zu spielen und zu werten, wenn das Ereignis G eingetreten ist; andernfalls wird das Spiel abgebrochen, es gewinnt einer und die Einsätze werden zurücgegeben. - Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlicheit für Janni unter der Bedingung G. - Ermitteln Sie die neue Gewinnwahrscheinlicheit von Marc und beraten Sie ihn, ob er dieser neuen Regelung zustimmen sollte. Marc und Janni spielen das ursprüngliche Spiel jetzt mehrmals hintereinander. Die Gewinnregeln bleiben unverändert. d) Die beiden Jungen spielen 0-mal hintereinander. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass Janni alle Spiele gewinnt. Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Spiele, die die beiden Jungen spielen müssen, damit Janni mit einer Wahrscheinlicheit von über 95 % mindestens ein Spiel gewinnt. Die Anzahl der Spiele wird auf 50 festgesetzt. Janni möchte mit einer Wahrscheinlicheit von mindestens 80 % mehr als Spiele gewinnen. Ermitteln Sie das größtmögliche. e) Bei einem neuen Spiel werden die Regeln so verändert, dass Janni die unbeannte Gewinnwahrscheinlicheit p hat. Es wird insgesamt zehnmal gespielt, davon viermal am Vormittag und sechsmal am Nachmittag. Ermitteln Sie in Abhängigeit von p eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlicheit dafür, dass Janni genau zwei der vier Vormittagsspiele und genau drei der sechs Nachmittagsspiele gewinnt. rot blau Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Anlage Seite 8 von

9 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Anlage zu Aufgabe.: Glücsrad Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachommastellen, weggelassen ist 0, alle freien Plätze lins unten enthalten,0000, rechts oben 0,0000. Wird die Tabelle von unten gelesen (p > 0,5), ist der richtige Wert (abgelesener Wert). n 50 n ,05 0, ,95 0, p 0,0 0,5 0, ,80 0,75 0,70 p ,40 0,45 0, ,0 0,55 0, n 50 n Seite 9 von

10 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Aufgabe.: Vorsorgemuffel Zu Vorsorgemuffeln zählen Bundesbürger, die nicht regelmäßig eine Zahnarztpraxis zu Kontrolluntersuchungen aufsuchen. Nach einer Umfrage des Instituts der Deutschen Zahnärzte (0) zählen dazu 9, % der weiblichen und sogar 44,7 % der männlichen Bundesbürger. Unabhängig davon, ob er ein Vorsorgemuffel ist oder nicht, geht im Mittel jeder sechste Bundesbürger bei auten Beschwerden sofort zu einem Zahnarzt. Wenn nicht ausdrüclich von männlichen oder weiblichen Bundesbürgern die Rede ist, sind immer alle Bundesbürger unabhängig vom Geschlecht gemeint. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlicheiten der folgenden Ereignisse: A: Unter 0 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich acht oder neun Vorsorgemuffel. B: Von 00 zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens 5 und weniger als 9 Personen zu denjenigen, die einen Zahnarzt bei auten Beschwerden sofort aufsuchen. C: Unter 00 zufällig ausgewählten Bundesbürgern befinden sich mindestens 85 Personen, die bei auten Beschwerden nicht sofort zum Zahnarzt gehen. b) Berechnen Sie, wie viele weibliche Bundesbürger höchstens ausgewählt werden dürften, damit die Wahrscheinlicheit dafür, wenigstens einen Vorsorgemuffel zu entdecen, unter 99 % liegt. c) Nacheinander wurden zufällig ausgewählte männliche Bundesbürger befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass spätestens der fünfte Befragte ein Vorsorgemuffel war. d) Der Anteil der Männer unter allen Bundesbürgern liegt bei 48,88 % (Zensus 0). Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass ein unter allen Bundesbürgern zufällig ausgewählter Bundesbürger ein Vorsorgemuffel ist, also regelmäßig zur zahnärztlichen Kontrolluntersuchung geht. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für den Fall, dass eine aus der Gruppe der Vorsorgemuffel zufällig ausgewählte Person eine Frau ist. e) In einem Landesteil Deutschlands beträgt die Wahrscheinlicheit dafür, dass ein Einwohner Vorsorgemuffel ist, p mit 0 < p <. Berechnen Sie p für den Fall, dass die Wahrscheinlicheit dafür, dass sich unter vier zufällig ausgewählten Einwohnern dieses Landesteiles genau drei Vorsorgemuffel befinden, maximal ist. Auf den Nachweis des loalen Maximums wird verzichtet. Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Anlage Seite 0 von

11 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 05 Anlage zur Aufgabe.: Vorsorgemuffel Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachommastellen, weggelassen ist 0,, alle freien Plätze lins unten enthalten,0000, rechts oben 0,0000. Wird die Tabelle von unten gelesen (p > 0,5), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) n p 0,0 0,05 0, n 0,95 0, ,0 0,5 0, ,80 0,75 0, p Seite von